BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik
|
|
- Filippa Lauridsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ( p q) p q February 1, 2011
2 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver. Lad os se på ingredienserne: Sandhedsværdier Vi har to og kun to sandhedsværdier: sand (S) og falsk (F). Dem er der ikke så meget pjat med. Udsagnsvariable Vi skal bruge nogle udsagnsvariable; i princippet skal vi gerne have uendeligt mange af dem, men lad os bare starte med et par stykker: p, q og r. En udsagnsvariabel er blot en slags pladsholder; den har ingen værdi. Vi kan dog tillægge den en af de to sandhedsværdier sand eller falsk og derved angive input til vores logiske udsagn.
3 Tre logiske konnektiver Vi kan nu skrive logiske udtryk såsom S og p. Dem er der ikke meget sjov ved. Lad os øge indsatsen en smule: Negation, konjunktion og disjunktion Vi kan danne negationen af et udsagn U som U. Og hvis vi har to udsagn U og V kan vi bygge konjunktionen U V og disjunktionen U V. Konstruktionerne svarer nogenlunde til de sproglige ikke, og hhv. eller. Men kun nogenlunde, følgende sandhedstabeller er præcise: p p F S S F p q p q p q F F F F F S F S S F F S S S S S
4 Udsagnslogik i Java Lad os genskabe forbindelsen til virkeligheden. Tænk gerne på udsagnsvariable som variable af typen boolean i Java. De logiske konnektiver genfindes også her: er!, er && og er. Vi spørger Java boolean p = true; boolean q = false; System.out.println("p er " + p + " og q er " + q); System.out.println("!p er " +!p); System.out.println("p && q er " + (p && q)); System.out.println("p q er " + (p q)); Hvad Java svarede p er true og q er false!p er false p && q er false p q er true
5 Lidt opvarmning Det er rart at tænke på et udsagn som en funktion. Man giver det sandhedsværdier som input ved at specificere udsagnsvariablene, og de logiske konnektiver udregner så en sandhedsværdi som output. Lad os, som lidt opvarmning, prøve at udregne sandhedsværdien af et mildt ubehageligt udtryk: (p q) (( p) ( q)). Som input specificerer vi at p er sand og q er falsk: (S F ) (( S) ( F )) = (S F ) (F S) = F (F S) = F S = S. Fremgansmåden turde være klar men næppe ophidsende.
6 (p q) (( p) ( q)) i Java Vi spørger Java boolean p = true; boolean q = false; System.out.println("p er " + p); System.out.println("q er " + q); boolean out = (p && q) ((!p) (!q)); System.out.println("Javas resultatet er " + out); Hvad Java svarede p er true q er false Javas resultatet er true
7 Implikation Vi tager nok et logisk konnektiv: implikation. Tag to udsagn, U og V, så kan vi bygge implikationen U V. Intuitionen er denne: hvis vi har både U V og U, så skal vi kunne slutte V. p q p q F F S F S S S F F S S S Bemærk det let besynderlige at implikationen altid er sand hvis P er falsk. Så udsagnet 2+2 = 5 implicerer faktisk at jeg har et lyssværd. Desværre er to og to fire.
8 Implikation i Java Implikation bruges sjældent direkte og findes derfor ikke i Java. Men det er der naturigvis råd for, vi kan jo bare bygge den selv: Vi påkalder Java public static boolean imp(boolean p, boolean q) { if (p) { if (q) return true; else return false; } else { return true; } } Hvad Java svarede imp(false, false) er true imp(false, true) er true imp(true, false) er false imp(true, true) er true
9 Biimplikation Og så det sidste logiske konnektiv: biimplikation. Tag to udsagn, U og V, så kan vi bygge biimplikationen U V. Implikationen er sand netop hvis både U og V har samme sandhedsværdier. p q p q F F S F S F S F F S S S
10 Et sidespring: Parenteser versus præcedens Som landet liggger, skal alle parenteser skrives: (( q) ( p)) (( p) q). Det kan blive tungt. Derfor giver vi konsistent med Java de logiske konnektiver forskellig præcedens: binder stærkere end som igen binder stærkere end. Og og binder svagest af alle. Så vi kan nu skrive q p p q. Nogle parenteser kan vi dog ikke stritte ud. (p q) er ikke ganske det samme som p q sidstnævnte er nemlig ( p) q.
11 Logisk Ækvivalens! Vi skal forstå noget centralt: To udsagn er logisk ækvivalente hvis de giver samme sandhedsværdi ved enhver specifikation af alle udsagnsvariable. De er altså ens som funktioner vi skriver imellem dem. Et eksempel: Kontraponering p q q p. Vi opskriver omhyggeligt en sandhedstabel som argument: p q p q q p q p F F S S S S F S S F S S S F F S F F S S S F F S
12 Seks vigtige ækvivalenser Her følger en række vigtige logiske ækvivalenser de er gode at kunne. Og bare rolig, I viser dem korrekte i øvelserne. Distributivitet p (q r) (p q) (p r). p (q r) (p q) (p r). Dobbeltnegering og Materiel Implikation De Morgans love ( p) p. p q p q. (p q) p q. (p q) p q.
13 Sandhedstabel for (p q) p q i Java Opskrivning af sandhedstabeller er kedsommeligt. Men vi er ferme udi programmering og koder en vej ud; her en af De Morgans love: Java befalinger boolean[] bools = {false, true}; for(boolean p : bools) { for(boolean q : bools) { System.out.println("p: " + p + ", q: " + q + ",!(p && q): " +!(p && q) + ",!p!q: " + (!p!q)); } } Javas ytringer p: false, q: false,!(p && q): true,!p!q: true p: false, q: true,!(p && q): true,!p!q: true p: true, q: false,!(p && q): true,!p!q: true p: true, q: true,!(p && q): false,!p!q: false
14 Udsagn: de gode og de onde Vi har de særligt gode udsagn: Tautologier Et udsagn, der altid giver sand, kaldes en tautologi. Tautologier er de udsagn, som er logisk ækvivalente med S. Og så er der de onde: Kontradiktioner (absurditeter) Et udsagn, der altid giver falsk, kaldes en kontradiktion. Kontradiktioner er de udsagn, som er logisk ækvivalente med F. Her er det kanoniske gode udsagn: p p. Og det kanoniske onde: p p. Der er mange andre, f.eks. er p (p q) gerne sand.
15 At regne med logiske ækvivalenser - kapow! De logiske ækvivalenser er vigtige fordi vi kan bruge dem til at regne med logiske udtryk. Lad os prøve noget som ikke er så let: lad os vise at udsagnet (p (p q)) q er en tautologi. Vi kunne opskrive en sandhedstabel men vi er mere mandige (m/k) end som så, vi bruger logiske ækvivalenser, stille og roligt: (p (p q)) q (p ( p q)) q. Her bruger vi materiel implikation p q p q lige ud ad landevejen. Lad os regne videre. (p ( p q)) q ((p p) (p q)) q Denne ækvivalens har lidt mere substans. Vi bruger den distributive lov p (q r) (p q) (p r) med med p for q og q for r.
16 Regne, regne, regne... ((p p) (p q)) q (F (p q)) q (p q) q. Her benytter vi først ækvivalensen p p F og derefter ækvivalensen F p p med (p q) for p. Disse småækvialenser har vi hverken navngivet eller bevist, men de er ganske ligetil. (p q) q (p q) q p q q. Her er det først materiel implikation p q p q og dernæst en af De Morgans love (p q) p q. Så er vi der næsten: p q q p S S Igen et par småækvivalenser p p S og p S S. Bom.
17 Uopnåelig kode Betragt følgende kodestump: Lidt Java boolean burger =...; boolean fritter =...; if (!burger fritter) { System.out.println("Karl Koder er kool"); if (burger &&!fritter) { System.out.println("Karl Koder er en klovn"); } } Spørgsmålet er nu om Karl Koder er en klovn. Det afhænger jo noget af fødevaresituationen kunne man tænke. Men nej, vi kan (vil) vise at følgende udsagn er en kontradiktion: ( p q) (p q) Derfor vil den anden print kommando aldrig blive kørt uanset værdierne af de to variable. Så programmøren er klovnen.
18 Karl Koders kontradiktion: ( p q) (p q) Lad os lige vise ækvivalensen fra forrige slide. En direkte måde er med distribitivitet plus det løse: ( p q) (p q) (p q) ( p q) (p q p) (p q q) (p p q) (p q q) (F q) (p F ) F F F. Lidt mere elegant kan vi bruge reglen om dobbeltnegering kreativt, efterfulgt af en af De Morgans love og oprydning: ( p q) (p q) ( ( p q)) (p q) ( ( p) q)) (p q) (p q) (p q) F.
19 Løkken er en tautologi Endnu en kodestump til samlingen: Lidt Java boolean vin =...; boolean ost =...; while((vin && ost) (!ost!vin)) { System.out.println("Velbekomme - spis og drik!"); vin =...; ost =...; } Hvor hurtigt slipper maden op? Man tænker: det afhænger af forsyninger og appetit, dvs. af hvad... dækker over i koden. Men vi ved bedre vi ved (snart) at følgende udsagn er en tautuologi: (p q) ( q p). Det betyder at betingelsen i løkken altid vil være sand, uanset værdierne af variablene vin og ost. Så programmøren har fået bygget sig en uendelig løkke det endeløse gilde.
20 Ostetautologien: (p q) ( q p) Lad os vise ækvivalensen fra forrige side. Igen kan vi køre ligepå og hårdt med en distributiv lov: (p q) ( q p) ( q p) (p q) ( q p p) ( q p q) ( q p p) (q q p) ( q S) (S p) S S S. Eller vi kan være ganske snedige og bruge De Morgan baglæns: (p q) ( q p) (p q) (q p) (p q) (p q) S Sandhedstabeller kan virke simplere og derfor tillokkende. Det er samme resultat, men de logiske ækvivalenser giver intution!
Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock
Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereBOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereUdsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013
Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative):
Læs mereSkriftlig eksamen i Datalogi
Roskilde Universitetscenter side 1 af 9 sider Skriftlig eksamen i Datalogi Modul 1 Vinter 1999/2000 Opgavesættet består af 6 opgaver, der ved bedømmelsen tillægges følgende vægte: Opgave 1 5% Opgave 2
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereIntroduktion til abstrakt matematik
Matematik Y Introduktion til abstrakt matematik Flemming Topsøe 2002 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-11-2 c Matematisk Afdeling 2002 Indhold Indhold Forord 5 BML:
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereJavaScript. nedarvning.
JavaScript er et sprog, der kan give en hjemmeside mere funktionalitet og gøre den interaktiv, så den reagerer på læsernes handlinger. CGI (Common Gateway Interface) har hidtil været de protokoller, man
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereMatematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming
Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte
Læs mereKursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0.
Kursus 02199: Programmering afsnit 3.1-3.5 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Kontrol af programudførn (afsnit 3.1) 2. Valg-sætninger (if og switch) (afsnit 3.2 og 3.3) 3. Bloksætninger (afsnit 3.2) 4. Logiske
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mere16. december. Resume sidste gang
16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereKapitel 3 Betinget logik i C#
Kapitel 3 i C# er udelukkende et spørgsmål om ordet IF. Det er faktisk umuligt at programmere effektivt uden at gøre brug af IF. Du kan skrive små simple programmer. Men når det bliver mere kompliceret
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereEksempel: Skat i år 2000
Kursus 02199: Programmering afsnit 2.1-2.7 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Værdier og typer (bl.a. char, boolean, int, double) (afsnit 2.4) 2. Variable og konstanter (afsnit 2.3) 3. Sætninger (bl.a. assignments)
Læs mereIt og informationssøgning Forelæsning september 2006 Nils Andersen. Underprogrammer og betingelser. Standardfunktioner, typeomsætning
It og informationssøgning Forelæsning 2 13. september 2006 Nils Andersen Underprogrammer og betingelser Standardfunktioner, typeomsætning Funktionskald Moduler, lange navne Brugerdefinerede funktioner
Læs mereBRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt
BRP 6.9.2006 Kursusintroduktion og Java-oversigt 1. Kursusintroduktion 2. Java-oversigt (A): Opgave P4.4 3. Java-oversigt (B): Ny omvendings -opgave 4. Introduktion til næste kursusgang Kursusintroduktion:
Læs mereMatematikkens fundament i krise
Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereGreenfoot En kort introduktion til Programmering og Objekt-Orientering
Greenfoot En kort introduktion til Programmering og Objekt-Orientering Greenfoot er et computer-program, som kan benyttes til at skrive andre computer-programmer, i et programmeringssprog kaldet Java.
Læs mereSamlet Funktion Køn Anciennitet Alder
Samlet Funktion Køn Anciennitet Alder Løn - hvor enig er du i følgende synspunkter: Lokalt aftalte løntillæg skal udgøre en større del af den samlede løn? ikke- TR % over Antal 44 TR 5 K 14 U 10 ÅR 16
Læs mereKursus navn: Indledende programmering Kursus nr. 02101
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 8 sider Skriftlig prøve, den 15. december 2007 Kursus navn: Indledende programmering Kursus nr. 02101 Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler Vægtning
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereAbstrakte datatyper C#-version
Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Abstrakte datatyper C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Abstrakte Datatyper Denne note introducerer kort begrebet abstrakt datatype
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse 1 Indledning...2 2 Logiske kredsløb...3 Eksempel:...3 Operatorer...4 NOT operatoren...4 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereEn simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic:
Kapitel 2 Argumenter Jeg er ked af at sige det, men det fag, jeg brød mig mindst om var matematik. Jeg har tænkt over det. Jeg tror grunden er, at matematik ikke efterlader noget at diskutere. Hvis du
Læs mereSide 1. Kæmpen i hulen. historien om Odysseus og Kyklopen.
Side 1 Kæmpen i hulen historien om Odysseus og Kyklopen Side 2 Personer: Odysseus Kyklopen Side 3 Kæmpen i hulen historien om Odysseus og Kyklopen 1 Øen 4 2 Hulen 6 3 Kæmpen 8 4 Et uhyre 10 5 Gæster 12
Læs mereBoolsk algebra For IT studerende
Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7
Læs mereCivilingeniøreksamen 49104 12. januar 2001. Skriftelig prøve den 12. januar 2001 Kursusnummer 49104
Skriftelig prøve den 12. januar 2001 Kursusnummer 49104 Kursusnavn: Programmering. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler Opgavesættet består af fire opgaver, der har følgende vægtning: Opgave
Læs mereKursus i OOP og Java. Kursus i Objektorienteret programmering i Java
Kursus i OOP og Java Kursus i Objektorienteret programmering i Java Åben Dokumentlicens Dette foredragsmateriale er under Åben Dokumentlicens (ÅDL) Du har derfor lov til frit at kopiere dette værk Bruger
Læs mereJava Programmering. En bog for begyndere. Skrevet af Henrik Kressner
Java Programmering En bog for begyndere Skrevet af Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Introduktion...3 1 Introduktion til Java...4 1.1 Javakoden...4 1.2 Det første program...6 1.2 Skriv til skærmen...6
Læs mere16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang
16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret
Læs mereOm matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen
Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................
Læs mere-*/+&3*/(&3 %"/4, #3&7)07&% &,4".&/41"1*3. %&,0/530- # (&3,0/5",5# (&3,0--&(*&) '5&3 (-04&) '5&3 '03."5&3 -*/+&3*/(&3 4*%&3 4,0-&) '5&3 www.ibnfmjo.el 4,0-& 1"1*3 LINEX gør det sjovt at lære Matematik
Læs mereAritmetiske Forelæsning Pr ogrammering operatorer tir 1999 sda præcedens september 1999 Logiske Sammenligningsoperatorer operatorer præcedens
Programmering 1999 Forelæsning 3, tirsdag 7. september 1999 Aritmetiske og logiske operatorer, præcedens Den indbyggede klasse String: tegnstrenge Metoder i klasser Metoder: returtype eller void Metoder:
Læs mere//Udskriver System.out.println("Hej " + ditfornavn + " " + ditefternavn + "."); System.out.println("Du er " + dinalder + " aar gammel!
Denne guide er oprindeligt udgivet på Eksperten.dk Brugerinput i Java Denne her artikel gennemgår diverse ting ved brug af brugerinput i Java. Den starter med det simple og fortæller derefter skridt for
Læs mereBrøk Laboratorium. Varenummer 72 2459
Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt
Læs mereLyskryds. Thomas Olsson Søren Guldbrand Pedersen. Og der blev lys!
Og der blev lys! OPGAVEFORMULERING:... 2 DESIGN AF SEKVENS:... 3 PROGRAMMERING AF PEEL KREDS... 6 UDREGNING AF RC-LED CLOCK-GENERAOR:... 9 LYSDIODER:... 12 KOMPONENLISE:... 13 DIAGRAM:... 14 KONKLUSION:...
Læs mereI would rather be exposed to the inconveniences attending too much liberty than to those attending too small a degree of it Thomas Jefferson
Kapitel 6 Ret til forskel I would rather be exposed to the inconveniences attending too much liberty than to those attending too small a degree of it Thomas Jefferson 49 50 Ret til frihed Kapitel 6...
Læs mereForelæsning Uge 2 Torsdag
Forelæsning Uge 2 Torsdag Java syntax og style guide Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Brug
Læs mereNoter til C# Programmering Iteration
Noter til C# Programmering Iteration Programflow Programmer udfører det meste af deres arbejde vha. forgrening og løkker. Løkker Mange programmeringsproblemer kan løses ved at gentage en handling på de
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve, 14. december 2018, 4 timer Side 1 af 18 Kursus navn: 02101 Indledende Programmering Kursus : 02101 Tilladte hjælpemidler: Ikke-digitale skriftlige hjælpemidler
Læs mereForelæsning Uge 2 Mandag
Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgave:
Læs mereMatematik på VUC Modul 2 Opgaver
Matematik på VUC Modul Opgaver Talgymnastik Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Regning med negative tal... Parenteser...7 Brøkstreger...9 Tekst og regnestykker - hvad
Læs mereNoter til C# Programmering Selektion
Noter til C# Programmering Selektion Sætninger Alle sætninger i C# slutter med et semikolon. En sætning kontrollerer sekvensen i programafviklingen, evaluerer et udtryk eller gør ingenting Blanktegn Mellemrum,
Læs mereSpørgeskema om din nyresygdom
NYU-2 Spørgeskema om din nyresygdom Vi vil bede dig udfylde dette skema og indsende det i vedlagte svarkuvert. Du kan læse mere i det vedlagte brev. På forhånd tak! Nyremedicinsk Ambulatorium OM DIN APPETIT
Læs mereTør du tale om det? Midtvejsmåling
Tør du tale om det? Midtvejsmåling marts 2016 Indhold Indledning... 3 Om projektet... 3 Grænser... 4 Bryde voldens tabu... 6 Voldsdefinition... 7 Voldsforståelse... 8 Hjælpeadfærd... 10 Elevers syn på
Læs mereUniversity of Southern Denmark Syddansk Universitet. DM502 Forelæsning 2
DM502 Forelæsning 2 Repetition Kompilere og køre Java program javac HelloWorld.java java HeloWorld.java Debugge Java program javac -g HelloWorld.java jswat Det basale Java program public class HelloWorld
Læs mereRødding 9.00 750 Nu titte til hinanden 448 dåb 41 Lille Guds barn 588 Herre, gør mit liv til bøn 722 Nu blomstertiden. Lihme 10.30
1 Mos 32,25-32, Jak 1,22-25, Joh 16,23b-28 Rødding 9.00 750 Nu titte til hinanden 448 dåb 41 Lille Guds barn 588 Herre, gør mit liv til bøn 722 Nu blomstertiden Lihme 10.30 3 Lovsynger Herren 300 Kom sandheds
Læs mereIndholdsfortegnelse. Indledning...2. Tidsplan...2. Målgruppe...3. Spørgeskema...3. Kode eksempler...5. Procesbeskrivelse...7. Evaluering...
1 Indholdsfortegnelse Indledning...2 Tidsplan...2 Målgruppe...3 Spørgeskema...3 Kode eksempler...5 Procesbeskrivelse...7 Evaluering...8 Bilag - Spørgeskema...9 Indledning - Jeg har som skoleprojekt fået
Læs mereProgrammering for begyndere Lektion 2. Opsamling mm
Lektion 2 Opsamling mm God tone Der er indlagt spørge sessioner Lektion 2 - Agenda Programmering for Lidt ændringer til teknikken, herunder hvordan du genser en lektion Lidt generelle tilbagemeldinger
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Induktion
P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som
Læs mereArduino kursus lektion 3:
Arduino kursus lektion 3: I denne lektion skal vi lave få en diode til at fade op og ned! Herefter skal denne diode bruges sammen med en lysføler til at lave en smart lysfølsom diode som selv justere lyset
Læs mereDM01 DM01. 3. Obl. Afl. Jacob Christiansen, 130282, jacob.ch@mail.tdcadsl.dk. D12, Elias 18/3-2003. Side 1 af 11
DM01 DM01 3. Obl. Afl. Jacob Christiansen, 130282, jacob.ch@mail.tdcadsl.dk D12, Elias 18/3-2003 Side 1 af 11 DM01 Indholdsfortegnelse: BILAG:...2 1 FORMÅL:...3 2 KLASSER:...4 2.1 DILEMMA:...4 2.1.1 METODER:...4
Læs mereSpecifikation Abstrakt OO OS-API Rev. 1.7. Specifikation. Abstrakt, objektorienteret operativsystem-api
Specifikation Abstrakt, objektorienteret operativsystem-api Indhold 1 Indledning... 3 1.1 Introduktion... 3 1.2 Formål... 3 1.3 Overordnede krav... 3 2 Ressourcer i OS-API et... 4 2.1 Tråde... 4 2.2 Timere...
Læs mereAlt elektronik heri er købt via http://dx.com, og arduino udviklingssoftware er hentet fra http://arduino.cc.
Få-tiden-til-at-gå-[DIGITAL]-ur =============================== Copyright 2013, Richard Jørgensen. Alle ophavsretlige rettigheder frafaldet 2015. (Kopier og brug som du har lyst.) Forord: ===== Denne vejledning
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereBørn, unge og sundhed
Børn, unge og sundhed Automatisering Komm/IT Benjamin Andreas Olander Christiansen, Jens Werner Nielsen og Niclas Larsen Klasse 1.4 Roskilde Tekniske Gymnasium 30.4.2010 Indledning Som vores kommunikations-/informationsteknologis
Læs mereArduino kursus lektion 4:
Arduino kursus lektion 4: I denne lektion skal vi bruge et digitalt termometer til at aflæse temperaturen! Herefter skal vi tænde 3 dioder som hver indikerer forskellige temperaturer! Opgave 1: Temperatursensor
Læs mereDATALOGI MASKINARKITEKTUR Blok 2 samt Reeksamination i DATALOGI MASKINARKITEKTUR Blok 1 og arkitekturdelen af DATALOGI 1E
Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI MASKINARKITEKTUR Blok 2 samt Reeksamination i DATALOGI MASKINARKITEKTUR Blok 1 og arkitekturdelen af DATALOGI 1E Vejledende løsninger til
Læs mereHTML, PHP, SQL, webserver, hvad er hvad??
Dagens menu HTML og PHP: Baglæs fra output til input PHP: Variable, strenge og arrays Funktioner, oprettelse og kald (og variable på tværs af funktioner) echo vs return? if-else konstruktioner MySQL: Hvad
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereVÆRD AT VIDE FORBYGGENDE SELVMONITORERING
VÆRD AT VIDE FORBYGGENDE SELVMONITORERING Faglige input produceret af og for partnerne i Lev Vel, delprojekt Forebyggende Ældre, sundhed og Forfatter: Af Julie Bønnelycke, videnskabelig assistent, Center
Læs mereBjørn Dean Petersen. TankeRevision 2015. Et gratis PC program, som kan forbedre både din og dine omgivelsers livskvalitet. www.tankerevision.
Bjørn Dean Petersen TankeRevision 2015 Et gratis PC program, som kan forbedre både din og dine omgivelsers livskvalitet. www.tankerevision.dk 1 TankeRevision 2015 Copyright 2015 ved Bjørn Dean Petersen
Læs mereI en brynje. Når jeg træder ind over tærskelen tager jeg brynje på. Ingen tvinger mig, men sfæren siger mig at alt andet vil være yderst usmart.
I en brynje. Når jeg træder ind over tærskelen tager jeg brynje på. Ingen tvinger mig, men sfæren siger mig at alt andet vil være yderst usmart. Den står klar. Tung er den, således at den hæmmer min bevægelsesfrihed.
Læs meremennesker noget andet navn under himlen, som vi kan blive frelst ved. Ap.G. 4,7-12
Fra det gamle testamente: Luk retfærdighedens porte op, jeg vil gå ind og takke Herren! Her er Herrens port, her går de retfærdige ind! Jeg takker dig, for du svarede mig og blev min frelse. Den sten,
Læs mereVideregående Programmering Obligatorisk opgave - 3. semester, efterår 2004
Overvågningssystem Beskrivelse Bagagesorteringssystemet består af et antal skranker (check-in) til modtagelse og registrering af bagage, et automatiseret sorteringsanlæg samt et antal terminaler (gates),
Læs mereFundamentale sprogbegreber
Fundamentale sprogbegreber Sætninger og udtryk Niveauer af programbeskrivelse (statisk versus dynamisk syn) Oversigt Sætninger simple sætninger (assignment, metodekald) sammensatte sætninger (selektion,
Læs mereKapitel 4 Løkker i C#
Kapitel 4 Løkker i C# Løkker en vigtig del af alle programmeringssprog, og C# er ikke andeles. En løkke er en måde at udføre en del af koden gentagne gange. Ideen er at du fortsætter med at udføre en opgave
Læs mereDanskerne er gode til at købe økologisk. Hvor ofte køber du økologiske fødevarer? Jeg køber altid økologiske fødevarer
Økonomisk analyse 6. maj 13 Axelborg, Axeltorv 3 169 København V T +45 3339 4 F +45 3339 4141 E info@lf.dk W www.lf.dk Danskerne er gode til at købe økologisk Highlights - 9 pct. af danskerne køber i større
Læs mere13 responses. Summary. [Image] Spørgeskema. Landsbytræf 2015 - Spørgeskema til oplægsholdere og stadepladser - Go...
Side 1 af 5 13 responses Jørgen H. Tscherning Edit this form View all responses Publish analytics Summary [Image] Spørgeskema Hvordan var du tilknyttet landsbytræffet? Jeg holdt et oplæg 2 15% Jeg var
Læs mereDraco vs. Harry. Interactive Multimedia E2010 DIAM. 15. december 2010. Vejledt af: Kevin Cook McLean, Hans Christian Asmussen & Søren Vibjerg
Draco vs. Harry 15. december 2010 Interactive Multimedia E2010 DIAM Vejledt af: Kevin Cook McLean, Hans Christian Asmussen & Søren Vibjerg Spillet kan findes på: http://www.itu.dk/people/rfog/draco_vs_harry.html
Læs mereKOL. Kompetencecenter. Rådgivning telefonen
KOL Kompetencecenter Rådgivning telefonen Rådgivning Anonym og uvildig rådgivning til både borgere med KOL og sundhedsprofessionelle, der arbejder indenfor området. Åben alle hverdage kl. 8-15 Borgerne
Læs mereDen mundtlige dimension og Mundtlig eksamen
Den mundtlige dimension og Mundtlig eksamen Mål med oplægget At få (øget) kendskab til det der forventes af os i forhold til den mundtlige dimension At få inspiration til arbejdet med det mundtlige At
Læs mereStudiepraktik. Thomas Bøgholm Mikkel Hansen Jacob Elefsen
Studiepraktik Thomas Bøgholm boegholm@cs.aau.dk Mikkel Hansen mhan@cs.aau.dk Jacob Elefsen jelefs12@student.aau.dk 1 Studiepraktik -- program Program onsdag 10.00 10.15 Registrering af fremmøde og gennemgang
Læs mereL 213 Forslag til lov om ændring af personskatteloven, ligningsloven og forskellige andre love.
Page 1 of 5 Folketinget, Christiansborg 1240 København K. Tlf.: +45 3337 5500 Mail: folketinget@ft.dk L 213 Forslag til lov om ændring af personskatteloven, ligningsloven og forskellige andre love. (Midlertidig
Læs mereUndervisningsmiljøvurdering på Glamsbjerg Efterskole i skoleåret 2010/2011. Elevbesvarelser
Undervisningsmiljøvurdering på Glamsbjerg Efterskole i skoleåret 2010/2011. Spørgsmålene er inspireret af Termometeret fra Dansk Center for Undervisningsmiljø, og der er valgt flg. områder ud: Generel
Læs mereSWC eksamens-spørgsmål. Oversigt
SWC eksamens-spørgsmål Oversigt #1 Typer og variable #2 Aritmetik og logik #3 Klasser (definition, objekter) #4 Klasser (metoder) #5 Klasser (nedarvning, polymorfi) #6 Conditional statements #7 Repetition
Læs mere#AlleKanKode. Lektion 4 - Kontrol flow
#AlleKanKode Lektion 4 - Kontrol flow Disclaimer / Ansvarsfraskrivelse Alt du deler og siger mm bliver optaget. Lad være med at dele privat oplysninger, adgangskoder, kreditkort oplysninger osv. Andre
Læs mere#AlleKanKode. Lektion 2 - Konstanter og Variabler
#AlleKanKode Lektion 2 - Konstanter og Variabler Disclaimer / Ansvarsfraskrivelse Alt du deler og siger mm bliver optaget. Lad være med at dele privat oplysninger, adgangskoder, kreditkort oplysninger
Læs mereBrugertilfredshedsundersøgelse. december 2014. Hjemmeplejen i Faaborg-Midtfyn Kommune
Brugertilfredshedsundersøgelse december 2014 Hjemmeplejen i Faaborg-Midtfyn Kommune FORORD... 3 EN KVANTITATIV UNDERSØGELSE... 4 RESULTATER TILFREDSHED... 5 SAMLET TILFREDSHED... 5 TILFREDSHED MED DEN
Læs mere3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.
3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.
Læs mereIndhold i [ klammer ] er udeladt af redaktionen efter ønske fra Karin.
August 2006 - helt ind i hovedet på Karin Der er gået to måneder, siden Karin fik at vide, at hun er donorbarn. Det er august 2006, og hun sender denne mail til en veninde. Indhold i [ klammer ] er udeladt
Læs mereTransskription af interview med Chris (hospitalsklovn) den 12. november 2013
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Bilag E Transskription af interview med Chris (hospitalsklovn) den 12. november
Læs mereDanskernes syn på velfærd Survey foretaget af Userneeds for Forsikring & Pension
Danskernes syn på velfærd Survey foretaget af Userneeds for Forsikring & Pension Hvordan vil du vurdere, at servicen på nedenstående områder har udviklet sig de seneste år? 9 8 7 6 4 3 Servicen er blevet
Læs mereProgrammering i C. Lektion oktober 2008
Programmering i C Lektion 2 20 oktober 2008 Historie Processen At kompilere 2 / 23 Fra sidst 1 Historie 2 Processen 3 At kompilere Historie Processen At kompilere 3 / 23 ALGOL 60 1963 CPL 1966 BCPL 1969
Læs mereEn mand et parti og hans annoncer
En mand et parti og hans annoncer Anders Samuelsen formand for Liberal Alliance Når en dansk politiker annoncerer for et tocifret millionbeløb, så bliver det bemærket! Når en politiker kritiserer de andre
Læs mereJeg har i forbindelse med it og programmering designet og udviklet et it-produkt, som kan beregne rødder i en anden gradsligning.
Indhold Beregn rødder... 2 Beskrivelse af kærneproblemet... 2 Plan for brugerfladen for programmet... 3 Operationer på inddata... 4 Output - Beskrivelse af uddata... 4 Flowchart - programmets logiske opbygning/struktur...
Læs mereMed Jesus i båden -3
Med Jesus i båden -3 Jesus udfordrer Mål: Forklar børnene, at Jesus udfordrer dem, der vil leve med ham, så de kan lære at stole på ham. På denne måde kan Jesus gøre det umulige igennem os. Tekst: Matt.
Læs mere1. Og Gud så alt, hvad han havde gjort, og se, det var såre godt. 1.Mos. 1,31. 2. Herre. Jeg slipper dig ikke, før Du velsigner mig. 1.Mos.
1. Og Gud så alt, hvad han havde gjort, og se, det var såre godt. 1.Mos. 1,31 2. Herre. Jeg slipper dig ikke, før Du velsigner mig. 1.Mos. 32,27 3. Herren din Gud går selv med dig, han lader dig ikke i
Læs mereTjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser. 2007 udgave Varenr. 7520
Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge lokal løndannelse og ligeløn på offentlige arbejdspladser 2007 udgave Varenr. 7520 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning... 5 Introduktion
Læs mere