Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011"

Transkript

1 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion Om at identificere koefficienterne Løsningsmetode Om formler En advarsel Løsningsmetode Kvadrater At færdiggøre et kvadrat Fremgangsmåde

3 Resumé I dette dokument skal vi se hvordan man løser andengradsligninger. Der gives to forskellige løsningsmetoder. Den sidste er både den sværeste og den mest nyttige at lære. 1 Introduktion Vi starter med en definition af hvad vi vil snakke om: Definition 1. En andengradsligning er en ligning af typen: a x 2 + b x + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0, og x er den ukendte størrelse. De tre tal, a, b og c omtales som koefficienterne i andengradsligningen. Som sædvanligt vil vi udelade gangetegnene, så ligningen kommer til at se sådan ud: ax 2 + bx + c = 0 Eksempel 1. Når f.eks. a = 1, b = 2 og c = 3 har vi ligningen: x 2 + 2x + 3 = 0 Bemærk at når a, b og c er negative, så kan ligningen se lidt anderledes ud. Hvis f.eks. a = 1, b = 2 og c = 4 svarer det til ligningen: x 2 2x 4 = 0 side 1

4 Forudsætninger: Inden du læser dokumentet skal du kunne læse et kompliceret regneudtryk, og du skal vide hvad en ligning er 1. Desuden skal du være rimeligt rutineret i at løse simple ligninger 2 for at forstå den sidste af metoderne. 1.1 Om at identificere koefficienterne Det kan nogle gange være en udfordring at gennemskue hvilke tal der spiller rollen som koefficienterne, a, b og c i en given andengradsligning. Det giver vi lige nogle eksempler på: Eksempel 2 (Fortegn). Det første problem kan være fortegnet af koefficienterne. Bemærk at løsningsmetoden handler om ligninger af typen: ax 2 + bx + c = 0 altså hvor der står plus imellem alle leddene! Det betyder at ligningen: 5x 2 2x 6 = 0 ikke umiddelbart er af den rigtige type. Men hvis man tænker på alle minus-operationerne som et fortegnsskift og et plus 3, kan man skrive ligningen som: ( 5)x 2 + ( 2)x + ( 6) = 0 og nu er det meget nemt at genkende at ligningen som en andengradsligning af den omtalte type, nemlig med koefficienterne: a = 5, b = 2 og c = 6 1 Læs om udtryk og ligninger her 2 Læs om løsning af simple ligninger her side 2

5 Eksempel 3 (Nuller og ettaller). Nogle gange kan tingene blive så nemme at man bliver forvirret. Læg mærke til at hvis en af koefficienterne er lig 1, så behøver man ikke skrive den. Således er ligningen: præcis den samme som: x 2 x + 2 = 0 1x 2 1x + 2 = 0 Hvis man møder ligningen på den første form kan man nogle gange have svært ved at gennemskue at koefficienterne er: a = 1, b = 1 og c = 2 Nogle elever kan endda finde på at tro at a eller b er nul, fordi de slet ikke er der. Derfor er det en god ide selv at gange nogle usynlige et-taller på de led som ikke har en koefficient. Tilsvarende kan det også volde problemer hvis en af koefficienterne er lig nul. (Bemærk at a aldrig må være nul, fordi der slet ikke er tale om en andengradsligning i det tilfælde.) F.eks. er ligningen: præcis den samme som: 2x 2 = 0 2x 2 + 0x + 0 = 0 Men hvis man skriver de to usynlige nuller bliver det meget lettere at gennemskue hvad de enkelte koefficienter er. Eksempel 4 (Omskrivninger). Et sidste problem er at mange andengradsligninger opstår på en form side 3

6 som slet ikke ligner den rigtige. Betragt f.eks. ligningen: 6x x 5x 2 + 2x = 4 Den er slet ikke på den rigtige form: Der er alt for mange led, og der står ikke nul på højresiden af lighedstegnet. Dette kan dog hurtigt ordnes ved at lave nogle omskrivninger af ligningen: 6x x 5x 2 + 2x = 4 dvs. (Idet vi trækker 4 fra begge sider): dvs. (Idet vi ombytter nogle led): 6x x 5x 2 + 2x 4 = 0 6x 2 5x 2 x + 2x = 0 dvs. (Idet samler led af samme type): x 2 + 1x + 0 = 0 Og nu er ligningen på den rigtige form. 2 Løsningsmetode 1 Den første løsningsmetode kaldes normalt for diskriminantformlen. Det er fordi den benytter en hjælpestørrelse som vi kalder diskriminanten 4. 4 Ordet diskriminant er i familie med det kendte ord at diskriminere som betyder at forskelsbehandle eller gøre forskel. Og det er netop hvad diskriminanten gør: Den sørger for at vi behandler andengradspolynomiet forskelligt, alt efter om diskriminanten er positiv, negativ eller nul. side 4

7 Definition 2. Til en andengradsligning: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse, knytter vi en hjælpestørrelse ved navn diskriminanten. Den er defineret ved: d = b 2 4ac Eksempel 5. Hvis f.eks. a = 3, b = 2 og c = 1, så ser andengradsligningen ud som følgende: 3x 2 2x 1 = 0 og ligningens diskriminant er lig med: d = b 2 4ac = ( 2) ( 1) = 4 ( 12) = 16 Bemærk at man skal passe godt på med fortegnsfejl når man beregner diskriminanter. Sætning 3. En andengradsligningen af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har enten 2 løsninger, 1 løsning eller slet ingen løsninger. side 5

8 Diskriminanten: d = b 2 4ac afgør antallet af løsninger: Hvis d < 0 er der ingen løsninger. Hvis d = 0 er der 1 løsning. Hvis d > 0 er der 2 løsninger. Eksempel 6. Ligningen fra eksempel 5 har således 2 løsninger. Sætning 4. En andengradsligning af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har følgende løsninger: Hvis d = b 2 4ac er negativ er der ingen løsninger. Hvis d = b 2 4ac er lig nul er den eneste løsning givet ved: x = b 2a Hvis d = b 2 4ac er positiv er de to løsninger givet ved: x = b ± d 2a Eksempel 7. Vi kan bestemme de to løsninger til ligningen fra eksempel 5: side 6

9 og: x 1 = ( 2) x 2 = ( 2) = = 1 = = 1 3 (Prøv selv at indsætte disse to værdier i ligningen for at se at de er løsninger.) Der er flere måder at skrive konklusionen på. Ovenfor har vi valgt at give de to løsninger hver sit navn hvilket er meget fornuftigt hvis de skal bruges senere. Alternativt kunne man også bare have skrevet de mulige løsninger til ligningen som at: x = 1 x = 1 3 Bemærk at det er lidt sværere at få mellemregningerne til at passe med denne opskrivning. Øvelse 1. Løs følgende andengradsligninger: 3x 2 + 6x + 1 = 0 2x 2 + x + 10 = 0 x 2 + 2x + 1 = 0 x 2 + x + 2 = 0 Find selv på flere... side 7

10 2.1 Om formler En advarsel Nu kan vi løse andengradsligninger. Og hvad så? Det kunne lommeregneren allerede i forvejen, og ved at indtaste ligningen direkte i lommeregneren, slipper man endda for at skulle identificere koefficienterne. Det er en ufatteligt udbredt misforståelse at matematik handler om at finde den rigtige formel og sætte tal ind! Hvis man overførte denne opfattelse til en pilotuddannelse, ville det svare til at de nye piloter lærte udenad i hvilken rækkefølge de skulle trykke på knapper og trække i håndtag for at flyve fra København til Moskva. Uden de nogensinde fik forklaret hvad de enkelte knapper og håndtag gjorde ved flyet. Personligt ville jeg ikke bryde mig om at flyve med en sådan pilot hvis der skulle ske noget uforudset. Eller hvis jeg i virkeligheden ikke skulle til Moskva. Det interessante er selvfølgelig ikke at regne løsningerne ud til en konkret ligning, men derimod at forstå hvorfor løsningerne opfører sig på den måde som de gør, og hvordan løsningsmetoden er opstået, fordi det er dén slags lærdom som senere kan bruges til at forstå andre situationer. For at komme i nærheden af en sådan forståelse er der en anden løsningsmetode, som vi vil gennemgå i næste afsnit. Præcis den samme metode viser sig at kunne genbruges i forbindelse med arbejdet med cirkler i planen. 3 Løsningsmetode 2 Den anden løsningsmetode er ikke en formel, men derimod en teknik til at omskrive en andengradsligning til en simpel ligning. Derefter kan den løses ved hjælp af fremgangsmåden for simple ligninger. Hele teknikken bygger på følgende begreb: 3.1 Kvadrater Tricket som vi skal bruge tager udgangspunkt i de to første kvadratsætninger: side 8

11 Sætning 5 (Kvadratsætning 1). For vilkårlige reelle tal, a og b gælder: (a + b) 2 = a 2 + b a b. Sætning 6 (Kvadratsætning 2). For vilkårlige reelle tal, a og b gælder: (a b) 2 = a 2 + b 2 2 a b. Disse to sætninger siger at hvis man nogensinde ser en parentes med to led (enten en sum eller en differens) hvor hele parentesen er opløftet i anden potens, så kan det omskrives til det første led i anden potens plus det andet led i anden potens plus (eller minus) det såkaldte dobbelte produkt af de to led; Altså de to led ganget sammen og ganget med 2. Definition 7. I det følgende vil vi omtale en sådan parentes med to led, hvor hele parentesen er opløftet i anden potens, som et kvadrat 5. og F.eks. kan vi udregne kvadraterne: (1 + 2) 2 = = = 9 (6 4) 2 = = = 4 Indtil videre er kvadratsætningerne bare en ekstra besværlig måde at regne regnestykker ud på. Men det bliver mere interessant når det ene led er en ukendt størrelse. F.eks. er: (x + 3) 2 = x x 3 = x 2 + 6x + 9 side 9

12 Pointen i den metode som hedder at færdiggøre kvadratet 6 er at man kan bruge denne omskrivning baglæns! Det betyder, at hvis man nogensinde møder følgende udtryk: så ved vi at det kan omskrives til: x 2 + 6x + 9 (x + 3) 2 (hvis vi ellers kan huske at have lavet udregningen ovenover). Det samme kan gøres med mange andre udtryk som ofte findes på venstre side af lighedstegnet i en andengradsligning. Øvelse 2. Omskriv udtrykket: til et kvadrat. x 2 6x + 9 Desværre er det ikke alle udtryk af typen: ax 2 + bx + c som kan omskrives til et kvadrat. Lad os se hvad der kommer ud af kvadratsætningerne hvis man vælger et tilfældigt tal, t og udregner udtrykket: (x + t) 2 = x 2 + t 2 + 2t x = x 2 + (2t)x + (t 2 ) Hvis dette skal være lig med et udtryk af typen: kan vi altså se at: ax 2 + bx + c 6 På engelsk: finishing the square. Det bliver senere klart hvorfor metoden hedder sådan side 10

13 1. Koefficienten a skal være lig med Koefficienten b skal være lig med 2t 3. Koefficienten c skal være lig med t 2 Det første krav er ganske klart. Men de to andre krav hænger sammen: Man skal altså kunne vælge t sådan at begge krav er opfyldt på en gang. Ellers kan omskrivningen ikke lade sig gøre. Eksempel 8. Betragt udtrykket: x 2 9x Eftersom koeffecienten foran x 2 er lig 1, er det første krav i orden. Hvis det andet krav skal opfyldes, er vi nødt til at sætte t til at være halvdelen af 9, altså 9 2. Nu er det så spørgsmålet om dette passer med det tredie krav. Vi udregner: ( t 2 = 9 ) 2 = Så det passer perfekt! Vi kan altså omskrive vores udtryk til: ( ( x + 2)) 9 2 ( = x 9 ) 2 2 (Kontroller selv at dette passer ved at bruge en kvadratsætning forlæns.) Øvelse 3. Omkriv følgende udtryk til kvadrater: 1. x 2 + 8x x 2 8x + 16 side 11

14 3. x 2 + 7x x 2 x Til gengæld kan ingen af følgende udtryk omskrives til et kvadrat: 3x 2 + 2x + 1 x 2 + 6x + 2 x 2 6x + 2 x 2 + 6x 9 Det første kan allerede udelukkes fordi koefficienten foran x 2 ikke er 1 (den er lig 3). Det næste udtryk kan udelukkes fordi der ikke findes noget tal t som både giver 6 når det ganges med 2 og giver 2 når det opløftes i anden potens. (t skulle jo være lig 3 for at det første skulle passe, og 3 2 giver ikke 2.) Det tredie kan på samme måde udelukkes fordi t her skulle være 3 for at sikre at 2t blev 6, men ( 3) 2 giver ikke 2. Det sidste udtryk kan udelukkes øjeblikkeligt fordi der ikke findes noget tal t der giver 9 når det opløftes i anden potens. 3.2 At færdiggøre et kvadrat Lad os kigge på udtrykket: x 2 + 6x + 2 I sidste afsnit så vi at dette ikke kunne omskrives til et kvadrat, altså et udtryk af typen: (x + t) 2 hvor t er et passende valgt tal. Dette var fordi t både skulle opfylde at 2t = 6 og t 2 = 2, og det kunne ikke lade sig gøre. I stedet findes der et trick som kaldes at færdiggøre kvadratet. Det går ud på følgende: I det omtalte eksempel kunne vi sætte t til at være halvdelen af 6, altså t = 3. Dette ville dog ikke passe med kravet om at side 12

15 t 2 = 2, fordi t 2 giver 9. Tricket er nu at vi lægger 9 til og trækker 9 fra! Vi skriver altså udtrykket som: x 2 + 6x Kan du se hvorfor det er smart? For det første har vi intet ændret på udtrykket: Hvis man lægger 9 til og trækker 9 fra bagefter har man intet gjort. Men for det andet har vi nu de tre første led som passer perfekt med et kvadrat. Derfor kan vi omskrive: x 2 + 6x + 2 = x 2 + 6x = (x + 3) = (x + 3) 2 7 Vi har altså omskrevet det oprindelige udtryk til et kvadrat plus et tal der blev til overs (i dette tilfælde 7). Denne proces kaldes at færdiggøre kvadratet, og det kan lade sig gøre med alle udtryk af typen: hvis blot a = 1. ax 2 + bx + x Eksempel 9. Betragt udtrykket: x 2 5x + 8 Hvis dette skulle omskrives til et kvadrat: så ville (x + t) 2 t = 5 2 umiddelbart passe med at det dobbelte produkt giver: 2t x = 5x side 13

16 Desværre giver t 2 ikke 8, men derimod: ( t 2 = 5 ) 2 = Derfor omskriver vi det oprindelige udtryk til: x 2 5x + 8 = x 2 5x Og nu passer de tre første led perfekt med et kvadrat. Derfor kan vi omskrive til: x 2 5x + 8 = x 2 5x ( ( = x + 5 )) ( = x 5 ) ( = x 5 ) Øvelse 4. Færdiggør kvadratet i følgende udtryk: x 2 + 2x + 19 x 2 + 6x + 2 x 2 6x + 2 x 2 + 6x 9 x 2 + x side 14

17 3.3 Fremgangsmåde Nu kan vi give en fremgangsmåde som kan bruges til at løse andengradsligninger, uden brug af formler: Sætning 8. Enhver andengradsligning af typen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse kan løses efter følgende fremgangsmåde: 1: Divider med a på begge sider. 2: Færddiggør kvadratet. 3: Løs en simpel ligning. Husk at tage højde for at der kan være to løsninger. Eksempel 10. Vi vil løse ligningen: 3x 2 + 9x 15 = 0 Vi starter med at dividere med 3 på begge sider. Dermed ser ligningen ud på følgende måde: x 2 + 3x 5 = 0 Herefter sætter vi t til at være 3 2 og udregner: t 2 = 9 4 Dette lægges til og trækkes fra i udtrykket på venstre side: x 2 + 3x = 0 side 15

18 De tre første led er et kvadrat, så vi omskriver: dvs. ( ( x + 3 ) = 0 x ) = 0 dvs. ( dvs. x ) 2 = 29 4 x = 29 4 x = 29 4 dvs. x = x = Øvelse 5. Løs ligningerne fra opgave 1 ved anvendelse af løsningsmetode 2. side 16

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger Simple udtryk og ligninger 009 Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt at slå op i under dit videre arbejde med

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Differentiation i praksis

Differentiation i praksis Differentiation i praksis Frank Villa 7. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Her er der en kort introduktion til forskellige teknikker efterfulgt af opgaver hvor man kan

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver

Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg.

4. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitliste) - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. . Hvad er brøker?. Elementær brøkregning - En introduktion med opgaver (og facitlist - En brøk er to tal (eller bogstavudtryk), som adskilles af en brøkstreg. Tallet øverst i brøken kaldes tælleren. Tallet

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 12. april 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette okument må kun anvenes til unervisning i klasser som aonnerer på MatBog.k. Se yerligere etingelser for rug her. Bemærk: Dette er en arkiveret

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Excel-2: Videre med formler

Excel-2: Videre med formler Excel-2: Videre med formler Tips: Du kan bruge Fortryd-knappen ligesom i Word! Du kan markere flere celler, som ikke ligger ved siden af hinanden ved at holde CONTROL-knappen nede Du kan slette indholdet

Læs mere

Grundlæggende regneteknik

Grundlæggende regneteknik Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 13. november 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul

GrundlÄggende. Bogstavregning. for stx og hf Karsten Juul GrundlÄggende Bogstavregning for st og hf 01 Karsten Juul 1. LigevÄgt bevares når vi träkker fra begge sider... 1. LigevÄgt bevares IKKE når vi träkker fra venstre side... 1. LigevÄgt bevares når vi dividerer

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik på VUC Modul 2 Opgaver

Matematik på VUC Modul 2 Opgaver Matematik på VUC Modul Opgaver Talgymnastik Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Regning med negative tal... Parenteser...7 Brøkstreger...9 Tekst og regnestykker - hvad

Læs mere

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER

ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER ALMINDELIGT ANVENDTE FUNKTIONER I dette kapitel gennemgås de almindelige regnefunktioner, samt en række af de mest nødvendige redigerings- og formateringsfunktioner. De øvrige redigerings- og formateringsfunktioner

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Symbolsprog og Variabelsammenhænge

Symbolsprog og Variabelsammenhænge Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Villa 3. juli 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX

MATEMATIK NOTAT 2. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX MATEMATIK NOTAT. GRADSLIGNINGEN AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: MAJ 04 Michel Mandi (00).Gradsligningen Side af 9 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... INTRODUKTION:... 3 KOEFFICIENTER...

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Tal og Regneoperationer

Tal og Regneoperationer Tal og Regneoperationer Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011

ULULU. (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser. 20. april 2011 ULULU (Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder) Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik

Matematik i Word. En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links. Kom godt i gang med Word Matematik. At regne i Word Matematik Matematik i Word En manual til elever og andet godtfolk. Indhold med hurtig-links Kom godt i gang med Word Matematik At regne i Word Matematik Kom godt i gang med WordMat Opsætning, redigering og kommunikationsværdi

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus og minus... Gange og division... Plus, minus, gange og division... Negative tal...7 Parenteser...9 Brøkstreger...1 Tekst og regnestykker hvad passer sammen?... Potenser...

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere