Introduktion til grafer. Introduktion til grafer. Visualisering af internettet. Uorienterede grafer

Transkript

1 Philip Bille Uorienterede grafer Viualiering af internettet Uorienteret graf (undirected graph). Mængde af knuder (vertice) forbundet parvi med kanter (edge). knude kant Hvorfor grafer? Modellerer naturligt mange problemer i mange forkellige områder. Tuindvi af praktike anvendeler. Hundredevi af kendte grafalgoritmer.

2 Viualiering af Facebook venkaber Tube map Metro London Cheham Chalfont & Latimer Amerham Watford A Rickmanworth Ruilip Manor Ruilip Garden Edgware Stanmore Harrow & Wealdtone Harrowon-the-Hill Northwick Wet Harrow South Harrow Queenbury Preton Kingbury Sudbury Hill Stonebridge Willeden Junction Kenal Rie Alperton Queen Greenford Kilburn High Kilburn Maida Vale Warwick Avenue Wet Acton North Acton Acton Central Ealing Common South Acton D Acton Town Chiwick Shepherd Buh White City Wood Lane Shepherd Buh Market Goldhawk Hammermith Wet Kenington Kew Garden Richmond Heathrow Terminal Queenway Glouceter Charing Cro Vauxhall Clapham Junction Tooting Broadway Collier Wood South Wimbledon "Viualizing friendhip", Paul Butler Protein interaktionnetværk Protein-protein interaktionnetværk, Jeong et al, Nature Review Genetic MAYOR OF LONDON Cutom Houe for ExCeL Prince Regent Royal Albert Wet Silvertown Croharbour Mudchute D Beckton Cypru North Greenwich Emirate Greenwich Peninula Pontoon Dock Gallion Reach London City Airport Beckton King George V Queen Peckham Elephant & Catle Peckham Rye Stockwell New Cro Woolwich Arenal E Lewiham Hammermith & City Jubilee Metropolitan Sydenham Northern Piccadilly Anerley F Norwood Junction Wet Croydon Central Ditrict Ditrict open weekend, public holiday and ome Olympia event Foret Hill Crytal Palace Bakerloo Circle Elveron Honor Oak Denmark Hill Greenwich Deptford Bridge Brockley Bank Waterloo & City line open between Bank and Waterloo - Monday to Friday and - Saturday. Between Waterloo and Bank - Monday to Friday and - Saturday. Cloed Sunday and Public Holiday Camden Town Sunday - open for interchange and exit only Canary Wharf Step-free interchange between Underground, Canary Wharf DLR and Heron Quay DLR tation at treet level Cannon Open until Monday to Friday and - Saturday. Cloed Sunday Embankment Bakerloo and Northern line train will not top at thi tation from early January until early November Emirate Greenwich Peninula and Emirate Royal Dock Special fare apply. Open - Monday to Friday, - Saturday, - Sunday and - Public Holiday. Opening hour are extended by one hour in the evening after April and may be extended on certain event day. Pleae check cloe to the time of travel Heron Quay Step-free interchange between Heron Quay and Canary Wharf Underground tation at treet level Hounlow Wet Step-free acce for manual wheelchair only Kilburn No tep-free acce from late January until mid May Stanmore Step-free acce via a teep ramp Turnham Green Served by Piccadilly line train until Monday to Saturday, Sunday and after every evening. At other time ue Ditrict line Waterloo Waterloo & City line open between Bank and Waterloo - Monday to Friday and - Saturday. Between Waterloo and Bank - Monday to Friday and - Saturday. Cloed Sunday and Public Holiday. No tep-free acce from late January until late July Wet India Quay Not erved by DLR train from Bank toward Lewiham before on Monday to Friday Key to line Cutty Sark for Maritime Greenwich New Cro Gate Penge Wet Tooting Bec Emirate Royal Dock Iland Garden Brixton Balham Morden South Quay Surrey Quay Clapham Common F Heron Quay Borough Kennington Royal Victoria Eat India Canary Wharf Canada Water Southwark Lambeth North Oval Wandworth Bermondey Canning Town Blackwall Wet India Quay Wapping Rotherhithe London Bridge Star Lane Langdon All Saint Poplar C Upton Wet Ham Devon Wetferry Limehoue Tower Gateway Upney Barking Eat Ham Plaitow Bromleyby-Bow Stepney Green Whitechapel Shadwell River Thame Embankment Pimlico Imperial Wharf Aldgate Eat Becontree Woodgrange Abbey Bow Aldgate Tower Hill Fenchurch Temple Wetminter Clapham South Monument Blackfriar Clapham North Bank Cannon Manion Houe Clapham High St. Paul Holborn Elm Dagenham Heathway Stratford Mile End B Hornchurch Stratford High Shoreditch High Upminter Upminter Bridge Dagenham Eat Wantead Hackney Wick Bow Church Waterloo Wimbledon Tranport for London Liverpool Moorgate Gant Hill Leytontone High Leyton Pudding Mill Lane Bethnal Green Old Barbican Leiceter Square St. Jame Barkingide Newbury Wantead Stratford International Dalton Junction A Fairlop Leytontone Leyton Midland Hackney Central Canonbury Homerton Covent Garden Victoria Walthamtow Queen Grange Hill Redbridge Walthamtow Central Dalton Kingland Hoxton Farringdon Snarebrook Blackhore Tottenham Hale Haggerton Chancery Lane Tottenham Court Sloane Square South Kenington Caledonian & Barnbury Ruell Square Piccadilly Circu Eat Putney Wimbledon Highbury & Ilington King Cro St. Pancra Euton Square Green Putney Bridge Southfield Mornington Crecent Goodge Marble Arch Fulham Broadway Paron Green Kentih Town Camden Angel Oxford Circu Hyde Corner Finbury Euton Warren Bond Knightbridge Earl Court South Tottenham Arenal Holloway Kentih Town Wet Camden Town Great Portland Baker Check before you travel Chigwell Hainault South Woodford Seven Siter Manor Houe Upper Holloway Chalk Farm Regent Lancater Gate High Kenington Turnpike Lane Archway Tufnell Baywater Gunnerbury Hounlow Central Hatton Cro Heathrow Terminal,, Heathrow Terminal St. John Wood Wet Brompton Hounlow Eat Hounlow Wet Holland Baron Court Turnham Stamford Ravencourt Brook Green Oterley E Swi Cottage Edgware Marylebone Notting Hill Gate Kenington (Olympia) Finchley South Hamptead Roding Valley Woodford Harringay Green Lane Crouch Hill Highgate Gopel Oak Hamptead Heath Buckhurt Hill Arno Grove Bound Green Caledonian Wet Hamptead Debden Loughton Southgate Wet Finchley Finchley Central Belize Kilburn Edgware Ladbroke Grove Latimer Eat Acton Ealing Broadway South Ealing Paddington Wetbourne Royal North Ealing Northfield Hamptead Finchley & Frognal Royal Oak Hanger Lane Boton Manor Brent Cro Brondebury Kenal Green Perivale Hendon Central Brondebury Oakwood Woodide Mill Hill Eat Dolli Hill Willeden Green Harleden Cockfoter Wood Green Golder Green Sudbury Town High Barnet Totteridge & Whettone Eat Finchley Neaden Wembley Epping Colindale South Kenton North Wembley Wembley Central Northolt Burnt Oak Canon Kenton Theydon Boi Hatch End Headtone Lane North Harrow Rayner Lane C Carpender Pinner Eatcote South Ruilip B Buhey Northwood Northwood Hill Ruilip Ickenham Watford Junction Watford High Moor Wet Ruilip Hillingdon Uxbridge Special fare apply Croxley Chorleywood Victoria Waterloo & City DLR London Overground Thi diagram i an evolution of the original deign conceived in by Harry Beck Correct at time of going to print, December London metro, London Tranport Grafanvendeler graf knuder kanter kommunikation computer kabel tranport vejkryd vej tranport lufthavn fly pil poition lovligt træk neuralt netværk neuron ynape finannetværk valuta, aktier tranaktioner kredløb logike porte forbindele fødekæde dyrearter rovdyr-byttedyr molekyle atom bindinger Emirate Air Line

3 Terminologi Uorienteret graf. G = (V, E) V = mængde af knuder E = mængde af kanter (par af knuder) n = V, m = E Sti/vej (path). Sekven af knuder forbundet af kanter. Kred (cycle). Sti hvi tart- og lutknude er en. Grad (degree). deg(v) = antal naboer af v = antal kanter incidente med v. Sammenhæng (connectivity). To knuder er forbundne hvi der er en vej i mellem dem V = {,,,,} deg() = E = {(,), (,) (,),(,),, (,)} ti fra til n =, m = kred Uorienterede grafer Lemma. deg(v) = m. v V Bevi. Hvor mange gange tælle kant med i um? Algoritmike problemer på grafer Vej. Finde der en ti mellem og t? Kortete vej. Hvad er den kortete vej mellem og t? Længte vej. Hvad er den længte vej mellem og t? Kred. Er der en kred i grafen? Eulertur. Er der en kred, der benytter hver kant netop en gang? Hamiltontur. Er der en kred, der benytter hver knude netop en gang? Sammenhæng. Er det muligt at forbinde alle knuder med en ti? Mindte udpændende træ. Hvad er den bedte måde at forbinde alle knuder på? Toammenhæng. Er der en knude hvi fjernele gør grafen uammenhængende? Planaritet. Er det muligt at tegne grafen i planen uden kanter der kryder? Grafiomorfi. Repræenterer to mængde af knuder og kanter amme graf?

4 Repræentation G graf med n knuder og m kanter.. Vi kal bruge følgende operationer på grafer. ADJACENT(v, u): afgør om knude v og u er naboer. NEIGHBORS(v): returner alle naboer af v. INSERT(v, u): tilføj kant (v, u) til G (medmindre den allerede finde). Incidenmatrix Graf G med n knuder og m kanter. Incidenmatrix (adjacency matrix). D n n tabel A. A[i,j] = hvi i og j er naboer og eller. Komplekitet? Plad. O(n ) Tid. ADJACENT i O() tid NEIGHBORS(v) i O(n) tid. INSERT(v, u) i O() tid. Incidenlite Repræentation Graf G med n knuder og m kanter. Incidenlite (adjacency lit). Tabel A[..n-]. A[i] indeholder lite af naboer af i. Komplekitet? Plad. O(n + v V deg(v)) = O(n + m) Tid. ADJACENT, NEIGHBORS OG INSERT i O(deg(v)) tid. Datatruktur ADJACENT NEIGHBORS INSERT Plad incidenmatrix O() O(n) O() O(n ) incidenlite O(deg(v)) O(deg(v)) O(deg(v)) O(n+m) I den virkelige verden er grafer ofte tynde.

5 Dybdeført øgning Algoritme til ytematik at udforke alle knuder og kanter i en graf. (depth-firt earch) fra knude. Lad alle knuder være umarkede og beøg knude. Beøg knude v: Intuition. Marker v. Beøg alle umarkede naboer af v rekurivt. Udfork ud fra i en retning indtil vi når blindgyde. Gå tilbage til idte knude hvor der var flere uudforkede kanter og fortæt på amme måde. Starttid (dicovery-time). Førte gang vi beøger en knude i rekurionen. Sluttid (finih-time). Sidte gang vi beøger en knude i rekurionen. Dybdeført øgning Opgave. Kør DFS fra knude og angiv tart- og luttider. Antag incidenliterne er orterede. Dybdeført øgning DFS() time = DFS-VISIT() DFS-VISIT(v) v.d = time++ marker v for alle umarkerede naboer u DFS-VISIT(u) u.π = v v.f = time++ Tid. (på incidenliterepræentation) Rekurion bliver kaldt på hver knude højt een gang. O(deg(v)) tid ved knude v. i alt O(n + deg(v)) = O(n + m) tid. v V Kun knuder forbundet til bliver beøgt.

6 Farveudfyldning Farveudfyldning (flood fill). Skift farve på ammenhængende område af grønne pixel. Sammenhængkomponenter Def. Et ammenhængkomponent (connected component) er en makimal delmængder af ammenhængende knuder. Algoritme. Byg en gittergraf og kør DFS. Knude: pixel. Kant: mellem nabopixel af amme farve Område: alle knude forbundet til en given knude. Hvordan finder vi alle ammenhængkomponenter? Algoritme. Lad alle knuder være umarkede. Sålænge der finde en umarkeret knude: Vælg en umarkeret knude v og kør DFS på v. Tid. O(n + m). Breddeført øgning (breadth-firt earch) fra. Lad alle knuder være umarkede. Marker og tilføj til kø K. Sålænge K ikke er tom: Udtag knude v fra K. For alle umarkede naboer u af v Marker u. Tilføj u til K. Intuition. Udfork ud fra i alle retninger i tigende aftand fra. Kortete veje fra. Aftand fra i BFS træ = kortete aftand fra i graf.

7 Breddeført øgning Opgave. Kør BFS fra knude og angiv kortete veje. Antag incidenliterne er orterede. Kortete veje Lemma. BFS beregner længden af den kortete vej fra til alle andre knuder. Intuition. BFS inddeler knuder i lag (layer). Lag i indeholder knude med aftand i fra i BFS-træ. L L L Hvad indeholder lagene? L = {} L L = alle naboer til L. L = alle naboer til L der ikke er naboer til L L = alle naboer til L der ikke er naboer til L og L. Li = alle naboer til Li- der ikke er naboer til Lj for j < i- = alle knuder med aftand i til. Breddeførtøgning BFS() marker.d = K.ENQUEUE() gentag indtil K er tom v = K.DEQUEUE() for alle umarkede naboer u marker u u.d = v.d + u.π = v K.ENQUEUE(u) Tid. (på incidenliterepræentation) Knude beøge højt een gang. O(deg(v)) tid ved knude v. i alt O(n + v V deg(v)) = O(n + m) tid. Kun knuder forbundet til bliver beøgt.

8 Todelte grafer Def. En graf G er todelt (bipartite) hvi og kun hvi alle knuder kan farve røde eller blå ålede at alle kanter har et rødt og et blåt endepunkt. Alternativt def. En graf G er todelt hvi og kun hvi knuder kan dele i to mængder V og V å alle kanter går mellem V og V. Todelte grafer Udfordring. Givet en graf G, afgør om G er todelt. Anvendeler. Kodning, kedulering, matching,. Mange grafproblemer er nemmere på todelte grafer. Todelte grafer Lemma. En graf G er todelt hvi og kun hvi alle krede i G har lige længde. Bevi. Hvi todelt å tarter og lutter alle krede i amme ide. Todelte grafer Lemma. En graf G er todelt hvi og kun hvi alle krede i G har lige længde. Bevi. Vælg knude v og BFS lag L, L,, Lk. Alle kred har lige længde Der er ingen kant mellem to knuder i amme lag Vi kan farve lag kiftevi G er todelt.

9 Todelte grafer Grafalgoritmer Algoritme. Kør BFS på G. For hver kant i G underøg om den er mellem knuder i amme lag. L L L L Algoritme Tid Plad Dybdeført øgning O(n + m) O(n + m) Breddeført øgning O(n + m) O(n + m) Tid. O(n + m) Sammenhængkomponenter O(n + m) O(n + m) Todelte grafer O(n + m) O(n + m) Antager G er givet i incidenliterepræentation L L L L