Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Transkript

1 Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes en kant. Definition (Multi-graf): En Multi-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E {{u, v} u, v V, u v}. Elementerne i E kaldes kanter og hvis e 1 og e 2 er forskellige kanter så f(e 1 ) = f(e 2 ) da kaldes disse kanter multiple eller parallelle. Hvis u, v V for en multigraph G = (V, E) da siges at {u, v} er en kant i G hvis der findes en kant e så f(e) = {u, v}. 1

2 Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E {{u, v} u, v V }. En kant e hvor f(e) = {v, v} for et punkt v V kaldes en løkke. Definition (Orienteret graf): En orienteret graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af ordnede par af elementer fra V. Et element fra E kaldes en kant. Definition (Orienteret multi-graf): En orienteret multi-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E {(u, v) u, v V }. Elementerne i E kaldes kanter 2

3 Definition (nabopunkter og incidens): I en ikke-orienteret graf G = (V, E) siges to punkter u og v at være naboer hvis {u, v} E. En kant e = {u, v} E siges at være incident med punkterne u og v. Definition (valens): valensen (graden) af et punkt v i en ikke-orienteret graf G er antallet af kanter i G incidente med v plus antallet af løkker i G incidente med v. sætning: For en ikke-orienteret graf G = (V, E) gælder at 2 E = v V deg(v). korollar: En ikke-orienteret graf G = (V, E) har et lige antal punkter med ulige valens. 3

4 Definition (nabopunkter og incidens): Hvis (u, v) er en kant i en orienteret graf da siges at u er nabo til v og v er nabo fra u (adjacent to og adjacent from). En kant (u, v) siges at gå fra u til v. Definition (valens i orienteret graf): For et punkt v i en orienteret graf G defineres deg (v) som antallet af kanter der går til v og deg + (v) defineres som antallet af kanter der går fra v. sætning: For en orienteret graf G = (V, E) gælder at E = v V deg (v) = v V deg + (v). Eksempler på familier af grafer : Komplette grafer, kredse, hjul, n-cubes, todelte grafer, komplette todelte grafer. Definition (Delgraf): En delgraf af en graf G=(V,E) er en graf H = (V, E ) hvor V V og E E. 4

5 Definition (foreningsgraf): Foreningen af to grafer G = (V, E) og G = (V, E ) er grafen G = (V V, E E). Måde hvorpå en graf kan repræsenters af en computer : kant-lister nabomatrice incidensmatrice Definition (isomorfi): To simple grafer G = (V, E) og G = (V, E ) siges at være isomorfe hvis der findes en funktion f : V V så f er en bijektion hvorom det gælder at a og b er naboer i G hvis og kun hvis f(a) og f(b) er naboer i G. f kaldes da en isomorfi. 5

6 Sammenhæng i grafer Definition: Lad n være et ikke-negativt heltal og lad G være en ikke-orienteret graf. En sti af længde n fra u til v er da en følge af kanter e 1, e 2,...,e n fra G så f(e 1 ) = {x 0, x 1 }, f(e 2 ) = {x 1, x 2 },...,f(e n ) = {x n 1, x n } hvor x 0 = u og x n = v (Hvis G er en simpel graf betegnes denne sti også som x 0, x 1,...,x n ). Hvis u = v og n > 0 da kaldes stien også en kreds. En sti eller kreds siges at være simpel hvis enhver kant højst indgår en gang deri. Definition: En ikke-orienteret graf kaldes sammenhængende hvis der findes en sti mellem ethvert par af punkter i grafen. Sætning: Hvis G er en ikke-orienteret sammenhængende graf da findes i G en vej mellem ethvert par af forskellige punkter, således denne vej højst passere et punkt en gang. 6

7 Definition: Lad n være et ikke-negativt heltal og lad G være en orienteret multigraf. En sti af længde n fra u til v er da en følge af kanter e 1, e 2,...,e n fra G så f(e 1 ) = (x 0, x 1 ), f(e 2 ) = (x 1, x 2 ),...,f(e n ) = (x n 1, x n ) hvor x 0 = u og x n = v (Hvis G ikke har multiple kanter da betegnes denne sti også som x 0, x 1,...,x n ). Hvis u = v og n > 0 da kaldes stien også en kreds. En sti eller kreds siges at være simpel hvis enhver kant højst indgår en gang deri. Definition: En orienteret graf G kaldes stærkt sammenhængende hvis der for ethvert par af punkter a og b i G findes en vej fra a til b samt en vej fra b til a. Definition: En orienteret graf G kaldes svagt sammenhængende hvis den underlæggende ikke-orienterede graf er sammenhængende. 7

8 Euler-stier og kredse Definition: En euler sti i en graf G er en simpel sti i G som indeholder alle kanter fra G. En euler kreds i G er en simpel kreds i G som indeholder alle kanter fra G. Sætning: En sammenhængende graf har en euler kreds hvis og kun hvis alle punkter i grafen har lige valens. 8

9 1. procedure eulerkreds(g: samh. graf hvori alle punkter har lige valens) 2. kreds := en kreds i G opnået ved for et vilkårligt punkt v i G at lave en sti startende i dette punkt og derefter tilføje nye mulige kanter til denne sti indtil dette ikke længere er muligt.. 3. H:= G hvor kanterne fra kreds er fjernet. 4. while H indeholder kanter do 5. delkreds:= en kreds i H begyndende i et punkt fra H som indgår i kreds. 6. H:= H hvor kanter fra delkreds er fjernet og alle isolerede punkter er fjernet. 7. kreds := kreds med delkreds indsat. 8. return kreds. Sætning: En sammenhængende graf har en eulersti men ingen eulerkreds hvis og kun hvis netop to punkter i grafen har ulige valens. 9