Introduktion til grafer

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Introduktion til grafer"

Transkript

1 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer Philip Bille

2 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer

3 Uorienterede grafer Uorienteret graf (undirected graph). Mængde af knuder (vertices) forbundet parvis med kanter (edges). knude 0 kant Hvorfor grafer? Modellerer naturligt mange problemer i mange forskellige områder. Tusindvis af praktiske anvendelser. Hundredevis af kendte grafalgoritmer.

4 Visualisering af internettet

5 Visualisering af Facebook venskaber "Visualizing friendships", Paul Butler

6 London Tube map Metro A B C D Heathrow E Terminals 1, 2, 3 F Chesham Amersham Uxbridge Special fares apply Hillingdon Chalfont & Latimer Chorleywood Ruislip Gardens South Ruislip Rickmansworth Perivale 2Chalk Farm Hounslow West Hatton Cross West Ruislip Ickenham Heathrow Terminal 4 Heathrow Terminal 5 Northolt Greenford Rayners Lane Hanger Lane Ealing Broadway 5 Watford Croxley South Harrow Sudbury Hill Sudbury Town Alperton Park Royal North Ealing Ealing Common Northfields Boston Manor Osterley Ruislip South Ealing Hounslow East Hounslow Central Moor Park Ruislip Manor Northwood Northwood Hills Eastcote Pinner Acton Central South Acton Acton Town Chiswick Park West Harrow West Acton North Harrow Turnham Green 4Richmond Gunnersbury Kew Gardens Watford Junction Watford High Street 3 Bushey Carpenders Park Hatch End Northwick Park South Kenton North Wembley Wembley Central Stonebridge Park Harlesden Willesden Junction North Acton Headstone Lane Harrow & Wealdstone Kilburn Park Shepherd s Bush Market Stamford Brook East Acton Goldhawk Road Hammersmith Maida Vale Kenton Warwick Avenue Ravenscourt Park Preston Road Wembley Park Kensal Rise Kensal Green Queen s Park Royal Oak Westbourne Park White City Wood Lane Kensington (Olympia) West Kensington 2 Fulham Broadway West Brompton Parsons Green Putney Bridge East Putney Southfields Wimbledon Park Wimbledon Stanmore Canons Park Queensbury Kingsbury Neasden Brondesbury Park Dollis Hill Brondesbury Kilburn High Road Paddington Ladbroke Grove Latimer Road Shepherd s Bush Barons Court Holland Park Earl s Court Edgware Burnt Oak Willesden Green Imperial Wharf Kilburn South Hampstead Edgware Road Bayswater Notting Hill Gate Queensway High Street Kensington Gloucester Road Edgware Road Colindale Hendon Central West Hampstead Marylebone Lancaster Gate Finchley Road Hyde Park Corner Knightsbridge South Kensington Clapham Junction Brent Cross Golders Green Swiss Cottage Marble Arch Sloane Square Pimlico Vauxhall Hampstead Finchley Road & Frognal St. John s Wood Bond Street Victoria Wandsworth Road Baker Street Oxford Circus Regent s Park Green Park St. James s Park Clapham High Street Clapham North Clapham Common Clapham South Balham Tooting Bec Tooting Broadway Colliers Wood Belsize Park Great Portland Street 1 2Oval 3 4 Hampstead Heath Warren Street Piccadilly Circus Westminster Camden Town Mornington Crescent Euston Goodge Street Tottenham Court Road Charing Cross Waterloo Stockwell South Wimbledon This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck Transport for London Correct at time of going to print, December 2013 Morden Mill Hill East Gospel Oak Kentish Town West Euston Square Russell Square Lambeth North Kennington Brixton Camden Road Holborn Covent Garden Leicester Square Embankment Southwark King s Cross St. Pancras High Barnet Totteridge & Whetstone Woodside Park West Finchley Finchley Central East Finchley Highgate Archway Tufnell Park Kentish Town Farringdon Chancery Lane Borough Elephant & Castle Denmark Hill Crouch Hill Caledonian Road Barbican Mansion House Temple Angel St. Paul s Cannon Street Blackfriars Upper Holloway Holloway Road Bank Peckham Rye Southgate Arnos Grove Bounds Green Wood Green Turnpike Lane Manor House Arsenal Caledonian Road & Barnsbury Old Street Moorgate Monument London Bridge Queens Road Peckham Crystal Palace Highbury & Islington Liverpool Street Aldgate Tower Hill Fenchurch Street River Thames Cockfosters Oakwood Harringay Green Lanes Finsbury Park Canonbury New Cross Gate Brockley Forest Hill Sydenham Anerley Seven Sisters Dalston Kingsland Dalston Junction Bermondsey Haggerston Hoxton Shoreditch High Street Aldgate East Tower Gateway Rotherhithe Canada Water Surrey Quays Honor Oak Park Penge West Norwood Junction West Croydon Tottenham Hale Hackney Central Homerton 2 Bethnal Green 5 South Tottenham Blackhorse Road Walthamstow Queen s Road Bow Church Stepney Green Whitechapel Shadwell Limehouse Wapping New Cross 3International Hackney Wick Mile End Westferry Canary Wharf Heron Quays South Quay Crossharbour Mudchute Island Gardens Walthamstow Central Leyton Midland Road Stratford Devons Road Langdon Park All Saints Poplar Blackwall West India Quay 2 Greenwich Deptford Bridge Elverson Road Epping Theydon Bois Debden Loughton Buckhurst Hill Woodford South Woodford Bow Road Snaresbrook Leytonstone Pudding Mill Lane Harrowon-the-Hill Bromleyby-Bow East India Leyton Cutty Sark for Maritime Greenwich Lewisham North Greenwich Emirates Greenwich Peninsula Roding Valley Chigwell 4 Wanstead Leytonstone High Road Wanstead Park Stratford Woodgrange Park West Ham Canning Town 3 Hainault Fairlop Barkingside Newbury Park Redbridge Stratford High Street Abbey Road Star Lane Plaistow Grange Hill Gants Hill 5 3 Royal Victoria Emirates Royal Docks Pontoon Dock Barking East Ham Upton Park West Silvertown London City Airport 6 Dagenham East Upney King George V Becontree Custom House for ExCeL 4 Dagenham Heathway Prince Regent Upminster Upminster Bridge Hornchurch Elm Park Royal Albert 4 Beckton Park Gallions Reach Cyprus Beckton Woolwich Arsenal A B C D E F Check before you travel Bank Waterloo & City line open between Bank Waterloo Mondays to Fridays Saturdays. Between Waterloo Mondays to Fridays and Saturdays. Closed Sundays and Public Ho Camden Town Sunday open for interchange exit only Canary Wharf Step-free interchange between Undergro Canary Wharf DLR and Heron Quays DLR at street level Cannon Street Open until 2100 Mondays to Fridays and 0 Saturdays. Closed Sundays Embankment Bakerloo and Northern line trains will no this station from early January 2014 unti November Emirates Greenwich Peninsula and Emirates Royal Docks Special fares apply. Open Mon Fridays, Saturdays, and Public Holidays. Opening extended by one hour in the evening afte 2014 and may be extended on certain eve Please check close to the time of travel Heron Quays Step-free interchange between Heron Q Canary Wharf Underground station at st Hounslow West Step-free access for manual wheelchairs Kilburn No step-free access from late January 20 mid May Stanmore Step-free access via a steep ramp Turnham Green Served by Piccadilly line trains until 0650 to Saturdays, 0745 Sundays and after 223 evening. At other times use District line Waterloo Waterloo & City line open between Bank Waterloo Mondays to Fridays Saturdays. Between Waterloo Mondays to Fridays and Saturdays. Closed Sundays and Public Ho No step-free access from late January 20 late July West India Quay Not served by DLR trains from Bank towa Lewisham before 2100 on Mondays to Fri Key to lines Bakerloo Central Circle District District open weekends, holidays and some Olym Hammersmith & City Jubilee Metropolitan Northern Piccadilly Victoria Waterloo & City DLR London Overground Emirates Air Line MAYOR OF LONDON London metro, London Transport

7 Protein interaktionsnetværk Protein-protein interaktionsnetværk, Jeong et al, Nature Review Genetics

8 Grafanvendelser graf knuder kanter kommunikation computer kabel transport vejkryds vej transport lufthavn fly spil position lovligt træk neuralt netværk neuron synapse finansnetværk valuta, aktier transaktioner kredsløb logiske porte forbindelse fødekæde dyrearter rovdyr-byttedyr molekyle atom bindinger

9 Terminologi Uorienteret graf. G = (V, E) V = mængde af knuder E = mængde af kanter (par af knuder) n = V, m = E Sti/vej (path). Sekvens af knuder forbundet af kanter. Kreds (cycle). Sti hvis start- og slutknude er ens. Grad (degree). deg(v) = antal naboer af v = antal kanter incidente med v. Sammenhæng (connectivity). To knuder er forbundne hvis der er en vej i mellem dem V = {0,1,2,,12} deg(2) = 3 0 sti fra 0 til E = {(0,1), (0,2) (0,4),(2,3),, (11,12)} n = 13, m = 15 kreds

10 Uorienterede grafer Lemma. v V deg(v) = 2m. Bevis. Hvor mange gange tælles kant med i sum?

11 Algoritmiske problemer på grafer Vej. Findes der en sti mellem s og t? Korteste vej. Hvad er den korteste vej mellem s og t? Længste vej. Hvad er den længste vej mellem s og t? Kreds. Er der en kreds i grafen? Eulertur. Er der en kreds, der benytter hver kant netop en gang? Hamiltontur. Er der en kreds, der benytter hver knude netop en gang? Sammenhæng. Er det muligt at forbinde alle knuder med en sti? Mindste udspændende træ. Hvad er den bedste måde at forbinde alle knuder på? Tosammenhæng. Er der en knude hvis fjernelse gør grafen usammenhængende? Planaritet. Er det muligt at tegne grafen i planen uden kanter der krydser? Grafisomorfi. Repræsenterer to mængde af knuder og kanter samme graf?

12 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer

13 Repræsentation G graf med n knuder og m kanter. Repræsentation. Vi skal bruge følgende operationer på grafer. ADJACENT(v, u): afgør om knude v og u er naboer. NEIGHBORS(v): returner alle naboer af v. INSERT(v, u): tilføj kant (v, u) til G (medmindre den allerede findes)

14 Incidensmatrix Graf G med n knuder og m kanter. Incidensmatrix (adjacency matrix). 2D n n tabel A. A[i,j] = 1 hvis i og j er naboer og 0 ellers. Plads. O(n 2 ) Tid. ADJACENT i O(1) tid NEIGHBORS(v) i O(n) tid. INSERT(v, u) i O(1) tid

15 Incidensliste Graf G med n knuder og m kanter. Incidensliste (adjacency list). Tabel A[0..n-1]. A[i] indeholder liste af naboer af i Plads. O(n + v V deg(v)) = O(n + m) Tid. ADJACENT, NEIGHBORS OG INSERT i O(deg(v)) tid

16 Repræsentation Datastruktur ADJACENT NEIGHBORS INSERT Plads incidensmatrix O(1) O(n) O(1) O(n 2 ) incidensliste O(deg(v)) O(deg(v)) O(deg(v)) O(n+m) I den virkelige verden er grafer tynde.

17 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer

18 Dybdeførst søgning Algoritme til systematisk at udforske alle knuder og kanter i en graf. Dybdeførst søgning (depth-first search) fra knude s. Lad alle knuder være umarkede og besøg knude s. Besøg knude v: Marker v. Besøg alle umarkede naboer af v rekursivt. s Intuition. Udforsk ud fra s i en retning indtil vi når blindgyde. Gå tilbage til sidste knude hvor der var flere uudforskede kanter og fortsæt på samme måde. Starttid (discovery-time). Første gang vi besøger en knude i rekursionen. Sluttid (finish-time). Sidste gang vi besøger en knude i rekursionen.

19 Dybdeførst søgning Opgave. Kør DFS fra knude 0 og angiv start- og sluttider. Antag incidenslisterne er sorterede

20 Dybdeførst søgning DFS(s) time = 0 DFS-VISIT(s) s DFS-VISIT(v) v.d = time++ marker v for alle umarkerede naboer u DFS-VISIT(u) u.π = v v.f = time++ Tid. (på incidenslisterepræsentation) Rekursion bliver kaldt på hver knude højst een gang. O(deg(v)) tid ved knude v. i alt O(n + v V deg(v)) = O(n + m) tid. Kun knuder forbundet til s bliver besøgt.

21 Farveudfyldning Farveudfyldning (flood fill). Skift farve på sammenhængende område af grønne pixels. Algoritme. Byg en gittergraf og kør DFS. Knude: pixel. Kant: mellem nabopixels af samme farve Område: alle knude forbundet til en given knude.

22 Sammenhængskomponenter Def. Et sammenhængskomponent (connected component) er en maksimal delmængder af sammenhængende knuder Hvordan finder vi alle sammenhængskomponenter? Algoritme. Lad alle knuder være umarkede. Sålænge der findes en umarkeret knude: Vælg en umarkeret knude v og kør DFS på v. Tid. O(n + m).

23 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer

24 Breddeførst søgning Breddeførst søgning (breadth-first search) fra s. Lad alle knuder være umarkede. Marker s og tilføj s til kø K. Sålænge K ikke er tom: Udtag knude v fra K. For alle umarkede naboer u af v Marker u. Tilføj u til K. s Intuition. Udforsk ud fra s i alle retninger i stigende afstand fra s. Korteste-veje fra s. Afstand fra s i BFS træ = afstand fra s i graf.

25 Breddeførst søgning Opgave. Kør BFS fra knude 0 og angiv korteste veje. Antag incidenslisterne er sorterede

26 Korteste veje Lemma. BFS beregner længden af den korteste vej fra s til alle andre knuder. Intuition. BFS inddeler knuder i lag (layers). Lag i indeholder knude med afstand i fra s i BFS-træ. L0 L1 L2 Hvad indeholder lagene? L0 = {s} L1 = alle naboer til L0. s L3 L2 = alle naboer til L1 der ikke er naboer til L0 L3 = alle naboer til L2 der ikke er naboer til L0 og L1. Li = alle naboer til Li-1 der ikke er naboer til Lj for j < i-1 = alle knuder med afstand i til s.

27 Breddeførstsøgning BFS(s) marker s s.d = 0 K.ENQUEUE(s) gentag indtil K er tom v = K.DEQUEUE() for alle umarkede naboer u marker u u.d = v.d + 1 u.π = v K.ENQUEUE(u) s Tid. (på incidenslisterepræsentation) Knude besøges højst een gang. O(deg(v)) tid ved knude v. i alt O(n + v V deg(v)) = O(n + m) tid. Kun knuder forbundet til s bliver besøgt.

28 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer

29 Todelte grafer Def. En graf G er todelt (bipartite) hvis og kun hvis alle knuder kan farves røde eller blå således at alle kanter har et rødt og et blåt endepunkt. Alternativt def. En graf G er todelt hvis og kun hvis knuder kan deles i to mængder V1 og V2 så alle kanter går mellem V1 og V2. Anvendelser. Kodning, skedulering, matching,. Mange grafproblemer er nemmere på todelte grafer.

30 Todelte grafer Udfordring. Givet en graf G, afgør om G er todelt

31 Todelte grafer Lemma. En graf G er todelt hvis og kun hvis alle kredse i G har lige længde. Bevis. Hvis todelt så starter og slutter alle kredse i samme side. Hvis der er kreds af ulige længde kan vi ikke farve den.

32 Todelte grafer Lemma. Lad G være graf med lag L0, L1,, Lk produceret af BFS. Præcis en af følgende holder: Bevis. 1. Ingen kant forbinder 2 knuder i samme lag G er todelt. 2. En kant forbinder 2 knuder i samme lag G indeholder en ulige kreds G er ikke todelt. 1. Farv lag skiftevis. 2. Lad (u,v) være kant mellem to knuder i samme lag. Kig på kreds givet ved sti s til u + (u,v) + sti v til s.

33 Todelte grafer Algoritme. Kør BFS på G. L0 L1 L2 For hver kant i G undersøg om den er mellem knuder i samme lag. s L3 Tid. O(n + m) L1 L2 L0 s L3

34 Grafalgoritmer Algoritme Tid Plads Dybdeførst søgning O(n + m) O(n + m) Breddeførst søgning O(n + m) O(n + m) Sammenhængskomponenter O(n + m) O(n + m) Todelte grafer O(n + m) O(n + m) Antager G er givet i incidenslisterepræsentation

35 Introduktion til grafer Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Todelte grafer

Introduktion til grafer. Philip Bille

Introduktion til grafer. Philip Bille Introduktion til grafer Philip Bille Plan Uorienterede grafer Anvendelse og modellering med grafer Søgning i grafer Dybdeførst søgning Sammenhængskomponenter Breddeførst søgning Korteste vej Todelte grafer

Læs mere

Introduktion til grafer. Introduktion til grafer. Uorienterede grafer. Visualisering af internettet. Uorienterede grafer Repræsentation

Introduktion til grafer. Introduktion til grafer. Uorienterede grafer. Visualisering af internettet. Uorienterede grafer Repræsentation Dybdeført øgning Dybdeført øgning Philip Bille Uorienterede grafer Viualiering af internettet Uorienteret graf (undirected graph). Mængde af knuder (vertice) forbundet parvi med kanter (edge). knude kant

Læs mere

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk

Orienterede grafer. Orienterede grafer. Orienterede grafer. Vejnetværk Philip Bille Orienteret graf (directed graph). Mængde af knuder forbundet parvis med orienterede kanter. Vejnetværk Knude = vejkryds, kant = ensrettet vej. deg + (6) =, deg - (6) = sti fra til 6 8 7 9

Læs mere

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2.

Plan. Introduktion. Eks: Max i tabel. Algoritmer og datastrukturer. Algoritmer og datastrukturer. Toppunkter. Algoritme 1. Algoritme 2. Plan Algoritmer og datastrukturer Toppunkter Introduktion Philip Bille Algoritme Algoritme Algoritme Algoritmer og datastrukturer Eks: Max i tabel Hvad er det? Algoritmisk problem: præcist defineret relation

Læs mere

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder.

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Seværdigheder. Tower Bridge & Tower of London Tate museum of Modern Art British Museum Big Ben

Læs mere

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder.

Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Inspiration - London. Herunder inspiration til nogle af Londons mest spændende og lærerige seværdigheder. Seværdigheder. Tower Bridge & Tower of London Tate museum of Modern Art British Museum Big Ben

Læs mere

TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE

TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE TUREN GÅR TIL LONDON GUNHILD RISKE 24. UDGAVE Hampstead Heath Holloway Road Hackney Marshes High Road Finchley Road Road CAMDEN Camden Westway NOTTING HILL Holland Avenue Earls Court KENSINGTON Fulham

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Figur: Terminologi: n = V, m = E (eller V og E (mis)bruges som V og E ).

Læs mere

Grafer og graf-gennemløb

Grafer og graf-gennemløb Grafer og graf-gennemløb Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges). Dvs. ordnede par af knuder. Grafer En mængde V af knuder (vertices). En mængde E V V af kanter (edges).

Læs mere

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion

Mindste udspændende træ. Mindste udspændende træ. Introduktion. Introduktion Philip Bille Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. Introduktion (MST). Udspændende træ af minimal samlet vægt. 0 0 Graf G Ikke sammenhængende Introduktion (MST). Udspændende træ af

Læs mere

Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt:

Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt: London 2015 Dagsorden: 1: Præsentation af program 2: Praktiske oplysninger 3: Metrogrupper: 4: Økonomi 5: Regler Evt: Program London 2015: Dolphin Hotel 32-34, Norfolk Square London W2 +44 020 7402 4943

Læs mere

STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m. 21.-28. marts 2014

STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m. 21.-28. marts 2014 STUDIETURSPROGRAM I LONDON 2m 21.-28. marts 2014 STUDIETURSPROGRAM LONDON 2m 21.-27. marts 2014 Dato Fredag 21/3 Aktivitet 5.15 Mødetid i ventesalen på Århus Hovedbanegård. 5.40: Afgang med tog mod København.

Læs mere

Turen til London. Big Ben. Vestlige del af Parlamentet. Midterdel af Parlamentet. 3. Juli 2000 15. Juli 2000

Turen til London. Big Ben. Vestlige del af Parlamentet. Midterdel af Parlamentet. 3. Juli 2000 15. Juli 2000 Turen til London 3. Juli 2000 15. Juli 2000 Big Ben Themsen fra Big Ben (vestlig retning) Themsen fra Big Ben (østlig retning) Vestlige del af Parlamentet Midterdel af Parlamentet 1 Indgangspartiet til

Læs mere

UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN

UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN Studietur 2.a 2013 London Musik (PE) og Engelsk (LE) UGEDAG FORMIDDAG EFTERMIDDAG AFTEN Fredag den 15 3 13 AT (opgave på rejsen). 12:00 Mødetid vi mødes under uret på Århus H 12:27 Afgang fra Århus H.

Læs mere

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012

Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012. May 15, 2012 Algoritmer og datastrukturer Course No. 02105 Cheat Sheet 2012 May 15, 2012 1 CONTENTS 2012 CONTENTS Contents 1 Kompleksitet 3 1.1 Køretid................................................ 3 1.2 Asymptotisk

Læs mere

TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK

TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK ARSENAL Fodboldrejser 2008/2009 TLF. 7070 8065 SPORT@REJSEGALLERIET.DK WWW.REJSEGALLERIET.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER REJSEGALLERIET Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har sendt fodboldglade

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den. maj 00. Kursusnavn Algoritmer og datastrukturer Kursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler. Vægtning af opgaverne: Opgave

Læs mere

ARSENAL. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

ARSENAL. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter.

Forén og find. Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter. Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening Stikompression Dynamiske sammenhængskomponenter Philip Bille Forén og find Introduktion Hurtig find Hurtig forening Vægtet forening

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2008/2009 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER PLATINUM SPORT Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har sendt

Læs mere

Mindste udspændende træ

Mindste udspændende træ Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation af vægtede grafer Egenskaber for mindste udspændende træer Prims algoritme Kruskals algoritme Philip Bille Mindste udspændende træ Introduktion Repræsentation

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Algoritmer og Datastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag:

Læs mere

Mary Murphy Slide Collection

Mary Murphy Slide Collection Europe Denmark, east Tour B Approaching Copenhagen (Copenhagen 896 Aug. 1, 1995 B-301 missing. nautical miles or 4717 km). Europe Denmark, Frederiksborg: Fredensborg Tour Fredensborg Palace, built in 1722.

Læs mere

Herefter vil vi indkvartere os på The Kensington Close Hotel & Spa, som ligger centralt i Kensington tæt på shoppinggaden Kensington High Street.

Herefter vil vi indkvartere os på The Kensington Close Hotel & Spa, som ligger centralt i Kensington tæt på shoppinggaden Kensington High Street. London 24. 26. april 2012 Tirsdag d. 24. april 2012 Kl. 6.50 Kl. 7.50 Kl. 9.00 Check-in i Københavns Lufthavn terminal 3 skal være overstået. Afrejse Københavns Lufthavn med British Airways BA 811 til

Læs mere

ARSENAL. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

ARSENAL. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

Din egen personlige folder med: Vigtige oplysninger ift. Turen Kort Program AT6 opgaven: Fra imperialisme til multikultur Oversigt over

Din egen personlige folder med: Vigtige oplysninger ift. Turen Kort Program AT6 opgaven: Fra imperialisme til multikultur Oversigt over Din egen personlige folder med: Vigtige oplysninger ift. Turen Kort Program AT6 opgaven: Fra imperialisme til multikultur Oversigt over kvartersanalyse m.m. Rejseoplysninger: Afrejse: Lørdag den 17. marts

Læs mere

Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur??

Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur?? Sviptur til London for at se spændende ny arkitektur?? Har du lyst til en sviptur til London den 3. 6. juni 2007 og se på spændende ny arkitektur. Pris Kr. 998,- plus rejse og ophold. Prisen dækker en

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK ARSENAL Fodboldrejser 2009/2010 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi

Læs mere

London 2015. Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på:

London 2015. Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på: London 2015 Skal og kan aktiviteter på turen. Vi skal bo på: Royal Bayswater Hostel 121 Bayswater Road, London W2 3JH, Storbritannien Telefon:+44 20 7229 8888 Mere information: http://www.globalkeyuk.com/royalbayswater-hotel

Læs mere

Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008

Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008 Finansudvalget (2. samling) FIU alm. del - Bilag 102 Offentligt Program for Finansudvalgets besøg i London den 15.-17. juni 2008 NB: Programpunkter med fed er for hele udvalget med kursiv er for enkeltmedlemmer.

Læs mere

CHELSEA. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

CHELSEA. Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2011/2012 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2009/2010 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK Praktiske oplysninger NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi

Læs mere

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille

Prioritetskøer og hobe. Philip Bille Prioritetskøer og hobe Philip Bille Plan Prioritetskøer Træer Hobe Repræsentation Prioritetskøoperationer Konstruktion af hob Hobsortering Prioritetskøer Prioritetskø Vedligehold en dynamisk mængde S af

Læs mere

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold

Grafteori. 1 Terminologi. Indhold Grafteori Dette er en introduktion til de vigtigste begreber i grafteori, udvalgt teori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet med fokus på de opgavetyper der typisk er til internationale matematikkonkurrencer.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer Vægtning

Læs mere

CHELSEA. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK

CHELSEA. Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK CHELSEA Fodboldrejser 2010/2011 TLF. 7070 8065 PLATINUMSPORT@VIATRAVEL.DK WWW.VIATRAVELPLATINUM.DK PRAKTISK INFORMATION NÅR DU VÆLGER VIA TRAVEL PLATINUM Har du at gøre med rutinerede kræfter, for vi har

Læs mere

(OBS: Manden på billedet er altså ikke én af os )

(OBS: Manden på billedet er altså ikke én af os ) Fredag d. 8. marts Afrejse med Norwegians tidlige forbindelse, DY 3510 kl. 07:20 fra Københavns Lufthavn med destination London Gatwick. Der opstod en mindre forsinkelse pga. vejret. Ankomst Gatwick, nonstop

Læs mere

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E

Definition (Pseudo-graf): En pseudo-graf G = (V, E) består af V, en ikke-tom mængde hvis elementer kaldes punkter, en mængde E samt en funktion f : E Grafteori Definition (Simpel graf): En simpel graf G = (V, E) består af V, en mængde hvis elementer kaldes punkter, og E, en mængde af uordnede par af forskellige elementer fra V. Et element fra E kaldes

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille Nærmeste naboer. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle key[] og satellitdata data[]. operationer. PREDECESSOR(k): returner element med største nøgle k.

Læs mere

Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole

Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole Lørdag d. 31. marts lørdag d. 7. april 2012 Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole LONDON CALLING Ringkøbing-Skjern Ungdomsskole tilbyder dig hermed en forrygende storbyoplevelse i påskeferien, hvor vi afvikler

Læs mere

Min tur. til. London

Min tur. til. London Min tur til London 3. 15. juli 2000 Indholdsfortegnelse Punkt... Emne... Side 1 Dagbog... 3 1.1 Mandag den 3. juli 2000... 3 1.2 Tirsdag den 4. juli 2000... 5 1.3 Onsdag den 5. juli 2000... 7 1.4 Torsdag

Læs mere

guide MARTS 2011 London sider Gå på pub

guide MARTS 2011 London sider Gå på pub guide MARTS 2011 London 28 sider Gå på pub TEa-time shop amok Oplevelser ved themsen Plus-guide: London Følg med på rejseliv.dk London calling En kosmopol en pulserende storby med både gammeldags charme

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 0205, Forår 205 side af 5 Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 22. maj 205. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer Kursusnummer: 0205 Hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Det

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen lukket kreds af kanter

Læs mere

London studietur. Institut for Samfundsudvikling og Planlægning

London studietur. Institut for Samfundsudvikling og Planlægning London studietur Hver enkelt bør købe et 7-dages kort til Transport for London. 1-2 zoner er nok til vort program. Hvis I skal uden for zone 1-2 kan I købe tillægsbillet. Jeg ved ikke, om I kan få studenterrabat,

Læs mere

Førsteårsprojekt F2008. Nogle algoritmer på grafer

Førsteårsprojekt F2008. Nogle algoritmer på grafer Førsteårsprojekt F2008 Nogle algoritmer på grafer Peter Sestoft 2008-02-19 Oversigt for i dag Definition: graf og orienteret graf Repræsentation ved kantlister Bredde-først gennemløb Dybde-først gennemløb

Læs mere

Minimum udspændende Træer (MST)

Minimum udspændende Træer (MST) Minimum udspændende Træer (MST) Træer Et (frit/u-rodet) træ er en uorienteret graf G = (V, E) som er Sammenhængende: der er en sti mellem alle par af knuder. Acyklisk: der er ingen kreds af kanter. Træ

Læs mere

Inden I rejser til London

Inden I rejser til London Elevaktivite ter 1 Elevaktiviteter til Hi London med klassen på tur Peter Bejder & Turbine 2013 Fotos: Peter Bejder Inden I rejser til London Her er en række aktiviteter til bogen Hi London med klassen

Læs mere

PROGRAM FOR NEW YORK 2012 Dag: Programpunkt: Transport: Evt. webside: Lørdag d. 31. marts Mødes kl. 09.00 i CPH ved Starbucks.

PROGRAM FOR NEW YORK 2012 Dag: Programpunkt: Transport: Evt. webside: Lørdag d. 31. marts Mødes kl. 09.00 i CPH ved Starbucks. PROGRAM FOR NEW YORK 2012 Dag: Programpunkt: Transport: Evt. webside: Lørdag d. 31. marts Mødes kl. 09.00 i CPH ved Starbucks. Med SAS, flynr. SK 909 fra København (CPH) Afgang kl. 12.25 med SK 909. Ankomst

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR ATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Algoritmer og atastrukturer (00-ordning) Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): (elleve) Eksamensdag: Fredag den. august 0,

Læs mere

Min rejse. til. London

Min rejse. til. London Min rejse til London 4. april 2003 14. april 2003 Punkt...Side Fredag den 4. april... 3 Lørdag den 5. april... 4 Søndag den 6. april... 5 Mandag den 7. april... 6 Tirsdag den 8. april... 8 Onsdag den 9.

Læs mere

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06

Grafer / Otto Knudsen 20-11-06 Grafer / Otto Knudsen -- Grafer Definition En graf er pr. definition et par G = (V, E). Grafen består af en mængde knuder V (eng: vertices) og en mængde kanter E (eng: edges), som forbinder knuderne. A

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. Kursusnavn: Algoritmer og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed:

Læs mere

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET

INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET INSTITUT FOR DATALOGI, AARHUS UNIVERSITET Science and Technology EKSAMEN Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 6 (seks) Eksamensdag: Fredag den 22. juni 2012, kl. 9.00-13.00 Eksamenslokale: Finlandsgade

Læs mere

A trip to London Staby Efterskole 2016

A trip to London Staby Efterskole 2016 A trip to London Staby Efterskole 2016 Program Morgen Lørdag Søndag Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag 08.00 Morgenmad 08.00 Morgenmad 08.00 Morgenmad Morgenmad i Tyskland 09.30 Ankomst og indkvartering Rest

Læs mere

Beskrivelse: Booking nummer er 1192510 Alamo Prisen for din billeje er 2090 DKK ogden er bekræftet.

Beskrivelse: Booking nummer er 1192510 Alamo Prisen for din billeje er 2090 DKK ogden er bekræftet. ons. 7. apr. 2010 tor. 8. apr. 2010 fre. 9. apr. 2010 lør. 10. apr. 2010 11:25 Fly København - Atlanta Fra København 1125 ank Atlanta 1525. Confirmation nr. PE4NF0 16:30 Hente bil Atlanta Booking nummer

Læs mere

Restaurant Miss Lily s, 132 West Houston Street Jamaicansk inspireret restaurant. Vi får serveret menu, som er forudbestilt.

Restaurant Miss Lily s, 132 West Houston Street Jamaicansk inspireret restaurant. Vi får serveret menu, som er forudbestilt. Søndag d. 13. oktober 2013 Dag 1 09.30 Fremmøde i Kastrup Terminal 3. Tjek ind skal forestås af den enkelte selv og være afsluttet senest kl. 11.35 Gruppen mødes i transithallen i Kastrup foran Lagkagehusets

Læs mere

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo

Binære søgetræer. Binære søgetræer. Nærmeste naboer. Nærmeste nabo Philip Bille er. Vedligehold en dynamisk mængde S af elementer. Hvert element har en nøgle x.key og satellitdata x.data. operationer. PREDECESSOR(k): returner element x med største nøgle k. SUCCESSOR(k):

Læs mere

den er v vide susanne madsen

den er v vide susanne madsen vide verden susanne madsen Efter en bachelor i litteraturvidenskab fra Københavns Universitet ville jeg gerne kombinere min interesse for mode med mine studier i moderne kultur og flyttede til London i

Læs mere

Dynamisk programmering

Dynamisk programmering Dynamisk programmering Dynamisk programmering Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Har en hvis lighed med divide-and-conquer: Begge opbygger løsninger til større problemer

Læs mere

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer

Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Introduktion til datastrukturer. Datastrukturer Introduktion til datastrukturer Introduktion til datastrukturer Philip Bille Datastrukturer Datastruktur. Metode til at organise data så det kan søges i/tilgås/manipuleres effektivt. Mål. Hurtig Kompakt

Læs mere

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille

Binære søgetræer. Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb. Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor Sletning Trægennemløb Philip Bille Binære søgetræer Nærmeste naboer Binære søgetræer Indsættelse Predecessor og successor

Læs mere

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

PROGRAM LONDON INTERNATIONAL MODEL UNITED NATIONS 2016

PROGRAM LONDON INTERNATIONAL MODEL UNITED NATIONS 2016 PROGRAM LONDON INTERNATIONAL MODEL UNITED NATIONS 2016 25. 29. FEBRUAR 2016 Keep Calm & Carry On! Kære LIMUN 2016-deltager Hjerteligt velkommen til LIMUN 2016 med Akademiet. Forude venter dig en weekend

Læs mere

guideapril 2014 London - tea-time - shop amok - her skal du bo og spise sider Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus

guideapril 2014 London - tea-time - shop amok - her skal du bo og spise sider Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus guideapril 2014 London - tea-time - shop amok - her skal du bo og spise 28 sider Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus London ca 2 Guide til London - England En kosmopol en pulserende storby med både

Læs mere

Gadeoptræden & Gademusik København 2010

Gadeoptræden & Gademusik København 2010 Gadeoptræden & Gademusik København 2010 Gadeoptræde og gademusik er velkommen på byens gågader og pladser uden tilladelse, så længe du tager hensyn og følger et sæt simple regler. GADEOPTRÆDEN I KØBENHAVN

Læs mere

Program for. Skatteudvalgets besøg i London den 18.-20. juni 2008

Program for. Skatteudvalgets besøg i London den 18.-20. juni 2008 Skatteudvalget (2. samling) SAU alm. del - Bilag 189 Offentligt Program for Skatteudvalgets besøg i London den 18.-20. juni 2008 NB: Punkter der er markeret med fed er for hele udvalget, punkter markeret

Læs mere

Finland. Norway Sweden IN DENMARK. Estonia. Denmark. Netherlands. Poland. 23 hotels. In 2012: Opening of Scandic Aarhus City

Finland. Norway Sweden IN DENMARK. Estonia. Denmark. Netherlands. Poland. 23 hotels. In 2012: Opening of Scandic Aarhus City Scandic IN DENMARK Denmark Norway Sweden Netherlands Belgium Germany Poland Finland Estonia 23 hotels In 2012: Opening of Scandic Aarhus City An upgraded experience SCANDIC SYDHAVNEN Meeting and conference

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. Tilladte hjælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. Varighed: timer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet ksamen 06, F side af sider anmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 9. maj 0. ursusnavn: lgoritmer og datastrukturer ursus nr. 06. jælpemidler: Skriftlige hjælpemidler. et er ikke tilladt at medbringe

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Eksamen 005, F09 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 009. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.

Læs mere

Sommeren 2001, opgave 1

Sommeren 2001, opgave 1 Sommeren 2001, opgave 1 Vi antager at k 3, da det ellers er uklart hvordan trekanterne kan sættes sammen i en kreds. Vi ser nu at for hver trekant er der en knude i kredsen, og en spids. Derfor er n =

Læs mere

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er

Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er Definition : Et træ er en sammenhængende ikke-orienteret graf uden simple kredse. Sætning : En ikke-orienteret graf er et træ hvis og kun hvis der er en unik simpel vej mellem ethvert par af punkter i

Læs mere

fodbold football fussball fútbol calcio

fodbold football fussball fútbol calcio fodbold football fussball fútbol calcio AC Milan Arsenal Chelsea FC Barcelona FC Bayern München FC København Fulham FC Hamburg SV Liverpool FC Manchester United RCD Mallorca Real Madrid Tottenham Hotspurs

Læs mere

Billetter Arsenal: Manchester United: Manchester United VIP: Chelsea

Billetter Arsenal: Manchester United: Manchester United VIP: Chelsea E-BROCHURE AC Milan Arsenal Chelsea FC Barcelona FC Bayern München FC København Fulham FC Hamburg SV Liverpool FC Manchester United RCD Mallorca Real Madrid Tottenham Hotspurs West Ham United Hold Billetter

Læs mere

Datastrukturer (recap)

Datastrukturer (recap) Dictionaries Datastrukturer (recap) Data: Datastruktur = data + operationer herpå En ID (nøgle) + associeret data. Operationer: Datastrukturens egenskaber udgøres af de tilbudte operationer (API for adgang

Læs mere

Kirkeudvalgets studietur til Danske Sømands- og Udlandskirker i Bruxelles, London og Rotterdam

Kirkeudvalgets studietur til Danske Sømands- og Udlandskirker i Bruxelles, London og Rotterdam Kirkeudvalget (2. samling) KIU alm. del - Bilag 65 Offentligt Kirkeudvalgets studietur til Danske Sømands- og Udlandskirker i Bruxelles, London og Rotterdam 15. - 17. september 2008. Folketingets Kirkeudvalgets

Læs mere

den er v vide kasper holten

den er v vide kasper holten vide verden kasper holten Jeg troede, jeg skulle være freelanceinstruktør og nyde det frie liv lidt da jeg stoppede som operachef på Det Kongelige Teater i sommeren 2011. Jeg havde lovet mig selv at takke

Læs mere

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel

Løs til optimalitet i eksponentiel tid Find tilnærmet løsning i polynomielt tid Optimeringsproblemer kan ikke altid verificeres i polynomiel I dag Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer Repetition: branch-and-bound Flere begreber Konkret eksempel: TSP Lagrange relaxering Parallel branch-and-bound 1 Opsummering Løsning af NP -hårde optimeringsproblemer

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 5 (fem) Eksamensdag: Fredag den 10. august 007, kl.

Læs mere

Obligatorisk projekt 3.

Obligatorisk projekt 3. Obligatorisk projekt 3. Administration af Regionale Køre-Planer Fag: Projektet omhandler emner fra fagene Softwarearkitektur og Distribuerede Programmer, samt SystemUdviklingsMetoder. Formål: Formålet

Læs mere

Med 2a til New York. Den 4.-10. marts 2013 Signe Slot & Mimi Olsen Hvidovre Gymnasium

Med 2a til New York. Den 4.-10. marts 2013 Signe Slot & Mimi Olsen Hvidovre Gymnasium Med 2a til New York Den 4.-10. marts 2013 Signe Slot & Mimi Olsen Hvidovre Gymnasium Praktiske oplysninger: Adresse i New York The West Side YMCA 5 West 63rd Street New York, NY 10023 Tlf.: +001 212 875

Læs mere

29. juni 8. juli 2016. Programmet for 2016. Hastings London

29. juni 8. juli 2016. Programmet for 2016. Hastings London 29. juni 8. juli 2016 Programmet for 2016 Hastings London Program for sprogrejsen 2016. Ret til ændringer forbeholdes og kan næsten garanteres Spørgsmål stilles enten i vores FBgruppe (Sprogrejsen 2016)

Læs mere

The Two Capital Tour. London og Berlin turen

The Two Capital Tour. London og Berlin turen The Two Capital Tour London og Berlin turen 19. marts 2009 28. marts 2009 Punkt... Side Torsdag den 19. marts 2009...3 Fredag den 20. marts 2009...4 Lørdag den 21. marts 2009...6 Søndag den 22. marts 2009...7

Læs mere

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Læs mere

Afgang: Flyselskab: British Airways Dato Klokkeslæt Hvad Hvor torsdag 8.10.09 05:15 mødes Herning Kirke. Hjemrejse

Afgang: Flyselskab: British Airways Dato Klokkeslæt Hvad Hvor torsdag 8.10.09 05:15 mødes Herning Kirke. Hjemrejse Afgang: Flyselskab: British Airways Dato Klokkeslæt Hvad Hvor torsdag 8.10.09 05:15 mødes Herning Kirke torsdag 81009 8.10.09 06:00 00 Afgang Herning Fra Herning Kirke torsdag 8.10.09 11:50 Check in færdig

Læs mere

GRATIS REJSEBØGER LONDON STIG ALBECK GRATIS REJSEBØGER WWW.BOOKBOON.COM

GRATIS REJSEBØGER LONDON STIG ALBECK GRATIS REJSEBØGER WWW.BOOKBOON.COM GRATIS REJSEBØGER LONDON STIG ALBECK GRATIS REJSEBØGER WWW.BOOKBOON.COM 2008 Stig Albeck og Ventus Publishing ApS Alle rettigheder forbeholdes. Ingen del af denne bog må gengives uden skriftlig tilladelse

Læs mere

DM507 Algoritmer og datastrukturer

DM507 Algoritmer og datastrukturer DM507 Algoritmer og datastrukturer Forår 2012 Projekt, del II Institut for matematik og datalogi Syddansk Universitet 15. marts, 2012 Dette projekt udleveres i tre dele. Hver del har sin deadline, således

Læs mere

Liste over selskaber med tilladelse til at udbyde væddemål og onlinekasino i Danmark opdateret den 23-12-2011. Onlinekasino.

Liste over selskaber med tilladelse til at udbyde væddemål og onlinekasino i Danmark opdateret den 23-12-2011. Onlinekasino. 888 Denmark Limited Line Wall Road 57-63 Apollo Entertainment Limited Sir Temi Zammit Avenue 8 Villa Seminia B 1011 Ta ' biex Betfair International Limited Triq Il-Kappillan Mifsud Santa Venera SVR 1851

Læs mere

50 års jubilæum 6 dages fodsporsrejse med dansk 007 agent 28. september 2012

50 års jubilæum 6 dages fodsporsrejse med dansk 007 agent 28. september 2012 James Bond 50 års jubilæum 6 dages fodsporsrejse med dansk 007 agent 28. september 2012 2 James Bond 007 28. september: (F / Cocktail) I flyver fra København til London, hvor I bliver hentet i bus. Første

Læs mere

Miljøudvalget. Studierejse til England den 26. 28. marts 2014. Nationalparker og landdistriktsprogram

Miljøudvalget. Studierejse til England den 26. 28. marts 2014. Nationalparker og landdistriktsprogram Miljøudvalget 2013-14 MIU Alm.del Bilag 264 Offentligt Miljøudvalget Studierejse til England den 26. 28. marts 2014 om Nationalparker og landdistriktsprogram Program for besøg af Miljøudvalget med deltagelse

Læs mere

Folketinget Kulturudvalget Christiansborg, den 22. september 2005

Folketinget Kulturudvalget Christiansborg, den 22. september 2005 Kulturudvalget (2. samling) KUU alm. del - Bilag 152 Offentligt Folketinget Kulturudvalget Christiansborg, den 22. september 2005 Til udvalgets medlemmer og stedfortrædere. Hermed omdeles program samt

Læs mere

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs

Korteste veje. Korteste veje. Introduktion. Introduktion. Introduktion Egenskaber for korteste veje Dijkstras algoritme Korteste veje på DAGs Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Kortete veje Egenkaber for kortete veje Dijktra algoritme Kortete veje på DAG Philip Bille Introduktion Kortete veje. Givet

Læs mere

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel:

Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Ideen er simpel: Opbyg løsningen skridt for skridt ved hele tiden af vælge lige

Læs mere

The EAL Jobportal. How to get started

The EAL Jobportal. How to get started The EAL Jobportal How to get started Be prepared Before you start You need to know the ID of your Uni login (WAYF login) You need a browser like Firefox, Safari, Google Chrome (or IE 9 or higher) You need

Læs mere

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal

Introduktion. Introduktion. Algoritmer og datastrukturer. Eksempel: Maksimalt tal Philip Bille Algoritmer og datastrukturer Algoritmisk problem. Præcist defineret relation mellem input og output. Algoritme. Metode til at løse et algoritmisk problem. Beskrevet i diskrete og entydige

Læs mere

Søgning og Sortering. Philip Bille

Søgning og Sortering. Philip Bille Søgning og Sortering Philip Bille Plan Søgning Linæer søgning Binær søgning Sortering Indsættelsesortering Flettesortering Søgning Søgning 1 4 7 12 16 18 25 28 31 33 36 42 45 47 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Læs mere

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version)

Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Nyhedsmail, december 2013 (scroll down for English version) Kære Omdeler Julen venter rundt om hjørnet. Og netop julen er årsagen til, at NORDJYSKE Distributions mange omdelere har ekstra travlt med at

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere