yt () p0 cos( t) OPGAVE 1
|
|
- Sigrid Lassen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 SKRIFTLIG EKSAMEN I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlægskonstruktion, 8.semester Fredag den 22. juni 2 kl Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE B yt ) p cos t) l x A Konstruktionen på figuren er lodret og symmetrisk i tegneplanen, og antages modelleret ved hjælp af plan Bernoulli-Euler bjælketeori. Konstruktionen har længden l, og forudsættes fast indspændt ved vederlaget i punkt A. Tværsnit i konstruktionen identificeres vha. en koordinat x langs bjælkeaksen målt fra vederlaget. Konstruktionen påvirkes af en horizontal, harmonisk varierende last pr. længdeenhed i konstruktionens plan, px, t) =p cosωt), med den konstante amplitude p og den cirkulære frekvens ω. Bøjningsstivheden x) og massen pr. længdeenhed µx) er lineært varierende, givet ved følgende udtryk x) = α x ) l, µx) =µ β x ) l hvor og µ henholdsvis angiver bøjningsstivheden og massen pr. længdeenhed ved vederlaget, og α < ogβ < er dimensionsløse parametre. Konstruktionen antages kun at udføre små vandrette flytninger i konstruktionsplanen, og der ses bort fra normalkræfternes indflydelse på bøjningsstivheden. Spørgsmål 2%, µ =.9%) Opstil bevægelsesligningen for konstruktionen, idet denne reduceres til et system af en enkelt frihedsgrad yt), der vælges som den vandrette flytning i konstruktionsplanen af konstruktionens frie ende B. Ved den numeriske udregning benyttes α = β =.2, og følgende formfunktion Φx) = 2 3 x ) x ) 2 l l
2 2 Spørgsmål 2 5%, µ = 2.2%) Bestem den stationære bevægelse af konstruktionens top, når eventuelle bevægelsesbidrag fra begyndelsesbetingelserne er dæmpet bort. Der ses iøvrigt bort fra dæmpning. Hjælp: Følgende bestemte integraler kan benyttes ved opgavens løsning αξ ) 3 3ξ ) 2dξ =3 3 4 α βξ ) 3 ξ ) 2ξ 4 dξ = β OPGAVE 2 m v y k a f x Figuren viser et idealiseret køretøj bestående af en masse m og en lineært elastisk, dæmpningsfri fjeder med fjederkonstanten k, der er i permanent kontakt med en vandret vejoverflade. Køretøjet bevæger sig med den konstante hastighed v. Til fastlæggelse af køretøjets position indlægges et x, y)-koordinatsystem med x-aksen placeret langs vejoverfladen. Ved koordinatsystemets origo er placeret et parabelformigt bump givet ved udtrykket yx) =4f x ) x a a hvor f er pilhøjden, og a er kordelængden i bumpet. Køretøjsmassen m foretager kun små svingninger i lodret retning, og antages i ro før køretøjet kører ind på bumpet. Spørgsmål 25%, µ = 6.9%) Bestem bevægelsen af køretøjsmassen efter at køretøjet er kørt ind på bumpet.
3 3 Hjælp: Følgende ubestemte integraler kan benyttes ved opgavens løsning τ sin ω t τ) ) dτ = ω ω 2 τ cos ω t τ) ) + sin ω t τ) )) τ 2 sin ω t τ) ) dτ = ω 3 ) ωτ cos ω t τ) ) +2ω τ sin ω t τ) )) OPGAVE 3 Figuren viser en horizontal, plan, sammensat Bernoulli-Euler bjælke, bestående af delbjælkerne AB, BC og CD. Bjælke AB har længden 2a, medens delbjælkerne BC og CD hver har længden a. Alle delbjælker er masseløse med konstant bøjningsstivhed, og anses for uendeligt stive overfor axialdeformationer. I punkterne A og D er anordnet henholdsvis en fast og en bevægelig simpel understøtning. I punkt B er anordnet en punktformig masse m og en lodret, lineær elastisk fjeder med fjederkonstanten k. I fjederens frie ende er vedhæftet en punktformig masse m, der kun kan bevæge sig i lodret retning i konstruktionsplanen. I punkt C angriber en lodret harmonisk varierende dynamisk kraft, ft) =f cosωt), med amplituden f og den cirkulære frekvens ω. Der betragtes kun små lodrette svingninger omkring den statiske ligevægtstilstand af bjælken og massen m. Spørgsmål 5%, µ = 7.3%) Bestem konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvenser og egensvingningsformer for m =.m og k = 3 4 a. 3 Spørgsmål 2 %, µ = 5.%) Bestem den stationære bevægelse af den ydre krafts angrebspunkt C, når eventuelle bevægelsesbidrag fra begyndelsesbetingelserne er dæmpet bort. Der ses iøvrigt bort fra dæmpning.
4 4 OPGAVE 4 A B = C x a u x,t) a Figuren viser en plan horisontal bjælkekonstruktion bestående af delbjælkerne AB og BC, begge af længden a. Bjælke AB er en Bernoulli-Euler bjælke med konstant bøjningsstivhed og konstant masse pr. længdeenhed µ. Bjælke BC antages uendelig stiv over for bøjningsdeformationer = ), og har den konstante masse pr. længdeenhed µ. Konstruktionen er fast simpelt understøttet i punkt A og bevægelig simpelt understøttet i punkt C. Der betragtes kun små lodrette svingninger omkring den statiske ligevægtstilstand. Spørgsmål %, µ = 4.9%) Bevægelsen af delbjælken AB betegnes ux, t), hvor x er en koordinat langs bjælkeaksen målt fra punkt A. Vis, at følgende randbetingelser er gyldig ved grænsesnitfladen i punkt B til den uendeligt stive bjælke BC ua, t) = a ux, t) x, x=a 2 ux, t) x2 = a 3 ux, t) x=a x3 + x=a 3 µ a 2 2 ua, t) t2 Spørgsmål 2 5%, µ = 9.%) Formuler betingelsen til bestemmelse af konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvenser for µ =2µ. Der kræves ingen numerisk løsning af den opstillede frekvensbetingelse.
5 5 SOLUTIONS PROBLEM Question : The equation of motion reads, cf. 5-), 5-), 5-), 5-2) mÿ + ky = ft) ) where m = l µx)φ 2 x)dx = 4 µ l ) ) 2ξ βξ 3 ξ 4 dξ = µ l 5 43 ) 8 β 2) k = l d 2 ) 2 Φx) x) dx 2 dx =9 l 3 αξ ) ξ ) 2dξ = l α ) 3) ft) = Question 2: l px, t)φx)dx = 2 p l cosωt) 3 ξ ) ξ 2 dξ = 3 8 p l cosωt) 4) The system is undamped. Hence, the stationary displacement response of the mass is in phase with the load. The stationary response as determined from ) is then given as yt) =Y cosωt) 5) Y = 28 µ l 3 8 p l β ) ω 2 42 p = ω2 22 µ ω 2 6) ω2 where the circular eigenfrequency of the structure becomes ω 2 = α ) µ l 4 = β µ l 4 7)
6 6 PROBLEM 2 Question Fig. : Forces on free mass. The staticequilibrium of the mass m is defined as the horizontal level of the beam at the velocity v =, when placed at the horizontal part of the surface. The vertical displacement of the vehicle mass as measured from the static equilibrium state is denoted as zt). If t = is selected as the instant of time, where the vehicle is at the position x =, the abscissa at the time t is given as x = vt. Hence, the surface elevation at the time t becomes { ) 4f vt vt a a, t, a v yvt) =, t / ), a v The mass is cut free from the spring, and the spring force is applied as an external force. The elongation of the spring becomes zt) yvt), and hence the spring becomes equal to k zt) yvt) ). The equation of motion may be written m z = k zt) yvt) ) z + ω 2 z = ω 2 yvt) 2) ω 2 = k m 3) Since the mass is at rest prior to the entrance of the bump, the solution of 2) becomes, cf. 2-), 2-26) zt) = ω 2 t 4fω t ht τ)ω 2 yvτ)dτ = ω sin ω t τ) 4f t sin ω t τ) vτ a vτ a ) vτ a dτ = ) vτ dτ 4) a
7 7 where t = min t, a ) v 5) Evaluation of 4) provides the responses v ) ) ) zt) =4fω a ω 2 ω t cos ω t t + sin ω t t sin ω t v2 ω 2 a 2 ω 3 t 2 2 ) ) cos ω t t +2ω t sin ) ) ) t t +2cosω t 6) PROBLEM 3 Question : Fig. : Forces on free beam and suspended mass. The beam is massless. Hence, the beam has a single degree of freedom, which is selected as the vertical displacement x t) ofpointb from the staticequilibrium state. Additionally, the vertical displacement x t) ofpointc from the staticequilibrium state is introduced as an auxiliary degree of freedom. The vertical displacement of the suspended mass m from the staticequilibrium state is denoted x 2 t). The sign of x t),x t) andx 2 t) is defined in fig.. The beam and the suspended mass is cut free from the spring, and the spring force kx 2 x ) is applied as external forces on the beam and the mass with signs as defined in fig.. Further, the inertial forces mẍ and m ẍ 2 are applied as external forces according to d Alembert s principle. The displacements x t) andx t) and the equation of motion for the suspension mass then become, cf ), 3-343) x t) =δ ft)+δ mẍ + kx 2 x ) ) ) x t) =δ ft)+δ mẍ + kx 2 x ) ) 2) m ẍ 2 + kx 2 x )= 3)
8 8 The flexibility coefficients are given as, cf. B-), B-2) δ δ = a 3 9 4) 2 δ 6 2) and 3) may be written on the matrix form Mẍ + Kx = F cosωt) 5) x t) xt) = x 2 t) F = δ [ δ, M = m ] f = 6 f η, K = k [ +κ ] 6) 7) where κ = δ k = 3 4 ka 3 η = m m 8) 9) For m =.m and k = 3 4 a, which mean that η =. andκ =, the circular eigenfrequencies ω j and the eigenmodes Φ i) = 3 [ j) ] Φ Φ j) are determined from the homogeneous 2 linear equations, cf. 3-42) [ 2 λj λ j ][ j) ] Φ Φ j) = 2 ) λ j = m k ω2 j ) The characteristic equation becomes 2 λ j ) ) λ j = { 6 26, j = λ j = 6+ 26, j =2 2) 6 26 k m, j = ω j = k m, j =2 3)
9 9 The eigenmodes ar normalized as follows Φ j) = [ Φ j) ], j =, 2 The first component Φ j) is determined from the last equation of ) Φ j) = λ j = { ) 4 26 ), j =, j =2 4) Question 2: The stationary response of 5) is given as, cf. 3-), 3-) xt) =X cosωt) 5) X = Hω)F 6) Hω) = K ω 2 M ) +κ λ = = k ηλ ηλ k + κ λ) ηλ) ) +κ λ 7) where λ = ω 2 m k, cf. ). Then X = 6 f ηk λ λ )λ λ 2 ) ηλ 8) where λ and λ 2 denote the eigenvalues 2). As seen x t) forλ = η = ω =. From ) follows that k m x t) =X cos ωt X = δ f + δ mω 2 ηλ ) + k +ηλ )) 6 f ηk λ λ )λ λ 2 ) = a 3 f λ ) ) +η ηλ 9) ηλ λ )λ λ 2 )
10 PROBLEM 4 Question : Fig. : Boundary conditions at the end-section of the elastic beam AB at point B. a) Geometrical boundary condition. b) Mechanical boundary condition. With the sign defined in fig. a, the rotation of the elasticbeam at the boundary section at point B is given as xua, t). Since the beam BC is infinitely stiff and small deformations have been assumed, this rotation must be equal to ua,t) a, see fig. a. This leads to the following geometrical boundary condition a ua, t) =ua, t) ) x The elasticbeam AB is cut free from the infinitely stiff beam BC and the shear force Qa, t), and the bending moment Ma, t) is applied with the sign defined in fig. b. Since the beam BC is infinitely stiff the inertial load per unit will be linearly varying from the value u üa, t)atpointb to zero at point C. Moment equilibrium formulated at point C provides Qa, t)a + Ma, t) = 3 a2 µ üa, t) 2) The constitutive equation of Bernoulli-Euler beams 4-4) and the statical condition 4-2) gives the conditions Mx, t) = 2 ux, t) x2 Qx, t) = 3 Mx, t) = ux, t) x x3 Insertion of 3) into 2) then provides the following mechanical boundary condition a 3 2 ua, t) = x3 x 2 ua, t) 3 Question 2: 3) µ a 2 üa, t) 4)
11 The eigenvibrations ux, t) are searched for on the form 4-2) ux, t) =Φx)cosωt) 5) If 5) is inserted into the boundary conditions ) and 4), the following conditions on the amplitude function Φx) are obtained a d d3 d2 Φa) =Φa), a Φ= dx dx3 dx 2 Φa)+ µ a 2 ω 2 Φa) 6) 3 The differential equation for the amplitude function and the boundary condition at x = are given by 4-3). Introducing the non-dimensional coordinate ξ = x a the following eigenvalue problem is obtained d 4 dξ 4 Φξ)+λ4 Φξ) =, ξ [, ], λ 4 = µa4 ω 2 where Geometrical boundary conditions: d Φ) =, Φ) + Φ) = dξ Mechanical boundary conditions: d 2 dξ 2 Φ) =, d 2 d3 Φ) + dξ2 dξ 3 Φ) + η 3 λ4 Φ) = η = µ µ 7) 8) The solution of 7) reads, cf. 4-8) Φξ) =A sinλξ)+b cosλξ)+c sinhλξ)+d coshλξ) 9) The boundary condition Φ) = d2 dξ Φ)=atξ = implies that B = D =,cf ). Introduction of the boundary conditions at ξ =x = a) leads to the following system of homogeneous equations [ sin λ + λ cos λ sinh λ + λ cosh λ η 3 λ2 ) sin λ λ cos λ η 3 λ2 + ) sinh λ + λ cosh λ ] A = C Non-trivial solutions A C require singularity of the coefficient matrix, which leads to the frequency condition 2sinh λ + λ cosh λ)sin λ + λ cos λ) + )
12 2 η 3 λ2 sinh λsin λ + λ cos λ) η 3 λ2 sin λsinh λ + λ cosh λ) = sinh λ + λ cosh λ)sin λ + λ cos λ)+ η 6 λ3 cos λ sinh λ sin λ cosh λ) = ) For η = µ µ = 2 the first three solutions to ), as well as the corresponding circular egenfrequencies ω j as determined from 4-34), become , j = λ j = , j = , j = µa, j = 4 ω j = µa, j = µa, j =3 4 2) 3)
OPGAVE 1. f(t) = f 0 cos(ωt)
SKRIFTLIG EKSAMEN I STRUKTUREL DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 7. semester Tirsdag den 3. januar 007 kl. 09.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE 1 M f(t) = f 0 cos(ωt) K Figuren viser et
Læs mereSKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 7. semester Torsdag den 19. juni 2003 kl Alle hjælpemidler er tilladt
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 7. semester Torsdag den 9. juni 23 kl. 9.-3. Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE f(x) x Givet funktionen f(x) x, x [, ] Spørgsmål (%)
Læs mereSKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 8. semester Fredag den 30. juni 2005, kl Alle hjælpemidler er tilladt
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 8. semester Fredag den 3. juni 5, kl. 8.3-.3 Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE u = y B u = u C A x c u = D u = Figuren viser en homogen
Læs mereSpørgsmål 1 (5%) Forklar med relevant argumentation, at den stationære temperaturfordeling i områdets indre er bestemt ved følgende randværdiproblem
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 8. semester Fredag den 9. juni 006, kl. 09.00-3.00 Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE y u = 0 isoleret rand r u = u 0 θ 0 θ c c u = 0
Læs mereOPGAVE 1. Spørgsmål 1 (15%) Opstil bevægelsesligningen med tilhørende begyndelsesbetingelser for massen i punkt D.
SKRIFTLIG EKSMEN I STRUKTUREL DYNMIK ygge- og nlægskonstruktion, 7. semester Onsdg den 9. jnur 25 kl. 9.-3. lle hjælpemidler er tilldt OPGVE ft) ft) EI, µ = EI, µ = C EI, µ = D m f t Figuren viser en vndret,
Læs mereOPGAVE 1. k m c. Spørgsmål 1 (10%) Opstil bevægelsesligningen for den punktformige masse. Spørgsmål 2 (5%) Bestem for k = 3 EI
SKRIFTLIG EKSMEN I STRUKTUREL DYNMIK ygge- og nlægskonstruktion, 7. semester Onsdg den 26. jnur 26 kl. 9.-. lle hjælpemidler er tilldt OPGVE EI, µ = k m c Figuren viser en vndret, pln ernoulli-euler bjælke
Læs mereSKRIFTLIG EKSAMEN I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlægskonstruktion, 8. semester Onsdag, den 19. juni 2002 kl Alle hjælpemidler er tilladt
SKRIFTLIG EKSAMEN I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlægskonstruktion, 8. semester Onsdg, den 19. juni 2002 kl. 09.00-13.00 Alle hjælpemidler er tilldt OPGAVE 1 f t)=f 0cos ùt) A B C c 0 D Figuren viser en
Læs mereAvancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation
Avancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation Advanced beam element with distorting cross sections Kandidatprojekt Michael Teilmann Nielsen, s062508 Foråret 2012 Under vejledning af Jeppe Jönsson,
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereSTRUCTURAL DYNAMICS, VOL. 9. Computational Dynamics
STRUCTURAL DYNAMICS, VOL. 9 Computational Dynamics Søren R. K. Nielsen P (λ) y(λ) =P (µ k )+ ( P (µ k ) P (µ k ) ) λ µ k µ k µ k µ k µ k µ k+ λ λ λ 3 λ Aalborg tekniske Universitetsforlag June 005 Contents
Læs mere19.3. Second Order ODEs. Introduction. Prerequisites. Learning Outcomes
Second Order ODEs 19.3 Introduction In this Section we start to learn how to solve second-order differential equations of a particular type: those that are linear and that have constant coefficients. Such
Læs mereEksamen i Signalbehandling og matematik
Opgave. (%).a. Figur og afbilleder et diskret tid signal [n ] og dets DTFT. [n] bruges som input til et LTI filter med en frekvens amplitude respons som vist på figur. Hvilket af de 4 output signaler (y
Læs mereMultivariate Extremes and Dependence in Elliptical Distributions
Multivariate Extremes and Dependence in Elliptical Distributions Filip Lindskog, RiskLab, ETH Zürich joint work with Henrik Hult, KTH Stockholm I II III IV V Motivation Elliptical distributions A class
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen
Læs mereMatematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion
Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen Februar 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 7. Februar 207 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereChapter 6. Hydrogen Atom. 6.1 Schrödinger Equation. The Hamiltonian for a hydrogen atom is. Recall that. 1 r 2 sin 2 θ + 1. and.
Chapter 6 Hydrogen Atom 6. Schrödinger Equation The Hamiltonian for a hydrogen atom is Recall that Ĥ = h e m e 4πɛ o r = r ) + r r r r sin θ sin θ ) + θ θ r sin θ φ and [ ˆL = h sin θ ) + )] sin θ θ θ
Læs mereRotational Properties of Bose - Einstein Condensates
Rotational Properties of Bose - Einstein Condensates Stefan Baumgärtner April 30, 2013 1 / 27 Stefan Baumgärtner Rotational Properties of Bose - Einstein Condensates Outline 2 / 27 Stefan Baumgärtner Rotational
Læs mereExercise 6.14 Linearly independent vectors are also affinely independent.
Affine sets Linear Inequality Systems Definition 6.12 The vectors v 1, v 2,..., v k are affinely independent if v 2 v 1,..., v k v 1 is linearly independent; affinely dependent, otherwise. We first check
Læs mereMONOTONE POSITIVE SOLUTIONS FOR p-laplacian EQUATIONS WITH SIGN CHANGING COEFFICIENTS AND MULTI-POINT BOUNDARY CONDITIONS
Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 22, No. 22, pp. 2. ISSN: 72-669. URL: http://ejde.math.txstate.edu or http://ejde.math.unt.edu ftp ejde.math.txstate.edu MONOTONE POSITIVE SOLUTIONS FOR
Læs mereFrequency Dispersion: Dielectrics, Conductors, and Plasmas
1/23 Frequency Dispersion: Dielectrics, Conductors, and Plasmas Carlos Felipe Espinoza Hernández Professor: Jorge Alfaro Instituto de Física Pontificia Universidad Católica de Chile 2/23 Contents 1 Simple
Læs mereKurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereCirculating Beams Søren Pape Møller ISA / DANFYSIK A/S Chapter 4 i Wilson - 1 hour
Circulating Beams Søren Pape Møller ISA / DANFYSIK A/S Chapter 4 i Wilson - 1 hour Particles in space En partikel har to transversale koordinater og en longitudinal og tilsvarende hastigheder. Ofte er
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mere11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.
Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs merePontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures
Pontryagin Approximations for Optimal Design of Elastic Structures Jesper Carlsson NADA, KTH jesperc@nada.kth.se Collaborators: Anders Szepessy, Mattias Sandberg October 5, 2005 A typical optimal design
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereBjælker på elastisk underlag
Bjælker på elastisk underlag Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby Februar 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning af bjælker på
Læs mereParticle-based T-Spline Level Set Evolution for 3D Object Reconstruction with Range and Volume Constraints
Particle-based T-Spline Level Set for 3D Object Reconstruction with Range and Volume Constraints Robert Feichtinger (joint work with Huaiping Yang, Bert Jüttler) Institute of Applied Geometry, JKU Linz
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereSign variation, the Grassmannian, and total positivity
Sign variation, the Grassmannian, and total positivity arxiv:1503.05622 Slides available at math.berkeley.edu/~skarp Steven N. Karp, UC Berkeley FPSAC 2015 KAIST, Daejeon Steven N. Karp (UC Berkeley) Sign
Læs mereLinear Programming ١ C H A P T E R 2
Linear Programming ١ C H A P T E R 2 Problem Formulation Problem formulation or modeling is the process of translating a verbal statement of a problem into a mathematical statement. The Guidelines of formulation
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereFiguren viser et linert system af 1 frihedsgrad med fjederkonstanten k, dmpningskonstanten
SKRIFTLIG OMPRVE I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlgskonstruktion,. semester Torsdg den 6. september kl..-6. Alle hjlpemidler er tilldt OPGAVE Figuren viser et linert system f frihedsgrd med fjederkonstnten
Læs mereCentralt belastede søjler med konstant tværsnit
Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne
Læs merePattern formation Turing instability
Pattern formation Turing instability Tomáš Vejchodský Centre for Mathematical Biology Mathematical Institute Summer school, Prague, 6 8 August, 213 Outline Motivation Turing instability general conditions
Læs mereBasic statistics for experimental medical researchers
Basic statistics for experimental medical researchers Sample size calculations September 15th 2016 Christian Pipper Department of public health (IFSV) Faculty of Health and Medicinal Science (SUND) E-mail:
Læs mereStabilitet af rammer - Deformationsmetoden
Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning
Læs mereBjælkemekanik med tværsnitsdeformation
Forår 2013 Bachelor projekt Bjælkemekanik med tværsnitsdeformation Ali Kazim Jawad Thari, s102929 Under vejledning af: Professor Jeppe Jönsson & Adjunkt Michael Joachim Andreassen Forord Dette er et bachelorprojekt,
Læs mereDeformation af stålbjælker
Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker
Læs mereEric Nordenstam 1 Benjamin Young 2. FPSAC 12, Nagoya, Japan
Eric 1 Benjamin 2 1 Fakultät für Matematik Universität Wien 2 Institutionen för Matematik Royal Institute of Technology (KTH) Stockholm FPSAC 12, Nagoya, Japan The Aztec Diamond Aztec diamonds of orders
Læs mereOversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Eulers metode Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus
Læs mereOscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen
Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra
Læs mereIntroduktion til programmet CoRotate
Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som
Læs mere3 Korrigeret elasticitetsmodul Ikke-linear least-square fitting 27
Indhold 1 Kontrolforsøg 3 Kontinuert system 11 3 Korrigeret elasticitetsmodul 1 FEM-bjælke 17 Integration og filtrering 3 Ikke-linear least-square fitting 7 7 Programopbygning 31 7.1 ARMA......................................
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mere3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser.
Tektonik Program lektion 3 8.15-9.00 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Bestemmelse af stangkræfter Løsskæring af knuder. Rittersnit 10.00 10.30 Pause 10.30
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 17. maj 2016.
Opgave restart; Givet funktionen f:=x-sqrt(*x-); Spørgsmål Mat -timersprøve den 7 maj 6 JE 6 f := x/ x K Funktionen er defineret for x K R x R Dvs Dm f er intervallet [ ;N[ diff(f(x),x,x,x,x); K x K 7/
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereFourier transformationen
MODUL 6 Fourier transformationen Forfattere: Øistein WIND-WILLASSEN & Michael ELMEGÅRD 4. juni 4 Indhold Fourier transformationen 5. Definition og oprindelse.............................. 5.. Funktioner
Læs mereAngle Ini/al side Terminal side Vertex Standard posi/on Posi/ve angles Nega/ve angles. Quadrantal angle
Mrs. Valentine AFM Objective: I will be able to identify angle types, convert between degrees and radians for angle measures, identify coterminal angles, find the length of an intercepted arc, and find
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereNoter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ
Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)
Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),
Læs mere9/25/2003. Arkitektonik og husbygning. Kraftbegrebet. Momentbegrebet. Momentets størrelse. Momentets retning højrehåndsregel. Moment regnes i Nm
Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z
Læs mereFri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet. dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Oversigt [S] 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.
Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge
Læs mereProject Step 7. Behavioral modeling of a dual ported register set. 1/8/ L11 Project Step 5 Copyright Joanne DeGroat, ECE, OSU 1
Project Step 7 Behavioral modeling of a dual ported register set. Copyright 2006 - Joanne DeGroat, ECE, OSU 1 The register set Register set specifications 16 dual ported registers each with 16- bit words
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION. Nr DA
YDEEVNEDEKLARATION Nr. 0020 DA 1. Varetypens unikke identifikationskode: fischer sikkerhedsanker FH II-I 2. Tilsigtet anvendelse: Produkt Moment-kontrolleret ekspansionsanker Anvendelsesområde/r Post-installeret
Læs mereStability of concrete columns
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Oct 15, 19 Stability of concrete columns Gudmand-Høyer, Tim; Nielsen, Mogens Peter Publication date: 5 Document Version Publisher's PDF, also known as Version of record
Læs mereOpgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.
2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereArkitektonik og husbygning
Arkitektonik og husbygning Program lektion 1 8.30-9.15 Rep. af statikkens grundbegreber 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Rep. af gitterkonstruktioner 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder
Læs mereDen frie og dæmpede oscillator
Ida Nissen - 80385 Maria Wulff - 140384 Jacob Bjerregaard - 7098 Morten Badensø - 40584 Fysik Lab.øvelser Uge Den frie og dæmpede oscillator Formål Formålet med denne øvelse er at studere den harmoniske
Læs mereEn introduktion til tyndvæggede bjælker
En introduktion til tyndvæggede bjælker Lars Damkilde Institut for Kemi og Anvendt Ingeniørvidenskab Aalborg Universitet Esbjerg DK-6700 Esbjerg September 2002 Resumé Rapporten omhandler en indføring i
Læs mereOn the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies
S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 23 (2004) 21-27, KONYA On the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies Zekeriya GÜNEY 1 Abstract: In this study, some relations have been generated between fuzzy
Læs mereMontageanvisning Assembly instructions. MultiDicer KMD 12, 18
Montageanvisning instructions MultiDicer KMD 12, 18 2 DK Kongskilde MultiDicer KMD 12 og KMD 18 samles som vist på efterfølgende tegninger. 1. Tegning 121117963 Kongskilde MultiDicer leveres fra fabrikken
Læs mere2. ordens differentialligninger. Svingninger.
arts 011, LC. ordens differentialligninger. Svingninger. Fjederkonstant k = 50 kg/s s X S 80 kg F1 F S er forlængelsen af fjederen, når loddets vægt belaster fjederen. X er den påtvungne forlængelse af
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereSlot diffusers. Slot diffusers LD-17, LD-18
LD-17, LD-18 Application LD-17 and LD-18 are designed for supply of cold or warm air in rooms with a height between. m and 4 m. They allow easy setting of air deflectors for different modes of operation
Læs mereOn the complexity of drawing trees nicely: corrigendum
Acta Informatica 40, 603 607 (2004) Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s00236-004-0138-y On the complexity of drawing trees nicely: corrigendum Thorsten Akkerman, Christoph Buchheim, Michael Jünger,
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION nr. IG10015
YDEEVNEDEKLARATION nr. IG10015 1. Byggevaretype: Faste lodrette trafikskilte 2. Byggevareidentifikation: Rørgalger med monterede færdselstavler 3. Byggevarens tilsigtede anvendelse: Stationære, vertikale
Læs mereBehaviour of Concrete Slabs Subjected to Transverse Load and Compressive Axial Forces
epartment of Civil Engineering Behaviour of Concrete Slabs Subjected to Transverse Load and Compressive Aial Forces Volume 5 P H T H E S I S BYG TU Behaviour of Concrete Slabs Subjected to Transverse Load
Læs mereDoodleBUGS (Hands-on)
DoodleBUGS (Hands-on) Simple example: Program: bino_ave_sim_doodle.odc A simulation example Generate a sample from F=(r1+r2)/2 where r1~bin(0.5,200) and r2~bin(0.25,100) Note that E(F)=(100+25)/2=62.5
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereSpørgsmål 2 (5%) Formuler systemets bevægelsesligninger og begyndelsesbetingelser på tilstandsform.
SKRIFTLIG EKSAMEN I STRUKTUREL DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 7. seester Onsdg den 5. jnur 003 kl. 09.00-3.00 Alle hjælpeidler er tilldt OPGAVE c A EI, µ =0 B EI, µ =0 C k Figuren viser en vndret,
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereBetonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)
Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering
Læs mereNumeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method
Numeriske metoder 2011: Adams-Bashforth-Moulton Predictor-Corrector method Rasmus Søgaard Christensen (2008 4030) 10. juli 2011 Indhold Indhold 1 1 Introduktion 2 1.1 Systemet under betragtning.......................
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION. Nr DA
YDEEVNEDEKLARATION Nr. 0035 DA 1. Varetypens unikke identifikationskode: fischer zykonanker FZA, FZA-I, FZA-D 2. Tilsigtet anvendelse: Produkt Metalanker til brug i beton (svær befæstigelse) Anvendelsesområde/r
Læs mere2 Den lineære bølgeligning
Sidse Damgaard Årskortnummer 20062443 1 Indledning I denne opgave skal vi se på den numeriske løsning af den ikke-lineære bølgeligning. Den ikke-lineære bølgeligning beskriver longitudinale trykbølger
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION. Nr DA
YDEEVNEDEKLARATION Nr. 0078 DA 1. Varetypens unikke identifikationskode: fischer Betonskrue ULTRACUT FBS II 2. Tilsigtet anvendelse: Produkt Metalanker til brug i beton (svær befæstigelse) Anvendelsesområde/r
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION. Nr DA
YDEEVNEDEKLARATION Nr. 0017 DA 1. Varetypens unikke identifikationskode: fischer betonskrue FBS, FBS A4 og FBS C 2. Tilsigtet anvendelse: Produkt Metalanker til brug i beton (svær befæstigelse) Anvendelsesområde/r
Læs mereLecture in Nonlinear FEM on. the Building- and Civil Engineering sectors 8.th. semester for
Lecture in Nonlinear FEM on the Building- and Civil Engineering sectors 8.th. semester for the Building- and Civil Engineering, B8k, and Mechanical Engineering, B8m AALBORG UNIVERSITY ESBJERG, DENMARK
Læs mereStatik og styrkelære
Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2009
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2009 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION. Nr DA. Anvendelsesområde/r Post-installeret befæstigelse i ikke-revnet beton, Se appendiks, specifikt appendiks B 1 - B 3
YDEEVNEDEKLARATION Nr. 0015 DA 1. Varetypens unikke identifikationskode: fischer ankerbolt FBN II, FBN II A4 2. Tilsigtet anvendelse: Produkt Moment-kontrolleret ekspansionsanker Anvendelsesområde/r Post-installeret
Læs mereUniversity of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 16. April 2010 Algebra This exam contains 5 exercises which are to be solved in hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version.
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner
Læs mereYDEEVNEDEKLARATION. DoP: 0084 til fischer Highbond-Anchor FHB II Inject (Limanker til anvendelse i beton) DA
YDEEVNEDEKLARATION DoP: 0084 til fischer Highbond-Anchor FHB II Inject (Limanker til anvendelse i beton) DA 1. Varetypens unikke identifikationskode: DoP: 0084 2. Tilsigtet anvendelse: Post-installeret
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder
Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen September 0, 016 1 Lineære ODE er af første orden 1.1 De grundlæggende definitioner Definition 1.1. Lineære ODE er af første orden er ODE
Læs mereProgram lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.
Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger
Læs mereEngelsk. Niveau C. De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005. Casebaseret eksamen. www.jysk.dk og www.jysk.com.
052430_EngelskC 08/09/05 13:29 Side 1 De Merkantile Erhvervsuddannelser September 2005 Side 1 af 4 sider Casebaseret eksamen Engelsk Niveau C www.jysk.dk og www.jysk.com Indhold: Opgave 1 Presentation
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mere