Oscillator. Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen

Transkript

1 Oscillator Af: Alexander Rosenkilde Alexander Bork Christian Jensen

2 Oscillator øvelse Formål Øvelse med oscillator, hvor frekvensen bestemmes, for den frie og dæmpede svingning. Vi vil tilnærme data fra målinger og bestemme usikkerhed og bestemme hvilken funktion, der bedst muligt tilpassser oscillatorens bevægelse. Statiske målinger: Loddets vægt: Fjederens vægt: Fjederforlængelse x: Loddetsvægt med papskive kg kg m kg Fjederkonstanten bestemmes ad Newtons anden lov i ligevægtsstillingen. Tyngdekraften Fg er lig fjederkraften f. f =Fg k = mg/x Fjederkonstanten: k= [N/m] Teori For den fri udæmpede harmoniske oscillator er bevægelsesligningen givet ved Som har den generelle løsning hvor vinkelfrekvensen er Og svingningstiden for en periode Teoretisk svingningstid: og frekvens: Svingningstid med papskive frekvens Generelt er frekvensen givet ved f s 1.47 s^ s 1.37 s^-1 =1/T =w_0/(2*pi) =sqrt(k/m)/(2*pi)

3 Dynamiske målinger: Vi laver tre forsøg med tre målinger i hver, dog kun to i den sidste. I første forsøg og sidste forsøg ser vi kun på loddet og indsamler data for dets svingninger. I sidste er der gnidning mod en metalplade. I andet forsøg indsamles data for svingninger, med et lod med luftmodstand. Vha. programmet LabView optages kurver over den frie harmoniske oscillators bevægelse og bestemmer dens frekvens og dæmpning fra svingning til svingning. Disse data bliver lagt ned på en USB stick og forsigtigt bragt til en Linux computer og analyseret i programmet GNUPLOT. Vi har prøvet at tage så mange af de kommandoer med som vi har brugt undervejs. Forsøg 1. Lod Dynamisk måling af svingningstid for lod i fjeder. 1. Måling gnuplot> p '/media/usbdisk/sving1.txt'

4 Herover ses data fra et helt run i Labview. Benævnelse på akserne, x, tid 50 ms mellem hver måling. Ved 700 målinger, har runnet varet i 35 sekunder. y, amplitude Instrumentet måler en spændingsforskel, ved loddets udsving og omregner dette til en amplitude. Fra ca. 0-60, kan man se at loddet ikke bevæger sig. Det skyldes, at vi først forlængede fjederen efter runnet startedes i Labview. Da vi ikke kan resonere om et lods svingningstid, når det står stille, ser vi bort fra dette.

5 Vi går i stedet helt tæt på, og ser på et mindre interval, for at kunne sige mere om, hvilken bevægelse, der er tale om. gnuplot> set xrange [100:120]

6 Vi vil nu prøve at tilnærme en funktion til dette plot. Vi prøver at tilpasse en sinusfunktion til data. gnuplot> a=1.4;b=0.5;c=1;d=2.75 gnuplot> f(x)=a*sin(b*x+c)+d gnuplot> fit f(x) '/media/usbdisk/sving1.txt' via a,b,c,d Først gætter vi på de konstanter, der indgår i sinusfunktionen Funktionen defineres Her fittes den definerede funktion til data Det giver følgende resultater: (Man kan se, at GNUplot brugte 8 iterationer på et tilpasse sinusfunktion, med et chi-kvadrat på ) After 8 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : rel. change during last iteration : e-09 degrees of freedom (ndf) : 17 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (0.2967%) b = / ( %) c = / (0.617%) d = / (0.1006%) correlation matrix of the fit parameters: a b c d a b c d

7 Plot for første måling med tilpasset funktion Man kan ikke umiddelbart se med det blotte øje at den fittede funktion skulle afvige fra de målte værdier. Funktionen synes altså at være en god tilpasning. Dette angvier Gnuplot også ud fra sqrt(wssr/ndf) : Måling Samme fremgangsmåde, som ved første måling. En sinusfunktion tilpasses data fra anden måling. Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (3.675%) b = / ( %) c = / (0.7504%) d = / (0.1832%) h = / (45.84%)

8 3. Måling degrees of freedom (ndf) : 46 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (4.1%) b = / (0.0415%) c = / (0.8924%) d = / (0.138%) h = / (35.59%) Forsøg 2. Lod papskive: 1. Måling. Plot med samtlige data.

9 Man kan se at loddets svingning, bliver dæmpet meget kraftigt efter loddet er sat i gang. Dataene tilpasses med en eksponentialfunktion. gnuplot> a=2.2;b=0.45;c=1;d=2;h=-0.01 gnuplot> f(x)=exp(h*x)*a*sin(b*x+c)+d gnuplot> fit f(x) '/media/usb_disk/oscillator/sving1luft.txt' via a,b,c,d,h Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (1.412%) b = / ( %) c = / (0.228%) d = / ( %) h = / (1.487%) correlation matrix of the fit parameters:

10 a b c d h a b c d h Funktionen er endnu engang en god tilpasning. Denne gang har vi tilført en dæmpningsfaktor, da den øgede luftmodstand gør, og lodets svingninger dæmpes. Der blev denne gang fittet efter funktionen: f(x)=exp(h*x)*a*sin(b*x+c)+d. Vi foretog ydeligere to målinger til sammenligning. 2. Måling Final set of parameters Asymptotic Standard Error

11 ======================= ========================== a = / (2.438%) b = / ( %) c = / (0.6407%) d = / (0.1017%) h = / (2.118%) 3. Måling Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (4.261%) b = / ( %) c = / (0.2979%) d = / (0.114%) h = / (2.58%)

12 Forsøg 3 Lod med gnidning mod metal. Denne gang gned lodet op imod en metalskinne. Dette gav en øget dæmpning. gnuplot> a=4.5;b=0.45;c=1;d=2;h=-0.01 gnuplot> f(x)=exp(h*x)*a*sin(b*x+c)+d Vi fittede efter samme ligning som i forsøg 2. Fittet bliver endnu engang en god tilnærmelse. degrees of freedom (ndf) : 46 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf :

13 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (2.021%) b = / (0.0415%) c = / (10.01%) d = / ( %) h = / (1.358%) correlation matrix of the fit parameters: a b c d h a b c d h Måling degrees of freedom (ndf) : 46 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (2.587%) b = / ( %) c = / (0.318%) d = / ( %) h = / (1.435%)

14 Dyna m is k Må lin g b % a fv b T F Spre d nin g Fre k v+ a fv. Fre k ve n s -a fv. sqrt(chi) Fo rs ø g 1 0, , , , , , , , Fo rs ø g 2 0, , , , , , , Fo rs ø g 3 0, , , , , , , , Dyna m is k Må lin g m e d luftm o d s ta n d b % a fv b T F Spre d nin g Fre k v+ a fv. Fre k ve n s -a fv. s q rt(c h i) Fo rs ø g 1 0, , , , , , , Fo rs ø g 2 0, , , , , , , Fo rs ø g 3 0, , , , , , , Dyna m is k Må lin g m e d g n id n in g s m o d s ta nd b % a fv b T F Spre d nin g Fre k v+ a fv. Fre k ve n s -a fv. s q rt(c h i) Fo rs ø g 1 0, , , , , , , , Fo rs ø g 2 0, , , , , , , , Forklaring af regneark Approksimeret funktion til 1. forsøg. a*sin(b*x+c)+d Approksimeret funktion til 2. og 3. forsøg f(x)=exp(h*x)*a*sin(b*x+c)+d b : GNUplot-værdi, for b i den approksimerede funktion. % afv. b : GNUplots værdi for % afvigelse af b T [s] : Svingningstiden: ((2*Pi)/b)/20 F [s^-1] : Frekvens: 1/T Spredning [s^-1] : ((% afv b)/100)*f Frekv+afv. [s^-1] : F+Spredning [s^-1] Frekvens-afv.[s^-1] : F-Spredning sqrt(chi): : Den totale afvigelse taget fra Gnuplot.

15 Lineær tilpasning. Forsøg 2. Måling 1 Med luftmodstand degrees of freedom (ndf) : 116 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (1.1%) b = / ( %) c = / (0.3646%) d = / (0.1313%) g = / e-05 ( %)

16 Med gnidning degrees of freedom (ndf) : 46 rms of residuals (stdfit) = sqrt(wssr/ndf) : variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : e-05 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== a = / (0.5734%) b = / ( %) c = / (1.529%) d = / ( %) g = / e-05 ( %)

17

18 Sammenligning af resultater Vi har bestemt frekvensen for de forskellige svingninger og angivet dem med usikkerhed. Det viser sig at vi får en meget lille afvigelse i alle tilfælde. Vi har dermed vist at teorien stemmer overens med den praktiske udførsel af forsøget. Afvigelsen kan skyldes, at der går energi tabt i fjederen. I teorien beregnede vi en teoretisk værdi for oscillatoren. Denne værdi var Teoretiske værdi for frekvensen: 1.47 [s^-1]. I praksis lå vores målinger i intervallet [s^-1]. Og man kan se at frekvensen er mindre, dæmpet. Det hænger sammen med at der er luftmodstand og vi har heller ikke tager højde for at fjederen har en masse. Ved en større masse fås en mindre frekvens, jf. Teori. Ved forsøg med papskiven, dæmpes svingningen meget kraftigere og det skyldes den øgede luftmodstand. Hvad dæmpningen angår blev vi overbevist om at dæmpningen beskrives bedst med lineær dæmpning for en lille dæmpning og ved større dæmpninger som den med luftmodstand, skal sinusfunktionen ganges med en eksponentialfunktion. Desuden ved vi også at luftmodstanden afhænger af lodets hastighed, imens gnidningen op af en skinne er den samme uanset hastighed. Konklusion Vi konkluderer at det er muligt at eftervise teorien for orscilator. Vi fik nogle gode målinger der stemte godt overens med teorien og vi fik endda undersøgt dæmpningen både linært og eksponentielt.