Bjælker på elastisk underlag
|
|
- Søren Paulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Bjælker på elastisk underlag Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby Februar 1998
2 Resumé Rapporten omhandler beregning af bjælker på elastisk underlag. Indledningsvis optilles den styrende dierentialligning, og der udledes de kendte løsninger for henholdsvis enkeltkraft og moment på en uendelig bjælke. Der vises nogle eksempler på anvendelse af bjælker på elastisk underlag i forbindelse med beregning af bygningskonstruktioner. Herefter udledes løsninger for bjælker af endelig længde udsat for påvirkninger i endepunkterne. Disse løsninger kan anvendes i forbindelse med elementmetodeberegninger af bjælkekonstruktioner, og der udvikles både eksakte og tilnærmede løsninger.
3 i Forord Forelæsningsnotatet er skrevet til brug i kurset 59422, Edb-metoder for rammekonstruktioner. Formålet er at give en kort introduktion til den bagvedliggende teori samt at vise nogle kendte klassiske løsninger og eksempler på anvendelser. Der anvises endvidere, hvorledes det elastiske underlag kan medtages i en elementmetodeformulering enten på basis af den eksakte løsning for en endelig bjælke eller v.h.a. tilnærmede formfunktioner. Lyngby, Februar 1998 Lars Damkilde
4 1 Bjælker på elastisk underlag I forbindelse med modellering af bærende konstruktioners opførsel kan det være fordelagtigt at kende til begrebet "Bjælker på elastisk underlag". Som eksempler på anvendelser kan nævnes stabilitetsberegninger for tyndvæggede bjælker, beregning af rotationssymmetriske skaller og geoteknisk analyse af tværbelastede pæle. En grundlæggende beskrivelse af emnet kan ndes i [1]. Matematisk model Der betragtes en bjælke med konstant EI, og som understøttes på et lag, der yder modstand proportionalt med bjælkens udbøjning. Fig. 1: Bjælke på elastisk underlag Underlagets modstand mod deformation beskrives ved fjederkonstanten, k, der har enheden N/m 2. Det bemærkes, at modstanden mod bevægelse gælder for bevægelser af bjælken i begge retninger. I modellen medtages kun mostand mod bevægelse vinkelret på bjælkeaksen, men der kan også opstilles modeller for modstand mod bevægelser i aksial retning. Fjederkonstanten antages konstant uafhængig af tværytninger w(x). I modsat fald ville der være tale om et ikke-lineært problem. Den styrende dierentialligning for problemet fås ved at betragte en innitesimal del af bjælken, som vist i Figur 2. Udbøjningerne antages små, og forskydningstøjningerne regnes for ubetydelige. Der betragtes en plan bjælke med bøjningsmoment M og forskydningskraft V. Lodret projektion giver Fig. 2: Kræfter på bjælkeudsnit V (V + dv ) + kw(x)dx p(x)dx = 0 (1) hvilket medfører dv dx = kw(x) p(x) (2)
5 2 Fjederkonstanten k antages for enkelthedens skyld uafhængig af x. Momentligevægten giver det velkendte resultat fra den tekniske bjælketeori V = dm dx Bjælkematerialet antages lineært-elastisk, og dermed er den konstitutive lov M EI = w,xx hvor w,xx betyder w dierentieret 2 gange med hensyn til x. Ved at indsætte (3) og (4) i (2) ndes den styrende dierentialligning som EIw,xxxx = p(x) kw (3) (4) (5) For k = 0 giver (5) den sædvanlige ligning fra den tekniske bjælketeori. Løsninger for uendelig bjælker I dette afsnit opstilles løsninger for en uendelig lang bjælke påvirket af enten en enkeltkraft eller moment i x = 0. Disse specialtilfælde viser nogle karakteristika ved bjælker på elastisk underlag. I dierentialligningen bortfalder leddet med den fordelte last p, og samtidig gøres dierentialligningen dimensionsløs ved indførelse af λ. w,xxxx + 4λ 4 w = 0 (6) hvor 1/λ er en karakteristisk længde. Parameteren λ er deneret ved λ = ( k ) 1/4 4EI (7) Den karakteristiske længde angiver en typisk bølgelængde i løsningen. Den fuldstændige løsning til den homogene dierentialligning skrives som: w(x) = e λx [c 1 cos λx + c 2 sin λx] + e λx [c 3 cos λx + c 4 sin λx] (8) Tilfældet med en enkeltkraft P i x = 0 som vist i Figur 3 ønskes løst. Fig. 3: Enkeltkraft på uendelig bjælke De re arbitrære konstanter c 1, c 2, c 3 og c 4 skal bestemmes ud fra randbetingelserne. Løsningen skal være begrænset for x ±, og det betyder, at faktoren til e λx skal være 0. Det kan kun opfyldes for c 1 = c 2 = 0. Løsningen skal være symmetrisk om x = 0, hvilket giver w,x (0) = 0 (9)
6 3 Ved dierentation af (8) ndes at c 3 = c 4 = c for at (9) er opfyldt. Den sidste konstant bestemmes således, at summen af fjederkræfterne svarer til P. 1 2 P = 0 = kc λ kwdx = kc [ e λx cos λx ] 0 = kc λ 0 e λx [cos λx + sin λx] dx Løsningen for en enkeltkraft på en uendelig bjælke bliver hermed. (10) w(x) = P λ 2k e λx [cos λx + sin λx] (11) Dette svarer til en dæmpet svingning, hvor bjælken får både positive og negative tvær- ytninger. Dette karakteristisk oscillerende forløb er f.eks. også karakteristiske ved skalproblemer. Moment og forskydningskraft ndes ved dierentation, og de har det samme karakteristiske forløb, idet der dog for x = 0 er knæk i momentkurven og spring i forskydningskraften. For x > 0 ndes M(x) = P 4λ e λx [cos λx sin λx] V (x) = P 2 e λx cos λx (12) Løsningen for et moment M i x = 0 ndes ved hjælp af ovenstående løsning. Momentet opfattes som et kraftpar, som vist i Figur 4. Fig. 4: Moment på uendelig bjælke Momentet M er givet ved P a. Løsningen ndes ved superposition af løsningen fra (11). hvor w(x) = P λ 2k (f(x a/2) f(x + a/2)) (13) f(x) = e λx [cos λx + sin λx] (14) Idet M = P a skrives (13) som w(x) = Mλ f(x + a/2) f(x a/2) 2k a (15)
7 4 Det sidste led svarer til den aedede af f med hensyn til x, og man får w(x) = Mλ2 k e λx sin λx (16) Det principielle forløb er som ved enkeltkraften. Parameteren λ beskriver afklingningens forløb. Anvendelser Nedenfor er kort beskrevet 3 typiske anvendelser. I forbindelse med stabilitetsundersøgelser af tyndvæggede I-bjælker anvendes i den nye EuroCode for stål (EC3) en model baseret på bjælker på elastisk underlag. Der betragtes en I-bjælke, hvis øvre ange tænkes fastholdt af en tagbeklædning. Belastningen er opadrettet (vind), og dette giver tryk i den nedre ange. Den trykkede ange vil pga. trykspændingerne forsøge at bøje ud på tværs. Kroppen i I-bjælken modvirker denne bevægelse svarende til et elastisk underlag. Fig. 5: Stabilitetssvigt i I-bjælke I stabilitetsberegningen inddrages det elastiske underlag, jvf. afsnit om elementmetodeberegning. Et karakteristisk træk er, at stabilitetssvigtet vil have ere knudepunkter. Jo større relativ stivhed det elastiske underlag har, jo ere knudepunkter (jvf. parameteren λ). Som eksempel på en rotationssymmetrisk skal betragtes en cylinderskal, som vist i Figur 6. Fig. 6: Cylinderskal Materialet er isotropt med Youngs modulus E og Poisson's forhold ν. Tværytningen w(z) medfører en tangentiel tøjning giver ved ɛ θ = w(z) 1 R (17)
8 5 Denne tøjning giver en normalkraft i tangentiel retning givet ved N θ = Etɛ θ = Et 1 w(z) (18) R Denne normalkraft svarer til et hydrostatisk tryk langs periferien givet ved n(z) = N θ R = Et w(z) (19) R2 Bøjning i skallen er givet ved M = EIw,zz (z) hvor M er bøjningsmomentet i skallen, og EI = E 1 1 ν t3. Den styrende dierentialligning kan beskrives ved EIw,zzzz (z) = p(z) n(z) (21) hvor p(z) er den ydre belastning på skallen. Belastningen hidrørende fra normalkræfterne i skallen forsøger at forhindre tværytning. Den karakteristiske parameter λ for skalproblemet ndes ved hjælp af (7) til: λ = Et R 2 4 E 1 ν 2 t /4 = ( 3(1 ν 2 ) ) 1/4 (20) 1 Rt (22) Forløbet af bøjningsmomenterne i skalkonstruktioner har det samme oscillerende forløb som løsninger for de uendelige bjælker på elastisk underlag. For tværbelastede pæle i jord anvendes ballasttallet som et udtryk for modstanden fra jorden. Ballasttallet antages uafhængigt af pælens bredde, og svarer derfor direkte til faktoren k i ligning (5). Ballasttallet vil afhænge af jordens konsolidering, og vil derfor stige med dybden. Ved beregning vil komplikationen så være, at k ikke længere kan regnes konstant. Bjælke med endelig længde I dette afsnit opstilles løsninger for bjælker af endelig længde. Belastningen virker alene i bjælkens endepunkter som vist i Figur 7. Fig. 7: Bjælke af endelig længde Den homogene løsning til dierentialligningen fra (6) kan skrives som w(x) = c 1 sinh λx sin λx + c 2 sinh λx cos λx + c 3 cosh λx sin λx + c 4 cosh λx cos λx (23)
9 6 Løsningen svarer i princippet til (8), men formuleringen her er mere egnet til de følgende beregninger. Elementarløsninger til en drejning eller ytning af det ene endepunkt samtidig med at de øvrige ytninger/drejninger holder fast bestemmes i det følgende. 1. Elementartilfælde w(0) = 1 w (0) = 0 w(l) = 0 w (l) = 0 (24) Ud fra disse 4 randbetingelser kan de arbitrære konstanter, c 1, c 2, c 3 og c 4 i formel (23) bestemmes. I beregningerne indføres følgende forkortelser: s = sin λl s = sinh λl c = cos λl c = cosh λl (25) Efter nogle beregninger ndes w 1 (x) = 1 [ (s 2 + s 2 s 2 s ) sinh λx sin λx + (sc + s 2 c ) sinh λx cos λx (sc + s c ) cosh λx sin λx + (s 2 s 2 ) cosh λx cos λx ] (26) 2. Elementartilfælde w(0) = 0 w (0) = 1 w(l) = 0 w (l) = 0 (27) Svarende til 1. elementartilfælde bestemmes de arbitrære konstanter, og efter nogen regning ndes: w 2 (x) = 1 1 [(sc s λ s 2 s 2 c ) sinh λx sin λx+ s 2 sinh λx cos λx + s 2 cosh λx sin λx ] (28) De 2 øvrige elementartilfælde kan fås ved symmetribetragtninger eller ved direkte beregning. Ud fra ytningsfeltet kan snitkræfterne bestemmes ved passende dierentation. Hermed kan opstilles en stivhedsmatrix, der giver sammenhængen mellem knudekræfter og knude- ytninger.
10 7 Efter nogle beregninger ndes: hvor f k 11 k 12 k 13 k 14 k 21 k 22 k 23 k 24 k 31 k 32 k 33 k 34 k 41 k 42 k 43 k 44 w 1 θ 1 w 2 θ 2 = P 1 M 1 P 2 M 2 (29) k 11 = 4(λl) 2 (s c + sc) = k 33 k 22 = 2l 2 (s c sc) = k 44 k 12 = 2l(λl)(s 2 + s 2 ) = k 34 k 13 = 4(λl) 2 (sc + s c) k 14 = 4l(λl)ss = k 23 k 24 = 2l 2 (sc s c) f = λ EI 1 l 2 s 2 s 2 En stiftlegemebevægelse vil for dette element føre til knudekræfter, idet det elastiske underlag får deformationer. Af hensyn til den senere elementmetodeformulering ud fra tilnærmede formfunktioner laves en rækkeudvikling af stivhedsmatricen (29). Rækkeudviklingen udføres på parameteren (λl). Efter en del regning ndes ( K beam + k K layer) v = r (31) hvor K beam er den sædvanlige stivhedsmatrix for et bjælkeelement, og K layer er bidraget fra det elastiske lag. Ved at vælge bjælkeelementets længde passende lille kan den tilnærmede løsning i (31) gøres vilkårlig n. K layer = l 420 Tilnærmede formfunktioner l 54 13l 22l 4l 2 13l 3l l l 13l 3l 2 22l 4l 2 Bestemmelsen af stivhedsrelationen i (29) skete på basis af en løsning til den styrende differentialligning udtrykt igennem elementarløsningerne (26) og (28). Ved mere komplekse problemstillinger som f.eks. stabilitetsberegninger eller hensyntagen til forskydningseksibilitet i bjælken er det imidlertid ikke altid muligt at løse den styrende dierentialligning. Et alternativ er at benytte tilnærmede udtryk for elementarløsningerne svarende til de sædvanligt 3'grads polynomier for bjælkeelementer. Flytningen w(x) skrives som w(x) = N v (30) (32) (33)
11 8 hvor N ytningsinterpolationsmatricen, og v knudeytningerne. Svarende til udledningen i [2], side bestemmes nu bidraget fra det elastiske lag. Det elastiske lag har spændingerne kw(x), og dette udsættes for en virtuel ytning δw(x). Det virtuelle indre arbejde ndes ved at integrere bidraget op over elementet. A indre = V kw(x)δw(x)dx (34) Indsættelse af ytningsinterpolationen fra (33) giver A indre = vt ( V kn T Ndx)δv = v T K δv (35) Bidraget fra det elastiske lag er da direkte givet ved K. Indsættelse af formfunktionerne og udregning giver ikke overraskende resultater: K = K layer (36) De tilnærmede formfunktioner giver altså en stivhedsmatrix, der er en korrekt 1. ordens tilnærmelse til den eksakte. I Frame2D, [3], er der indlagt et elastisk underlag svarende til (36). Anvendelse af elastiske underlag kan delvis simuleres med fjedre som vist i nedenstående Figur 8. Fig. 8: Tilnærmet elementmodel Fjederkonstanterne k 1 og k 2 giver alene bidrag til k 11, k 22, k 33 og k 44. Størrelsen af k 1 bestemmes ved at give systemet en konstant ytning, og de 2 translationsfjedre skal yde den samme modstand som laget, og ikke overraskende fås: k 1 = 1 2 kl (37) Fjederkonstanten k 2 bestemmes ved at give systemet en drejning i den ene ende, og man får: k 2 = kl2 (38) I den lumpede udgave af stivhedsmatricen medtages ikke o-diagonal elementerne. Det giver forkerte resultater for f.eks. v T = (1, 0, 1, 0) og v T = (0, 1, 1, 0).
12 9 Litteratur [1] Hetényi, M. Beams on Elastic Foundation, Oxford University Press, [2] Damkilde, L. Elementmetoden for bjælkekonstruktioner., Afdelingen for Bærende Konstruktioner, Danmarks Tekniske Højskole, F 118, [3] Damkilde, L. FRAME2D vrs. 1.0, User documentation, 1992.
Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden
Stabilitet af rammer - Deformationsmetoden Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby September 1998 Resumé Rapporten omhandler beregning
Læs mereDeformationsmetoden. for rammekonstruktioner
Deformationsmetoden for rammekonstruktioner Lars Damkilde og Peter Noe Poulsen BYG DTU Januar 2002 Resumé Rapporten omhandler anvendelse af deformationsmetoden til beregning af statisk ubestemte rammer.
Læs mereProgram lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.
Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger
Læs mereEn introduktion til tyndvæggede bjælker
En introduktion til tyndvæggede bjælker Lars Damkilde Institut for Kemi og Anvendt Ingeniørvidenskab Aalborg Universitet Esbjerg DK-6700 Esbjerg September 2002 Resumé Rapporten omhandler en indføring i
Læs mere11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger
Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning
Læs mereProgram lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter
Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul
Læs mereAvancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation
Avancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation Advanced beam element with distorting cross sections Kandidatprojekt Michael Teilmann Nielsen, s062508 Foråret 2012 Under vejledning af Jeppe Jönsson,
Læs mereInuenslinier. Lars Damkilde. Institut for Kemi og Anvendt Ingeniørvidenskab Aalborg Universitet Esbjerg DK-6700 Esbjerg
Inuenslinier Lars Damkilde Institut for Kemi og Anvendt Ingeniørvidenskab Aalborg Universitet Esbjerg DK-6700 Esbjerg September 2002 Resumé Rapporten omhandler beregning af inuenslinier for rammekonstruktioner.
Læs mereElementmetoden for bjælkekonstruktioner
Elementmetoden for bjælkekonstruktioner Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Højskole DK-2800 Lyngby Resumé Rapporten omhandler teorien for opbygningen af et
Læs mereElementmetodeformulering af tyndvæggede bjælker
Elementmetodeformulering af tyndvæggede bjælker Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Universitet DK-2800 Lyngby April 1999 Resumé Rapporten omhandler en systematisk
Læs mereGrundlæggende elementmetode. for. Bjælker og Rammer
Grundlæggende elementmetode for Bjælker og Rammer 1. udg. februar 6 Sven Krabbenhøft Indholdsfortegnelse 1 Indledning 1 Bjælkekonstruktioner 3.1 Indledning 3. okalanalyse 6..1 Den direkte metode 7.3 ransformation
Læs mereEftervisning af bygningens stabilitet
Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.
Læs mereDS/EN 15512 DK NA:2011
DS/EN 15512 DK NA:2011 Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering. Forord Dette nationale anneks (NA) er det første danske NA
Læs mereSTÅLSØJLER Mads Bech Olesen
STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet
Læs mereKursusgang 10: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus anden del
1 elementmetodeprogrammet Abaqus anden del Kursus: Statik IV Uddannelse: 5. semester, bachelor/diplomingeniøruddannelsen i konstruktion Forelæser: Johan Clausen Institut for Byggeri og Anlæg Efterår, 2010
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereIntroduktion til programmet CoRotate
Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDeformation af stålbjælker
Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker
Læs mereKursusgang 9: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus første del
1 elementmetodeprogrammet Abaqus første del Kursus: Statik IV Uddannelse: 5. semester, bachelor/diplomingeniøruddannelsen i konstruktion Forelæser: Johan Clausen Institut for Byggeri og Anlæg Efterår,
Læs mereEn introduktion til beregning af rammekonstruktioner med lineært-elastisk/ideal-plastisk materialeopførsel
En introduktion til beregning af rammekonstruktioner med lineært-elastisk/ideal-plastisk materialeopførsel Lars Damkilde Institut for Bærende Konstruktioner og Materialer Danmarks Tekniske Højskole DK-2800
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereStatik og styrkelære
Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer
Læs mereiha.dk Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay K u = U Bjælkens differentialligning Arbejdsligningen FEM formulering
Finite Element Method Stænger, Gitre, Rammer og Søjler. p(x) M V+dV V M+dM Bjælkens differentialligning dx + Ai Ay Arbejdsligningen K u U FEM formulering P p s s P Eksempel Opgave marts 7, C Den Store
Læs mereVEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA
VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA TL-Engineering oktober 2009 Indholdsfortegnelse 1. Generelt... 3 2. Grundlag... 3 2.1. Standarder... 3 3. Vindlast... 3 4. Flytbar mast... 4 5. Fodplade...
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereAnalyse af en glasfiberbjælke
Analyse af en glasfiberbjælke Civilingeniør i Bygge og Anlægskonstruktion Aalborg Universitet 1. semester 19. december 2008 Gruppe B205 De Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige Fakulteter Byggeri
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereDS/EN DK NA:2013
COPYRIGHT Danish Standards Foundation. NOT FOR COMMERCIAL USE OR REPRODUCTION. Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering Forord
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereINDHOLDSFORTEGNELSE DEL I FORSØG... 3 DEL II ANALYTISKE MODELLER...31 DEL III NUMERISKE MODELLER...43
Indholdsfortegnelse INDHOLDSFOREGNELSE DEL I FORSØG... 3 A Elastiske konstanter...5 A. Dataopsamling...5 A. Brudstyrkemåling på massivt aluminiumsemne...5 A.3 Elasticitetsmodul og Poissons forhold for
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 4
Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1 Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2 Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse
Læs mereTUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER
pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 7
Betonkonstruktioner Lektion 7 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Faculty of Engineering 1 Bøjning i anvendelsestilstanden - Beregning af deformationer og revnevidder Faculty of Engineering 2 Last
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereDet Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet
Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september
Læs mereOpgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0.
alborg Universitet Esbjerg Side 1 af 4 sider Skriftlig røve den 6. juni 2011 Kursus navn: Grundlæggende Statik og Styrkelære, 2. semester Tilladte hjælemidler: lle Vægtning : lle ogaver vægter som udgangsunkt
Læs mere10/9/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter. Indre kræfter.
Statik og bgningskonstruktion Program lektion 8 8.-9.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.15 9. Pause 9. 1.15 Formgivning efter indre kræfter 1.15 1.45 Pause 1.45 1. Opgaveregning Kursusholder Poul
Læs mere= K u = U. Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. Ai = Ay. Bjælkens differentialligning. Arbejdsligningen.
Finite Element Method Stænger, GitreBjælker, Rammer og Søjler. oktober, JPU/C p(x) M V+dV V M+dM Bjælkens differentialligning + Ai = Ay Arbejdsligningen = K u = U FEM formulering p Den Store Danske Encyklopædi
Læs mereELEMENTÆR STATIK. Karl Terpager Andersen 2. udgave POLYTEKNISK FORLAG
ELEMENTÆR STATIK Karl Terpager Andersen 2. udgave POLYTEKNISK FORLAG Elementær statik Af Karl Terpager Andersen 1986 og 1992 Polyteknisk Forlag 2. udgave 1992, 4. fotografiske oplag 1998 1. udgave, digital
Læs mereBøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann
Bøjning i brudgrænsetilstanden Per Goltermann Lektionens indhold 1. De grundlæggende antagelser/regler 2. Materialernes arbejdskurver 3. Bøjning: De forskellige stadier 4. Ren bøjning i simpelt tværsnit
Læs mereLodret belastet muret væg efter EC6
Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan
Læs mereBetonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)
Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg BM7 1 E09
18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks E Trækforsøg... 3 E 1. Teori...
Læs mereBærende konstruktion Vejledning i beregning af søjle i stål. Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint.
Bærende konstruktion Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint. Jens Sørensen 28-05-2010 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 FORORD... 3 BAGGRUND... 4 DET GENNEMGÅENDE EKSEMPEL...
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges BM7 1 E09
18. december 2009 Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges Spændings og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks F Strain gauges... 3 F
Læs mereMURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1
DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb
Læs mereAalborg Universitet. Elementær Teori for Plane Bjælker Byskov, Esben. Publication date: Document Version Også kaldet Forlagets PDF
Aalborg Universitet Elementær Teori for Plane Bjælker Byskov, Esben Publication date: 25 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University Citation for published version
Læs mereFor en grundlæggende teoretisk beskrivelse af metoden henvises bl.a. til M.P. Nielsen [69.1] og [99.3].
A Stringermetoden A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A2 Indholdsfortegnelse Generelt Beregningsmodel Statisk ubestemthed Beregningsprocedure Bestemmelse af kræfter, spændinger og reaktioner Specialtilfælde Armeringsregler
Læs mereDimensionering af samling
Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereCentralt belastede søjler med konstant tværsnit
Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 9 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter. I det flg. udledes en ligning, der opfyldes af hvert enkelt felt.
Læs mereafdeling. Opgaver FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 14
Opgaver Indholdsfortegnelse FEM opgave med stænger Side FEM opgave med 3 stænger Side FEM opgave med gitterkonstruktion Side 8 FEM opgave med bjælke,differentialligning og FEM. Side 4 FEM opgave med bjælke
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBærende konstruktion Vejledning i beregning af søjle i træ. Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint.
Bærende konstruktion Fremgangsmåde efter gennemført undervisning med PowerPoint. Jens Sørensen 21-05-2010 Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 FORORD... 3 BAGGRUND... 4 DET GENNEMGÅENDE EKSEMPEL...
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 11
Betonkonstruktioner Lektion 11 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Facult of Engineering 1 Plader Plade = Plant element belastet vinkelret på pladens plan. m m Bøjende momenter pr. længdeenhed m
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereArmeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen Side 1. Armeringsstål Klasse A eller klasse B?
Bjarne Chr. Jensen Side 1 Armeringsstål Klasse A eller klasse B? Bjarne Chr. Jensen 13. august 2007 Bjarne Chr. Jensen Side 2 Introduktion Nærværende lille notat er blevet til på initiativ af direktør
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske
18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion
Læs mereBeton- konstruktioner. Beton- konstruktioner. efter DS/EN 1992-1-1. efter DS/EN 1992-1-1. Bjarne Chr. Jensen. 2. udgave. Nyt Teknisk Forlag
2. UDGAVE ISBN 978-87-571-2766-9 9 788757 127669 varenr. 84016-1 konstruktioner efter DS/EN 1992-1-1 Betonkonstruktioner efter DS/EN 1992-1-1 behandler beregninger af betonkonstruktioner efter den nye
Læs mereHorisontalbelastet pæl
Horisontalbelastet pæl Anvendelsesområde Programmet beregner bæreevnen for enkeltpæle i lagdelt jord. Både vertikal og horisontal belastning af pælen er tilladt. Desuden kan en eventuel overbygnings stivhed
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne
Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne april 05, LC Den viste halbygning er opbygget af en række stålrammer med en koorogeret stålplade som tegdækning. Stålpladen fungerer som stiv skive i tagkonstruktionen.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 10
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 10 Morten Grud Rasmussen 2. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Det grundlæggende om PDE er Definition 1.1 Partielle differentialligninger
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereTUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.
pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereForskydning og lidt forankring. Per Goltermann
Forskydning og lidt forankring Per Goltermann Lektionens indhold 1. Belastninger, spændinger og revner i bjælker 2. Forskydningsbrudtyper 3. Generaliseret forskydningsspænding 4. Bjælker uden forskydningsarmering
Læs mereOpgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.
2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereF inite E lement M ethod
INGENIØRHØJSKOLEN I ÅRHUS 27. november 2007, LC F inite E lement M ethod 1) Geometri 2) Elementvalg 3) Elementopdeling 4) Materialekonstanter 5) Randbetingelser 6) Belastninger 7) Beregning 8) Vurdering
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mere9/22/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Statikkens grundsætninger for plane konstruktioner: Kraft og momentbegrebet
Statik og bygningskonstruktion Program lektion 5 8.30-9.15 Statikkens grundsætninger for plane konstruktioner: Kraft og momentbegrebet 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning
Læs mereBygningskonstruktion og arkitektur
Bygningskonstruktion og arkitektur Program lektion 9 8.30-9.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk og tværbelastet stålsøjle. 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15 Bæreevnebestemmelse af centralt, ekscentrisk
Læs mereDS/EN DK NA:2014 v2
DS/EN 1993-1-1 DK NA:2014 Nationalt anneks til Eurocode 3: Stålkonstruktioner Del 1-1: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner Forord Dette nationale anneks (NA) er en revision af DS/EN
Læs mereDobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori
Dobbeltspændte plader Øvreværdiløsning Brudlinieteori Per Goltermann 1 Lektionens indhold 1. Hvad er en øvreværdiløsning? 2. Bjælker og enkeltspændte dæk eller plader 3. Bjælkers bæreevne beregnet med
Læs mereyt () p0 cos( t) OPGAVE 1
SKRIFTLIG EKSAMEN I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlægskonstruktion, 8.semester Fredag den 22. juni 2 kl. 9.-3. Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE B yt ) p cos t) l x A Konstruktionen på figuren er lodret
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mereKonstruktionsprincipper for stanseværktøjer AMU nr
Konstruktionsprincipper for stanseværktøjer AMU nr. 47807 INDHOLDSFORTEGNELSE Forord 3 Konstruktion Snit & stans 4 Begreber og forkortelser 4 Beregning af trykplade 4 Beregning af snitplade 4 Beregning
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereBetonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave 1
Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave Data: bredde flange b 50mm Højde 400mm Rumvægt ρ 4 kn m 3 Længde L 4m q 0 kn R 0kN m q egen ρb.44 kn m M Ed 8 q egen q L 4 RL 4.88 kn m Linjelast for egen vægten
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereEnkeltspændte, kontinuerte bjælker statisk ubestemte. Per Goltermann
Enkeltspændte, kontinuerte bjælker statisk ubestemte. Per Goltermann Lektionens indhold 1. Kontinuerte bjælker 2. Bøjning og flydeled 3. Indspændingseffekt 4. Skrårevner og trækkræfter 5. Momentkapacitet
Læs mere11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.
Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereStyring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll
Styring af revner i beton Bent Feddersen, Rambøll 1 Årsag Statisk betingede revner dannes pga. ydre last og/eller tvangsdeformationer. Eksempler : Trækkræfter fra ydre last (fx bøjning, forskydning, vridning
Læs mereImplementering af Eurocode 2 i Danmark
Implementering af Eurocode 2 i Danmark Bjarne Chr. Jensen ingeniørdocent, lic. techn. Syddansk Universitet Eurocode 2: Betonkonstruktioner Del 1-1: 1 1: Generelle regler samt regler for bygningskonstruktioner
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mere3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser.
Tektonik Program lektion 3 8.15-9.00 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Bestemmelse af stangkræfter Løsskæring af knuder. Rittersnit 10.00 10.30 Pause 10.30
Læs mereOpdrift og modstand på et vingeprofil
Opdrift og modstand på et vingeprofil Thor Paulli Andersen Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet 1 Vingens anatomi Et vingeprofil er karakteriseret ved følgende bestanddele: forkant, bagkant, korde, krumning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen
Læs mere