Gert Smolka Universität des Saarlandes 28. Januar 2008

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1 Was ist Logik? Gert Smolka Universität des Saarlandes 28. Januar 2008

2 Logik ist die Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns. Logik untersucht die Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich ihrer Struktur unabhängig von ihrem konkreten Inhalt. Logik ist sowohl ein Teilgebiet der Philosophie als auch der Mathematik und der Informatik. Nach Wikipedia

3 Aristoteles vor Chr.

4 Philosophische Logik Aristoteles, vor Chr. Mathematische Logik George Boole, Laws of Thought 1854 Gottlob Frege, Begriffsschrift 1879 Georg Cantor, Mengenlehre 1895 Bertrand Russell, Typen1910 Kurt Gödel, Unvollständigkeit 1931 Alonzo Church, Lambda-Kalkül 1932 Gerhard Gentzen, Gentzen-Kalküle 1935 Alan Turing, Turing-Maschinen1936 Computationale Logik

5 Aussagen x N y N. x y z N. x + z = y Quantoren, Junktor Namen x, y, z,, + Typen N, B

6 Boole und De Morgan x x = x x (x y) = x (x y) = x y : B B : B B B B={F, T}

7 George Boole

8 Augustus De Morgan

9 Frege, Church : (X B) B f = (f = λx.t) x.s := (λx.s) ( x.fx gx) = ( x.fx) ( x.gx) ( x.fx) = ( x. fx)

10 Gottlob Frege

11 Frege benutzte graphische Notation

12 Alonzo Church

13 Fragen Wie sieht eine minimale logische Sprache aus? Wie sehen Beweisregeln für diese Sprache aus? Wie konstruiert man Beweise mit einem Computer?

14 Terme s,t ::= x s=t s t λx.s x Name

15 Typen σ, τ ::= ξ B σ τ ξ Sorte

16 Typconstraints Jeder Name hat einen fixen Typ s : σ t : σ s : στ t : σ s = t : B st : τ x : σ s : τ λx. s : στ

17 Logische Operationen sind mit Gleichheit ausdrückbar F := ((λxy.x)=(λxy.y)) := λx. x=f T := F := λf. f=λx.t := λf. x. fx := λxy. f. fxy=ftt := λxy. ( x y) := λxy. x y

18 León Henkin,

19 Leibnizsches Gesetz (x=y) = ( f. fx fy) Statt mit Gleichheit kann man auch mit und anfangen

20 Gottfried Wilhelm von Leibniz

21 Mengen sind ausdrückbar Teilmenge von X kann durch Funktion X B dargestellt werden {x x 2 >3x} ==> λx. x 2 >3x x s ==> sx s t ==> λx. sx tx

22 Georg Cantor

23 Russellsche Antinomie Cantor glaubte, dass {x x x} existiert Russell zeigte, das diese Annahme inkonsistent ist ω = λx. (xx) ωω = (ωω) Typen eliminieren das Problem, da xx nicht wohlgetypt ist Inkonsistenz findet sich auch in Freges Begriffsschrift und in Churchs ungetyptem Lambda-Kalkül

24 Bertrand Russell

25 Guiseppe Peano

26 Zahlen sind ausdrückbar 0: N S: NN x. Sx 0 xy. Sx=Sy x=y f. f0 ( x. fx f(sx)) x.fx y. 0+y = y xy. Sx+y = x+sy

27 Russells Satz f:σσb. x. y. fxy = fyy Rasierproblem σ fxy Männer in einem Dorf x rasiert y Mengenproblem σ fxy Mengen y x Halteproblem σ fxy Prozeduren x terminiert für y

28 Turings Satz Es gibt keine Prozedur, die entscheidet, ob eine Prozedur für ein bestimmtes Argument terminiert

29 Alan Turing

30 Beweisregeln s t s t s = t C[ s] C[ t] Modus Ponens Ersetzung s s x t Einsetzung

31 Gültige Formeln als Ausgangspunkte s st st s s = ( s F ) ( s t) = ( t s) Beweis durch Widerspruch Kontraposition x ( λ x. s) t = s t Beta-Konversion

32 Gerhard Gentzen

33 Sequenzen und Rückwärtsstrategie Beweisregeln für Sequenzen statt für Formeln Sequenz s 1,, s n t besteht aus n Annahmen und einer Behauptung Rückwärtsanwendung der Beweisregeln A, t F A t A, sx t x neu A, s t A, s1 t A, s2 t A, s s t 1 2 A s A, s t A t

34 Beweis von Turings Satz f. x. y. fxy= fyy f. x. y. fxy= fyy f. x. y. fxy= fyy y. fxy= fyy fxx= fxx durch Wid. De Morgan ext. Zeugen y:=x F

35 Beweis von Cantors Satz f:σσb. g. x. fxg=g f. g. x. fx=g g. x. fx=g x. fx=λx. fxx fy=λx. fxx fyy=(λx. fxx)y fyy= fyy F durch Wid. Neg, ex. Zeuge g=λx. fxx ex. Zeuge Funktion Beta

36 Beweiser Softwaresysteme, mit denen formale Beweise geführt werden können Interaktiv: Isabelle, Coq, Vollautomatisch: Spass, Vampire, Beweiser werden eingesetzt, um Sicherheitseigenschaften von Computersysteme zu verifizieren Mit Beweisern geführte Beweise sind garantiert korrekt

37 Gödels Unvollständigkeitssatz Es gibt kein endliches Beweissystem, mit dem alle gültige Formeln für z.b. die natürlichen Zahlen abgeleitet werden können. Ab und zu braucht man neue Beweisregeln Enger Zusammenhang mit Turings Satz

38 Kurt Gödel

39 Diät-Beispiel 1. Wenn ich kein Bier zu einer Mahlzeit trinke, esse ich immer Fisch 2. Ich verzichte auf Eis, wenn ich Bier trinke und Fisch esse 3. Wenn ich Eis esse oder kein Bier trinke, dann esse ich keinen Fisch 1. bx fx 2. bx fx ex 3. ex bx fx Äquivalent zu bx (fx ex)

40 Zusammenfassung Logische Operationen können als Funktionen beschrieben werden Logische Sprachen sind einfache funktionale Sprachen Für logische Sprachen können Beweisregeln formuliert werden Formale Beweise kann man mit dem Computer führen und validieren Logik braucht man immer dann, wenn es um Sprache geht Logik ist eine der wichtigsten Grundlagen der Informatik