Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion f,

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1 Fourier-Projektion Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion f, p n f = c k e k, c k = f, e k = 1 f (t)e ikt dt, ist die beste Approximation zu f in der durch das Skalarprodukt, induzierten Norm, d.h. f p n f = q= min f q. d k e k Fourier-Projektion 1-1

2 Fourier-Projektion Die Fourier-Projektion einer quadratintegrierbaren Funktion f, p n f = c k e k, c k = f, e k = 1 f (t)e ikt dt, ist die beste Approximation zu f in der durch das Skalarprodukt, induzierten Norm, d.h. f p n f = q= Darüber hinaus gilt p n f f. min f q. d k e k Fourier-Projektion 1-2

3 Beweis: (i) Orthogonalität: Fourier-Projektion 2-1

4 Beweis: (i) Orthogonalität: f p n f, e j = 0, j n Fourier-Projektion 2-2

5 Beweis: (i) Orthogonalität: f p n f, e j = 0, j n unmittelbare Folge der Orthogonalität der Basis-Funktionen: p n f, e j = c k e k, e j = c k δ k,j = c j, j n Fourier-Projektion 2-3

6 Beweis: (i) Orthogonalität: f p n f, e j = 0, j n unmittelbare Folge der Orthogonalität der Basis-Funktionen: p n f, e j = c k e k, e j = c k δ k,j = c j, j n Subtraktion von f, e j = c j = Behauptung Fourier-Projektion 2-4

7 (ii) beste Approximation: Fourier-Projektion 2-5

8 (ii) beste Approximation: Fehler einer anderen Approximation q = d k e k f q 2 = f p n f + p n f q 2 Fourier-Projektion 2-6

9 (ii) beste Approximation: Fehler einer anderen Approximation q = d k e k f q 2 = f p n f + p n f q 2 mit r = p n f q = f p n f 2 + f p n f, r + + r, f p n f + r 2 Fourier-Projektion 2-7

10 (ii) beste Approximation: Fehler einer anderen Approximation q = d k e k f q 2 = f p n f + p n f q 2 = f p n f 2 + f p n f, r + + r, f p n f + r 2 mit r = p n f q r Linearkombination von e j, j n = f p n f, r = 0 = r, f p n f und f q 2 = f p n f 2 + p n f q 2 Fourier-Projektion 2-8

11 (iii) Normabschätzung: Fourier-Projektion 2-9

12 (iii) Normabschätzung: f p n f p n f, Satz des Pythagoras = f 2 = f p n f 2 + p n f 2, Fourier-Projektion 2-10

13 (iii) Normabschätzung: f p n f p n f, Satz des Pythagoras = d.h. p n f f f 2 = f p n f 2 + p n f 2, Fourier-Projektion 2-11

14 Dirichlet-Kern Die Fourier-Projektion p n f = f, e k e k, e k (x) = e ikx, besitzt die Integraldarstellung mit (p n f )(x) = 1 q n (ξ) = q n (x t) f (t) dt, sin ((n + 1/2)ξ) sin (ξ/2) d.h. p n f lässt sich als Faltung des sogenannten Dirichlet-Kerns q n mit der Funktion f darstellen., Dirichlet-Kern 3-1

15 Beweis: Definition des Skalarproduktes und der Projektion p n f (x) = 1 f (t)e ikt dt e ikx = 1 e ik(x t) } {{ } q n(x t) f (t) dt Dirichlet-Kern 4-1

16 Beweis: Definition des Skalarproduktes und der Projektion p n f (x) = 1 setze ξ = x t und benutze f (t)e ikt dt e ikx = 1 e ik(x t) } {{ } q n(x t) u m + u m u n = un+1 u m, u 1 u 1 f (t) dt Dirichlet-Kern 4-2

17 Beweis: Definition des Skalarproduktes und der Projektion p n f (x) = 1 setze ξ = x t und benutze f (t)e ikt dt e ikx = 1 e ik(x t) } {{ } q n(x t) u m + u m u n = un+1 u m, u 1 u 1 q n (ξ) = ei(n+1)ξ e inξ e iξ 1 = ei(n+1/2)ξ e i(n+1/2)ξ e iξ/2 e iξ/2 f (t) dt Dirichlet-Kern 4-3

18 Beweis: Definition des Skalarproduktes und der Projektion p n f (x) = 1 setze ξ = x t und benutze f (t)e ikt dt e ikx = 1 e ik(x t) } {{ } q n(x t) u m + u m u n = un+1 u m, u 1 u 1 q n (ξ) = ei(n+1)ξ e inξ e iξ 1 Formel von Euler-Moivre, sin t = (e it e it )/(2i) q n (ξ) = = ei(n+1/2)ξ e i(n+1/2)ξ e iξ/2 e iξ/2 sin ((n + 1/2)ξ) sin(ξ/2) f (t) dt Dirichlet-Kern 4-4