Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen

Transkript

1 Lidt historisk om tredje- og fjerdegradsligningen Vi laver et hop til renæssancens Norditalien. Her udarbejdede nogle matematiker i begyndelsen af 1500-tallet algoritmer for tredje- og fjerdegradsligningerne. På den tid holdt man en opdagelse hemmelig. Konkurrerende matematiker udfordrede hinanden i ligningsdueller. Heftige disputter om ophavsretten hørte til hverdagen. del Ferro, en matematikprofessor fra Bologna, var den første til at løse ligningen x + px = q Samme type ligning blev senere klaret af en anden matematiker, Tartaglia. Han afslørede mod tavshedsløfte sin metode for Cardano, astrolog, læge og matematiker i Milano. I en bog 1545 publicerede Cardano løsningsformler for tredjegradsligningen fra del Ferro og Tartaglia samt for fjerdegradsligningen fra Ferrari, en tidligere elev. Det store brøl udbrød! Nicola Tartaglia ( ) Grolamo Cardano ( ) Tredjegradsligningen Generelt kan vi skrive en tredjegradsligningen som ( ) f x = a x + a x + a x + a 0 1. Hvis tredjegradsligningen ikke har et konstantled, a 0 = 0, kan vi skrive f som ( ) = ( + + ) f x x a x a x a 1. Ligningen f ( x ) = 0 har løsningerne x = 0 og 1 0 a x + a x + a =. Andengradsligningen kan vi løse med den sædvanlige løsningsformel for andengradsligninger. 1

2 Lad os se på et andet specialtilfælde, hvor vi relativt nemt kan finde nulpunkter både algebraisk og grafisk. Et tredjegradspolynomium der mangler andengradsleddet og hvor koefficienten til tredjegradsleddet er 1, kan vi skrive som (se notation fra bogen, side 1) f ( x) = x + p x q. I dette tilfælde gælder Cardanos formel for nulpunkter. Cardanos formel siger at f ( x ) = 0 når: q q p q q p q p x = , + > Læs mere om Cardano på Internettet (Girolamo Cardano, )! Lad os vise formlen gælder i tilfældet ( ) for f og finder nulpunkt vha. et tegneprogram. f x = x + 9 x + 4. Først tegner vi grafen Nulpunktet aflæses til x = 0,4581. Vil Cardanos formel give det samme? Vi sætter p = 9 og q = 4 i Cardanos formel og finder at x = = ,58. Vi får samme svar. Nulpunktet er x = 0,4581. Ved at checke med en CAS lommeregner

3 Vi finder den samme løsning som før. Desuden er der også komplekse rødder (parvis kompleks konjugerede) x = 0,1764 ±,059 i. Opgave 1 Opgave Opgave Kan du bruge Cardanos formel til at finde nulpunktet for funktionen f x = x + x + 0? ( ) Følgende ligninger har præcis en reel rod. Løs dem med Cardanos formel. a) x + 5 x =8 b) x + 17 x = 0 Her er en opgave fra en af Tartaglias ligningsdueller: Et træ, 1 m højt, brækkes over, så den afbrækkede del er tredjepotens af den del som er tilbage. Hvor høj er den del som står tilbage? Løs den med Cardanos formel og kontroller med et CAS program. Franskmanden Francois Viéte ( ) som lagde grunden til en moderne algebraisk skrivemåde, opstillede også nye og generelle metoder til løsning af tredjegradsligningen. Francois Viéte ( )

4 Femtegradsligningen Mange matematikere gav sig i kast med femtegradsligningen. Men forsøget skulle vise sig at være uden succes. I begyndelsen af 1800-tallet viste man nemlig at polynomier af højere grad end fire ikke kan løses med almindelige algebraiske metoder. Bedriften plejer at blive tilskrevet to unge genier, nordmanden Abel og franskmanden Galois. Begge fik et kort og tragisk liv. Nils Henrik Abel ( ) Fattigdom og sygdom fordunklede Abels sidste år. Blot 6 år gammel døde han af lungebetændelse i 189. To dage efter hans død kom meddelelsen at han havde fået et professorat i matematik. Galois kom på kant med både skolen og samfundet. For sin politiske opfattelse sad han en tid i fængsel. Bare 0 år gammel døde han 18 i en duel om politik og en pige. Natten før duellen skrev han febrilt. Vel vidende om sin manglende evne til at håndtere skydevåben, ville han for eftertiden bevare sine vigtigste matematiske resultater. Évariste Galois ( ) 4

5 Nye værktøj I dag har vi nye værktøj til at løse ligninger. Med et computerprogram kan vi på få sekunder få tilnærmelsesværdier til samtlige rødder til en ligning. 5