Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne

Transkript

1 De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi, der er spanier, publicerer i år 1145 en komplet formel for løsning af 2. gradsligningen x 2 + b x + c = 0. Løsningen var allerede fundet af algebraens grundlægger Al-Kwarizim, der leved i Bagdad i begyndelsen af 800 tallet. - Scipione del Ferro ( ), universitetet i Bologna, fandt siden løsningen på 3. gradsligningen x 3 + a x = b, men holdt formlen hemmelig indtil sin død i 1526, hvor han på dødslejet afslører formlen til sin student Antonio Fiori. - Nicolo af Brescia, med tilnavnet Tartaglia ( stammeren), bliver provokeret af rygtet om at 3. grads ligningen er løst og finder hurtigt selv løsningen til ligningen x 3 + a x 2 = b, Fiori hører om Tartaglia s løsning og udfordrer ham til en konkurrence, hvor hver deltager skal give hinanden 30 opgaver, der skal løses over dage! Fiori troede han var snedig, idet han gav Tartaglia opgaver, der kunne løses med hans egen ligning, men Tartaglia løste alle Fiori s problemer på 2 timer. 8 dage før opgaverne skulle samles ind havde Tartagli fundet en generel formel for alle 3. grads ligninger. - Girolamo Cardano ( ) fra universitetet i Milano hørte om om Tartaglia s løsning og inviterer Tagtalia til Milano i 1539, hvor Tartaglia betror sin hemmelighed til Cardano, der lover ikke at afsløre den! Hemmeligheden afslører Cardano alligevel i 1545 i sin afhandling Ars Magna, som er den første bog på latin, der omhandler algebra.

2 De komplekse tals historie side 2 II. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningen y 3 + b y 2 + c y +d = 0 Girolamo Cardano ( ), Milano - I 1545 offentligør Cardano sin afhandling Ars Magna, hvori han giver løsningen på ligningen Han sætter og får ligningen hvor a y 3 + b y 2 + c y +d = 0. y = x b/(3a), x 3 + 3Q x = 2R, Q = (c/a) / 3 (b/a) 2 / 9, R = (c/a) (b/a) / 6 (d /a) / 2 (b/a) 3 / 27. Udnytter vi at (p q) p q (p q) = p 3 q 3, hvor p q = Q og 2R = p 3 q 3, fører dette til ligningen p 6 2 R p 3 Q 3 = 0, der er en 2. grads ligning i p 3. En løsning for x = p q bliver x = 3 3 R + Q + R R Q + R 2

3 De komplekse tals historie side 3 III. De komplekse tals historie Historien om de nytteløse tal - Allerede i 1539 prøver Cardano at løse ligningen x 3 = 15x + 4, hvor 3Q = - 15 og 2R = 4. Dette giver og dermed a 6 4 a = 0, 3 a = 2 ± 121. Cardano kendte den reelle løsning x = 4, og indså vanskelighederne ved at benytte formlerne for 3. gradsligningen. - I 1545 skriver Cardano i sin afhandling Ars Magna om løsningen af en 3. grads ligning Når man ser bort fra den sjælelige tortur og multiplicerer med 5 15 får man 25 ( 15) = 40 og dermed går man til den aritmetiske yderlighed, ja til det ekstreme, der er så langt ude at det er nytteløst. Helt så nytteløst er det ikke med regningerne, man indfører ret hurtigt forkortelsen i = 1 for den imaginære enhed og får derved dannet de imaginære tal. Cardano s nytteløse tal skives da kort i og kaldes et komplekst tal.

4 De komplekse tals historie side 4 IV. De komplekse tals historie Definitionen af de komplekse tal Sir William Rowan Hamilton ( ), Dublin Definition ( Hamilton 1833) Et komplekst tal z defineres som et ordnet talpar z = ( x, y ) C, hvor x, y R. C er mængden af komplekse tal. Regneregler Givet to komplekse tal z 1 = (x 1, y 1 ) og z 2 = ( x 2, y 2 ). Vi definerer regnereglerne addition og multiplikation ved z 1 + z 2 = ( x 1, y 1 ) + ( x 2, y 2 ) = ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) ( x 2, y 2 ) = ( x 1 x 2 - y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Love for addition og multiplikation Givet tre komplekse tal z 1, z 2 og z 3. Der gælder følgende love Kommutative lov: z 1 + z 2 = z 2 + z 1, z 1 z 2 = z 2 z 1, Associative lov: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3, z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3, Distributive lov: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Der gælder samme regneregler for komplekse tal, som for de reelle tal.

5 De komplekse tals historie side 5 V. De komplekse tals historie De reelle tal Egenskaber ved de komplekse tal Mængden R af de reelle tal skal være en delmængde af mængden af de komplekse tal C. De reelle tal definerer vi som tallene (x,0) R C, og vi skriver kort Specielt har vi x = (x, 0) R C, de reelle tal. 1 = (1, 0), den reelle enhed 0 = (0, 0), tallet nul De imaginære tal De imaginære tal definerer vi som tallene (0,y) R C, og vi skriver kort z = (0, y) R C, de reelle tal. Det imaginære tal z = (0,1) har den egenskab, at z z = (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1. og kalder derfor z = (0,1) for den imaginære enhed i = (0,1), den imaginære enhed. Der gælder altså i i = -1. De imaginære tal kan nu skrives z = (0,y) = (y,0) (0,1) = y i C, y R\{0}, imaginære tal. Rektangulær form Et vilkårligt komplekst tal z = (x, y) kan skrives på formen z = (x, y) = (x,0) (1,0) + (y,0) (0,1) = x + i y, x,y R, rektangulær form Et komplekst tal kan altså altid udtrykkes ved to reelle tal x og y samt den imaginære enhed. Populært sagt: Man skal kun lære ét nyt tal, nemlig i.

6 De komplekse tals historie side 6 VI. De komplekse tals historie Den komplekse talplan Argand diagram I Argand diagrammet afbildes komplekse tal som en vektor i den komplekse plan, se figuren. Casper Wessel ( ) norsk dansk landmåler. Wessel bruger intuitive metoder til at opnå algebraiske formler. Han publicerer sine resultater i 1799, men opdages først internationalt i Jean Robert Argend ( ) schweizisk - fransk matematiker. Skriver en bog i 1806, hvori de komplekse tal behandles algebraisk og tolkes geometrisk. Definitioner Re(z) = x R, Im(z) = y R, realdelen imaginærdelen z = x iy, komplekst konjugeret z = z z = x 2 + y 2 0, længden eller modulus

7 De komplekse tals historie side 7 VII. De komplekse tals historie Algebraens fundamentalsætning Johann Carl Frederich Gauss ( ), Göttingen Problem der nagede: Kunne man opdage flere nye, eksotiske tal, når man forsøgte at løse den algebraiske ligning a n z n + a n-1 z n a 1 z + a 0 = 0 a n 0, hvor koefficienterne a n, a n-1,..., a 1, a 0 C er komplekse tal? Flere kendte matematikere som Euler, Lagrange, Argand og Cauchy har arbejdet på dette problem. Cauchy indfører ordet konjugerede i Gauss gav i sin doktorafhandling i 1799 et bevis, men det havde flere alvorlige mangler! Gauss introducerer ordet komplekst tal i Først i 1849 i 50 året for Gauss første bevis lykkedes det at give et generelt bevis, hvor koefficienterne er komplekse tal. Algebraens fundamentalsætningen udsiger, at et ethvert n te grads polynomium P n (z) = a n z n + a n-1 z n a 1 z + a 0, a n 0, har mindst én kompleks rod z 0 C.

8 De komplekse tals historie side 8 På sporet af Cardano Cardano s formel Givet ligningen (1) x Q x = 2 R, hvor R og Q er reelle tal. 1. Vis at ligning (1) har løsningerne x = S Q / S, hvis S tilfredsstiller ligningen (2) S 3 Q 3 / S 3 = 2 R. 2. Vis, at derved at S = A og S = B er løsninger til (2) hvor A = 3 R + D, B = 3 R D, D = Q 3 + R 2 > Vis, at der gælder A B = Q og benyt dette til at vise, at en løsning til (1) kan skrives x = A + B 4. Find den reelle rod i ligningen (2) x 3 = 15 x + 4. Vink: Vis at ( 2 ± i ) 3 = 2 ± 11 i, og benyt, at x = A Q / A.

9 De komplekse tals historie side 9 Givet Appendix. Cardano s formel. hvor x 3 + 3Q x = 2R, x = p q og p q = Q, og p opfylder den maskerede 2. grads ligning p 6 2R p 3 Q 3 = 0. Dette giver de to løsninger p 3 = A 3 og p 3 = B 3 hvor A = 3 3 R + Q + R 2, B = 3 3 R Q + R 2 Idet der for A og B gælder A 3 B 3 = Q 3 og dermed A B = Q. Da p q = Q, giver dette løsningen (p,q) = (p, Q/p ) eller (p,q) = (A,-B) og (p,q) = (B,-A), Dermed bliver x = p q x = A + B Endvidere er der løsningerne x = A ω 1 + B ω 2, x = A ω 2 + B ω 1 hvor 1 3 ω 1 = + i, 2 2 ω2 1 3 = i, ω 3 = ω 3 =