DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

Transkript

1 DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil vi ofte ligesom i Maple give navnet exp. Vi har altså for alle x R. exp x = e x Denne funktion har den fundamentale egenskab exp x + y = exp x exp y eller anderledes skrevet e x+y = e x e y for alle x, y R. Vi definerer nu eller anderledes skrevet gældende for alle x, y R. 1. Egenskaber for exp Egenskaber for exp exp x + iy = exp x cos y + i sin y e x+iy = e x cos y + i sin y Når x, y R har e x+iy modulus e x og argument y: e x+iy = e x arg e x+iy = y 1

2 For alle z 1, z C gælder exp z 1 + z = exp z 1 exp z altså e z 1+z = e z 1 e z Bevis: Sæt z 1 = x 1 + iy 1 og z = x + iy, så har vi: e z 1 e z = e z 1 e z = e x 1+iy 1 e x +iy = e x 1 e x = e x 1+x = e x 1+x +iy 1 +y = e z 1 +z arg e z 1 e z = arg e z 1 + arg e z = arg e x 1+iy 1 + arg e x +iy = y 1 + y = arg e x 1+x +iy 1 +y = arg e z 1+z Tallene e z 1+z og e z 1e z har altså samme modulus og samme argument. De er derfor ens. 1.3 Polær form Polær form Den polære form for tallet a med modulus r og argument v blev sidste gang skrevet a = r v = r cos v + i sin v Den vil i fremtiden blive skrevet således: a = r exp iv = re iv Eksempel. Vi finder den polære form for tallet 3 i. Modulus er = og et argument er 5π 6. Tegn! Så 3 i = exp i 5π 6 = e i 5π 6 Maple. 1.4 Moivres formel Moivres formel For n N og x R gælder cos x + i sin x n = cos nx + i sin nx Bevis: cos x + i sin x n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx

3 Eksempel. cos 3x = Re cos 3x + i sin 3x = Re cos x + i sin x 3 = Re cos 3 x + 3i cos x sin x 3 cos x sin x i sin 3 x = cos 3 x 3 cos x sin x = cos 3 x 3 cos x 1 cos x = 4 cos 3 x 3 cos x Ved ovenfor at erstatte Re med Im fås formlen Maple. sin 3x = 3 cos x sin x sin 3 x = 3 1 sin x sin x sin 3 x = 4 sin 3 x + 3 sin x 1.5 Den komplekse logaritmefunktion Den komplekse logaritmefunktion exp har ingen omvendt funktion indenfor C, da e z+ipπ = e z e ipπ = e z cos pπ + i sin pπ = e z Hvis z, w C opfylder exp w = z, så kaldes w en logaritme til z. Vi skriver w = ln z. Lad z C med z = 0. Så har z følgende logaritmer ln z = ln z + i arg z + pπ = ln z + i arg z + ipπ hvor p Z, og arg z er et argument for z, og hvor ln z er den reelle velkendte logaritme af det positive tal z. Vi finder samtlige logaritmer til tallet a = 3 i. Da a = og arg a = π 6 fås med p Z: ln a = ln 3 i = ln i π 6 + pπi Maple. 1.6 Den binome ligning Den binome ligning I Lad n N og a C. En binom ligning har formen z n = a 1 3

4 Løsningerne til 1 kaldes komplekse n te rødder af a. Rødderne i 1, hvor a = re iv, r 0, v R, er givet ved z = n re i v n +p π n, p = 0, 1,,..., n 1 Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ 0 og θ R. Ved indsættelse i 1 fås ρe iθ n = re iv og hermed ρ n e inθ = re iv De to sider af denne ligning er polære former af samme tal, så ρ n = r og nθ = v + pπ, hvor p Z. Heraf følger formlen. Korollar. Er z 0 en rod i ligningen z n = a, så er samtlige rødder givet ved z = z 0 e ip π n, p = 0, 1,,..., n 1. Rødder i polynomier.1 Andengradsligningen I Andengradsligning I Vi løser hvor a, b, c C, og a = 0. az + bz + c = 0 Vi har: az + bz + c = a z + b b 4ac a 4a Andengradsligningen kan altså omskrives til z + b = b 4ac a 4a Sæt w = z + a b, så har vi den binome ligning. Andengradsligningen II Andengradsligning II w = b 4ac 4a Sæt w = z + a b, så har vi den binome ligning w = b 4ac 4a 4

5 Denne har komplekse rødder, som vi skriver som b ± 4ac 4a Så rødderne i andengradsligningen az + bz + c = 0 er z = b b a ± 4ac 4a = b ± b 4ac a Eksempel. Løs ligningen z + z + 1 = 0. Vi finder z = 1 ± 1 4 = 1 ± 3 = 1 ± i 3 = { 1 + i 1 i Andengradsligningen III Andengradsligning III Eksempel. Løs ligningen z z i = 0. Vi finder z = ± i = ± 4i Vi skal så løse den binome ligning w = 4i = 4 exp i π. Vi finder w = ± exp i π 4 = ± i = ± i Løsningerne til andengradsligningen er dermed z = ± i = 1 ± 1 1 i =.4 Polynomier generelt Polynomier generelt Et polynomium i den variable z er et udtryk af formen a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 { i i Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert polynomium af grad 1 har mindst én rod indenfor de komplekse tal. Generelle løsningsformler findes for n 4, men det kan bevises, at der ikke kan konstrueres generelle løsningsformler for n 5. Husk dog, at et polynomium af vilkårlig høj grad men med kun to led kan løses ved en formel, der umiddelbart giver den polære form for løsningerne. Se Maple om 3. og 4. gradsligninger. 5

6 .5 Faktorisering af polynomier I Faktorisering af polynomier I En rod z 1 i polynomiet p har multipliciteten k, hvis p z = z z 1 k q z, hvor q z er et polynomium, og hvor z 1 ikke er rod i q z. Hvis multipliciteten er 1, siges roden at være simpel. Eksempel. 5z 4 50z z + 160z 640 = 5 z 4 3 z +. Så 4 er rod af multiplicitet 3, og er rod af multiplicitet 1. er altså en simpel rod. Polynomiet p z = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0, hvor n 1 og a n = 0 kan skrives som et produkt af a n og n førstegradsfaktorer: p z = a n z z 1 z z... z z n Ethvert polynomium af grad n 1 har altså n rødder, hvis disse regnes med multiplicitet..6 Faktorisering af polynomier II Faktorisering af polynomier II Hvis et polynomium har reelle koefficienter og z 1 C er rod, så er også z 1 rod. Ethvert polynomium af grad n 1 og med reelle koefficienter kan skrives som et produkt af reelle første- og andengradsfaktorer. Eksempel. Hvis + 3i er rod, så er 3i også. Så begge faktorerne z + 3i og z 3i forekommer i en faktorisering af polynomiet. Vi betragter produktet af disse to faktorer: Sætter andre parenteser: a b a + b = a b bruges: z + 3i z 3i = z 3i z + 3i = z + 3 = z 4z

7 3 Eulers formler Eulers formler I Ifølge definitionen af den komplekse eksponentialfunktion har vi e iv = cos v + i sin v e iv = cos v i sin v Ved addition af disse formler og efter division med fås cos v = 1 e iv + e iv Tilsvarende fås ved subtraktion og division med i sin v = 1 i e iv e iv 3.1 Eulers formler II Eulers formler II Vi ønsker sin 4 x udtrykt ved sin x, sin x,..., cos x, cos x,.... Vi udnytter den ene af Eulers formler sin x = 1 e ix e ix i og vi finder dermed sin 4 x = 1 e ix e ix 4 = 1 e ix i i 4 e ix 4 Binomialformlen a + b 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 benyttes: = 1 e 4ix 4e ix + 6 4e ix + e 4ix 16 = 1 e 4ix + e 4ix 4 e ix + e ix = 1 8 cos 4x 1 cos x

8 3. Eulers formler III Eulers formler III Så sin 4 x = 1 8 cos 4x 1 cos x Ved hjælp af denne formel beregnes integralet π 0 sin 4 xdx som følger π 0 sin 4 xdx = = π cos 4x 1 cos x + 3 dx 8 [ 1 3 sin 4x 1 4 sin x + 3 ] π 8 x = 3π 8 0 8