Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Transkript

1 Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C. Stere og skulle meget gere ække e formler som ma ka få brug for uer eksame samt store ele af kurset i statistik. De ka og på ige måe erstatte læsig af læreboge og bør ses som et supplemet og ikke et alterativ. Selve formelsamlige er elt op i kapitler, svaree til em agivet i læseplae efteråret 011 og sieagivelser i form af footer vil lee ig he i læreboge, hvor u ka læse uybee om formele. Hvis u fier fejl, magler, uklarheer eller syes at e formel bør uybes, skal u være mere e velkomme til at skrive til mig på [email protected] Asger Mølgaar Arease Hol 408, Efteråret 011

2 Kapitel 3: Displayig the ata Meia i : 1 Nere kvartil ii : 1 observatiosummer som er meiae (me observatioer) observatiosummer som er ere kvartil 4 Øvre kvartil iii 3 1 : observatiosummer som er ere kvartil 4 Hvis meiae/ere/øvre kvartil giver et tal som ligger mellem to observatioer (f.eks. observatio r. 8,5) tages geemsittes mellem e to omkrigliggee observatioer (vs. sittet mellem observatio 8 og 9 i eksemplet). Rage iv = største væri laveste væri Iterquartile rage v = øvre kvartil ere kvartil vi k 1' e k ' ee percetil observatios væri (eksempel: hvis k=50 (vi øsker at fie 100 meiae) og =70, fås 35,5. Dvs. meiae er mellem obs. 35 og 36. Kap. 4: Meas, staar eviatios a staar errors Mielværi vii : x x Varias/spreig viii : s x x 1 Staar eviatio/spreig ix : s.. s s Sta error x : s se.. x x x x 1 1 Kap. 5: The Normal Distributio Ligig for staar ormal forelig xi me mielværie og s.. e : i S. ii S. 3 iii S. 3 iv S.4 v S. 4 vi S. 5 vii S. 33 viii S. 35 ix S. 36 x S. 39 xi S. 43

3 z exp y Hvor z kales Staar Normal Deviatio og givet ve: x z Øsker ma at fie hvor stor e proportio som ligger i ormalforeliges øvre ee, isættes e x-væri som øskes uersøgt for, i formele for z og z-værie aflæses i Tabel A1 (bag i boge). Eks.: Ma øsker at vie hvor mage mæ i e sample me 171,5cm, som er større e 180cm. Ma isætter 180 på x plas og får z=1,31. Dee væri aflæses i A1 til væree 0,0951. Dvs. 9,51% af mæee var større e 180cm. Fremgagsmåe for at fie proportio i ere hale af ormalforelig er aalog til proportio i øvre ee (blot skal x< ). For at fie proportio mellem to pukter, fies e procet som er uer ere pukt og over øvre pukt. Disse trækkes fra 1 og e samlee proportio fås. Eks.: Proportio af mæ mellem 165cm og 175cm = 1 proportio uer 165 proportio over 175cm= 1-0,1587-0,946=0,5467 eller 54,67% Referece iterval xii : x z ' s.. til x z ' s.. hvor z aflæses i Tabel A. For et 95% CI fås z =1,96. Formele ka også omformuleres til: x z ' s... De utrykker, hvor vi forveter at 95% af vores værier vil ligge. Kap. 6: Cofiece Iterval for a mea Kofies iterval (CI) for store samples (>5) xiii : x z ' s. e. til x z ' s. e. Kofies iterval (CI) for små samples (<5) xiv : x t ' s. e. til x t ' s. e. Hvor t slås op i tabel A3 me (-1) frihesgraer CI 95% giver os et iterval, hvor e sae mielværi me 95% sikkerhe ligger. Kap. 7: Compariso of two meas: cofiece itervals, hypothesis test a P-values Staar error for x1 x0 x1 x0 1 0 xv : s s s. e. s. e. s. e Bemærk at er e sae spreig i populatioe, mes s er vores estimat på spreige bereget sample. Ofte keer vi og ikke og må øjes me s. Kofies iterval på ifferes mellem geemsit: ' '.. x x x1 x0 CI x 1 x 0 z s e til x 1 x 0 z s e z-test/approksimativ t-test (ku for large samples) xvi : xii S. 49 xiii S. 51 xiv S. 55 xv S. 60 xvi S: 6

4 x1 x0 z se.. x 1 x 0 Herefter opslag i Tabel A1 og ve sigifikat P-væri (husk at bruge e to-siee!) afvises ul-hypose (H 0 : at er ige statistisk ifferes er på geemsittee). t-test/upaire t-test bruges på små samples xvii : s t 1 1 s1 0 1 s0 x1 x0 x1 x0 1 0 se s 1 0 Me atal frihesgraer (egrees of freeom):. f. 1 0 Opslag i Tabel A4 giver P-værie For parree observatioer uersøges ifferese. Dvs. vi omaer vores ata-par til e ekelt sample beståee af iffereser. CI for store samples xviii : x z ' s. e. til x z ' s. e. CI for små samples: x t ' s. e. til x t ' s. e. (husk -1 frihesgraer) Hypotese test for parree-ata uføres me ete e parret z-test eller e parret t-test: Parret z-test (store samples) xix : x x z se.. s Parret t-test (små samples): x x t,. f. 1 se.. s x er geemsittet af e parree iffereser og husk opslag i tabel A1 eller A4 Kap. 10: Lieær Regressio a correlatio (ku afsittee 10.1 og 10.) Lieær regressios forskrift xx : y x 0 1 Estimat på parametre xxi : x x y y x x og y x Præcisioe måles me eres staar error xxii : xvii S. 66 xviii S. 68 xix S. 69 xx S. 88 xxi S. 90

5 x x x 1 x x 1 s s. e. s og s. e. x x x x s 0 1 Kofiesiterval for regressioskoefficiet (beævt 0/1 a formele gæler begge) xxiii : CI t ' s. e. til t ' s. e. 0/1 0/1 0/1 0/1 Atagelser for lieærregressio: For ehver væri af x, er y ormalforelt. Puktere er forelt me samme spreig omkrig liie over hele plottet. Hvorfor er isættes e spreigskoeffciet ( ) som er forskellig for hvert pukt, så forskrifte bliver: y x 0 1 Kap. 11: Multiple regressio E variabel som ku atager væriere 0 eller 1 kales e iicator variabel (f.eks. kø). Iterceptet ( 0 ) er værie af y hvis alle ekspoerigsvariable er 0. Geeral formel for multipel regressio me ekspoeriger xxiv : y x x x x Kap. 14: Probability, risk a os (of isease) Prob er forkortelse for Probability, ligesom ssh er for sasylighe. Ssh for at båe A og B sker xxv : prob A a B prob A prob B Ssh for at ete A eller B sker: prob A or B or both prob A prob B prob both Os efieres ve ssh for at A sker, ivieret me ssh for at A ikke sker: p isease Os 1 p h healthy h os p 1 os Kap. 15: Proportios a the biomial istributio Proportio/risiko/ssh for sygom: atalsyge p total For e sample er risk=p. De sae (og ofte ukete) risiko i hele populatioe beæves. De geerelle formel for ssh for at få evets i e sample me iivier xxvi :! prob evets 1!! xxii S. 91 xxiii S. 91 xxiv S. 105 xxv S. 134 xxvi S. 141

6 Proportioer er også biomial forelt, hvorfor kofiesiterval og staar error også ka bereges for e proportio xxvii : CI p z ' s. e. til p z ' s. e. p 1 p se.. Me e z-test ka vi teste om vores estimat p på proportioe er mage til e bestemt væri (kalet. Gør at vi ka teste om p er lig me e sae (eller e væri vi tror, er sa)). p p z s.. e p 1 Efter opslag i tabel A1, får vi e P-væri. E sigifikat P-væri betyer at vi har evies for at p, mes at e usigifikat betyer at p ye sygomstilfæle i e give perioe risiko kumulativ icies atal raske ve perioes start atal sygomstilfæle til specifikt tispukt prævales total populatio Kap. 16: Comparig two proportios For at sammelige biære outcome variable mellem to ekspoerigsgrupper, ka et alti svare sig at bruge x-tabeller (=isease, h=healthy): Outcome Exposure Experiece evet: Di ot experiece Total D (isease) evet: H (healthy) Group 1 (expose) 1 h 1 1 Group 0 (uexpose) 0 h 0 0 Total h Vi husker at p samt at os h Differes mellem to proportioer xxviii : p p p iff p p p p s. e. p p s. e. p s. e. p '.. '.. CI p p z s e p p til p p z s e p p Test for at to proportioer es (ulhypose (H 0 ): 1 0 xxix ): p1 p0 z 1 1 p1 p Hvor p 0 1 Risk-ratio (RR), proportio mellem to risikoer xxx : xxvii S. 143 xxviii S. 151 xxix S. 153 xxx S. 153

7 RR p / p / Kofiesiterval for RR xxxi : RR CI RR til RR EF EF EF error factor exp z ' s. e. log RR s. e. log RR Test af ulhypose om at er ige forskel i risiko er i e to grupper xxxii. Dvs. at RR=1 og log(rr)=0: log RR z s. e. log RR Os ratio (OR): ratioe af os mellem e ekspoeree og e uekspoeree gruppe. (æste sie) xxxiii p / / os 1 p 1 / h / h Osratio OR OR isease os / h h os / h h 1 OR healthy gruppe gruppe For ureig af ratioalet for, at bruge OR, se s Kofies iterval for os: os CI til os EF EF EF exp z ' s. e. log os 1 1 s. e. logos h Kofies iterval for os ratio (OR): OR CI til OR EF EF EF exp z ' s. e. log OR s. e. log OR h h Test af ulhypose (H 0 : OR=1): log OR z s. e. log OR xxxi S. 156 xxxii S. 158 xxxiii S. 159

8 Kap. 17: Chi-square tests for x a larger cotigecy tables Chi-i-ae-test bruges til at uersøge om er er e associatio mellem række-variable og søjle-variable. Eller sagt på e ae måe: om forelige af iivier blat kategoriere af e variabel, er uafhægig af eres forelig blat kategoriere af e ae variabel. Bemærkiger om chi-i-ae-tests valiitet: s Chi-i-ae-tests ka ku bruges på reelle tal og ikke på proportioer. -testes bestaele: O = observe = atal observatioer/iivier i e celle E = expecte = ve beregig fier ma et forvetet atal af iivier i celle. r = atallet af rækker (rows) c = atallet af søjler (colums) totalsøjle totalrække E total alle O E E Me atal frihesgraer:. f. r 1 c 1 slås op i tabel A5 og P-væri fies. Hvis P-værie er lille (sigifikat: uer 0,05), a er er sammehæg mellem række- og søjlevariablee. Dvs. ata er ikke forelt efter ulhypotese om at ata er forelt uafhægigt af søjle- og række-variable. Kap. 19: Logistic regressio: comparig two or more exposure groups I ee moel multipliceres parametree (til forskel fra e multiple regressio som aerer em (kap. 11)). Hvis er er to ekspoeriger, fås følgee: Os = baselie x exposure(a) x exposure(b) (så hvis A forobler os og B øger os x3, fås at os er 6xbaselie) Logistisk regressio laves alti på logistisk skala (er af avet). Vigtigt at bemærke. Geerel formel: log os x x... x outcome kales for regressios koefficieter. Trasformerig af ssh/risiko/ til log(os) kales logit fuktioe: log it log 1 Ssh vil alti ligge mellem 0 og 1. Os vil alti ligge mellem 0 og. Log(os) vil alti ligge mellem og. Kategoriske/biære ata ka også iføjes i logistiske regressioer. De vil blot blive sammeliget me hiae, sålees at f.eks. ygste alers gruppe er baselie eller at kvie er baselie (så får x=0 er kvie og x=1 er ma). Kap. 0: Logistic regressio: cotrollig for cofouig a other extesios Ige vigtige formler som ma umielbart ka rege på. Til ette kræves pc-kraft som ma ikke vil have til råighe/ti til uer eksame.