Kvalitetsmål til On-line algoritmer

Transkript

1 Istitut for Matematik og Datalogi Bachelorprojekt Kvalitetsmål til O-lie algoritmer Forfatter: Christia Kuahl Vejleer: Joa Boyar Jauary 1, 2011

2 Cotets 1 Ileig 3 2 Problemet 3 3 Algoritmer og variater Greey Double Coverage Lazyess Lazy Double Coverage Krysee servere RAND De optimale oie algoritme Kvalitetsmål Competitive aalysis Max/Max Ratio Bijective Aalysis Relative Worst Orer Aalysis Raom Orer Ratio Relative Iterval Aalysis Koklusio 32 1

3 Resumé Dee opgave omhaler 2-server problemet og e to algoritmer Greey og Lazy Double Coverage. De to algoritmer aalyseres ve brug af seks forskellige kvalitetsmål. Ifølge Max/Max Ratio og Bijective Aalysis er Greey e beste algoritme. Lazy Double Coverage er e beste ifølge Competitive Aalysis, Relative Worst Orer Aalysis, Raom Orer Ratio og Relative Iterval Aalysis. Det primære ye resultat i ee opgave er, at Lazy Double Coverage er bere ifølge Relative Iterval Aalysis. I opgave itrouceres esue e y raomiseret algoritme til 2-server problemet. Des Competitive Ratio er 2 mo båe Oblivious Aversary og Aaptive Olie Aversary. Abstract This paper cocers the 2-server problem a the two algorithms Greey a Lazy Double Coverage. The two algorithms are aalyze usig six ieret measures of quality. The measures that favor the algorithm Greey are Max/Max Ratio a Bijective Aalysis. Lazy Double Coverage is favore by Competitive Aalysis, Relative Worst Orer Aalysis, Raom Orer Ratio, a Relative Iterval Aalysis. The mai ew result i this paper is the fact that Relative Iterval Aalysis favors Lazy Double Coverage. A ew raomize algorithm for the 2-server problem is itrouce a its Competitive Ratio is fou to be 2 agaist both a Oblivious Aversary a a Aaptive Olie Aversary. 2

4 1 Ileig O-lie problemer er e særlig problemtype i atalogie. I isse problemer har algoritme, er skal løse problemet, ikke al iformatio om problemet til råighe. Algoritme er øt til at træe ogle valg, før hele problemistase er ket. Der er mage praktiske eksempler på olie problemer i et virkelige liv. Sæereservatio er et klassisk eksempel. Når e kue bestiller e plasbillet til e bestemt strækig i et tog, får hu me et samme iformatio om, hvor hu skal sie. Togrmaet har altså ikke lov at ære hees plas seere, hvis e er u af, at et er optimalt, at hu sier et aet ste. De er øt til at træe e beslutig om hvor hu skal sie her og u. I klassiske problemer, som sorterig, gæler et om at løse et problem og lave mist muligt arbeje (i ette tilfæle sorte e liste me færrest muligt sammeligiger). Her eer alle algoritmer me e samme sorteree liste. Forskellige o-lie algoritmer eer imilerti sjælet me samme resultat, og ma måler em erfor typisk på, hvor got et resultat, e eer me, er, frem for hvor meget arbeje e har laver for at rege et u. Der es mage forskellige måer til at måle, hvor go e o-lie algoritme er. Nogle mål sammeliger me hvor got problemet kue have været løst, hvis al iformatio have været tilgægelig på forhå (e optimale oie løsig). Are sammeliger to algoritmer irekte. I ee opgave vil jeg uersøge 2-server problemet. Jeg vil aalysere på to algoritmer, LDC og Lazy Double Coverage, me seks forskellige mål. U fra isse aalyser vil jeg søge at kokluere hvilke kvaliteter i e algoritme, som favoritiseres af e forskellige mål. Jeg vil esue itroucere e y raomiseret algoritme til 2-server problemet og aalysere ee me et mest populære mål, Competitive Aalysis. 2 Problemet Det problem, som jeg vil beskæftige mig me i ee opgave, er 2-server problemet. Det er et specialtilfæle af k-server problemet på lije. K-server problemet på lije eeres i ee opgave på følgee måe. På e ret liie af eelig læge eeres e mæge af pukter, M. Der er k servere til råighe, hvor k er mire e atallet af pukter i M. Hver server starter et på forhå eeret ste på liie. Som iput fås e sekves af forespørgsler. E forespørgsel er et af puktere i M. For hver forespørgsel skal algoritme, er løser problemet, ytte e server til puktet, er forespørges. Det tillaes, at ere servere yttes, me forespørgsle er først imøekommet, år e server står på et forespurgte pukt. For visualiseriges skyl kales e ee ee af lije "vestre"og e ae kales "højre". Opgave er at miimere e e totale istace, som servere tilsamme yttes for at imøekomme samtlige forespørgsler. Iet problemet er o-lie motager algoritme ku e ekelt forespørgsel a gage og skal herefter træe e beslutig om, hvilke server e skal ytte til et forespurgte pukt. Først år ee forespørgsel er imøekommet, får algoritme e æste forespørgsel. Prise, e algoritme, ALG, betaler på e sekves, I, skrives som ALG(I). 2-server problemet er et forsimplet ugave af k-server problemet. I 2-server problemet er er ku 3 pukter, A B og C. Afstae mellem A og B er 1 og afstae mellem B og C er, hvor > 1. De 2 servere starter i puktere A og C. Grue til, at etop 2-server moelle er go, er, at e er e simplest mulige moel af ette problem, som ikke har e trivielt optimal løsig. Dette gør, at e er iteressat ok til at kue bruges til at belyse mage af e problemstilliger, er er ie for kvalitetsmål til o-lie algoritmer. I aalysere vil jeg referere til e server, er starter i A, som e vestre server og e server, er starter i C, som e højre server. 3

5 Figur 1: 2-server problemet 3 Algoritmer og variater De to algoritmer, jeg primært har aalyseret, er Greey og Lazy Double Coverage. Disse er beskrevet i [3]. Jeg har og også itrouceret algoritme RAND, som aalyseres i forbielse me Competitive Aalysis. 3.1 Greey Algoritme Greey bruger, som avet atyer, e gråig strategi til at løse problemet. Gråig betyer i ee situatio, at algoritme alti prøver at imøekomme hver forespørgsel så billigt som muligt ue yerligere omtake for, om serverere eer på e foruftigt måe for reste af sekvese. De server, er er tættest på puktet, som forespørges, yttes altså alti til puktet, og er yttes alrig mere e 1 server pr. forespørgsel. Det betyer i 2-server problemet, at servere, er starter i puktet C, alrig yttes. Dette skyles, at e forespørgsel i A eller B alti billigere ka imøekommes af e server, er starter i A. Dette koster 0, hvis servere alleree er i puktet og ellers 1, hvorimo et vil koste ete eller + 1 at ytte servere fra C he til et forespurgte pukt. Iet alti er større e 1, er et alti yrere at beytte servere, er starter i C. Algoritme Greey vil altså hole højre server fast og ytte vestre server frem og tilbage mellem A og B i overesstemmelse me forespørgslere. Algoritme ytter alrig e server, hvis er forespørges i et pukt, hvor e server alleree står. 3.2 Double Coverage Algoritme Double Coverage løser problemet på e lit mire simpel måe. I algoritme skeles mellem to typer af forespørgsler. Det kovekse hylster eeres som mæge af alle pukter på lije fra og me servere lægst mo vestre til og me servere lægst mo højre. De første type er forespørgsler, er ligger ue for et kovekse hylster (vs. til højre eller vestre for samtlige are servere). Algoritme ytter her, som e gråige algoritme, e server, er er tættest på forespørgsle, he til et forespurgte pukt ue at ytte oge are servere. De ae type forespørgsel er e forespørgsel til et pukt i et kovekse hylster. Hvis er alleree er e server i puktet gør Double Coverage itet. Hvis er ikke er e server må forespørgsle være mellem to servere. I ette tilfæle ytter Double Coverage hver af isse to servere imo et forespurgte pukt me samme fart itil e af em år puktet. 3.3 Lazyess I [4] eeres Lazyess for e serveralgoritme på følgee måe. E algoritme er Lazy, hvis e alrig ytter mere e é server for at imøekomme e forespørgsel og ikke ytter oge servere, hvis er i et forespurgte pukt alleree er e server. For ehver algoritme A eeres Lazy A som følger: Lazy A er e algoritme, er holer styr på e virtuel ugave af problemistase og servere. Hver virtuel server svarer etop til é virkelig server. Til at starte me står e virtuelle servere etop er, hvor e virkelige servere står. Lazy A simulerer As opførsel på problemistase ve hjælp af e virtuelle servere. Først år e virtuel 4

6 server år et pukt, hvor er har været e forespørgsel, yttes e tilsvaree virkelige server erhe (me mire ere virtuelle servere år puktet samtiig. I så fal yttes e server, som i e virkelige ugave af problemet er tættest på). Ellers yttes e virkelig servere ikke. Det viser sig imilerti, at ee eitio af Lazy A ikke er overholer e krav, som stilles til e Lazy algoritme. Dette illustreres me følgee eksempel. Betragt 4 pukter, ABCD (som ligger i ee rækkefølge), og 3 servere, XYZ, på e liie. Afstae mellem A og B er 1. Mellem B og C er e 3, og mellem C og D er e 2. Server X starter i A, Y starter i B og Z starter i D. Algoritme i ette eksempel er Lazy Double Coverage. Figur 2: Et eksempel La første forespørgsel være i C. De virtuelle servere fra B og D vil bevæge sig mo ette pukt me samme fart. Puktet ås først af e virtuelle Z, iet CD = 2 mes BC = 3. Algoritme vil erfor ytte e virkelige Z server til puktet C. De virkelige servere er altså i A,B og C, me e virtuelle server Y står me e afsta på 1 til puktet C og e afsta på 2 til B. La er u komme e forespørgsel i B. De to ærmeste virtuelle server, X og Y, vil u bevæge sig mo ee me samme fart. Da AB = 1, vil e virtuelle server til X komme først, hvilket betyer at es virkelige server skal yttes herhe. Det er problematisk i forhol til eitioe af Lazyess, at puktet B alleree ieholer e virkelig server (Y), og at algoritme alligevel ytter servere X herhe. Dette er i mostri me kravet om at e Lazy algoritme ikke ytter oge servere, hvis er i et forespurgte pukt alleree er e server. Deitioe ka rettes ve blot at tilføje, at ige virkelig server yttes, hvis er alleree er e virkelig server i et forespurgte pukt. Dee eitio bruges i reste af ee opgave. Det bemærkes og, at e foregåee eitio er ietisk me ee på 2-server problemet. Følgee er et væsetligt resultat om lazy algoritmer, og et omtales ofte som The Lazyess Observatio. Theorem 3.1. La A være e algoritme. For ehver iputsekves, I, i k-server problemet gæler følgee ulighe Lazy A(I) A(I) Bevis. Lazy A har ogle virtuelle servere og ogle virkelige servere. De virtuelle servere opfører sig etop som As servere. Alle virtuelle servere starter i samme pukt som eres tilhøree virkelige server. Hver gag e virkelig server yttes, yttes e he til es tilhøree virtuelle server. De istace, som e virkelige server ytter sig, må e virtuelle server altså have yttet sig tiligere (et er muligt, at e har yttet sig lægere). For ehver server gæler et altså, at e højst ytter sig lige så lagt som es tilhøree virtuelle server. Da e virtuelle servere opfører sig etop som As servere, betyer et, at er for ehver server gæler, at Lazy A højst ytter e lige så lagt, som A ytter e. Sålees må et samlet gæle, at Lazy As pris højst er lig me As pris, lige gyligt hva iputsekvese er. 3.4 Lazy Double Coverage Me eitioere af Lazyess og Double Coverage bure ette afsit egetlig være overøigt, me jeg har valgt at metage et for at uybe præcist, hvora Lazy Double Coverage opfører sig på 2-server problemet, a ette er gaske væsetligt for e følgee aalyser. Som avet atyer, er Lazy Double Coverage (herfra beævt LDC) e Lazy ugave af Double Coverage. De fugerer sålees ve, mes e kører, at hole styr på båe to virkelige og to virtuelle 5

7 servere, hvor hver virtuel server svarer til e virkelig server. Double Coverage opførsel simuleres på e to virtuelle servere. Når e virtuel server år et pukt, hvor er har været e forespørgsel, yttes e tilsvaree virkelige server til puktet. Af ee eitio følger, at alle forespørgsler i A imøekommes af e vestre server, hvor e højre server ikke ytter sig. Dette skyles, at ette er tilfælet i Double Coverage, og hver gag LDCs virtuelle server år puktet, vil e virkelige server yttes erhe. Tilsvaree ka argumeteres for, at alle forespørgsler i C imøekommes af e højre server, hvor e vestre server ikke ytter sig. Nu magler jeg blot at reegøre for opførsle for forespørgsler i B. Hvis LDC alleree har e server i puktet rykkes ige server. Hvis e ikke har e server i puktet betyer et, at e to are servere er i A og C. I ette tilfæle vil e to virtuelle servere rykke me samme fart mo B, itil e af em rammer puktet. Når ette sker, rykkes e tilsvaree rigtige server til B. Det vil oftest være e vestre server, er imøekommer forespørgsler i B, a ees virtuelle server blot har e afsta på 1 til B, hvorimo e virtuelle server fra C har e afsta på > 1. Det ka og got lae sige gøre, at e højre server imøekommer forespørgsler i B. Hvis servere er i A og C (båe e virkelige og virtuelle) kræves e forespørgselssekves af forme (B + A + ) B for at ytte højre server til C. De mage forespørgsler i B, hvor LDC ikke har e server i puktet (a ee bliver set tilbage til A) gør, at e højre virtuelle server på et tispukt år B. Her ytter e højre virkelige server til B. Det bemærkes, år servere er i A og C, at e korteste sekves for at ytte e højre server til B uikt er givet ve (BA) B. Uikt betyer her, at er ikke es e ae sekves me læge 2 + 1, som får LDC til at ytte højre server fra C til B. 3.5 Krysee servere E væsetlig egeskab ve e serveralgoritme er, om es servere kryser hiae. E serveralgoritme kales No-crossig, hvis es servere alrig ærer eres relative positioer på liie. Det er ituitive let at se, at et alti er got at være No-crossig, a er er et spil ve at lae to servere kryse hiae. Der gæler geerelt, at er for ehver serveralgoritme es e No-crossig serveralgoritme me e samme pris. Hver gag ma har me e uket optimal algoritme at gøre, er et rimelig at atage, at e er No-crossig, a er, hvis e ikke er et, es e ae optimal algoritme, er er No-crossig. I esig af algoritmer er et ligelees forelagtigt at sørge for, at e algoritme, ma esiger, er No-crossig. 3.6 RAND I mage atalogiske problemstilliger ka raomiseree algoritmer klare sig bere e etermiistiske algoritmer. Det er erfor oplagt at eere e raomiseret algoritme for ette problem. Da er for ehver algoritme es e mist lige så go No-crossig ugave, er et oplagt i eitioe af e y algoritme, at e to servere alrig kryser. Dette betyer, at ehver forespørgsel i A alti imøekommes af e vestre server, og at ehver forespørgsel i C imøekommes af e højre server. Da et også er optimalt at være Lazy, er et oplagt e ye algoritme højst ytter 1 server ve hver forespørgsel. Ve e forespørgsel i et pukt, hvor RAND alleree har e server, yttes ige server (a RAND er Lazy). Det eeste, er magles eeret, er u, hva algoritme gør, hvis er er e forespørgsel i B, me servere er i A og C. Her eeres, at e vestre server imøekommer forespørgsle me sasylighe +1, mes e højre server imøekommer e me sasylighe Grulaget for isse sasyligheer er, at e vestre server oftere skal bruges, a e er tættere på. Dog skal et stort atal forespørgsler i A og B resultere i, at e højre server på et tispukt yttes til B for at forhire, at ette giver e ubegræset pris. 6

8 Sasylighee bør afhæge af, a et højere betyer, at et er mire attraktivt at ytte højre server. 3.7 De optimale oie algoritme De optimale oie algoritme (herfra beævt OPT) er ikke e algoritme til løsig af problemet på samme måe som Greey, LDC og RAND er et. Som avet atyer, er OPT e oie algoritme. OPT behaler ikke e iputsekves som are algoritmer, er ser e forespørgsel a gage og herefter skal træe et valg om, hvora forespørgsle skal imøekommes. OPT får lov at se hele iputsekvese, og herefter ka e e e optimale måe at imøekomme samtlige forespørgsler. Mage forskellige kvalitetsmål til o-lie algoritmer sammeliger e give algoritme me OPT. For at uføre isse aalyser er et sjælet øveigt at beskrive OPT eksplicit, me ma ka i steet fra gag til gag e u af, hvilke opførsel, er er optimal. Nogle gage ka ma askue situatioe, som om et er OPT, er kostruerer e iputsekves til algoritme. I såa e situatio kales OPT e Aversary. Når OPT kostruerer sekvese, har e lov at se algoritme, er skal løse e, og OPT ka sålees uytte evetuelle svagheer i algoritme. For e give algoritme på 2-server problemet ka ma kostruere e Aversary, er laver hver forespørgsel i et pukt, hvor algoritme ikke har e server (a er er 3 pukter og 2 servere es såa et pukt alti). E såa Aversary kales Cruel Aversary. Ie for raomiseree algoritmer, som RAND, har ma lit ere forskellige Aversaries e blot OPT. E raomiseret algoritmer er af atur ikke etermiistisk, og ma ka erfor ikke på forhå afgøre, hvora e vil håtere e bestemt iputsekves. Det er erfor ikke helt etyigt, hvor store kræfter e Aversary skal have. É Aversary, ma ka eere, er Oblivious Aversary. Dee skal, som Aversaries alti skal, kostruere e iputsekves til e algoritme. Ie sekvese laves får e lov til at se hele algoritme iklusiv alle sasylighesforeliger. De har imilerti ige iformatio om hvora algoritme faktisk vil opføre sig e steer, hvor algoritme beytter tilfælighe. Efter hele sekvese er aet køres algoritme på sekvese, og Oblivious Aversary behaler esue selv sekvese me vie om, hva e fremtiige forespørgsler vil være (øjagtig som OPT gjore et). E lit kraftigere Aversary er Aaptive Olie Aversary (herfra beævt ADON). Dee Aversary aer ku é forespørgsel a gage. Herefter imøekommer e selv forespørgsle og ser, hvora algoritme imøekommer forespørgsle. De ka altså rage forel af, at se hvilke tilfælige valg algoritme træer uervejs. De er og også øt til selv at træe ogle valg uervejs. Det er ret let at se, at ee Aversary er stærkere e Oblivious Aversary. Ethvert resultat, som Oblivious Aversary opår mo e algoritme, for eksempel at e algoritme højst er halvt så go som Oblivious Aversary, ka også opås af ADON (ee ka reucere sie kræfter til etop em, Oblivious Aversary har, ve blot ikke at bruge iformatioe om e valg algoritme træer uervejs). Det gæler esue, at hvis e algoritme opår et bestemt resultat mo ADON, for eksempel, at algoritme alti er mist halvt så go som ADON ka et samme resultat opås mo Oblivious Aversay (a ee er svagere). Ma ka forestille sig eu stærkere Aversaries, som Aaptive Offlie Aversary, er har samme kræfter som ADON og esue ikke selv behøver imøekomme oge forespørgsler før hele sekvese er aet. I ee opgave vil jeg og ku bruge på Oblivious Aversary og ADON. 7

9 4 Kvalitetsmål I ette afsit præseteres e række forskellige kvalitetsmål. For hvert mål uersøges, om LDC eller Greey er best på 2-server problemet ifølge målet. Uer afsittet om Competitive Aalysis aalyseres også RAND. Notatioe og eitioere er geerelt baseret på [4], me jeg heviser og uer hvert mål til artikle, hvor et oprieligt er itrouceret. 4.1 Competitive aalysis Competitive Aalysis [8] er et af e ælste og mest ubrete kvalitetsmål for o-lie algoritmer. I målet sammeliges e algoritme me e optimale oie algoritme. Beviset for Competitive Ratio for LDC er baseret på beviset i [3]. Det bruges ofte iirekte til at sammelige to eller ere algoritmer. I 2-server problemet kales e algortime A c-competitive, hvis er es e kostat α så et for alle sekveser af forespørgsler σ gæler at A(σ) c OP T (σ) + α A kales competitive, hvis er es et c uafhægigt af iput sekvese, så A er c-competitive. Competitive ratio for A eeres som if{c A(σ) c OP T (σ) + α} Hvis e algoritme har e mire competitive ratio e e ae, så er e første bere i følge Competitive Aalysis. Der er ere forskellige tekikker til at vise, at e algoritme er c-competitive. Nogle af em er ve amortiseret aalyse. Jeg beskriver her to metoer fra [3]. I e første eeres e potetialefuktio, er afbiler e koguratio af problemet i i e reelle tal. For at vise at e algoritme ALG er c-competitive er et tilstrækkeligt at e e potetialefuktio, Φ, er opfyler følgee 3 betigelser. 1. Hvis OPT er aktiv ve hæelse e i og betaler x for ee aktivitet, så skal et gæle at Φ = Φ i Φ i 1 cx, vs. Φ stiger me højst cx. 2. Hvis ALG er aktiv ve hæelse e i og betaler x for ee aktivitet, så skal et gæle at Φ = Φ i Φ i 1 x, vs. Φ faler me mist x. 3. Der es e ere græse for hvilke værier Φ ka atage Dee tekik kales Iterleavig Moves. I ee moel ka situatioe ve hver forespørgsel askues, som om OPT fortager sie aktiviteter før ALG. De ae tekik til at vise, at e algoritme er c-competitve, er Amortize Costs. I ee tekik eeres ALG i, som e pris algoritme ALG betaler ve e i'te hæelse. Som i e foregåee tekik er Φ e potetialefuktio. De amortiseree pris for ALG ve e i'te hæelse er givet ve a i = ALG i + Φ i Φ i 1 = ALG i + Φ. For at vise at ALG er c-competitive skal følgee 2 betigelser være opfylt. 1. For hver hæelse, e i skal et gæle at a i c OP T i 2. Der es e ere græse for hvilke værier Φ ka atage I e følgee aalyser vil jeg beytte begge isse tekikker. Først aalyseres Greey me competitive aalysis. Theorem 4.1. Greey er ikke competitive i 2-server problemet. 8

10 Bevis. Atag til mostri, at er es et c og et α, så Greey er c-competitive. Det betyer, at er for alle sekveser gæler at Betragt u sekvese Greey(σ) c OP T (σ) + α (4.1) σ = (BA) c + α Greey vil på ee sekves for hver forespørgsel ytte e vestre server etop 1, a sekvese skiftevis forespørger B og A. Dvs. Greey(σ) = 2 c + α (4.2) På ee sekves vil OPT blot ytte si server fra C til B ve første forespørgsel, hvorefter er ikke betales mere, iet alle fremtiige forespørgsler er i A og B. Isættes (4.2) og (4.3) i (4.1) fås OPT(σ) = (4.3) 2 c + α c + α Da c 1 og > 1 fås, at vestresie er større e højresie. Dette er altså e mostri og betyer at atagelse er forkert. Greey er altså ikke competitive. Nu aalyseres LDC me competitive aalysis. Theorem 4.2. LDC er 2-competitive i 2-server problemet. Bevis. Til ette bevis bruges tekikke Iterleavig Moves, som er beskrevet tiligere. Som potetialefuktio bruges Φ = 2 M + D LDC Hvor D LDC er istace mellem LDCs 2 virkelige servere. M er istace mellem OPTs vestre server og LDCs vestre virtuelle server plus istace mellem OPTs højre server og LDCs højre virtuelle server. Dette kales også e server matchig mellem OPTs servere og LDCs virtuelle servere. For at vise at LDC er 2-competitive, skal et vises at 1. Hvis OPT ytter servere ve forespørgsel e i e total istace af x, så skal et gæle at Φ = Φ i Φ i 1 2x, vs. Φ stiger me højst 2x. 2. Hvis LDC ytter servere ve forespørgsel e i e total istace af x, så skal et gæle at Φ = Φ i Φ i 1 x, vs. Φ faler me mist x. 3. Der es e ere græse for, hvilke værier Φ ka atage Treje betigelse er opfylt, a ee potetialefuktio er e sum af to positive tal og sålees mist ka atage værie 0. For at uersøge første betigelse, betragt e situatio hvor OPT rykker servere e istace x. Da et er vist, at et er optimalt er være Lazy må et gæle at er es e OPT, som højst rykker 1 server for hver forespørgsel (e er e OPT, er sammeliges me i ee aalyse). Når OPT rykker e server istace x, æres D LDC ikke, a ee ku afhæger af positioe af LDCs servere. Servere, som OPT rykker, er matchet til ete LDCs højre eller vestre virtuelle server. Når OPTs server yttes x, ka istace til servere, som ee er matchet til, højst øges 9

11 me x. M ka altså højst stige me x og D LDC ka ikke æres. Dette betyer, at Φ højst stiger me 2x, hvilket etop er i overesstemmelse me et første krav til, at LDC er 2-competitive. At vise at betigelse 2 er overholt, ka opeles i to tilfæle. Husk, at isse tilfæle ku ækker over e gage, hvor LDC ret faktisk har aktivitet, a et ku er isse, er skal argumeteres for. I et ee tilfæle er e forespørgsel ue for LDCs kovekse hylster. LDC vil her reagere ve at ytte e virkelige server, er er tættest på forespørgsle, og ees virtuelle server til et forespurgte pukt. Først ses på tilfælet, hvor forespørgsle er til vestre for LDCs to virkelige servere. Det må gæle, at OPT har e server i et forespurgte pukt, a OPT etop har imøekommet ee forespørgsel (husk at OPT rykker først i ee moel). LDC vil rykke si vestre server (og ees virtuelle server) til et forespurgte pukt. Bemærk at e virtuelle server rykket mist lige så lagt som e virkelige, a e virtuel server ikke ka være ue for et kovekse hylster. Da et forespurgte pukt var til vestre for begge LDCs virkelige servere, må et være A. De server, som OPT har i puktet, må være es vestre server (a OPT er No-crossig). Hvis LDCs virkelige server rykker x for at imøekomme ee forespørgsel, rykker es virtuelle server også mist x (e virtuelle servere er alti i et kovekse hylster). Dette betyer, at M i Φ faler me mist x. D LDC stiger imilerti me x, a istace mellem LDCs servere bliver x større, fori e vestre rykker x mo vestre. Det må erfor gæle, at Φ faler me 2x og stiger me x, hvilket i alt givet et fal på x. Hvis forespørgsle er til højre for begge servere (altså i C) ka et tilsvaree argumet føres. Det aet tilfæle er, hvor e forespørgsel er i et kovekse hylster. Da e er i et kovekse hylster, me ikke er i et pukt, hvor LDC alleree har e server (a LDC ikke har oge aktivitet her), må forespørgsle være i B. I ette tilfæle vil begge virtuelle servere bevæger sig mo et forespurgte pukt, itil e ee år puktet. De bevæger sig begge e samme istace, k. De virkelige server, er svarer til e virtuelle server, er først år puktet, bevæger sig herefter e istace x for at å puktet. Det skal ige vises, at Φ faler me mist x. Da er er e forespørgsel i puktet må OPT have e server her, a e lige har imøekommet forespørgsle. Atag ue tab af geeralitet at ette er OPTs vestre server. Da LDCs vestre virtuelle server bevæger sig k tættere på OPTs server i puktet (som er e vestre), må et gæle, at M i Φ faler me k. Det gæler imilerti, at LDCs højre virtuelle server også bevæger sig k tættere på OPTs server i puktet. Dette ka i værste fal betye, at e bevæger sig k lægere væk fra OPTs højre server. På ee måe ka M i værste fal være uæret, iet e i ette tilfæle båe stiger og faler me k. Det gæler og at LDC har e virkelig server, som bevæger sig istace x og eer i et forespurgte pukt. At e af servere bevæger sig x og år puktet, betyer også at istace mellem LDCs højre og vestre server faler me x (a puktet er mellem LDCs servere). D LDC faler altså me x. Da M var uæret (eller evt. falt i væri) betyer ette, at Φ faler me mist x. Da alle 3 betigelser er opfylt, koklueres at LDC er 2-competitive. Da LDC er 2-competitive, mes Greey er er o-competitive er LDC bere e Greey ifølge Competitive Aalysis. Nu aalyseres RAND. Først vises e ere græse. Dee er mo Oblivious Aversary, hvilket betyer, at e også holer for ADON, a ee er e stærkere Aversary. Theorem 4.3. Competitive Ratio for RAND er mist 2 mo Oblivious Aversary i 2-server problemet. Bevis. Betragt sekvese s = (BA) k C, hvor k bestemmes seere. Jeg vil u e e forvetee pris for RAND på ee sekves. Uregige eles op i e forvetee pris for alle A, e forvetee pris for alle B og e forvetee pris for et siste C. Først es e forvetee pris for alle forespørgsler i A. Betragt e i'te forekomst af A. For at er skal være e pris for ee, må et gæle, at RAND ikke har e server i puktet på 10

12 et give tispukt. For at ette er tilfælet må et gæle, at RAND, hver gag e har skulle vælge e server til e forespørgsel i B, har valgt e vestre server (et er ette, er har gjort, at servere ikke lægere er i A). Hvis højre server var blevet yttet til B på et tispukt, var er ikke lægere oge pris for forespørgsler i A og B. Da er ie hvert A lige har været e forespørgsel i B, må et gæle, hvis er skal være e pris for e i'te forespørgsel til A, at RAND har valgt e vestre server til at imøekomme forespørgsle i B i gage. Sasylighee for ette er ( i. +1) Hvis ette er tilfælet koster, forespørgsle 1. De forvetee pris for e i'te forespørgsel bereges som sasylighee for, at er ikke er e server i A gage e pris algoritme ville betale i ette tilfæle (1). De forvetee pris er altså ( +1 samlee pris for e k forespørgsler i A er a givet ve k i=1 ( ) i ( ) k = ) i 1 = ( i. +1) De Nu es e forvetee pris for alle forespørgslere i B. Som før betragtes e i te forespørgsel i B. Først es sasylighee for, at RAND ikke har e server i B. Hvis RAND ikke har e server i B, betyer et, at højre server alrig er blevet valgt til at imøekomme e forespørgsel i B (a e i så fal staig have været i B). Dette betyer, at vestre server er blevet valgt ve hver af e foregåee forespørgsler i B. Der er i 1 foregåee forespørgsler i B. Sasylighee for, at e vestre server er blevet valgt til at imøekomme em alle er givet ve ( i 1. +1) Hvis ette er tilfælet skal RAND u imøekomme forespørgsle. Iet e vestre server, som koster 1, vælges me sasylighe +1 og e højre, som koster, vælges me sasylighe 1, er e forvetee pris hvis +1 RAND ikke har e server i B, = De forvetee pris for e i'te forespørgsel i B er givet ve sasylighee for, at e ikke har e server i puktet gage e forvetee pris, hvis ette er tilfælet. De forvetee pris er altså ( ) i 1 ( = 2 i. +1) De forvetee pris for alle forespørgsler i B er sålees givet ve k i=1 ( ) i 2 = k i=1 ( ) ( i ( ) ) k = Eelig es e forvetee pris for et siste C. Dee afhæger ligelees af k, iet et stort k vil øge sasylighee for at servere, er starter i C yttes herfra. Hvis alle forespørgsler i B har resulteret i, at e vestre server har yttet sig, vil e højre staig være i C. Dog gæler, at hvis blot 1 forespørgsel har resulteret i, at højre server er yttet, er e ikke lægere i C. Sasylighee for at vestre server er yttet hver gag (og højre sålees alrig er yttet) er givet ve ( k, +1) iet er har været k forespørgsler i B, og vestre server er yttet hver gag. ( k. Sasylighee for at højre server har yttet sig på et tispukt er a 1 +1) Hvis servere har yttet sig, skal e betale for at komme tilbage. De forvetee pris for forespørgsle i C er givet ve sasylighee for, at e har yttet servere herfra gage e pris, RAND a skal betale. De forvetee pris er altså ( ( ) ) k ( ) k 1 = De samlee forvetee pris for RAND på s er altså 11

13 E [RAND (s)] = 4 ( ( ) ) k + 1 Bemærk, at RAND slutter me servere i samme positioer, som ( e startee i (A og C), a p. e to siste forespørgsler er til A og C. Betragt u sekvese t = (BA) C) k Dee består af s getaget p gage. Da RAND starter og slutter s me samme serverpositioer, må et gæle at ( ( ) ) k E [RAND (t)] = p 4 (4.4) + 1 OPT ka klare sekvese s ve blot at ytte e server fra C til A ve første forespørgsel og ytte e tilbage ve siste. Dette koster 2, iet højre server skal yttes frem og tilbage. Som RAND starter OPT også me at have servere samme steer hvor e slutter. Derfor gæler et at OP T (t) = p 2 (4.5) Jeg vil u vise, at ette betyer at Competitive Ratio for RAND mist er 2. Atag til mostri, at er es et c < 2 og et α, såa at er for e vilkårlig iputsekves, I, gæler at E [RAND (I)] c OP T (I) + α (4.6) Iet et gæler for vilkårlige sekveser, gæler et også for t me vilkårlige k og p. (4.4) og (4.5) isættes i (4.6) og et fås at ( ( ) ) k p 4 c p 2 + α + 1 ( ( ) ) k c + α p ( ) k c + α p ( ) k α p c ( ) k Leee 2 +1 og α 2 p går begge mo 0, år k og p går mo ueelig. Dette betyer, at hvis ma vælger k og p store ok, gæler et at begge isse le er mire e 2 c 2. Det vil her gæle, at vestresie er større e højresie, hvilket er e mostri, a ligige skulle hole for alle valg af k og p. Dette betyer, at Competitive Ratio af RAND mo Oblivious Aversary mist er 2. Følgee resultat viser e ere græse. 12

14 Theorem 4.4. RAND er 2-competitive mo ADON i 2-server problemet. Bevis. Til at bevise ette bruges tekikke Amortize Costs. Φ eeres som Φ = 2 M + D RAND Hvor M er e server matchig mellem OPT og RANDs servere, vs. afstae fra OPTs vestre server til RANDs vestre server plus afstae fra OPTs højre server til RANDs højre server. D RAND er afstae mellem RANDs to servere. Det skal ifølge teorie for Amortize Costs gæle, at følgee to betigelser er opfylt, før et ka koklueres, at RAND er 2-competitive mo ADON. 1. For hver forespørgsel, e i skal et gæle at a i 2 ADON i 2. Der es e ere græse for hvilke værier Φ ka atage Bemærk, at kravet ieholer ADON i steet for OPT. Dette skyles, at resultatet søges bevist mo ADON frem for OPT, som bruges ve etermiistiske algoritmer. Det er let at vise, at ae betigelse er opfylt. Φ består af e sum af to ikke-egative tal, så Φ ka alrig være uer 0. Jeg vil u se på et først krav. Da RAND er e raomiseret algoritme, er a i = RAND i + Φ e stokastisk variabel. Det aet krav omformuleres erfor til, at et for hver forespørgsel, e i skal gæle, at E[a i ] 2 ADON i. Isættes eitioe af a i fås E[RAND i ] + E[ Φ] 2 ADON i. Isoleres E[ Φ] fås E[ Φ] 2 ADON i E[RAND i ] (4.7) Jeg vil u vise, at ee ligig gæler for alle mulige forespørgsler. Dette mefører, at RAND er 2-competitiv mo ADON. Først ses på tilfælet, hvor RAND alleree har e server i et forespurgte pukt. Det atages, at ADON rykker e server e istace x for at imøekomme forespørgsle (x ka være 0). Det vies, at ADON højst rykker 1 server, a et er optimalt at være Lazy. Først uersøges vestresie af (4.7). I potetialet ka M højst stige me x. Dette sker, hvis e server, ADON ytter, rykker x væk fra e server, e er matchet til. D RAND æres ikke, a RAND ikke ytter oge servere. Potetialet stiger altså højst me 2x, så E[ Φ] 2x. På højresie af (4.7) står er 2 ADON i E[RAND i ] = 2 x 0 = 2x. Altså er (4.7) opfylt i tilfælet, hvor RAND har e server i puktet. Nu magler jeg at uersøge e tilfæle, hvor RAND ikke har e server i et forespurgte pukt. Her eles op i to hovetilfæle. Det første hovetilfæle er, hvor ADON har e server i puktet og et ae hovetilfæle er, hvor ADON ikke har e server i puktet. I et første hovetilfæle gæler altså, at ADON har e server i putktet og RAND ikke har. Først uersøges tilfælet, hvor forespørgsle er ue for RANDs kovekse hylser. RAND vil her betale e istace x for at ytte e ærmeste server erhe. Ige uersøges (4.7). Først ses på vestresie. Distace mellem RANDs servere bliver x større. Til gegæl må et gæle, at e server, som servere RAND ytter er matchet til, alleree står i puktet (husk at ADON alleree har e server i puktet og at begge algoritmer er No-crossig). Server matchige bliver erfor x bere. Dvs. E[ Φ] = 2 ( x)+x = x. ADON betaler itet, a e har e server i puktet, og RAND betaler x, a ette var afstae til puktet. Højresie bliver altså. 2 ADON i E[RAND i ] = = 1. Ulighee er sålees her opfylt. Nu ses på tilfælet, hvor RAND ikke har e server i puktet, ADON har e server i puktet og forespørgsle er i RANDs kovekse hylster. Dette betyer, at forespørgsle er i B, RAND har sie servere i A og C og ADON har e server i B. Her er to uertilfæle. Det første er tilfælet, hvor et er e vestre server, ADON har i B. RAND vil ete ytte si højre eller vestre server for at imøekomme forespørgsle i B. Følgee skema illustrerer e to muligheer. 13

15 Halig Pris M D RAND Φ sasylighe RAND ytter vestre server RAND ytter højre server 1 +1 Hvis RAND ytter si vestre server koster et 1, a e skal yttes fra A til B. Da et er ADONs vestre server, er er i B, bliver server matchige 1 bere, år RANDs vestre server yttes 1 tættere på ee. Afstae mellem RANDs servere bliver også 1 mire, så D RAND faler me 1. I alt faler potetialet sålees me = 3. Sasylighee for ee halig er i algoritme eeret til +1. Hvis RAND ytter si højre server er et fra C til B og koster sålees. Da et er ADONs vestre server, er er i B, betyer et, at ADONs højre server er i C. Når RANDs højre server ytter til B, ytter e væk fra ADONs højre server, og server matchige bliver sålees årligere. Afstae mellem RANDs servere faler me, så D RAND faler me. I alt stiger potetialet me 2 =. Dee halig er eeret i algoritme til at ske me sasylighe Nu ses på (4.7) U fra prise, Φ og sasylighee ka E[ Φ] og E[RAND i ] bereges. E[ Φ] = = = E[RAND i ] = = Da ADON har e server i puktet, er ADON i = 0, og (4.7) er sålees opfylt. I et aet uertilfæle har ADON si højre server i puktet. Her ka et ligee skema me ligee uregiger opstilles. Halig Pris M D RAND Φ sasylighe RAND ytter vestre server RAND ytter højre server Hvis RAND ytter si vestre server, koster et 1. Afstae mellem RANDs vestre server og ADONs vestre serves øges me 1, så M øges ligelees me 1. Afstae mellem RANDs servere bliver 1 mire, så D RAND faler me 1. I alt stiger Φ sålees me = 1. Hvis RAND ytter si højre server, koster et. Her gæler, at afstae mellem RANDs og ADONs højre server faler me, hvilket betyer, at M faler me. RANDs servere kommer esue tættere på hiae, så D RAND faler me. I alt æres Φ a me 2 ( ) = 3. E[ Φ] = ( 3) = = E[RAND i ] = = Forespørgsle er gratis for ADON, så ADON i er 0. Sålees er (4.7) ige opfylt. Dee er altså opfylt i alle tilfæle, hvor RAND eller ADON har e server i puktet. 14

16 Jeg argumeterer u for et aet hovetilfæle, hvor ADON ikke har e server i puktet. Det gæler altså her, at hverke RAND eller ADON har e server i puket. Dette ka ete ske ve e forespørgsel i et kovekse hylster eller e forespørgsel ue for et kovekse hylster. Hvis forespørgsle er ue for et kovekse hylster, ka et ete ske ve, at forespørgsle er i A, hvor begge algoritmer har servere i B og C, eller ve e forespørgsel i C, hvor begge algoritmer har servere i A og B. I begge tilfæle er er samme afsta for begge algoritmer fra eres ærmeste server til forespørgsle. Beæv ee afsta x. Begge algoritmer vil reagere ve at ytte e ærmeste server til forespørgsle. Jeg vil uersøge Φ. Ie forespørgsle er M 0, a algoritmere må have servere i samme pukter. Efter forespørgsle har e også servere i samme pukter, a e begge ytter e samme server til e forespurgte pukt. Nu uersøges (4.7). Som sævaligt ses er først på vestresie. Da RAND ytter e server x væk fra e ae server, må et gæle at D RAND stiger me x. Det gæler altså, at Φ = x. Da begge algoritmer betaler x må et gæle at højresie er 2x x = x. Ulighee er altså opfylt her. Det siste tilfæle, er magler, er tilfælet, hvor e forespørgsel er i et kovekse hylster, me hvor ige af algoritmere har e server i puket. Her må et altså gæle, at begge algoritmer har servere i A og C og at forespørgsle er i B. Her er er to muligheer. Ete vælger ADON e vestre server til at imøekomme forespørgsle, eller også vælger e e højre. Først ses på tilfælet hvor ADON vælger e vestre server. Her gæler som sævaligt, at RAND vælger e vestre server til at imøekomme forespørgsle me sasylighe +1 og e højre me sasylighe Det følgee skema viser e to valg samt eres kosekveser for, hvilke pris RAND betaler og hvore et påvirker Φ. Halig Pris M D RAND Φ sasylighe RAND ytter vestre server RAND ytter højre server Hvis RAND ytter si vestre server, koster et 1. Der sker ige ærig i M, a ADON og RAND har båe højre og vestre server i e samme pukter båe før og efter, e rykker. Det gæler, at D RAND faler me 1, a RANDs servere kommer 1 tættere på hiae. Der er altså ige ærig i M og D RAND faler me 1, så Φ = = 1. Hvis RAND ytter si højre server, koster et. Det gæler, at M stiger me + 1, a er før var afsta 0 mellem båe e to vestre og e to højre servere, og a er u er afsta 1 mellem e to vestre servere og afsta mellem e to højre servere. Det må gæle, at D RAND faler me, a RANDs to server u er tættere på hiae. Det fås sålees at Φ = 2 ( + 1) = + 2. U fra prise, Φ og sasylighee ka E[ Φ] og E[RAND i ] bereges. E[ Φ] = ( + 2) = = E[RAND i ] = = Da ADON imøekommer forespørgsle me si vestre server er ADON i = 1. Nu uersøges (4.7). Vestresie er E[ Φ] = 2. Højresie er +1 2 ADON i E[RAND i ] = = 2 (+1) = Sålees er (4.7) også her opfylt. 15

17 Det siste tilfæle er, hvor er er e forespørgsel i B, begge algoritmer har servere i A og C og ADON vælger e højre server til at imøekomme forespørgsle. Her ka et tilsvaree skema laves. Halig Pris M D RAND Φ sasylighe RAND ytter vestre server RAND ytter højre server Hvis RAND ytter si vestre server koster et 1. Før servere blev yttet var M = 0. Efter yttet er e imilerti steget til +1, a er er afsta 1 mellem e vestre servere og mellem e højre. Afstae mellem RANDs servere bliver 1 mire, så D RAND faler me 1. I alt æres Φ altså me 2 (+1) 1 = 2+1. Hvis RAND ytter si højre server koster et. Der vil ikke ske e ærig i M a e er 0 båe før og efter servere yttes. Afstae mellem RANDs servere, D RAND, faler me. I alt æres Φ altså me 2 0 =. U fra prise, Φ og sasylighee ka E[ Φ] og E[RAND i ] bereges. E[ Φ] = (2 + 1) = = ( =2 + 1 = ) = E[RAND i ] = = Det er givet, at ADON ytter si højre server. Det betyer at ADON i =. Nu ses på (4.7). Vestresie giver E[ Φ] = 2 2. Højresie giver +1 2 ADON i E[RAND i ] = Også i ette tilfæle er ulighee opfylt. Jeg har u argumeteret for alle mulige typer af forespørgsler. I alle tilfæle gæler (4.7). Det betyer, at RAND er 2-competitive mo ADON. Tilsamme ugør sætig (4.3) og (4.4) e tæt øvre og ere græse for RANDs Competitive Ratio. De siger, at RAND ikke er bere e 2-competitive mo Oblivious Aversary, og at e er 2-competitive mo ADON. Da ADON er e stærkere mostaer e Oblivious Aversary betyer et, at Competitive Ratio for RAND er etop 2 mo båe Oblivious Aversary og ADON. 4.2 Max/Max Ratio Max/Max Ratio [2] bruges, som Competitive Aalysis, til at sammlige e algoritme me e optimale oie algoritme. Bevisere i ette afsit er baseret på beviser i [4]. I ette mål sammeliges e algoritmes højeste pris på e sekves af læge me OPTs højeste pris på e sekves af læge. For e algoritme, ALG, eeres M(ALG) som ALG(I) M(ALG) = lim sup max I = Max/Max Ratio for e algoritme, ALG, eeres som w M (ALG) = M(ALG) M(OP T ) 16

18 Max/Max Ratio ka bruges iirekte til at sammelige to algoritmer. E algoritme betragtes som bere, hvis e har e mire Max/Max Ratio. Jeg vil vise, at Greey er bere e LDC ifølge Max/Max Ratio ve at e Max/Max Ratio for hver af em og sammelige isse værier. Lemma 4.5. w M (Greey) = 1 M(OP T ) Bevis. For ethvert gæler et, at er es e sekves me læge, som koster for Greey. Sekvese består af skiftevise forespørgsler i B og A (først B). Disse koster 1 hver, så prise bliver i alt. Der ka ikke es oge sekves, er koster mere for Greey, a hver forespørgsel højst ka koste 1. Dee sekves maksimerer altså Greeys pris for ethvert. Det betyer at M(Greey) = 1, w M (Greey) = Hvilket etop var, hva jeg søgte at bevise. Lemma M(OP T ) 1 1 M(OP T ) Bevis. Det må gæle at M(OP T ) M(Greey) = 1, a OPT er optimal. Betragt sekvese (BAC) p. Uaset hvor højt p er, må OPT betale mist 2 for hver af e p elsekveser (vestre server rykkes til B og erefter tilbage til A). Det må erfor gæle, at M(OP T ) = lim sup T (I) max{op } 2 I = 3 Lemma 4.7. w M (LDC) 2 (+1) M(OP T ) E ere græse for M(LDC) ka aes ve at aalysere e specik iputsekves. Betragt sekvese s = ( (BA) BC ) p X, hvor X er e række skiftevise forespørgsler til A og B (først B). Det eeres at X = mo (2 + 2), hvor er læge af iputsekvese. Bemærk at X altså ka være tom. Utrykket ka betragtes som beståee af først p segmeter, som hver består af (BA) BC efterfulgt at slutsegmetet X. Hver af e p segmeter har læge Derfor må et gæle, at atallet af startsegmeter, p, ka utrykkes ve p = X Jeg vil u e LDCs pris på s. X ka atage alle heltallige værier i itervallet [0, 2 + 1], a e reges mo Prise for LDC opeles i to tilfæle. I et første tilfæle er X < Uregig opeles i e p startsegmeter og slutsegmetet. Hvert af startsegmetere begyer me (BA). Hver af isse forespørgsler imøekommes af e vestre server. Prise for hver af em er sålees 1. De æste forespørgsel i B vil imilerti imøekommes af e højre server, og e siste forespørgsel i C vil ligelees imøekommes af e højre server. Prise for hver er isse er, så e samlee pris bliver Iet et atages at X < 2 + 1, må et gæle at isse forespørgsler ku får e vestre server til at ytte sig. Dette skyles at er kræves skiftevise forespørgsler til B og A før e højre server yttes til B. Iet hver forespørgsel i X birager me etop 1, må et gæle at et totale birag fra e er X. Der gæle altså i ette tilfæle at 17

19 LDC(s) = p (2 + 2) + X = X (2 + 2) + X = X ( + ) + X + 1 ( X ) ( ( 1)) = + 1 = ( + 1) + 1 = + = X ( X ) ( 1) X ( + 1) + 1 ( X ) ( 1) X ( + 1) + 1 ( X ) ( 1) X X ( + 1) + 1 I et aet tilfæle er X = De første p startsegmeter koster em samme som i et foregåee tilfæle, så e eeste forskel er i slutsegmetet X. I X vil e forespørgsler i skiftevis B og A få LDC til at ytte vestre server frem og tilbage 2 gage, og ve e siste forespørgsle yttes e højre server fra C til B. Dvs. prise er 1 ve e første X 1 forespørgsler og ve e siste. I alt gæler altså LDC(s) = p (2 + 2) + X + 1 ( X ) ( 1) = ( (2 + 1)) ( 1) = = + ( (2 + 1)) ( 1) + 1 ( ( )) ( 1) = ( ) ( 1) = ( 1) ( + 1) + 1 Da jeg uersøger supremum, er jeg iteresseret i et største af isse utryk. Det fås ve at lae X = 0. Her gæler at LDC(s) = ( 1) +1. U fra ette fås at M(LDC) lim sup max { + I = ( 1) +1 } ( 1) = lim sup max{1 + I = + 1 } ( 1) ( 1) = =

20 Det gæler altså at w M (LDC) 2 ( + 1) M(OP T ) Theorem 4.8. Greey er bere e LDC i 2-server problemet ifølge Max/Max Ratio. Bevis. Jeg uersøge u forholet mellem e to Max/Max Ratios fra lemma (4.5) og (4.7), for at e u af hvilke, er er størst. w M (LDC) w M (Greey) 2 (+1) M(OP T ) 1 M(OP T ) = 2 ( + 1) > 1 Bemærk, at M(OP T ) ka forkortes u af brøke a e ifølge lemma (4.6) er begræset. Det siste ulighesteg gæler fori > 1. Da brøke er større e 1 betyer et, at ævere er større e tællere (e er begge positive tal). Da LDC sålees har e større Max/Max Ratio er Greey bere ifølge Max/Max Ratio. 4.3 Bijective Aalysis Bijective Aalysis [1] er e metoe til at sammelige to algoritmer, A og B irekte. Bevisere i ette afsit er baseret på em i [4]. Jeg laer i ette afsit subscript på e iputsekves betege mæge af alle iputsekveser me ee læge. For e vilkårlig læge, k, bruges er i ee aalyse e bijektio fra mæge af alle forespørgselssekveser me ee læge til e samme mæge, f : I k I k. Når to algoritmer sammeliges, køres e ee på e forespørgsel af læge k, mes e ae køres på e forespørgsel, er afbiles over i. Det gæler at algoritme A er bere e algoritme B ifølge Bijective Aalysis, hvis er es et o så et for alle 0 gæler, at f : I I ( I I : A(I) B(f(I))) ( I I : A(I) < B(f(I))) (4.8) Det skal altså gæle for alle sekveser me læge større e e kostat, at er es e bijektio fra mæge af alle sekveser me ee læge til e samme mæge, såa at algoritme A klarer sig mist lige så got på ehver sekves, som B klarer sig på e sekves, er afbiles over i, og at er esue es sekveser hvor A klarer sig bere. Jeg øsker at vise at Greey er bere e LDC ifølge Bijective Aalysis. Først eeres e familie af bijektioer f : I I. Herefter bruges isse som f i (4.8), og sålees vises, at Greey er bere e LDC. Fuktioe f eeres rekursivt. La f 1 være ietitetsafbilige, som afbiler ehver sekves i I 1 over i sig selv. Nu eeres f k. Det må gæle, at f k 1 afbiler mæge af alle iputsekveser af læge k 1 over i samme mæge. Som argumet får f k e sekves af læge k, X, og skal ae e sekves af læge k, Y. Til at ae e første k 1 forespørgsler i Y bruges f k 1 på e første k 1 forespørgsler i X. De siste forespørgsel bestemmes u fra koguratioe af Greey og LDC kørt på e første k 1 forespørgsler i heholsvis X og Y. Det må gæle, at er er 2 pukter hvor Greey alleree har e server efter e først k 1 forespørgsler i X. Hvis e siste forespørgsel i X er i et vestre af isse pukter sættes e siste forespørgsel i Y til et vestre pukt hvor LDC alleree har e server. Hvis e siste forespørgsel i X er i et højre pukt hvor Greey alleree har e server sættes e siste forespørgsel i Y til et højre pukt hvor LDC alleree har e server. Hvis e siste forespørgsel i X er i et pukt hvor LDC ikke har e server sætte se siste forespørgsel i Y i et pukt hvor LDC ikke har e server. 19

21 Lemma 4.9. > 0 I I : Greey(I) LDC(f (I)) Bevis. Jeg viser ette ve et iuktiosbevis. Basistilfælet er = 1. Her er f 1 ietitetsafbilige, og ulighee holer, a LDC og Greey opfører sig es, uaset hvor ee ee forespørgsel er. Iuktiosatagelse er, at et for e vilkårlig sekves me læge k, p, gæler at Greey(p) LDC(f k (p)). Jeg vil u vise, at er for e vilkårlig sekves me læge k + 1, s, gæler at Greey(s) LDC(f k+1 (s)). La s betege sekvese beståee af e første k forespørgsler i s. Aalyse opeles i to tilfæle. Hvis s slutter me e forespørgsel i et pukt hvor Greey har e server, må et gæle, at f k+1 (s) slutter me e forespørgsel i et pukt hvor LDC har e server. De siste forespørgsel er altså gratis for begge algoritmer, og et gæler at Greey(s) = Greey(s ) LDC(f k+1 (s )) = LDC(f k+1 (s)) Ulighee gæler på gru af iuktiosatagelse, a s har læge k. Hvis s slutter me e forespørgsel i et pukt, hvor Greey ikke har e server, må et gæle, at f k+1 (s) slutter me e forespørgsel i et pukt, hvor LDC ikke har e server. De siste forespørgsel i s koster altså 1 for Greey og e siste forespørgsel i f k+1 (s) koster mist 1 for LDC. Greey(s) = 1 + Greey(s ) 1 + LDC(f k+1 (s )) LDC(f k+1 (s)) Det første uligheteg gæler på gru af iuktiosatagelse, a s har læge k. Det aet ulighesteg gæler, a e siste forespørgsel i f k+1 (s) ka koste ete 1 eller > 1. I begge tilfæle gæler et altså at Greey(s) LDC(f k+1 (s)). Dette fuleer iuktiosskritet. Lemma I I : Greey(I) < LDC(f (I)) Bevis. Jeg vil vise ette ve et iuktiosbevis. Basistilfælet er = Betragt her sekvese s = (BA) B. Alle forespørgsler i ee sekves er i pukter, hvor Greey ikke har e server. Det betyer, at afbilige af ee er til sekvese me læge 2 + 1, hvor hver forespørgsel er i et pukt, hvor LDC ikke har e server. Dvs. f 2 +1 (s) = (BA) B = s. De afbiles altså over i samme sekves. Greey betaler 1 for hver forespørgsel i sekvese. LDC betaler 1 for hver af e første 2, me for e siste, a e højre server her yttes fra C til B. Det gæler altså at Greey(s) = < 2 + = LDC(f(s)) Atag u, at er es e sekves me læge k, p, såa at Greey(s) < LDC(f k (s)). Betragt u pc, vs. sekvese beståee af først alle forespørgsler i p og herefter e forespørgsel i C. f k+1 (pc) må være givet ve f k (p)x, hvor X er e forespørgsel i et højre af e pukter, hvor LDC har e server (et er ete B eller C). De siste forespørgsel i pc for Greey er gratis, a Greey alleree har e server i C. De siste forespørgsel i f k+1 (pc) = f k (p)x er gratis for LDC, a ee alleree har e server i X. Det gæler altså at Greey(pC) = Greey(p) < LDC(f k (p)) = f k+1 (pc) Jeg har u vist, hvora ma ka kostruere e sekves me læge k + 1, hvor Greey klarer sig bere e LDC, hvis ma har e sekves me læge k hvor Greey klarer sig bere e LDC. Samme me basistilfælet beviser ette lemmaet. 20

22 Theorem Greey er bere e LDC i 2-server problemet ifølge Bijective Aalysis. Bevis. U fra eitioe gæler et at Greey er bere e LDC ifølge Bijective Aalysis hvis er es et o så et for alle 0 gæler at f : I I ( I I : Greey(I) LDC(f(I))) ( I I : Greey(I) < LDC(f(I))) (4.9) Sæt o = 2 + 1, og la for ethvert f være givet ve f. Ifølge (4.9) gæler > 0 I I : Greey(I) LDC(f (I)) Da ette gæler for alle > 0 gæler et også for alle Ifølge (4.10) gæler I I : Greey(I) < LDC(f (I)) Sættes isse to regler samme fås ( I I : Greey(I) LDC(f (I))) ( I I : Greey(I) < LDC(f (I))) Jeg har u vist, at er for alle es et f, f, så (4.9) er opfylt. Greey er altså bere e LDC ifølge Bijective Aalysis. 4.4 Relative Worst Orer Aalysis Relative Worst Orer [5] er e metoe til at sammelige to o-lie algoritmer irekte. Der sammeliges altså ikke, som i Competitive Aalysis me e optimal oie algoritme. Bevisere i ette afsit er baseret på [4]. Der eeres A w (I) = max A(σ(I)) σ Hvor A er e algoritme, I er e iputsekves og σ(i) er e permutatio af I. Det er altså e maksimale pris A betaler over alle tækelige permutatioer af I, vs. e pris A betaler for e værst tækelige permutatio af I. For to vilkårlige algoritmer, A og B, eeres c l (A, B) = lim sup{c b : I : A w (I) cb w (I) b} c u (A, B) = lim if{c b : I : A w (I) cb w (I) + b} Relative Worst Orer Ratio for to algoritmer, A og B, skrives W R A,B og er eeret som følger c u (A, B) hvis c l (A, B) 1 W R A,B = c l (A, B) hvis c u (A, B) 1 ueeret ellers Hvis W R A,B < 1 siges algoritmere A og B at være sammeligelige i As favør. Omvet gæler, at hvis W R A,B > 1 siges e at være sammeligelige i Bs favør. Som et fremgår af eitioe gæler et ikke alti, at to algoritmer, A og B, er sammeligelige. Derfor eereres også egeskabe svagt sammeligelig. To algoritmer, A og B, er svagt sammeligelige i As favør hvis et af følgee kriterier er opfylt A og B er sammelige i As favør 21

23 c u (A, B) er eelig og c u (B, A) er ueelig c u (A, B) o(c u (B, A)) Theorem LDC og Greey er i 2-server problemet svagt sammeligelige i As favør ifølge Relative Worst Orer Aalysis. Bevis. Først vises at c u (Greey, LDC) er ubegræset. Atag til mostri, at er es et c og et b såa, at er for alle iputsekveser I gæler Greey w I c LDC w (I) + b (4.10) Betragt u sekvese s = (BA) 3 c + b. Det værst tækelige rækkefølge for Greey er etop ee rækkerfølge. Her betaler Greey 1 for hver forespørgsel, vs Greey w (s) = 2 (3 c + b ). Samme rækkefølge er e værst mulige for LDC. Her gæler og, at hvis er er ere e 2 forespørgsler til skiftevis B og A rykkes servere fra C til B for at imøekomme æste forespørgsel (ette koster ). LDC bruger altså højst Sættes isse tal i i (4.10) fås 2 (3 c + b ) c 3 + b hvilket er e mostri, a c og er positive. Dette betyer, at er ikke es et såat c og b. Altså er c u (Greey, LDC) ubegræset. Nu vises at c u (LDC, Greey) 2. La I LDC være e vilkårlig iputsekves permuteret værst muligt for LDC, og la I Greey være samme iput permuteret værst muligt for Greey. Da LDC er 2-Competitive, betyer et at e højst er obbelt så yr som OPT (plus e aitiv kostat) på ehver sekves. OPT er mist lige så go som Greey, og Greey er mist lige så go på I LDC som på I Greey, a ee er I permuteret værst muligt for Greey. Det fås altså at LDC(I LDC ) 2OP T (I LDC ) + b 2Greey(I LDC ) + b 2Greey(I Greey ) + b Dette betyer at LDC alti i værste fal klarer sig halvt så got på si værste permutatio af iput, som Greey klarer sig på si værste permutatio (plus e aitiv kostat). Dvs. c u (LDC, Greey) 2. Da c u (Greey, LDC) er ubegræset og c u (LDC, Greey) 2 er eelig er LDC og Greey svagt sammeligelige i As favør. 4.5 Raom Orer Ratio Raom Orer Ratio [7] blev oprieligt itrouceret til aalyse af Bi Packig. I e oprielige eitio eeres Raom Orer Ratio på følgee måe E σ [A(σ(I))] lim sup OP T (I) OP T (I) Her er OPT e optimale oie algoritme. Tællere i brøke er e forvetee væri af algoritme A på e uiformt tilfæligt valgt permutatio, σ, af alle sekveser, I. E algoritme er go, hvis ette tal er lille. I Bi Packig betyer rækkefølge af forespørgsler ikke oget for hvora e optimale oie algoritme vil behale problemistase. I are problemer, heruer 2-server problemet, er rækkefølgee imilerti også væsetlig for e optimale oie algoritme. I [4] er målet erfor geeraliseret til lim sup OP T (I) E σ [A(σ(I))] E σ [OP T (σ(i))] I praksis bruges i artikle målet [ ] A(σ(I)) lim sup E σ OP T (I) OP T (σ(i)) 22

24 a et i e problemer, er er behalet i artike, giver e samme resultater. Problemet me ette mål på 2-server problemet er imilerti, at ve sekveser som (BA) 2 (som bruges i artikle) gæler et ikke at OP T (I) selvom sekvese ka blive vilkårligt lag. I mi aalyse af problemet moicerer jeg målet til [ ] A(σ(I)) lim sup E σ I OP T (σ(i)) a jeg meer, at et i 2-server problemet er mere aturligt at lae læge af iput gå mo ueeligt e at lae prise af e optimale løsig gå mo ueelig. I e følgee sætiger og beviser bruges ee siste eitio. Bevisere i ette afsit er baseret på [4]. Lemma Raom Orer Ratio for LDC er begræset af e kostat. Bevis. Husk fra tiligere, at LDC er 2-competitive. Dette betyer, at er es et α så er for ehver iputsekves, s, gæler LDC(s) 2 OP T (s) + α Nu uersøges Raom Orer Ratio for LDC. Det bruges, at et for ehver sekves gæler, at LDCs pris maksimalt er to gage e optimale oie algoritmes pris plus e kostat. [ ] [ ] LDC(σ(I)) 2 OP T (σ(i)) + α lim sup E σ lim sup E σ I OP T (σ(i)) I OP T (σ(i)) α = lim sup E σ [2 + I OP T (σ(i)) Dette utryk må være begræset af e kostat. Dette skyles at α er e kostat og at prise for e optimale oie algoritme på es væreste permutatio i hvert fal ikke aftager ve I. Sålees er Raom Orer Ratio for LDC begræset af e kostat. Lemma Raom Orer Ratio for Greey er ubegræset. Bevis. Betragt sekvese s = (BA) 2 samt alle permutatioer heraf. Plasere i s eeres som s 1...s. Nu eeres e stokastiske variable x 2..x, hvor { 1 hvis si s x i = i 1 0 ellers Jeg uersøger u sasylighee for, at x i = 1. Dee må være lig me E[x i ]. Det må gæle at s i ete er A eller B. Atag ue tab af geeralitet, at s i = A. Der skal også tileles e væri til s i 1. Der vælges e væri uiformt tilfæligt (a vi ser på e tilfælig permutatio) blat e resteree 2 1 A'er og B'er. Sasylighee for at 2 s i 1 = B er mist e halv, a er er ere B'er. Det gæle altså, at sasylighee for at s i s i 1 mist er e halv. Det betyer at E[x i ] 1 2. På permutatioer af s vil et gæle, at Greey betaler 1 hver gag et teg er forskelligt fra et foregåee (a e skal ytte si vestre server her). De betaler esue 1 ekstra hvis sekvese starter me et B. E ere græse for e forvetee pris for Greey over e uiform forelig over alle permutatioer af s ka efor bereges som ] [ ] E σ [Greey(σ(s))] E x i = 2 E [x i ] =

25 Bemærk, at OPT ka klare ehver permutatio af s ue at betale mere e (ette er uafhægigt af ). E ere græse for Raom Orer Ratio for Greey ka u bereges som [ ] Greey(σ(I)) lim sup E σ lim sup I OP T (σ(i)) I I 1 2 Dee er ubegræset. Sålees gæler et, at Raom Orer Ratio for Greey er ubegræset. Da Raom Orer Ratio er begræset for LDC og ubegræset for Greey må et gæle, at LDC er bere e Greey ifølge Raom Orer Ratio. 4.6 Relative Iterval Aalysis I Relative Iterval Aalysis [6] sammeliges to algoritmer, A og B, irekte, og er tages altså ikke ugagspukt i e optimale oie algoritme. Alle beviser og resultater i ette afsit er origiale. Der eeres følgee 2 fuktioer. Disse bruges i følgee eitioer: Mi A,B () = mi {A(σ) B(σ)} σ = Max A,B () = max {A(σ) B(σ)} σ = Mi(A, B) = lim if MiA,B () MaxA,B () Max(A, B) = lim sup I alle eitioere gæler at A og B er algoritmer, N, og σ er e iputsekves. Bemærk, at Mi(A, B) = Max(B, A) og Max(A, B) = Mi(B, A). Hvis Max(A, B) > Mi(A, B), er B bere e A i ee moel. Lemma M ax(greey, LDC) = 1 Bevis. Først vises Max(Greey, LDC) 1, herefter vises Max(Greey, LDC) 1. Til e første græse uersøges først Max Greey,LDC () = max {Greey(σ) LDC(σ)} σ = Der ka aes e ere græse for ee ve at se på e specik sekves, iet e er max over alle sekveser. Betragt sekvese beståee af skiftevise forespørgsler i B og A, hvor e første er i B. Dee ka formaliseres som s = (BA) 2 B ( mo 2). Iet Greey vil blive ve me at ytte e vestre server frem og tilbage mellem B og A vil e betale etop 1 for hver forespørgsel i s, så Greey(s) =. Prise for LDC afhæger også af. Det gæler imilerti at er er e øvre græse for ee pris. Dee øvre græse rammes ve LDC vil betale 1 for e første forespørgsler i B og 1 for e første forespørgsler i A. Ve e + 1'te forespørgsel i B vil e og ytte si højre server til B, og sålees have servere i båe A og B. Disse vil blive ståee. Det koster erfor 1 for e første 2 forespørgsler og for e 2 + 1'te (iet højre server skal yttes 24

26 fra C til B). Herefter er prise 0 for hver forespørgsel. Ve < vil prise være mire. Dette betyer at LDC(s) Dette gæler uafhægigt af. Max Greey,LDC () = max {Greey(σ) LDC(σ)} σ = 3 Betragt u Max(Greey, LDC) = lim sup lim sup = 1 MaxGreey,LDC () 3 Der fås altså at Max(Greey, LDC) 1. Nu vises at Max(Greey, LDC) 1. Max Greey,LDC () = max {Greey(σ) LDC(σ)} max {Greey(σ))} = σ = σ = Dette utryk bruges u som e øvre græse og et fås at MaxGreey,LDC () Max(Greey, LDC) = lim sup { lim sup } = 1 Det fås altså at Max(Greey, LDC) 1 og Max(Greey, LDC) 1 hvilket betyer at Max(Greey, LDC) = 1 Det er væsetligt sværere at bestemme Max(LDC, Greey). For at bestemme e vil jeg se på Max LDC,Greey () = max {LDC(σ) Greey(σ)}. σ = Deér s() som e første forespørgsler i sekvese ( (BA) BC ). Alterativt, ka s() utrykkes ve ((BA) BC) p X, hvor X er e række skiftevise forespørgsler til A og B (først B). X = mo (2 + 2) og p = X Påstae er u, at er for ethvert N gæler, at s() er e streg me læge, er maksimerer forskelle på e to algortimers pris, vs. N : max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(s()) Greey(s()) σ = Bemærk, at et itet ste påstås, at ee sekves er e eeste sekves er maksimerer LDCs pris mius Greeys pris, me blot at e gør et. Beviset for ee påsta er et iuktiosbevis. Det er for struktures skyl opelt i e række hjælpesætiger. De første 3 lemmaer ugør basis. Lemma < : max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(s()) Greey(s()) σ = 25

27 Dee lighe gæler hvis begge algoritmer starter me servere i A og C (som i e ormale eitio af problemet). De gæler også, hvis LDC starter me servere i A og C, mes Greey starter me servere i B og C. I begge tilfæle skal et også gæle, at LDCs højre virtuelle server starter i C. Bevis. Først ses på tilfælet, hvor begge algoritmer starter me servere i A og C. Hvis algoritmere på e sekves opfører sig es, betyer et, at forskelle i eres pris bliver 0. De eeste måe at få e to algoritmer til at opføre sig forskelligt, er ve at få LDC til at ytte e server fra C til B. Husk fra eitioe af LDC, at e korteste sekves, er opfyler ette er ( (BA) B ). Dee har læge Det gæler altså for alle sekveser me læge mire e 2 + 1, at e to algoritmer opfører sig es på sekvese. Dette betyer også at LDCs pris på sekvese mius Greeys pris alti er ul. Nul er altså e maksimale forskel i pris, er ka opås over alle sekveser me læge mire Specielt opås e ve sekvese s() for < I tilfælet hvor LDC starter me servere i A og C, mes Greey starter me servere i B og C er aalyse æste e samme. Bemærk at efter e første forespørgsel i A eller B vil e to algoritmer have servere i samme pukter. Hvis e første forespørgsel i A eller B er i A, vil e være gratis for LDC, me koste 1 for Greey. De vil altså give et birag på 1 til LDCs pris mius Greeys pris. Da sekvese ikke ieholer ok forespørgsler til at få e to algoritmer til at opføre sig forskelligt efter ette vil LDCs pris mius Greeys pris ee me at være 1. Hvis e første forespørgsel i A eller B er i B, vil e koste 1 for LDC og 0 for Greey. De vil altså birage me 1 til forskelle i algoritmeres pris. Ige er er ikke ok forespørgsler til at e to algoritmer herefter opfører sig forskelligt, så LDCs pris mius Greeys pris eer me at være 1. Hvis er ku er forespørgsler i C er e gratis for begge algoritmer og forkselle i algoritmeres pris eer me at være 0. Dette betyer at alle sekveser, hvor første forespørgsel i A eller B er i B vil maksimere LDCs pris mius Greeys pris. Heruer hører s(). Lemma For = gæler max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(s()) Greey(s()) σ = Dee lighe gæler hvis begge algoritmer starter me servere i A og C (som i e ormale eitio af problemet). De gæler også, hvis LDC starter me servere i A og C, mes Greey starter me servere i B og C. I begge tilfæle skal et også gæle, at LDCs højre virtuelle server starter i C. Bevis. Først ses på tilfælet hvor begge algoritmer start me servere i A og C. Husk, fra eitioe af LDC at q = ( (BA) B ) er e eeste sekves me læge 2 + 1, er får LDC til at ytte si højre server fra C til B. For alle are sekveser af ee læge, vil et altså gæle, at LDC ikke ytter si højre server. De to algoritmer opfører sig altså es på sekveser me læge 2 + 1, er ikke er q, så LDCs pris mius Greeys pris vil på isse sekveser alti være 0. For sekvese q gæler imilerti, at algoritmere opfører sig es på e første (BA) forespørgsler, me ve et siste B ytter LDC si server fra C til B. Dee forespørgsel koster sålees for LDC. Greey ytter si server fra A til B som e plejer og ee forespørgsel koster 1 for Greey. Der gæler altså at LDC(q) Greey(q) = 1. Da > 1 er ette større e ul og er sålees større e forskelle i pris for alle are sekvese (som var 0). Bemærk at q = s(2 + 1). Derfor maksimerer s() også utrykket for = I tilfælet, hvor LDC starter me servere i A og C, og Greey starter me servere i B og C, er aalyse æste e samme. Bemærk, a LDC staig starter me servere i A og C, er et 26

28 staig sekvese q = ( (BA) B ), som er e eeste sekves me læge 2 + 1, er får LDC til at ytte si højre server fra C til B. Efter første forespørgsel i A eller B har e to algoritmer servere samme steer, og e eeste forskel ee første forespørgsel gør, er et birag på 1 for A eller 1 for B til LDCs pris mius Greeys pris. Dee forskel i startpositioere giver altså blot et ekstra birag til LDC(q) Greeey(q) på 1 (a q starter me B). Da q maksimerer forskelle i algoritmeres pris i koguratioe, hvor begge algoritmers servere starter i A og C, og a ige are sekveser får et ekstra birag på mere e 1 pga. e æree startkoguratio er q = s(2 + 1) også i ee alterative startkoguratio e sekves me læge 2 + 1, er maksimerer forskelle i algoritmeres pris. Det gæler altså, at s() også maksimerer utrykket for = ve e æree startbetigelser. Lemma For = gæler max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(s()) Greey(s()) σ = Dee lighe gæler hvis begge algoritmer starter me servere i A og C (som i e ormale eitio af problemet). De gæler også, hvis LDC starter me servere i A og C, mes Greey starter me servere i B og C. I begge tilfæle skal et også gæle at LDCs højre virtuelle server starter i C. Bevis. Først ses på tilfælet, hvor begge algoritmer starter me servere i A og C. Betragt LDC(s(2 +2)) Greey(s(2 +2)). Fra før har vi, at e første 2 +1 forespørgsler birager til forskelle på algoritmeres pris me på 1. De siste forespørgsel er ifølge eitioe af s() i C. Dee vil få LDC til at ytte si højre server tilbage til C, så prise for ee forespørgsel er for LDC. For Greey er prise 0, a e alleree har e server i puktet. De siste forespørgsel birager altså me til forskelle i algoritmeres pris. Totalt gæler altså, at LDC (s(2 + 2)) Greey (s(2 + 2)) = 2 1 Betragt u sekvese σ me læge 2 +2, som maksimerer LDCs pris mius Greeys pris. Det må gæle, at σ får LDC til at ytte si højre server fra C. Dette kræver mist forspørgsler og birager me 1 til forskelle i algoritmeres pris. Der er u maks 1 forespørgsel tilbage i σ. Dee ka højst birage me til forskelle i algoritmeres pris (ette sker hvis LDC ytter e server, hvilket er et højeste e ka ytte og Greey ytter 0). Det gæler altså, at LDC(σ) Greey(σ) 2 1, me a LDC (s(2 + 2)) Greey (s(2 + 2)) = 2 1 må et gæler at (s(2 + 2)) er e sekves me læge 2 + 2, er maksimerer forskelle i algoritmeres pris. I tilfælet hvor LDC starter me servere i A og C, og Greey starter me servere i A og B er aalyse æste e samme. For e sekveser, hvor første forespørgsel i A eller B er et B, vil LDCs pris mius Greeys pris stige me 1. For e sekveser hvor e er i A vil LDCs pris mius Greeys pris fale me 1. Det gæler, at s(2 + 2) maksimerer forskelle i algoritmeres pris i tilfælet hvor servere for begge algoritmer starter i A og C. Forskelle i algoritmeres pris på q får i ee moel me æret startkoguratio et ekstra birag på 1 (a e starter me B). Ige ae algoritme får et birag på mere e 1. Det betyer, at s(2 + 2) også maksimerer LDCs pris mius Greeys pris på sekveser af læge 2 +2 me æret startkoguratio. Lemma For > + 2 gæler, at er es e sekves z, hvorom er gæler at max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(z) Greey(z) σ = og hvor er gæler at e første teg i z er (BA) BC. Dee egeskab gæler hvis begge algoritmer starter me servere i A og C (som i e ormale eitio af problemet). De gæler også, hvis LDC starter me servere i A og C, mes Greey starter me servere i B og C. 27

29 Bevis. Først argumeteres for tilfælet, hvor begge algoritmer starter me servere i A og C. Ifølge lemmaet skal z altså maksimere forskelle på e to algoritmers pris. Som et er vist tiligere, må et gæle, hvis er overhoveet skal være e forskel i e to algoritmers pris, at LDC skal ytte e server fra C til B. Det må altså gæle, at alle e sekveser, er maksimerer LDCs pris mius Greeys pris, får LDC til at ytte e højre server fra C til B. Bemærk, at lige år LDC har yttet si højre server fra C til B har e alti sie virkelige servere i A og B, e virtuel server i B og e virtuel server et ste mellem A og B (ees positio er ikke væsetligt). Serverpositioere afhæger ikke af hvor lag e sekves, er førte til, at LDC yttee højre server fra C til B. Det må erfor gæle, at blat e sekveser, er maksimerer LDCs pris mius Greeys pris, er er e, er sørger for at LDC ytter si højre server fra C til B så hurtigt som muligt. Dette sker ve sekvese ( (BA) B ), som etop svarer til e første teg i z. Jeg magler u at argumetere for at et 2 + 2'te teg i z ka være C. Efter e første teg gæler at LDC har servere i A og B, mes Greey har servere i B og C. Derfor gæler er, at ehver forespørgsel, som ikke er i C vil være gratis for LDC. De vil og koste 0 eller 1 for Greey. De vil sålees give ikke-positivt egativt birag til LDCs pris mius Greeys pris. For at maksimere LDCs pris mius Greeys pris ka såae forespørgsler i A og B fjeres fra sekvese ue at sæke LDCs pris mius Greeys pris. Dette vil give plas til ere forespørgsler til sist i sekvese, som ka give et ikke-egativt birag til LDCs pris mius Greeys pris. Det maksimerer sålees LDCs pris mius Greeys pris at forespørge C som et æste pukt (me husk at et ikke øveigvis er et uikt maksimum). Det gæler altså, at er for mæge af alle sekveser me læge større e + 2, at er es e sekves i mæge, som båe maksimerer LDCs pris mius Greeys pris og som starter me (BA) BC. I tilfælet, hvor LDC starter me servere i A og C, og Greey starter me servere i B og C er aalyse æste e samme. Algoritmere vil have servere i ietiske positioer efter første forespørgsel i A eller B, og et vil kræve samme sekves som i foregåee aalyse (emlig (BA) B) at få LDC til at ytte højre server fra C til B. Sekveser, er starter me B, vil få et ekstra birag på 1 til LDCs pris mius Greeys pris, og sekveser, er starter me A, vil få et ekstra birag på 1. De optimale sekves, z, starter me (BA) BC i e almielige koguratioer. De eeste forskel i ee alterative koguratio er, at sekveser, er starter me B får et ekstra birag på 1. z får sålees et ekstra birag på 1. Ige sekves får et birag på mere e 1. Dette betyer, at z også maksimerer LDCs mius Greeys pris i ee moel. Lemma : max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(s()) Greey(s()) σ = Bevis. Lemma (4.16), (4.17) og (4.18) betragtes som basistilfæle i ette bevis. Jeg vil vise at lemma (4.20) gæler for e vilkårlig læge k. Det skal altså vises at max {LDC(σ) Greey(σ)} = LDC(s(k)) Greey(s(k)) σ =k Hvis k er et vist i basistilfælet at et gæler. Hvis k er større følger et af lemma (4.19), at er es e sekves me læge k, er maksimere LDCs pris mius Greeys pris, som har e første teg som (BA) BC. De første teg af e sekves me læge k, som maksimerer LDCs pris mius Greeys pris er u bestemt. Herefter har LDC sie server i A og C, mes Greey har sie servere i B og C. Reste af sekvese, er maksimerer forskelle i algoritmeres pris, skal u bestemmes. Hvis reste af sekvese er mire e 2 +2 er e ækket af basistilfæle, a isse også gæler for isse alterative serverpositioer. Hvis reste af sekvese er større, vies et fra lemma (4.19), som også gæler for isse alterative 28

30 serverpositioer, at ee sekves ka maksimeres ve e sekves, som har e første 2 +2 teg som (BA) BC. Ige er LDCs servere herefter i A og C, mes Greeys er i B og C. På ee måe ka itereres itil et basistilfæle rammes. For hver iteratio bliver sekveses læge kortere, og er er basistilfæle. Derfor gæler et alti at et basistilfæle må rammes på et tispukt, og s(k) er altså e sekves me læge k, er maksimerer LDCs pris mius Greeys pris. Lemma M ax(ldc, Greey) = + 1 Bevis. Det følger af lemma (4.20), at Max LDC,Greey () = LDC(s()) Greey(s()). Max(LDC, Greey) = lim sup = lim sup MaxLDC,Greey () LDC(s()) Greey(s()) Jeg vil u e lim sup af ee mæge. Husk at s() er ( (BA) BC) p X me X = mo (2 + 2) og p = X Værie af LDC(s()) Greey(s()) afhæger af X. Aalyse er elt op i 3 tilfæle. Det første tilfæle er hvor X = 0. Her fås at (( ) p ) LDC(s()) = LDC (BA) BC = p (2 + 2) Dette skyles, at LDC i hver er e p segmeter først ytter e vestre server frem og tilbage 2 gage, hvorefter e højre servere yttes e gag frem og tilbage. Greey betaler 1 for hver skiftevis forespørgsel i A og B, mes em i C er gratis. Det er og i første af e p sekveser, at er betales for e (( første forespørgsel, ) a er for e are gæler, at Greey alleree har e p ) server i p. Greey (BA) BC = p (2 ) + 1. LDC(s()) Greey(s()) p (2 + 2) p (2 ) + 1 lim sup = lim sup,(2 +2),(2 +2) p ( ) + 1 = lim sup,(2 +2) p (2) + 1 = lim sup,(2 +2) 29

31 { 2 +2 = lim sup (2) + 1 },(2 +2) { (2) = lim sup,(2 +2) } 2 = = + 1 Det aet tilfæle er hvor 0 < X < Her gæler, at LDC ige betaler for hvert af e p segmeter. De betaler esue etop 1 for hver forespørgsel (( i X, a X ikke) er lag p ) ok til, at e ka få LDC til at ytte e højre server til B ige. Dvs. LDC (BA) BC X = p (2 + 2) + X. Greey betaler 1 for hver skiftevis forespørgsel i B og A. Som før gæler, at e første forespørgsel i hver af e p sekveser er gratis (bortset fra i e første), a Greey alleree vil have e server i B. Bemærk at X ligelees starter me et B, (( me her har) Greey p ) alleree e server, så e første forespørgsel i X er også gratis. Greey (BA) BC X = p (2 ) X 1 = p (2 ) + X. lim sup,(2 +2) (2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (2 +2) (+1) LDC(s()) Greey(s()) p (2 + 2) + X p (2 ) X p ( ) p 2 X ( ) 1 X Da X går mo 0 for gåee mo ueelig fås lim sup af mæge til 2 = = + 1 Det siste tilfæle er hvor X = Her vil LDC ige betale for hvert af e p segmeter. For hver af e første X 1 forespørgsler i X vil e betale 1. De siste forespørgsel i X vil og koste, a e etop vil få LDC til at ytte e højre server fra C til B. I alt gæler 30

32 (( ) p ) altså at LDC (BA) BC X = p (2 + 2) + X 1 + = p (2 + 2) Greey betaler som i foregåee tilfæle 1 for hver skiftevis forespørgsel i B og A, hvor e første forespørgsel i hvert af e p segmeter, utage et første, er gratis. (( Desue ) er første p ) forespørgsel i X gratis (a Greey alleree har e server her). Greey (BA) BC X = p (2 ) X 1 = p (2 ) lim sup,(2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (+1) = lim sup,(2 +2) (+1) LDC(s()) Greey(s()) p (2 + 2) p (2 ) 2 1 p ( 1 X ) Da X 1 og går mo 0 for gåee mo ueelig fås lim sup af mæge til 2 = = + 1 Det gæler i alle tre tilfæle at lim sup af ee mæge er. Dvs. +1 MaxLDC,Greey () Max(LDC, Greey) = lim sup LDC(s()) Greey(s()) = lim sup = + 1 Dette fuleer beviset for lemmaet. Theorem LDC er bere e Greey i 2-server problemet ifølge Relative Iterval Aalysis. Bevis. Ifølge lemma (4.15) og (4.21) gæler M ax(greey, LDC) = 1 samt M ax(ldc, Greey)) =. Det gæler at Mi(Greey, LDC) = Max(LDC, Greey) =. Herfra følger at +1 Max(Greey, LDC) = 1 > +1 = Mi(Greey, LDC) + 1 LDC er bere e Greey, a kravet herfor etop er at Max(Greey, LDC) > Mi(Greey, LDC). Det bemærkes, at selvom et er rigtig at et for alle > 1 gæler at +1 > 1, ka værie komme vilkårligt tæt på 1. Hvis værie var 1 var e to algoritmer lige goe. Dette kue tolkes som, at LDC ku er margialt bere e Greey ifølge Relative Iterval Aalysis. 31

33 5 Koklusio Forskellee på Greey og LDC er ituitivt gaske klare. LDC klarer sig højst e faktor 2 værre e OPT (plus e kostat), hvor Greey ikke har oge begræsee faktor for hvor meget årligere e ka blive. Til gegæl ka Greey højst betale 1 for hver forespørgsel, hvor LDC ka betale op til. De resultater, er er opået ve hvert mål, afspejler hvora målet vægter isse to egeskaber i forhol til hiae. Følgee skema viser, hvilke algoritme e forskellige mål favoritiserer. Mål De beste algoritme ifølge målet Bemærkig Competitive Aalysis LDC RAND er også 2-competitive Max/Max Ratio Greey Bijective Aalysis Greey Relative Worst Orer Aalysis LDC Algoritmere er ku svagt sammeligelige Raom Orer Ratio LDC Relative Iterval Aalysis LDC Competitive Ratio måler etop, om er er oge begræsee faktor for hvor meget værre e algoritme ka være e OPT. Det er erfor gaske klar, at e favoritiserer LDC, som er 2-competitive frem for Greey, som ikke er competitive. Resultatet fra Max/Max Ratio ka virke overraskee, a OPT også her bruges som sammeligig. Hvis ma læser aalyse ærmere viser et sig imilerti, år to algoritmer sammeliges, at OPT ugår af beregige. Grue til, at Max/Max Ratio favoritiserer Greey ka tilskrives, at hver forespørgsel i Greey højst ka koste 1, mes er ka aes sekvese til LDC, hvor e este forespørgsler koster 1 og reste koster. I aalyse for Bijective Aalysis er et ligelees meget cetralt for aalyse at hver forespørgsel, i et pukt hvor algoritme ikke har e server, koster 1 for Greey mes et koster 1 eller for LDC. Det er på baggru af ee egeskab at Greey favoritiseres. I Relative Worst Orer Aalysis er et cetrale argumet for aalyse etop at LDCs pris er begræset af to gage prise for e optimale oie algoritme (plus e kostat), mes Greeys pris ikke er begræset af oge faktor gage e optimale oie algoritme. Ifølge Raom Orer Ratio er LDC e beste af e to algoritmer. Aalyse bag koklusioe hviler ige på, at LDCs pris er begræset af e optimale oie algoritme. At LDC er bere e Greey ifølge Relative Iterval Aalysis er et af e origiale resultater i ee opgave. Det er erfor passee at overveje lit ærmere, hvorfor er etop fås at LDC er e beste algoritme. Dee aalyse liger ikke e are, a er ikke koklueres u fra at LDC højst er e faktor 2 værre e OPT. Aalyse hviler på et lægere ræsoemet om hvora ma ka maksimere forskelle på e to algoritmers pris. Som jeg har atyet efter resultatet, er et lit iteressat at resultatet hviler på at +1 > 1. Dette er sat for alle R, me for store og for som er e lille smule mire e et heltal ka et blive vilkårligt tæt på 1. Dette kue tye på, at LDC og Greey i isse situatioer er meget tæt på at være lige goe. Det er ikke så overraskee, at e to algoritmer er tættere på at være lige goe ve store, a e år vokser vil opføre sig mere og mere es. Mere iteressat er et, at e er meget tæt på at være lige goe år er lit mire e et heltal. De to algoritmer opfører sig gaske 32

34 vist forskellige alt afhægig af om N eller = k ɛ, k N, me forskelle er blot, at LDC i et siste tilfæle vil ytte e højre server til B lit lettere e e vil i et første. Det ka være svært at se hvora ette skulle være afgøree for hvilke algoritme, er er best. Mi tolkig er, at LDC ku er margialt bere ifølge Relative Iterval Aalysis, og erfor ka isse æriger i æste få algoritmere til at være lige goe. Et aet origiale resultat i ee opgave er resultatere om RAND. RAND viste sig at være 2-competitive mo båe Oblivious Aversary og Aaptive Offlie Aversary. De opåee altså ikke e Competitive Ratio på mire e 2, som ma ellers kue have troet, a e er raomiseret. I forhol til LDC har e og staig e forel, at e er Memoryless. Det betyer, at e, år e træer beslutiger ikke behøver se på, hva er er sket i fortie. Dette gør e let at implemetere, og at e er hurtig til at træe valg. Til gegæl har e og brug for at geerere tilfælighe, hvilket ikke er gratis. Jeg har u uersøgt e lag række mål og fuet u af om e favoritiserer LDC eller Greey på 2-server problemet. Det er ret svært, på baggru af ee iformatio, at vurere om målee er goe eller årlige. Det have muligvis været e go ié at bruge to algoritmer, hvor jeg viste at e ee alti klaree sig mist lige så got som e ae (fx DC og LDC). Et got mål ville her ieticere LDC som e beste. Selvom jeg på baggru af mie aalyser ikke irekte ka kokluere hvilke mål, er er goe, eller om LDC eller Greey er e beste algoritme, tjeer e alligevel et formål. For hvert mål siger e oget om hvilke egeskaber målet vægter højst. I fremtiigt arbeje kue et være spæee at aalysere are problemer me e samme kvalitetsmål og se, om et var algoritmer me e samme egeskaber, som målee ville favoritisere. Litteratur [1] S. Agelopoulos, R. Dorrigiv, a A. López-Ortiz. O the separatio a equivalece of pagig strategies. I Proceeigs of the eighteeth aual ACM-SIAM symposium o Discrete algorithms, pages Society for Iustrial a Applie Mathematics, [2] Shai Be-Davi a Alla Boroi. A ew measure for the stuy of o-lie algorithms. Algorithmica, 11(1):7391, [3] A. Boroi a R. El-Yaiv. Olie computatio a competitive aalysis, volume 2. Cambrige Uiversity Press Cambrige, [4] J. Boyar, S. Irai, a K. Larse. A compariso of performace measures for olie algorithms. Algorithms a Data Structures, pages , [5] Joa Boyar a Lee M. Favrholt. The relative worst orer ratio for o-lie algorithms. I Proceeigs of the 5th Italia coferece o Algorithms a complexity, CIAC'03, pages 5869, Berli, Heielberg, Spriger-Verlag. [6] Reza Dorrigiv, Alejaro López-Ortiz, a J. Ia Muro. O the relative omiace of pagig algorithms. Theor. Comput. Sci., 410: , September [7] Claire Keyo. Best-t bi-packig with raom orer. I Proceeigs of the seveth aual ACM-SIAM symposium o Discrete algorithms, SODA '96, pages , Philaelphia, PA, USA, Society for Iustrial a Applie Mathematics. [8] Daiel D. Sleator a Robert E. Tarja. Amortize eciecy of list upate a pagig rules. Commu. ACM, 28:202208, February