Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Transkript

1 Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk: Geometri, Differentialregning og sandsynlighedsregning. Funktionsundersøgelse - optimering En funktionsundersøgelse består typisk i at bestemme: - definitionsmængde - nulpunkter og fortegn for f(x) - nulpunkter og fortegn for f'(x) - monotoniforhold - lokale ekstrema - værdimængde - asymptoter - tabel over funktionsværdier - graf Det er slet ikke altid, at alle disse undersøgelser er påkrævet. Det afhænger af det konkrete problem, hvilke undersøgelser der er relevante. Rækkefølgen behøver heller ikke at følge ovenstående opstilling. For eksempel vil en bestemmelse af nulpunkter og fortegn for f ofte være nemmere efter en monotoniundersøgelse. Denne, sammen med en skitse af grafen, viser antallet af nulpunkter og hvilke startværdier man bør vælge i forbindelse med en numerisk bestemmelse af nulpunkterne. Angående krav til metode og dokumentation i forbindelse med nulpunktsbestemmelse, bestemmelse af monotoniforhold, bestemmelse af asymptoter og tegning af graf samt anvendelse af grafregneren henvises til Vejledende eksamensopgaver i matematik. Definitionsmængde Hvis intet er anført om definitionsmængden, er det forudsat at definitionsmængden er den mest omfattende delmængde af de reelle tal, for hvilken forskriften har mening. Nulpunkter og fortegn for f(x) Ved bestemmelse af en funktions fortegn kræves der en undersøgelse af funktionens nulpunkter efterfulgt af en begrundelse for fortegnene. Hvis nulpunkterne bestemmes numerisk ved hjælp af grafregneren skal der argumenteres for at alle nulpunkter er fundet og en skitse af grafen skal foreligge som dokumentation. Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Sætning om monotoni - forhold Hvis f er en differentiabel funktion i et interval I gælder: f'(x) > 0 for alle x I f er voksende i I f'(x) < 0 for alle x I f er aftagende i I f'(x) = 0 for alle x I f er konstant i I

2 Bemærk at hvis f er voksende i I kan vi slutte at f'(x) 0 for alle x og hvis f er aftagende i I kan der sluttes at f'(x) 0 for alle x Side 22 Sætning om lokalt ekstremum Hvis f er differentiabel i x og har lokalt ekstremum i x gælder der at f'(x) = 0 Bemærk at det omvendte ikke gælder. Der kan f.eks. være vendetangent i punktet. METODE til bestemmelse af monotoniforhold : Antag at f er differentiabel med kontinuert afledet i et interval. Da bestemmes monotoniforholdet for f således: 1) Beregn f'(x) 2) Løs f'(x) = 0 3) Tegn en tallinie med nulpunkterne for f'(x) afsat på linien. De deler således tallinien op i nogle delintervaller ( monotoni intervallerne ). 4) Da f'(x) er forudsat kontinuert har f'(x) konstant fortegn i disse intervaller. Find fortegnet for f'(x) i intervallerne ved at indsætte et tal fra intervallet i f'(x). 5) Brug sætningen om monotoniforholdet til at opskrive monotoniintervallerne. Lokale ekstrema: Ifølge sætningen om lokalt ekstremum er f'(x) = 0 i disse punkter. Der er følgende mulige fortegnsvariationer: x x 0 f'(x) + 0 Lokalt maksimum x x 0 f'(x) 0 + Lokalt minimum x x 0 f'(x) 0 Vendetangent x x 0 f'(x) Vendetangent

3 Side 23 Værdimængde: Antag f er differentiabel i et interval. Fra tidligere sætninger ved vi at værdimængden er et interval, og at maksimum og minimum skal søges blandt punkter, hvor f'(x) er nul og eventuelle endepunkter i intervallet. Hvis definitionsintervallet ikke er lukket og begrænset, skal der foretages en grænseværdi undersøgelse for f(x). Asymptoter: Ved bestemmelse af asymptoter vil det være tilstrækkeligt at begrunde eksistensen af en asymptote ved henvisning til sætninger om asymptotiske forhold. Der findes 3 typer asymptoter: vandrette, lodrette og skrå asymptoter. Skrå asymptoter skal ikke behandles i undervisningen og vil ikke komme til at optræde i opgaver. Graf: Der skal forelægge en tabel over funktionsværdier som dokumentation for et grafisk billede. Du må selvfølgelig gerne bruge lommeregneren til at udfærdige en tabel. Når vendingen skitsér grafen anvendes, er det tilstrækkeligt at henvise til, at grafen er tegnet ud fra lommeregnerens display. Optimering: Nulpunktsbestemmelse. Skriftligt arbejde : Planlægning - et klassisk eksempel på optimering. Metode til løsning af optimeringsproblemer. Indfør en parameter ( variabel ), således at den størrelse der skal optimeres kan udtrykkes som en differentiabel funktion af parameteren. Løsning af problemet bliver så at finde største - eller mindsteværdi for en differentiabel funktion. Ligningen f(x) = 0 kan løses på forskellig måde 1) Eksakt løsning I mange tilfælde kan de eksakte løsninger bestemmes. Det gælder f.eks. når f(x) er lineær eller et andengradspolynomium. Det er OK med en aflæsning på graf efterfulgt af en kontrol. Det vil være en hurtig og nem metode, hvis nulpunkterne for f er "pæne" værdier og man således aflæser i gitterpunkter i koordinatsystemet. 2) Numerisk løsning Der er i det væsentlige 3 metoder med grafregneren a) Tegning af graf og anvendelse af faciliteten CALC b) Tegning af graf og anvendelse af faciliteten TRACE c) Benyt grafregnerens Solver funktion. Metoderne er beskrevet i eksempel 25 side 148 i bogen.

4 Afledet funktion. Side 24 Hvis f er differentiabel i sin definitionsmængde kaldes f (x) den afledede funktion. Hvis f er differentiabel kaldes dens afledede funktion for den anden afledede og betegnes med f (x) ( f dobbeltmærke). Følgende sætning kan være nyttig: Hvis f (x) > 0 i et interval er grafen opad hul i intervallet. Hvis f (x) <0 i et interval er grafen for f nedad hul i intervallet. og hermed fås: Hvis f (x 0 ) = 0 og f (x 0 ) < 0 er x 0 et lokalt maksimumspunkt Hvis f (x 0 ) = 0 og f (x 0 ) > 0 er x 0 et lokalt minimumspunkt. Stamfunktioner Definition af stamfunktioner Lad f være defineret i et interval I. En funktion F siges at være stamfunktion til f, hvis F er differentiabel i I, og der gælder: F (x) = f(x) for alle x I Der er arbejdet med bestemmelse af stamfunktioner for en række elementære funktioner. På side 155 i bogen findes en oversigt over stamfunktioner og de afledede funktioner til de mest almindelige funktioner. Bemærk at stamfunktionen til 1/x ikke er med i tabellen. Der gælder at en stamfunktion til x n er 1 n+1 xn+1 for alle n forskellig fra 1. Man kan vise at alle kontinuerte funktioner har en stamfunktion og dermed også funktionen f(x) = 1. Men hvad er det for en funktion?? x Hvis en funktion f har en stamfunktion, har den uendelig mange stamfunktioner. Der gælder følgende sætning: Sætning om stamfunktioner Mængden af stamfunktioner til en funktion f er givet ved: G(x) = F(x) + k hvor k R og F er en stamfunktion til f Hvis f har en stamfunktion F i et interval I, x 0 I og y 0 R, så findes præcis én stamfunktion til f, hvis graf indeholder punktet ( x 0,y 0 ). Der er arbejdet med eksempler på bestemmelse af konstanten k, når man kender et punkt på grafen for F.

5 Man kan vise at en hver kontinuert funktion har en stamfunktion. Side 25 At det er rigtigt, kan man få en ide om ved at se på arealet under en kontinuert positiv funktion: Ovenstående graf er grafen for f(x) = 1 x, x>0 ln(x) defineres som : arealet af punktmængden mellem grafen og 1.aksen i intervallet [1;x] for x > 1 minus arealet af punktmængden mellem grafen og 1.aksen i intervallet [x;1] for 0<x <1 og ln(1) = 0 Det kan vises, at ln(x) er differentiabel og ln (x) = 1 x Altså er ln(x) den stamfunktion til 1, hvis værdi i 1 er 0. x Eksponentialfunktioner Definition af eksponential - funktion En eksponentialfunktion er en funktion med forskriften: f(x) = a x, x R hvor a > 0 og a 1 I 1.g blev en eksponentiel vækst defineret som en funktion med forskriften f(x) = b a x. Med andre ord er en eksponentialfunktion en eksponentiel vækst med konstanten b = 1.

6 Side 26 Egenskaber og regnegler for eksponentialfunktioner Alle eksponentialfunktioner opfylder at: 1) f(0) = 1 dvs a 0 = 1 2) D m (f) = R og V m (f) = R 3) f er monoton, aftagende for 0 < a < 1 og voksende for a > 1 4) a > 1 : a x for x og a x 0 for x 0 < a < 1: a x 0 for x og a x for x 5) a x a y = a x + y x,y R a x /a y = a x y, specielt er a 0 = 1 og a y = 1/a y x,y R (a x ) y = a x y x,y R a p/q = q a p p Z, q N Bemærk: Ovenstående regneregler bevirker at man med eksponentialfunktionen med grundtal a får en udvidelse af potensbegrebet. ( lær dem udenad!!! ) Sætning om differentialkvotient f(x) = a x er differentiabel og f '(x) = f '(0) a x Sætning om differentialkvotient Definition af den naturlige eksponentialfunktion f(x) = a x er differentiabel og f '(x) = f '(0) a x Den naturlige eksponentialfunktion, er den eksponentialfunktion med f '(0) = 1 Grundtallet betegnes med e og vi får specielt fra ovenstående sætning (e x ) ' = 1 Bemærk at vi fra reglen om sammensat differentiation får at (e kx ) ' = k e kx

7 Side 27 Logaritmefunktioner Da alle eksponentialfunktioner er monotone og dermed injektive, har de en omvendt funktion. Disse funktioner kaldes logaritmefunktioner Definition af logaritmefunktioner Den omvendte funktion til a x kaldes logaritmefunktionen med grundtal a Den omvendte funktion til e x kaldes den naturlige logaritmefunktion og betegnes med ln(x),og den omvendte funktion til 10 x kaldes 10-tals logaritmen og betegnes med log(x). I litteraturen kan man se følgende betegnelser for funktionerne: e x = exp(x) og 10 x = antilog(x) Bemærk at vi har følgende nyttige formler direkte fra definitionen: ln(e x ) = x log(10 x ) = x og e ln(x) = x 10 log(x) = x Da logaritmefunktionerne er omvendte funktioner til eksponentialfunktionerne fås følgende egenskaber ( her formuleret for den naturlige logaritmefunktion ) Egenskaber og regneregler for logaritmefunktioner Lad ln være en logaritmefunktion. Der gælder da: 1) D m (ln) = R + og V m (ln) = R 2) ln er differentiabel 3) ln er monoton 4) ln(1) = 0 5) x,y R + : ln(x y) = ln(x) + ln(y) 6) x,y R + : ln(x/y) = ln(x) ln(y) specielt ln(1/y) = ln(y) 7) n N, x R + : ln( n x) = 1 n ln(x) 8) r R, x R + : ln(x r ) = r ln(x)

8 Side 28 Beviserne for ovenstående regneregler følger direkte af egenskaberne for eksponentialfunktionerne. Regnereglerne 5) - 8) blev vist i 1.g for 10-talslogaritmen, og beviset er en gentagelse fra den gang. Beviset for regnereglerne følger samme metode: 1) skriv udsagnet der skal vises 2) anvend funktionen e x på begge sider af lighedstegnet 3) reducer eller omskriv udsagnet ved at bruge regneregler for eksponentialfunktioner. 4) Konkluder at når det sidste udsagn er sandt, er det oprindelige det også ( ) Eksempel: ln(x y) = ln(x) + ln(y) e ln(x y) = e ln(x) + ln(y) da e x er injektiv e ln(x y) = e ln(x) 10 ln(y) da e x e y = e x + y for alle x,y R x y = x y da e ln(x) = x for alle x Q.E.D. Ligninger hvor der indgår eksponentialfunktioner eller logaritmefunktioner Logaritmefunktionen bruges blandt andet til at løse ligninger af form: b a x = k hvor k er et positivt tal Differentialkvotienter: Differential-kvotient af a x (a x ) ' = ln(a) a x Differential-kvotient af ln(x) og log(x) ln'(x) = 1 x log'(x) = 1 ln(10) 1 x Den eksponentielle vækstmodel Vi har tidligere set at eksponentielle funktioner kan bruges som model for populationsvækst.. Ligningen f '(x) = k f (x) er et eksempel på en differentialligning - teorien om differentialligninger skal vi senere beskæftige os med. Ligningen udtrykker at væksthastigheden er ligefrem proportional populationens størrelse. Løsningerne til ovenstående differentialligning er netop funktionerne b e kx.

9 Væksthastigheden for eksponentiel vækst angives ofte ved fordoblings - eller halveringskonstanten. Side 29 formler for fordoblings - og halveringskonstanter f(x) = b a x = b e kx T 2 = ln(2) ln(a) = ln(2) k T ½ = ln(2) ln(a) = ln(2) k En nyttig lille formel for sammenhæng mellem vækstrate og fordoblingskonstant fås af det approksimerende førstegradspolynomium for ln(x) ud fra x 0 = 1: y = f(x 0 ) + f'(x 0 )(x x 0 ) giver y = ln(1) + ln'(1)(x 1) y = x 1 Vi får da T 2 = ln(2) ln(a) ln(2) (a 1) 0,7 r for a tæt på 1 Altså T 2 70 vækstraten i procent Sandsynlighedsregning Lov og tilfældighed Forskellige eksempler på stokastiske eksperimenter. Eksperimenterne adskiller sig fra de deterministiske, hvor udfaldet helt er bestemt ud fra nogle forudsætninger (begyndelsesbetingelser). I et stokastisk eksperiment er udfaldet uforudsigeligt, men det indtræffer med en vis sandsynlighed. Denne lovmæssighed er illustreret ved nogle stokastiske eksperimenter: Simulering af kast med en terning på en computer. - Erfaringen viser, at vi skal op på over en million kast inden frekvensen for en sekser er 16,67 % (1/6) med to decimaler. Chevalier de Meré s berømte terningspil ( simulering på computer) "Andejagt " ( simulering på computer ) TV - konkurrencen " 2 geder og en Volvo " ( simulering på computer og eksperiment ) Kast med en tegnestift. På grundlag af et eksperiment med mange kast blev sandsynligheden, for at tegnestiften lander med spidsen opad, fastlagt til 57 %. Formålet med statistik og sandsynlighed er at beskrive og vurdere stokastiske eksperimenter og afdække lovmæssigheder i et talmateriale (adskille det "regelmæssige" fra det "tilfældige"). Stokastisk Variabel Definition Et eksperiment hvis udfald i en eller anden forstand er tilfældigt kaldes et stokastisk eksperiment. En stokastisk variabel er en variabel, der til ethvert udfald i et stokastisk eksperiment knytter en værdi. f(x)f

10 Side 30 I modsætning til et stokastisk eksperiment, kaldes et eksperiment, hvis udfald er forudsigeligt og kan beregnes forud, deterministisk. Til et stokastisk eksperiment knytter vi en MODEL, der beskriver hvilke udfald eksperimentet kan resultere i, og hvor hyppigt vi forventer at udfaldene forekommer. I modellen kaldes de forventede frekvenser for sandsynligheder. Eksempler på benyttelse af statistiske beregninger til bestemmelse af sandsynligheder - frekventielle sandsynligheder. eksempler: Kast med tegnestift Computersimulering Eksempler på sandsynligheder, der er logisk begrundede - Priori-sandsynligheder. eksempler: Møntkast Sammenfaldende fødselsdage Terningkast Lotto, Tipning og spil i det hele taget. Definition af et sandsynlighedsfelt Et sandsynlighedsfelt består af : En mængde U (mængden af samtlige udfald i et eksperiment - U kaldes udfaldsrummet ) En sandsynlighedsfunktion P fra U til intervallet [0;1] Det betyder at der til ethvert udfald u U er knyttet et tal P(u) ( en sandsynlighed ) imellem nul og én. Det skal være opfyldt at summen sandsynlighederne for samtlige udfald i udfaldsrummet er 1. En stokastisk variabel defineret på et sandsynlighedsfelt er en variabel, der til ethvert udfald u, knytter et tal X(u) R Ved en hændelse A forstås en delmængde af U. Sandsynligheden for en hændelse er summen af sandsynlighederne for de udfald der udgør hændelsen og betegnes med P(A). Mængden { u U X(u) = t } er således en hændelse og sandsynligheden for hændelsen betegnes kort med P( X = t). Sandsynlighederne for de værdier, som X kan antage, kaldes sandsynlighedsfordelingen for X.

11 Side 31 Symmetrisk sandsynlighedsmodel Hvis alle sandsynlighederne er lige store kaldes modellen en symmetrisk sandsynlighedsmodel. Sandsynligheden for en hændelse i en symmetrisk sandsynlighedsmodel udregnes ved - at tælle hvor mange udfald der er i alt ( de "mulige" udfald i udfaldsrummet ) - at tælle hvor mange udfald der giver det ønskede (de "gunstige" udfald der udgør hændelsen) Sandsynligheden bliver så p = antal gunstige udfald antal mulige udfald Bemærk at denne formel kun kan bruges, hvis udfaldsrummet er symmetrisk! Eksempler på sandsynlighedsmodeller: En sandsynlighedsmodel kan angives ved hjælp af en tabel ( sandsynlighedsfordeling) : u u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 P(u) 0,15 0,05 0,20 0,5 0,10 0,30 0,15 Udfaldsrummet er U = { u 1, u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7 } Hændelsen A = { u 2, u 3, u 6 } har sandsynligheden P(A) = P(u 2 ) + P(u 3 ) + P(u 6 ) = 0,05 + 0,20 + 0,30 = 0,55 Eksempel på symmetrisk sandsynlighedsmodel Kast med to terninger Ved kast med to terninger er der 36 mulige udfald. Hændelsen "summen af øjnene er 8" findes lettes ved at skrive summen af øjnene ind i et skema: Ved at tælle de gunstige for hændelsen, ses det at sandsynligheden er p = 5 36

12 Side 32 Regneregler for regning med hændelser: 1) Den umulige hændelse Ø P(Ø) = 0 2) Den sikre hændelse U P(U) = 1 3) " enten A eller B " A B: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 4) " både A og B " A B: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 5) " A, men ikke B" A\B: P(A) PA B) 6) "ikke A " (komplementære) A : P( A ) = 1 P(A) Bemærk at regel 6 ofte kan benyttes med fordel - jf. eksemplet med sammenfaldende fødselsdage og Chevalier de Merés terningspil. Middelværdi for en stokastisk variabel : Middelværdien af en stokastisk variabel, X, betegnes E(X) eller µ, og udregnes som: E(X) = u U P(u) E(X) = t 1 P(X = t 1 ) + t 2 P(X = t 2 ) +.+ t k P(X = t k ) k E(X) = tp(x= t) i= 1 i i hvor t 1,t 2,.t k er de værdier, som X kan antage. Varians og spredning for en stokastisk variabel. Variansen af en stokastisk variabel, X, betegnes VAR(X) eller σ 2, og udregnes som: VAR(X) = E( (X µ ) 2 ) VAR(X) = (t 1 µ) 2 P(X = t 1 ) + (t 2 µ) 2 P(X = t 2 ) +.+ (t k µ) 2 P(X = t k ) k VAR(X) = (t - µ) 2 P(X = t ) i= 1 Spredningen betegnes som σ(x) og defineres som: σ(x) = VAR(X) i i

13 Anvendelse af TI-83 til beregning af middeltal og spredning: Side 33 Observationsværdierne og hyppighederne ( eller frekvenserne ) indtastes i hhv. liste L 1 og L 2. I undermenuen CALC i menuen STAT vælges 1-Var Stats L 1, L 2. Eksemplet er opgave 177 side 337: Middelværdien beregnes til x = 0,975 og spredningen til σx = 1,8606 Kombinatorik Ved optælling af antal muligheder i valgproces er der to principper: Multiplikationsprincippet ( både - og princippet ) Additionsprincippet ( enten - eller princippet ) Ved multiplikationsprincippet skal antallet af valgmuligheder ved en delproces være uafhængigt af de foregående valg. Hvis dette ikke er tilfældet, deles der op i forskellige tilfælde, og additionsprincippet anvendes. Multiplikationsprincippet kan gøres anskuelig v.h.a. et tælletræ. Fakultet n! = n (n 1) (n 2) ! = 1 pr. definition n! er antallet af måder, hvorpå en mængde på n elementer kan ordnes (sættes i rækkefølge). Permutationer P(n,r) ( eller P n,r ) kan beregnes som : n! P(n,r) = (n r)! P(n,r) er det antal ordnede r - delmængder af en n - mængde. ( antal måder der kan udtages r elementer fra en mængde på n elementer og sætte dem i rækkefølge.

14 Kombinationer - Binomialkoefficienter Side 34 K(n,r) ( eller K n,r ) kan beregnes som : n! K(n,r) = (n r)! r! K(n,p) er antallet af måder, hvorpå man kan udtage en delmængde på p elementer af en mængde på n elementer ( uden hensyn til rækkefølgen) Tallene K(n,p) kaldes binomialkoefficienter og betegnes i litteraturen ofte som n p Regneregler for binomialkoefficienter: 1) K(n,0) = 1 K(n,1) = n K (n,2) = 2) K(n,r) = K(n, n r) n (n 1) 2 (benyttes til hovedregning) 3) K(n,0) + K(n,1) + K(n,2) + + K(n,n) = 2 n 4) K(n,r) = K(n 1,r 1) + K(n 1,r) Regnereglerne kan vises direkte fra formlen for K(n,r) eller ved hjælp af valgprocedurer. Disse regler viser sig indirekte i Pascal s trekant: sum : (=2 6 ) Beregning på TI-83 n! P n,r npr K n,r ncr Findes alle under MATH PRB