matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

Transkript

1 mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00

2 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi Kontinuitet Differentialkvotienten 0. Pascals trekant Differentialkvotienten af simple funktioner Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner Ligningen for tangenten 5 5 Monotoniforold 6 5. Ekstremumssteder Differentialkvotient af 8 7 Differentialkvotienten af produktfunktioner 8 8 Differentialkvotienten af kvotientfunktioner 0 9 Differentialkvotienten af sammensatte funktioner 0 Differentialkvotienten af andre funktioner Kapiteloversigt 5

3 Differentialregning Ideen med differentialregning er at se på vad uendeligt små forskelle (differenser) betyder. I dag bruges det primært til optimering og bestemmelse af øjebliksbilleder. F.eks. ved pasteurisering af fødevare nedbrydes både bakterier og vitaminer eksponentielt. Ved jælp fra differentialregning kan man sige at efter sek. pasteurisering aftager vitaminindoldet med 3 mg pr. sek. pr. kg fødevare og bakterieindoldet med 5 µg pr. sek. pr. kg fødevare. Det er ligeledes differentialregning der jælper med at finde en optimale temperatur til pasteuriseringen. Den optimale temperatur afænger både af vitamin- og bakterietype. For at komme en forståelse af dette begreb differentialregning nærmere skal vi omkring grænseværdi og kontinuitet.. Grænseværdi En grænseværdi er en værdi, som det ser ud som om en funktion vil antage vis der skulle gættes på en værdi. En funktion f ar grænseværdien a i punktet 0, vis man kan opnå funktionsværdier vilkårligt tæt ved a ved at vælge -værdier tilstrækkeligt tæt ved 0. Hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim 0 f = a Definition. Definition af grænseværdi. ε > 0 δ > 0 : 0 < 0 < δ f a < ε I ord: "For alle epsilon større end 0 eksistere et delta større end 0 for vilket der gælder, at vis afstanden mellem og grænsen ( 0 ) er mindre end delta, er afstanden mellem f og grænseværdien mindre end epsilon."hvis denne grænseværdi eksisterer, skriver vi, lim f = a 0 Eksempel. Se på funktionen f = 0. Se på grænseværdien for denne funktion i punktet 5. Først den simple afprøvning.,8,9 5 5, 5, f,08,0?,96,9 Det ser ud som om at funktionen nærmer sig værdien når nærmer sig 5. For at vise at er grænseværdien i punktet 5, f = kraftig opvarmning for at dræbe bakterier 3

4 skal der findes et δ, som gerne må afænge af ε, som afgør det interval omkring 5 vor -værdier kan være indenfor, så f er i en omkreds ε omkring. Lad ε =. Nu skal δ vælges så 0 < 5 < δ 0 < For at løse uligeden 0 < løses ligningen = 0. = 0 og ligningen = ( 0 ). = ( 0 ) = 0 3 = 0 = 0 3 3,33 + = 0 = 0 = 0 Det betyder at skal være mellem 3,33 og 0. Da 0 < 5 < δ må δ være som er 5 3. Denne udregning af δ kan også illustreres grafisk. 6 5 f = ε δ Ved at gøre ε mindre til f.eks. så vil også δ blive mindre. Her ses den grafiske illustration. 6 5 f = ε δ Findes der en sammenæng mellem δ og ε, vor δ > 0 for alle ε, vil grænseværdien være. Bemærk at ε < ellers kommer der et problem fordi grafen

5 for f ikke er sammenængende. I dette tilfælde findes -værdien ved at løse de to ligninger ε = 0 og ε = (0 ). Det betyder at -værdien skal være mellem 0 0 ε+ og ε. Dette betyder at δ skal være det mindste af de to tal ε+ 5 og ε 5. Det er ε+ 5 som er mindst. Det betyder at δ = 0 ε+ +5 Det betyder at ligegyldigt vilken værdi af > ε > 0 der vælges findes der et passende δ. Her af følger at grænseværdien for gående mod 5 er for funktionen f = 0. Dette skrives 0 lim 5 =. Eksempel.3 Hvad er grænseværdien af funktionen +3 vis går i mod? Gættet på en grænseværdi er 5, fordi for værdien af +3 når er er 5. For at vise dette ses igen på ligningen (+3) 5 < ε og følgende ligninger løses. (+3) 5 = ε = +ε ((+3) 5) = ε + = ε = ε δ skal derfor opfylde at < δ og da ligger mellem +ε og ε skal δ være det mindste af de to +ε = ε og ε = ε. Dette betyder at δ = ε og derfor at der er en sammenæng og det betyder at grænseværdien er 5: lim +3 = 5 Eksempel. Hvad er grænseværdien af f = vis går i mod 3? Der gættes på 7 som grænseværdi, fordi f(3) = 7. For at vise dette ses igen på ligningen ( ) 7 < ε og følgende ligninger løses. ( ) 7 = ε = ± 9+ε (( ) 7) = ε = ± 9 ε Da -værdien er ca. 3 udelukkes de negative løsninger. δ skal så opfylde at 3 < δ og da ligger mellem 9 ε og 9+ε så skal δ være det mindste af de to 9 ε 3 og 9+ε 3. Dette betyder at δ = 3 9 ε og derfor at der er en sammenæng og det betyder at grænseværdien er 7 så lim = f =

6 Opgave.5 Udregn grænseværdien eller forklar vorfor den ikke eksistere i følgende tilfælde.. lim lim. lim + 6. lim 0 3. lim lim +. lim lim Svar på opgave.5.. 5,. 5, 3.,., 5. 0, 6. 0, 7. Ingen løsning, 8.. Det ar sikkert undret dig at funktionen f = overoved ar en grænseværdi for gående mod 3, men du kan prøve at udregne funktionsværdien for værdier der ligger tæt på, f.eks..99 eller 3.0, er vil du se at f(.99) =.0067 og f(3.0) = For bedre at forstå vad der sker kan vi se på grafen for funktionen. På grafen er det tydeligt at se vad værdien, ville ave været, vis funktionen avde være defineret for = 3. Men på formlen ses, at funktionen ikke er defineret for = 3, da nævneren er 0. Man siger at funktionens definitionsmængde er alle reelle tal undtagen 3 og -3, dette skrives R\{±3} f = Lad nu f = +3 Da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal er denne funktion kun defineret for reelle tal som gør at uligeden +3 > 0 er opfyldt, dvs. skal væge lig med eller større end 3, dette skrives [ 3, [ Dette betyder at funktionen ikke ar en grænseværdi for f.eks. gående mod -, så lim +3 eksistere ikke. 3 f =

7 En anden type funktion er log denne funktion er defineret for alle positive reelle tal. Specielt er, at den ikke er defineret for 0. Men lim log( ) = Det er noget nyt, at en funktion ar grænseværdien, nogle funktioner kan også ave grænseværdien. Lad os undersøge en ny funktion f = log Denne funktion er interessant på mange måder, prøv at se grafen for denne funktion. Den ser lidt mærkelig ud, Det er som om den er delt i to, og stopper ved punktet (0,0). På grafen til øjre kan man se vad der sker omkring punktet (0,0). Grænseværdien for gående mod 0 er 0 for funktionen f = log, men da man ikke kan tage logaritmen af 0 så er funktionen ikke defineret for = 0, men kan godt ave en grænseværdi for = 0. Det er ligesom funktionen , vor funktionen ikke defineret for = 3, men ar en grænseværdi i punktet alligevel , 0, 0,3 0, 0,5 0,6 0,7 0,8 0, ,005 f = log Se vad det er der sker når går mod for funktionen f = log. Når man ser på grafen kan man ikke se vad funktionsværdien er i. Vi usker på, at værdien af log() er 0. Det betyder, at vi ville dividere med 0 vis vi satte lig. Funktionen er altså ikke defineret for = og 0, men af forskellige årsager. Men vad er grænseværdien for gående mod? lim log Denne grænseværdi eksistere ikke. Det er mærkeligt fordi vi ar lært, at en grænseværdi godt kan være + eller. Grunden til at der ikke er nogen grænseværdi er at der er to forskellige grænseværdier, der er en grænseværdi vis vi starter i f.eks. og går mod, så vil vi ende i +, men vis vi starter i 0,5 og går mod, så vil vi ende i. Man kan regne med grænseværdier, ved at bruge følgende sætning. 7

8 Sætning.6 Hvis funktionerne f og g ar grænseværdierne v. a og b i punktet 0, og k R er en konstant, så gælder det at, vor b 0 i ligning (). lim (f +g) = lim f+ lim g = a+b () lim (f g) = lim f lim g = a b () lim (f g) = lim f lim g = a b (3) ( ) f lim = lim 0 f 0 g lim 0 g = a () b lim k f = k lim f = k a 0 0 (5) Vi vil ikke er komme med et bevis, men beviset følger af den formelle definition på grænseværdi. Og ligningerne(f+g) = f+g, (f g) = f g, (f g) = f g og f f g = g. Man kan bruge dette vis man ar to funktioner og man kender grænseværdien på begge funktioner. Så kan man også finde grænseværdien for f.eks. summen af de to funktioner.. Kontinuitet Definition.7 Definition af kontinuitet. En funktion f kaldes kontinuert i punktet 0, vis dens grænseværdi i punktet 0 er lig med dens funktionsværdi i 0, dvs. lim 0 f = f( 0 ) En funktion, der er kontinuert i alle punkter af sin definitionsmængde kaldes kontinuert. Hvis grænseværdien ikke eksisterer eller vis grænseværdien er forskellig fra f( 0 ), så siger man at f er diskontinuert i 0. Bemærk det er kun vis punkterne som giver anledning til uller i grafen, ligger i definitionsmængden, at funktionen ikke er kontinuert Som eksempel på en kontinuert funktion, som ar ul i grafen kan man se på funktionen f = Som man kan se på grafen så er der et ul i grafen, men da ullet er i 3 som ikke ligger i funktionens definitionsmængde er funktionen kontinuert f =

9 En anden funktion som også ar uller i grafen, men som er kontinuert er funktionen tan der ar uller i π/,3π/,5π/, osv π π 3π π Alder Nu kommer et eksempel på en ikke kontinuert funktion. Disse funktioner er sjældne og ofte konstruerede. Funktionen Alder angiver din alder i år som 3 funktion af antallet af år. Sagt på en anden måde, så er man 7 år indtil den dag vor man ar fødselsdag og fylder 8 år. År Hvis man ved at to funktioner er kontinuerte kan man også kombinere dem og deres kombinationer vil også være kontinuerte. f = tan Sætning.8 Hvis funktionerne f og g er kontinuerte funktioner og k R er en konstant, så er funktionerne f +g, f g, k f, f g, f g, f g også kontinuerte - med passende indskrænkning i definitionsmængderne. Bevis. Sætningen bevises kun i tilfældet f g. Ligning (3) giver at Da det er antaget atf ogg er kontinuerte funktioner giver definition.7 at Ved at indsætte dette i ovenstående ligning fås at lim 0 (f g) = lim 0 (f) lim 0 (g) lim 0 (f) = f( 0 ) og lim 0 (g) = g( 0 ) lim 0 (f) lim 0 (g) = f( 0 ) g( 0 ) Vi ar nu vist at lim 0 (f g) = f( 0 ) g( 0 ) = (f g)( 0 ) Og eraf ses at f g er kontinuert. Q.E.D. 9

10 Differentialkvotienten Definition. Definition på differentiabel. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet 0, vis differenskvotienten ar en grænseværdi for 0. y = f( 0 +) f( 0 ) Se på følgende grafer. Bemærk. Hvis ændres, ændres sekanten. f Sekant til f f f( 0 +) Sekant til f f( 0 ) y f( 0 +) f( 0 ) y Og når går imod 0 vil sekanten går i mod tangenten til f i punktet ( 0,f( 0 )). f Tangent til f i 0 f( 0 ) 0 0

11 På denne måde kan man finde tangenter til alle punkter på alle funktioner, vor det kan lade sig gøre. Man kan f.eks. ikke finde en tangent til punktet (3,) på grafen for funktionen f = f = Man kan eller ikke finde tangenten i punkter vor funktionen ikke er kontinuert. Definition. Definition på differentialkvotienten. Grænseværdien kaldes differentialkvotienten i 0 og skrives f ( 0 ), dvs. f y ( 0 ) = lim 0 = lim f( 0 +) f( 0 ) 0 f ( 0 ) angiver tangentens ældningskoefficient i punktet ( 0,f( 0 )). Hvis f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde, kaldes f differentiabel. Hvis funktionen f er differentiabel kaldes f for den afledte funktion. Denne definition anvendes når en funktion skal differentieres. Eksempel.3 Funktionen f = 6 3 skal differentieres. Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). 6( 0 +) = 6( ) = = Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f = = lim = 8 0 Eksempel. Funktionen f = +3 skal differentieres.

12 Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). ( 0 +) +3 ( 0 +3) = ( ) Derefter divideres med. Til sidst udregnes grænseværdien for gående mod 0. Konklusionen er at f =. 0 + = 0 + lim = 0. Pascals trekant I begge eksempler blev Pascals trekant anvendt. n 0 (a+b) n a+b a +ab+b a 3 +3a b+3ab +b 3 6 a +a 3 b+6a b +ab 3 +b Bemærk at a s eksponent starter med at være n og derefter aftager med for vert led, og b s eksponent starter med at være 0 og vokser med for vert led. Koefficienten for vert led aflæses i Pascals trekant. Opgave.5 Differentier følgende funktioner.. f = f = f = f = f = 9 7. f = 3+. f = f = Svar på opgave.5.. f = 3,. f = 3, 3. f = 0,. f = 5, 5. f = 3, 6. f = 6, 7. f = 3, 8. f = 0+. Mål er nu at generalisere så udregninger kan forsimples. Funktionen f = 0 for funktionen f = 9. Dette kan generaliseres til at gælde alle funktionen der er konstante. På tilsvarende vis kan der udledes andre generaliseringer af svarende på opgave.5.. Differentialkvotienten af simple funktioner Sætning.6 Funktionen f = k, vor k R er differentiabel og f = 0.

13 Bevis. Definition. bruges på f = k. f k k 0 ( 0 ) = lim = lim 0 0 = lim 0 = 0 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er 0 for alle vilket stemmer med sætningen. f = k k Sætning.7 Funktionen f =, er differentiabel og f =. Bevis. Definition. bruges på f =. f ( 0 ) = lim = lim 0 0 = lim = 0 Q.E.D. På grafen ses det at ældningen er for alle vilket stemmer med sætningen. f = Sætning.8 Funktionen f = n er differentiable for n N og f = n n. Bevis. Først udregnes f( 0 +) f( 0 ). For at udregne dette anvendes Pascals trekant. K er alle de led som indeolder p vor p. Det betyder at Herefter divideres med. L er alle de led som indeolder q vor q. Nu udregnes grænseværdien for gående mod 0. f( 0 +) f( 0 ) = ( 0 +) n 0 ( 0 +) n = n 0 +n n 0 +K ( 0 +) n 0 = n 0 +n n 0 +K n 0 = n n 0 +K n n 0 +K = n n 0 +L lim 0 n n 0 +L = n 0 n Da L = 0 fordi alle led indeolder q vor q. Konklusionen er at f = n n. Q.E.D. 3

14 3 Differentialkvotienten af sum- og differensfunktioner For at gøre det lettere at bestemme afledede funktioner vises nogle regneregler for differentialkvotienter. Sætning 3. Hvis funktionerne f og g er differentiable i 0, er deres sum - og differens funktioner også differentiable i 0 og differentialkvotienten er v. summen og differensen af differentialkvotienterne for f og g. Dvs. (f ±g) ( 0 ) = f ( 0 )±g ( 0 ) Bevis. Først anvendes definition. på (f +g) ( 0 ) og får at (f +g) (f+g)( ( 0 ) = lim 0+) (f+g)( 0) 0 Nu bruges definitionen af additionsfunktionen (f + g) = f( = lim 0+)+g( 0+) (f( 0)+g( 0)) 0 f( = lim 0+)+g( 0+) f( 0) g( 0) 0 f( = lim 0+) f( 0) 0 + g(0+) g(0) f( = lim 0+) f( 0) g( 0 + lim 0+) g( 0) 0 = f ( 0 )+g ( 0 ) f+g. Nu opæves parentesen i tælleren. Brøken opdeles i to. Nu bruges regneregler for grænseværdier. Da f og g er differentiable funktioner kan definition. anvendes. Q.E.D. Eksempel 3. Når generaliseringen anvendes til at differentiere funktionen fås at 3 differentieres til 3 og differentieres til og differentieres til og differentieres til 0. Samlet bliver det. f = f = som kan reduceres til f = 3 +8

15 Opgave 3.3 Differentiere følgende funktion. f = f = f = f = f = 7. f =. f = + 8. f = Svar på opgave f = 0+3,. f = +8, 3. f = 8,. f = 8 3 +, 5. f = 6 +3, 6. f =, 7. f =, 8. f = 0. Ligningen for tangenten Ligningen for tangenten til funktionen f i et punkt 0, kan findes på følgende måde. Eksempel. Funktionen f = ar i punktet 0 = en tangent, y = a+b, og denne tangent findes ved følgende metode. Først bestemmes f f = =. Derefter bestemmes a = f ( 0 ) f () = =. Derefter bestemmes y 0 = f( 0 ) Til sidst bestemmesb = y 0 a 0 f() = = b = = = 6 Ligningen for tangenten til f = i punktet 0 = er så y = f = Tangent y = 6 Opgave. Bestem tangenten til følgende funktioner i 0.. f = i 0 = 5. f = +3 i 0 =. f = 3 5 i 0 = 6. f = 3 +3 i 0 = 3. f = +3 i 0 = 0 7. f = 3 +3 i 0 =. f = +3 i 0 = 8. f = 3 +3 i 0 = 5

16 Svar på opgave... y =,. y = 3 3, 3. y = +3,. y = 6 3, 5. y =, 6. y =, 7. y = 0+5, 8. y = Monotoniforold At bestemme en funktions monotoniforold betyder at bestemme vornår funktionen er voksende og aftagende. Med kendskabet til betydningen at differentialkovtienten bliver dette lettere. Fordi man kan udnytte at funktionen er voksende vis differentialkovtienten er positiv og funktionen er aftagende vis differentialkovtienten er negativ. f = På grafen ses, at f er negativ nårf er aftagende og, atf er positiv når f er voksende. For at bestemme monotoniforoldende skal, de -værdier vor f = 0 findes og fortegnet for f på ver side at nulpunkterne skal bestemmes, og på baggrund af disse oplysninger kan monotoniforoldene for f bestemmes f = Eksempel 5. For at bestemme monotoniforoldene for funktionen f = differentieres denne og f = Nulpunkterne for f kan findes ved at løse andengradsligningen. L = { 3,}. Disse nulpunkter afmærkes på en -akse f 0 0 Så bestemmes fortegnet for f inden og efter vert af nulpunkterne. f ( ) = 8 og f (0) = 8 og f () = Disse fortegn skrives ind på vores -akse f

17 Nu kan det afgøres vor f er voksende og vor den er aftagende. Idet f er voksende når f er positiv og f er aftagende når f er negativ. Dette markeres på vores -aksen med pile f f ր ց ր Resultatet skal skrives i følgende tekst. Bemærk at funktionen er både voksende og aftagende i 3 og. Bemærk at og ikke er indeoldt i intervallerne. Funktionen f er voksende i intervallerne ] ; 3] og [; [ og funktionen f er aftagende i intervallet [ 3;] 5. Ekstremumssteder Da funktionen er voksende frem til -3 og erefter aftagende siges -3 at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt maksimum. Den lokale maksimumsværdi er f( 3) = 5,5. Da funktionen er aftagende til og erefter voksende siges at være et lokalt ekstremumssted - et lokalt minimum. Den lokale minimumsværdi er f() = 3. Opgave 5. Bestem monotoniforoldene og ekstremumssteder og - værdier for følgende funktioner. f = f = f = f = f = f = 9 +. f = f =

18 6 Differentialkvotient af Sætning 6. Funktionen f =, vor 0 er differentiabel og f =. Bevis. f( lim 0+) f( 0) = lim 0 ( 0+ 0) ( 0++ 0) = lim 0 ( 0++ 0) ( 0 + ) ( ) 0 = lim 0 Iflg. definition. vor f =. Brøken forlænges med ( ) Tælleren ganges ud. = lim = lim 0 ( 0 ++ ) 0 Da 0 0 og > 0. ( 0 ++ ) 0 Da 0 0 = 0. = lim Brøken forkortes 0 med. = Grænseværdien udregnes. 0 Da f er differentiabel i etvert punkt af sin definitionsmængde er den afledede funktion f = som ønsket. Q.E.D. Her ses to tangenter til funktionen f =. En tangent til punktet 0 =, som ar ældningen 3 =. Og en til punktet 0 =, som ar ældningen = f = 7 Differentialkvotienten af produktfunktioner Sætning 7. Hvis funktionerne f og g er differentiable i 0, så er deres produktfunktion også differentiabel i 0 og differentialkvotienten er (f g) ( 0 ) = f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) 8

19 Bevis. Definition. anvendes på (f g) ( 0 ). (f g) ( 0 ) = lim 0 (f g)( 0 +) (f g)( 0 ) Derefter anvendes definitionen af produktfunktion ((f g) = f g). (f g)( 0 +) (f g)( 0 ) = f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) Nu lægges ledet f( 0 +) g( o )+f( 0 +) g( 0 ) til. f( 0 +) g( 0 +) f( 0 ) g( 0 ) f( 0 +) g( 0 )+f( 0 +) g( 0 ) Nu sættes f( 0 +) udenfor parantes. f( 0 +)(g( 0 +) g( 0 )) f( 0 ) g( 0 )+f( 0 +) g( 0 ) Nu sættes g( 0 ) udenfor parantes. Nu divideres med. f( 0 +)(g( 0 +) g( 0 ))+g( 0 )(f( 0 +) f( 0 )) f( 0 +) g( 0 +) g( 0 ) Nu anvendes ligning (3) og () fra sætning.6. +g( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) lim f( g( 0 +) g( 0 ) f( 0 +) f( 0 ) 0 +) lim + lim g( 0 ) lim Nu udregnes grænseværdierne. f( 0 ) g ( 0 )+f ( 0 ) g( 0 ) Sætning 7. kan bruges til at bevise følgende sætning. Q.E.D. Sætning 7. Hvis funktionen f er differentiabel i 0 og k R, så er k f( 0 ) differentiabel og differentialkvotienten er (k f( 0 )) = k f ( 0 ) Bevis. Vi starter med at bruge sætning 7. på (k f( 0 )) så får vi at Og ifølge sætning.6 så får vi at Som ønsket. (k f( 0 )) = k f ( 0 )+k f( 0 ) (k f( 0 )) = k f ( 0 )+0 f( 0 ) = k f ( 0 ) 9

20 Q.E.D. Eksempel 7.3 Det betyder at når funktionenf = skal differentieres bliver resultatet f = 3 + Opgave 7. Differentier funktionerne. f = f = (+8) (+7). f = f = 3(+5) ( ) 3. f = 9(+) 7. f = (+)( )(+3). f = (+3) ( 7) 8. f = (+)(+)( +) Svar på opgave , , 3. 9, , 5. +5, , , Differentialkvotienten af kvotientfunktioner Vi starter med at vise følgende sætning, som senere skal vise sig at være nyttig. Sætning 8. Hvis funktionen f, er differentiabel i 0 og f( 0 ) 0, så er f differentiabel i 0 og differentialkvotienten er ( ) = f ( 0 ) f( 0 ) (f( 0 )) Bevis. Definition. anvendes på ( f( 0) ). ( ) = lim f( 0 ) 0 Nu sættes på fælles brøkstreg i tælleren f( 0+) f( 0) f( 0 +) f( 0 ) = f( 0 ) f( 0 +)f( 0 ) f( 0 +) f( 0 +)f( 0 ) = f( 0) f( 0 +) f( 0 +)f( 0 ) Hele udtrykke kan derfor omskrives til f( 0 ) f( 0 +) lim 0 f( 0 +)f( 0 ) Dette kan nu omskrives på passende måde til lim f( 0 +) f( 0 ) 0 f( 0 +)f( 0 ) 0

21 Ved at bruge regneregler for grænseværdi fås at f( 0 +) f( 0 ) lim lim 0 0 f( 0 +)f( 0 ) Grænseværdierne kan nu udregnes f ( 0 ) (f( 0 )) Q.E.D. Nu kan kvotientregelen vises. Sætning 8. Hvis funktionen f og g, er differentiable i 0 og g( 0 ) 0, så er f g differentiabel i 0 og differentialkvotienten er ( ) f(0 ) = g( 0)f ( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) g( 0 ) (g( 0 )) Bevis. Først laver vi følgende omskrivning af kvotienten ( ) ( f(0 ) = f( 0 ) g( 0 ) g( 0 ) Nu kan vi bruge Sætning 7. ( ) ( ) f( 0 ) = f ( 0 ) g( 0 ) g( 0 ) +f( 0) g( 0 ) Ved nu at bruge Sætning 8. fås at ( f ( 0 ) g( 0 ) +f( 0) g( 0 ) Ved udregne fås at f ( 0 ) Nu sættes på fælles brøkstreg ) = f ( 0 ) ) g( 0 ) +f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) g( 0 ) +f( 0) g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) f ( 0 ) g( 0 ) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 )g( 0 ) (g( 0 )) + f( 0)g ( 0 ) (g( 0 )) = f ( 0 )g( 0 ) f( 0 )g ( 0 ) (g( 0 )) Q.E.D. Eksempel 8.3 Det betyder at når funktionen f = så bliver resultatet f = 3 ( )

22 Opgave 8. Differentier funktionerne.. f = f = A +B+C. f = f = + 3. f = f = +. f = / 8. f = ++ Svar på opgave , , 3.,. /, 5. A+B, 6. (+), 7. ( ), / 9 Differentialkvotienten af sammensatte funktioner Der er stadigvæk funktioner som vi ikke er i stand til at differentierer f.eks. f = +, denne type af funktioner kalder vi for sammensatte funktioner fordi de består af de to funktioner f = og g = +, vis vi sætter disse to funktioner samme så vi siger og da g er lig +, kan vi skrive f(g) = g f(g) = g = + Vi kan også differentierer både f og g, men altså ikke f(g) og det er det problem som følgende sætning løser for os. Sætning 9. Hvis funktionen f(u) er differentiabel i u 0 og g er differentiabel i 0, så er (f(g)) differentiabel i 0 og differentialkovtienten er (f(g( 0 ))) = f (g( 0 )) g ( 0 ) Bevis. Antag at f er differentiabel i u 0 = g( 0 ) og g er differentiabel i 0. Lad funktionen E(k) være defineret som E(0) = 0 E(k) = f(u 0 +k) f(u 0 ) f (u 0 ) k 0 k Det følger så af definitionen på differentialkovtienten at lim E(k) = k 0 f (u 0 ) f (u 0 ) = 0 = E(0) Derfor er E(k) kontinuert i k = 0. Derfor ar vi enten k = 0 eller ej at f(u 0 +k) f(u 0 ) = (f (u 0 )+E(k)) k

23 Nu sætter vi u 0 = g( 0 ) og k = g( 0 +) g( 0 ) og derfor er u 0 +k = g( 0 +) Dette sætter vi ind i ovenstående ligning og får at f(g( 0 +)) f(g( 0 )) = (f (g( 0 ))+E(k)) (g( 0 +) g( 0 )) (6) Nu kan vi gå igang med at udregne differentialkovtienten af (f(g( 0 )). Først bruger vi definitionen af differentialkovtienten. Så bruger vi ligning 6. (f(g( 0 ))) = lim 0 f(g( 0 +)) f(g( 0 )) f(g( 0 +)) f(g( 0 )) (f (g( 0 ))+E(k)) (g( 0 +) g( 0 )) lim = lim 0 0 (g( Vi ved at g( 0 ) er differentiabel så lim 0+) g( 0)) 0 = g ( 0 ) Dette bruger vi og så får vi at (g( 0 +) g( 0 )) lim 0 (f (g( 0 ))+E(k)) lim = lim(f (g( 0 ))+E(k)) g ( 0 ) 0 0 Og da E(k) er kontinuert i 0 så vil lim 0 E(k) = lim k 0 E(k) = E(0) = 0. Dette bruger vi så lim 0 (f (g( 0 ))+E(k)) g ( 0 ) = lim(f (g( 0 ))+0) g ( 0 ) 0 Og da f (g( 0 )) ikke afænger af så er lim 0 (f (g( 0 ))) = f (g( 0 )) Dette bruger vi så Hvilket viser det ønskede. lim 0 (f (g( 0 ))+0) g ( 0 ) = f (g( 0 )) g ( 0 ) Q.E.D. Nu er vi i stand til at differentier funktioner som +, idet vi først differentier som er og derefter differentier + som er, dette kan vi sammensætte til ( +) = + Eksempel 9. Et andet eksempel kunne være +, er gør vi det samme og får at + = + (+) 3

24 Opgave 9.3 Differentier følgende funktioner.. f = 3 5. f = +. f = 3 6. f = 3. f = 3 7. f =. f = ( 3 3) 3 8. f = Svar på opgave 9.3..,., ,. 9 ( 3 ) +, 5. 6., 7., 8.. 3/ +, 0 Differentialkvotienten af andre funktioner Sætning 0. Differentialkvotienten for sin og cos er. sin = cos (7) cos = sin (8) Sætning 0. Hvis > 0 er differentialkvotienten for ln. (ln) = Sætning 0.3 Differentialkvotienten for a er ln(a) a. (a ) = ln(a) a Sætning 0. Differentialkvotienten for e er e. (e ) = e Bevis. Dette følger at Sætning 0.3, da der eraf følger at og ln(e) =. (e ) = ln(e) e Q.E.D.

25 Kapiteloversigt Differentiationsregler Simple differentialer (f+g) (c f) = f +g = c f (f g) = f g +f g ( ) = f f (f) ( ) f = g f g f g (g) (f(g)) = f (g) g f f k 0 k n k n n sin cos tan e cos sin cos e e k k e k ln ( > 0) a a ln(a) (a > 0) 5