Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Transkript

1 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +. Det forudsættes at 0 1.Hvis er kommutativ kaldes ringen kommutativ. Vi taler på oplagt vis om den underliggende additive gruppe og den underliggende multiplikative monoide. Der findes mange forskellige slags ringe Ø1 Ø2 Ø3 2. Sætning: Regneregler for ringe a 0 = 0 a = 0 ( a) b = a ( b) = (a b) ( a) ( b) = a b ( 1) a = a Bevis : Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. Vi har at a = 1 a = (1 + 0) a = 1 a + 0 a = a + 0 a, altså a = a + 0 a og derfor 0 a = 0. Vi har at ( a) b + a b = (( a) + a) b = 0 b = 0, altså ( a) b + a b = 0 og derfor ( a) b = (a b). Vi har at ( a) ( b) = (a ( b)) = ( (a b)) = a b og derfor ( a) ( b) = a b Vi har at ( 1) a = (1 a) = a 3. Definition: Delring En delstruktur af en ring som med den inducerede struktur er en ring kaldes en delring. 4. Sætning: Enhver delstruktur af ring er en delring Lad D være en delstruktur af ringen R. Da er D en delring. 1

2 Bevis : Da D også er en delstruktur af den underliggende additive gruppe er (D, +, 0, ) selv en gruppe, og den er oplagt kommutativ. Med et tilsvarende argument ses at (D,, 1) er en monoide. Vi mangler så kun at checke distributiviteten, men denne nedarves jo til deloperationer. 5. Sætning: Kriterium for delring. En delmængde D af en ring (R, +,, 0,, 1) er en delring hvis og kun hvis D + D D,D D D, D D og 1 D. Bevis : Betingelserne er oplagt nødvendige. Antag at disse betingelser er opfyldt. Vi skal vise at D er lukket mht alle ringoperationerne. Betingelserne sikrer dette direkte for alle operationer pånær 0. Men det er oplagt at 0 = D da 0 = a a for ethvert a D. 6. Sætning: Rum af funktioner med værdier i en ring er en ring Antag at A er en ring og at M er en mængde. Den algebraiske struktur på F(M, A) som er induceret af A er en ring. Bevis : (F(M, A), +,, 0) er en kommutativ gruppe da den er induceret af den underliggende additive gruppe. Tilsvarende ses at (F(M, A),, 1) er en monoide. Vi mangler så kun at checke distributiviteten, men denne nedarves jo til funktionsrumstrukturer. Denne sætning giver nogle af de vigtigste eksempler på ringe: ringe giver anledning til nogle interessante delringe E5 Ø4Disse primitive 7. Sætning: Produktet af ringe er en ring Antag at A og B er ringe da er A B en ring. Analogt for et produkt med flere faktorer. Bevis : (A B, + +, 0 0, ) er produktet af de underliggende additive grupper og derfor en gruppe, som oplagt er kommutativ. Tilsvarende ses at (A B,, 1 1) er en monoide. Vi mangler så kun at checke distributiviteten, men denne nedarves jo til produktstrukturer. 8. Sætning: Kvotient af en ring er en ring. Kvotienten af en ring mht til en med ringoperationerne harmonerende ækvivalensrelation er en ring 2

3 Bevis : Den underliggende additive gruppe i kvotienten er kvotienten af den underliggende additive gruppe og derfor en gruppe, som oplagt er kommutativ. Den underliggende multiplikative monoide for kvotienten er kvotienten af den underliggende monoide af ringen, og derfor selv en monoide. Distributivitet nedarves til kvotienter. 9. Sætning: Kanonisk projektion er en ringhomomorfi Lad være en ækvivalensrelation på en ring R, som harmonerer med operationerne. Den kanoniske projektion k af R på kvotienten R/ er en ringhomomorfi Bevis : Dette følger umiddelbart af en tilsvarende generel sætning for kvotientstrukturer genereret af homomorfier. 10. Definition: Kernen for en ringhomomorfi Kernen for den underliggende additive gruppe kaldes kernen for ringen Vi skal nu introducere analogien til en normal undergruppe. En normal undergruppe er en undergruppe som inducerer en ækvivalensrelation, for hvilken det muligt at overføre gruppeoperationerne til kvotienten. Det analoge fænomen er en type delring som inducerer en ækvivalensrelation for hvilken det er muligt at overføre ringoperationerne til kvotientringen. Denne specielle type delring hedder et ideal. Det vil altid være kernen for en ringhomomorfi. 11. Definition: Ideal. En delmængde I kaldes et ideal, hvis I er en undergruppe af den additive struktur og er lukket mht til multiplikation af ethvert element i ringen. Definitionen kan kort udtrykkes ved at I + I = I RI = I IR = I 12. Sætning: Kernen for en ringhomomorfi er et ideal. Lad f være en ringhomomorfi af R 1 ind i R 2. Da er kernen for f et ideal 3

4 Bevis : Lad K betegne kernen for f. Da er f en gruppehomomorfi mellem de underliggende grupper med kerne K, som derfor er en undergruppe af den underliggende gruppe i R 1. Derfor er den første idealbetingelse opfyldt. Så den anden: Lad k K, r R da er f(kr) = f(k)f(r) = 0f(r) = 0. Dvs at kr I. Tilsvarende ses at rk I. 13. Sætning: Kvotienten mht et ideal er en ring Lad R/I betegne kvotientgruppen af R (opfattet som den underliggende additive gruppe) mht til I (opfattet som en undergruppe). Vi vil vise at multiplikationen harmonerer med ækvivalensrelationen hørende til I. Lad da x 1 y 1 og x 2 y 2. Dette betyder per definition at x 1 y 1 I og at x 2 y 2 I. Vi benytter det gode gamle trick til at udtrykke differensen mellem to produkter ved hjælp af faktorernes differencer til at få at x 1 x 2 y 1 y 2 = x 1 x 2 x 1 y 2 +x 1 y 2 y 1 y 2 = x 1 (x 2 y 2 )+(x 1 y 1 )y 2 IR+RI = I+I = I altså at x 1 x 2 y 1 y 2. Dermed er harmonien bevist og derfor kan multiplikationen benyttes til at inducere en multiplikation på ækvivalensklasserne givet ved at [x][y] = [xy] eller sagt på en anden måde (x + I)(y + I) = (xy) + I. Det er nemt at checke at kvotienten udstyret med denne multiplikation er en monoide med [1] som neutralt element. Endelig er det også et rutinemæssigt check at den inducerede multiplikation er distributiv mht additionen. Altså: kvotienten er en ring. 14. Bemærkning : Motivation for idealer. Det resultat vi lige har bevist er som annonceret begrundelsen for at indføre idealer. 15. Definition: Kvotientringen mht et ideal Den i foregående sætning konstruerede ring kaldes kvotientringen mht til idealet og skrives R/I E6 16. Sætning: Et ideal er kernen for en ringhomomorfi. Lad I være et ideal i ringen R og lad k I betegne en kanoniske projektion af R på kvotientringen R/I. Da er k I en ringhomomorfi med idealet som kerne. 4

5 Bevis : Projektionen k I på en kvotient er en homomorfi; dette gælder jo for enhver algebraisk struktur med en harmonerende ækvivalensrelation. Vi skal da blot vise at kernen for k er I. Vi har at det for alle a R gælder at k I (a) = [a] I = a + I. Så 0- elementet i R/I er k I (0) = 0 + I = I. Vi har da at a ker(k I ) k I (a) = I a I. Altså I = ker(k I ). 1: Eksempler og øvelser Øvelse 1: Z er mønstereksemplet på en ring Overbevis dig selv om at Z med oplagte operationer er en ring Øvelse 2: Ring af matricer Overbevis dig selv om at mængden af n n matricer Udgør en ring med operationerne matrixadditon, matrixsubtraction, nulmatrix, modsat matrix, matrixmultiplikatione og enhedsmatrix. Vis at alt dette også har mening, når matricens elementer blot tages fra en ring og at vi på denne måde igen får en ring. Øvelse 3: Ring af endomorfier Dette er en generalisering af Ø2. Lad V være et vektorrum og lad R betegne Lin(V, V ), mængden af lineære afbildninger af V ind i sig selv. Vis at R kan udstyres som en ring, hvor additionen er den sædvanlige addition af funktioner med værdi i et vektorrum og multiplikationen er sammensætning af funktioner. Øvelse 4: Vis at følgende mængder (med oplagte operationer) er ringe: 1) F(X, R), mængden af reelle funktioner på en vilkårlig mængde X 2) F(X, Z), mængden af funktioner med heltalsværdier på en vilkårlig mængde X Eksempel 5: Polynomier med reelle koefficienter Mængden reelle funktioner på R udgør en ring. Delmængden af polynomier udgør en delring og dermed en ring. Denne ring betegnes sædvanligvis med R[X]. I det følgende vil vi benytte betegnelsen P. I P gælder en række resultater som er analoge til resultater for de hele tals ring idet vi erstatter ordningen af de hele tal med at anse et polynomium for at være mindre end et andet hvis det grad er mindre: 5

6 Der kan foretages division med rest og Euklids algoritme og Euklids udvidede algoritme kan generaliseres: Til givne polynomier a og b findes mindste fælles multiplum c, der kan være flere, og et sådant kan fremstilles på formen xa + yb, hvor x og y er polynomier. Lad p være et polynomium. Sæt I = pp, som er et ideal bestående af alle multipla af p. Derfor er P/I en ring, restklasseringen modulo p. Vi siger at p er irreducibelt hvis det ikke kan skrives som produkt af to polynomier med mindre disse er konstante. Dette er analogien til primtal. Hvis p er irreducibelt da er I et maximalt ideal og kvotientringen er et legeme. Polynomiet p(x) = 1 + x 2 er irreducibelt og det tilhørende legeme er isomorft med de komplekse tals legeme. Ovenstående kan generaliseres til polynomier hvis koefficienter er taget fra en ring. Dette fører til legemer med endelig mange elementer. Eksempel 6: Lad n N. En restklassering er et mønstereksempel på en ring af ækvivalensklasser Sæt I = nz, og konstater at I er et ideal ringen (Z, +, ). To elementer x og y er ækvivalente netop hvis y x + I, altså netop hvis y x nz. Lad k være den kanoniske projektion af Z på Z/I, givet ved k(x) = x + I = x + nz, således at k(x) er den restklasse modulo n som indeholder x. Vi vil nu se på en anden udgave af kvotientringen: Lad Z n = {0,..., n 1}. Abildningen g : Z n Z/I givet ved g(x) = [x], er en bijektion. h = g 1 er givet ved h([x]) = x mod n. Dens omvendte Ved hjælp af denne bijektion kan ringstrukturen på Z/I flyttes over på Z n. Lad de overflyttede operationer være betegnet med og. Det ses at u v = (u + v) mod n og u v = (uv) mod n. Fx har vi at u v = h(g(u) + g(v)) = h([u] + [v]) = h([u + v]) = (u + v) mod n Med disse operationer er Z n en ring og g en ringisomorfi. Afbildningen f : Z Z n givet ved f = h k er en ringhomomorfi. 6

7 Det ses at f(x) = h([x]) = x mod n. 7

8 17. Studie : Affine afbildninger 1 Lad for a, b R afbildningen f a,b være givet som R x ax + b R. Vis at f a,b er bijektiv netop hvis a 0 og angiv den inverse afbildning. Lad F være mængden af de bijektive afbildninger med denne form. Vis at F kan gøres til en gruppe med sammensætning som gruppeoperation. Lad for a, b R matricen M a,b være ( ) a b. 0 1 Vis at M a,b er invertibel netop hvis a 0 og angiv den inverse matrix. Lad M betegne mængden af invertible matricer af denne form. Vis at F kan gøres til en gruppe med multiplikation som gruppeoperation. Vis at der ved forskriften f a,b M a,b defineres en bijektion, T, af F på M. Vis at T er en gruppehomomorfi. 18. Studie : Affine afbildninger 2 Lad for A Mat(n, n, R) og b R n afbildningen f A,b være givet som R n x Ax + b R n. Vis at f A,b er bijektiv netop hvis A er invertibel og angiv den inverse afbildning. Lad F være mængden af de bijektive afbildninger med denne form. Vis at F kan gøres til en gruppe med sammensætning som gruppeoperation. Lad for A Mat(n, n, R) og b R n matricen M A,b være (n + 1) (n + 1) matricen ( ) A b. 0 1 Vis at M A,b er invertibel netop hvis A er invertibel og angiv den inverse matrix. 8

9 Lad M betegne mængden af invertible matricer af denne form. Vis at F kan gøres til en gruppe med multiplikation som gruppeoperation. Vis at der ved forskriften f A,b M A,b defineres en bijektion, T, af F på M. Vis at T er en gruppehomomorfi. 19. Studie : Affine afbildninger 3 Lad R betegne en ring og lad R betegne mængden af dens invertible elementer. Lad for a R og b R afbildningen f a,b være givet som R x ax + b R. Vis at f a,b er bijektiv netop hvis a er invertibel og angiv den inverse afbildning. Lad F være mængden af de bijektive afbildninger med denne form. Vis at F kan gøres til en gruppe med sammensætning som gruppeoperation. Vis at mængden af 2 2 matricer med elementer fra R udgør en ring med sædvalnlig addition og multiplikation af matricer. Lad for a R og b R matricen M a,b være matricen ( ) a b. 0 1 Vis at M a,b er invertibel netop hvis a er invertibel og angiv den inverse matrix. Lad M betegne mængden af invertible matricer af denne form. Vis at F kan gøres til en gruppe med multiplikation som gruppeoperation. Vis at der ved forskriften f a,b M a,b defineres en bijektion, T, af F på M. Vis at T er en gruppehomomorfi. 9