En verden af fluider bevægelse omkring en kugle
|
|
- Pernille Jessen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 En verden af fluider bevægelse omkring en kugle Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 29. marts 2012
2 Indhold 1 Introduktion - En verden af fluider Reynolds-tallet Lavt Reynolds-tal Eksperiment - Kugle i sæbe Teori - Stokes-strømning Simulering - Lavt Reynolds-tal Højt Reynolds-tal Eksperiment - Faldforsøg med bordtennisbold Teori - Generel modstand i en fluid Simulering - Højt Reynolds tal Konklusion og perspektivering 7 Forsidebilledet er fra: 1 Introduktion - En verden af fluider Lad os starte med et centralt spørgsmål. Hvad er en fluid? Det korte svar er; det meste! Vand, luft, honning og blod hører under betegnelsen fluid. Endda visse næsten faste stoffer som f.eks. vinduesglas kan beskrives som en fluid. Den præcise definition er, at det er en substans, der kontinuerligt strømmer eller deformeres, når det påføres en kraft. I jeres hverdag er der mange eksempler på fluider, såsom vand, sæbe og luft. Netop sæbe og luft skal vi studere nærmere i dag. Øvelsen har til formål at give jer et indblik i fluidernes verden set fra fysikkens synspunkt, men derudover er der dog også en samfundsmæssig/teknisk vinkel på dagens øvelse. Transport er i dag en af de helt store energislugere i vores samfund. Fly, biler og tog skal hele tiden kæmpe mod vindmodstanden, mens skibe skal kæmpe mod vandmodstanden. Dette kan ses på figur 1, som viser energiforbruget ved forskellige godstransportformer. F.eks. er togtransport meget mere effektiv end lastbiltransport, fordi tværsnitsarelet af et tog er meget lille i forholdet til togets længde, mens en lastbil har et forholdsvis stort tværsnitsareal som luften skal forbi. Lastbiltransport bruger cirka 1,05 kwh på at transportere et tons gods en kilometer, mens at togtransport bruger cirka 0,05 kwh på at transportere et tons gods en kilometer. En bil bruger cirka 0,8 kwh på at køre en kilometer. Meget af denne energi bruges på modstand. En af de vigtigste designparametre er derfor at sænke modstanden fra fluider til et minimum. Dette er en af grundene til, at der forskes rigtig meget inden for fluidmekanik. At kunne optimere skroget på et skib eller formen på en bil er dog for stor en mundfuld i dag. Derfor skal vi se på et simplere system, som består af en kugle med en væske eller gas omkring. Dette simple system indeholder meget relevant fysik, som forhåbentlig kan være udgangspunkt for at diskutere energioptimering i fremtidens fossilfrie samfund. God fornøjelse! 1
3 Figur 1: Energiforbrug ved forskellige former for fragttransport. y-aksen viser energiforbruget i kilo-watt-timer (kwh) per ton gods transporteret en km. En gennemsnitlig bil (i UK) bruger cirka 0.8 kwh pa at køre en kilometer. Kilde: [2]. 1.1 Reynolds-tallet Vi vil i dag se pa fysikken bag fluider og især deres ma de at pa virke genstandes bevægelse. Faldloven og det skra kast tager i deres oprindelige form ikke højde for pa virkninger fra fluider i form af luftmodstand, men dette gør vi noget ved i dag. I første halvdel af øvelsen vil vi se pa langsomme bevægelser i fluider, mens vi i anden anden halvdel vil se pa bevægelser ved større hastigheder sammenlignet med objektets størrelse. Vi vil beskrive bevægelser med det sa kaldte Reynolds-tal, Re, som er givet ved Re = vlρf, η (1) hvor l er en karakteristisk længdeenhed, v er hastigheden, ρf er densiteten af fluiden og η er viskositeten af fluiden. Reynolds-tallet er opkaldt efter Osborne Reynolds, som fremsatte begrebet i I dag skal vi arbejde med en kugles bevægelser og derfor er den karakteristiske længde radius, l = r. Hvis emnet havde været en ternings bevægelser gennem luften, havde den karakteristiske længde været sidelængden pa tegningen. Vi ser, at ba de hastigheden, objektets størrelse, og fluidens karakteristika skal bruges, na r vi skal beskrive bevægelsen. 2
4 Figur 2: Forskellige strømninger omkring en kugle. Kilde: [1]. 2 Lavt Reynolds-tal I skal nu arbejde med lave Reynolds-tal, hvor bevægelsen af fluiden sker langsomt og er kendetegnet af inerti (træghed). Vi siger at lave Reynolds-tal er når Re 1 (meget mindre end 1). 2.1 Eksperiment - Kugle i sæbe Tag et langt reagensglas (minimum 25 cm) og fyld det op med flydende sæbe. Tag nu fire små metalkugler af diameter 1 mm, 2 mm, 3 mm og 4 mm. Lad dem på skift falde gennem sæben og mål deres faldhastighed via et webkamera. Vi bruger et webkamera for at gøre målingen mere præcis. Vær sikker på at kuglerne har nået deres konstante hastighed (terminalhastighed) inden I stopper optagelsen. Videooptagelser af de faldende kugler kan nu hentes ind i LoggerPro. Følg kuglen bevægelse og brug programmet til at markere kuglens position. Husk at regne i meter. Plot nu y-positionen som funktion af tid. Grafen skulle gerne gå mod en ret linie. Aflæs hældningen på plottet som terminalhastigheden af kuglerne. Skriv alle parametre for hver måling ned: Masse af kuglen (m), kuglematerialets densitet (ρ k ), radius af kuglen r, sæbens densitet (ρ s ) og faldhastigheden U. Husk at gemme alle data fra LoggerPro. 2.2 Teori - Stokes-strømning Ved lave Reynolds-tal gælder Stokes lov, fremsat i 1851 af Sir George Gabriel Stokes. Modstanden eller kraften, F d, på en kugle er givet som F d = 6πηrv. (2) Her er v er hastigheden, r er radius af kuglen og η er viskositeten af fluiden. Hvis Reynolds-tallet er lavt (Re 1), kaldes fluidens bevægelse for en Stokes-strømning (krybende strømning). Vi bemærker at kraften afhænger af hastigheden, v, i første potens. Hvis Reynoldstallet er meget stort, afhænger F d i stedet af v 2. Hvorfor kan vi antage at vores 3
5 strømning er en Stokes-strømning? Ideen er nu at bruge udtrykket for en Stokesstrømning, ligning (2), til at beskrive kuglens bevægelse i sæben. Plus at vi skal finde en værdi af sæbens viskositet. Tabel 1: Vejledende tabelværdier for forskellige fluider. Sirup Flyd. sæbe Vand Nitrogen Atm. Luft Densitet ρ [kg/m 3 ] 1380 ca ,25 1,29 Vikositet η [Pa s] 2-10 ca , , , Udledning og databehandling Vis ud fra Newtons 1. lov, som beskriver en kraftligevægt for legemer med konstant hastighed, at modstandskraften er givet som Udregn derefter F d for hver af jeres målinger. F d = 4 3 πr3 g(ρ k ρ s ) (3) 2. Plot gnidningskraften En god videnskabelig tilgang til data er at tegne dem ind i et koordinatsystem. Plot i Microsoft Excel jeres udregnede F d for hver måling som funktion af faldehastigheden, v. Altså skriv v ud ad x-aksen og F d op ad y-aksen. Er afhængigheden lineær? Plot nu F d som funktion af kugleradius gange hastigheden, rv. Lav en regression over datapunkterne. Find hældningen α (alfa) med enhed. Hvad er hældningen et udtryk for? Udregn denne parameters værdi. 3. Find et udtryk for faldehastighed Vis ud fra ligning (3) og (2) at faldehastigheden er givet ved v = 2 gr 2 9 η (ρ k ρ s ). (4) Find den procentvise afvigelse i forhold til jeres målte faldehastigheder. 2.3 Simulering - Lavt Reynolds-tal Vi vil nu prøve at lave en computersimulering af kuglens bevægelse gennem sæben. Med ordet simulering mener vi, at vi bruger en matematisk model, som efterligner en større eller mindre del af virkeligheden. Dette kan bruges til f.eks. økonomiske makromodeller, fly-simulatorer eller som i dag, en kugles bevægelse. En simulering kan være et stærkt værktøj til at forudsige udviklingen i naturlige eller menneskelige systemer. Fluiders bevægelse kan udregnes ud fra Navier Stokes ligning, som I ikke bliver stillet til regnskab for. For en usammentrykkelig Newtonisk væske i en dimension er den givet ved: 4
6 ( ) v(x, t) v(x, t) p(x, t) ρ + v(x, t) = + η 2 v(x, t) t x x x 2 + f(x, t), (5) hvor v(x, t) er den tids- og stedafhængige hastighed af fluiden, p(x, t) er trykket og f(x, t) er eksterne kræfter på fluiden såsom tyndekraft. Navier Stokes ligning er en såkaldt differentialligning, fordi den beskriver små ændringer over tid og rum. Det er denne ligning som simuleringen finder en numerisk (beregnet) løsning til. Den er udledt fra Newtons 2. lov opskrevet for et volumen. Det er en af de vigtigste ligninger til beskrivelse af naturen og dog findes der kun analytiske (formel) løsninger i enkelte specialtilfælde. Derfor må den løses på computer. Vi bruger programmet COMSOL, som er et simuleringsværktøj til at løse differentialligninger. Programmet finder gnidningskraften for en konstant hastighed af kuglen. I skal anvende følgende fremgangsmåde: 1. Åbn COMSOL 4.2. Tryk File Open simulering.mph. 2. Til venstre ses modeltræet (Model Builder). Tryk Parameters under Global Definitions. Tjek at alle parametre er korrekte. 3. Højreklik på Study 1 Compute. 4. Højreklik på Derived Values (under Results) Clear and Evaluate All. Gnidningskraften, Drag (N), kan nu aflæses i nederste højre hjørne. 5. Gå til Parameters igen og gentag simuleringen med nye værdier. Ved at klikke på 2D Plot ses et tværsnit, hvor fluidhastigheden er givet ud fra farverne. Ved at klikke på 3D Plot, ses hele det simulerede system. Hvis de forskellige plots i højre skærmvindue er dårligt skaleret, trykkes på ikonet med de fire pile øverst i højre hjørne. I skal nu variere de forskellige parametre og aflæse gnidningskraften. Undervejs skal I bruge Excel til at plotte resultaterne fra simuleringen sammen med de eksperimentelle værdier. Kommentér eventuelle forskelle. I må meget gerne bruge simuleringen til at afprøve forskellige ideer til hvad eventuelle forskelle mellem teori og eksperiment kan skyldes. 3 Højt Reynolds-tal I skal nu arbejde med høje Reynolds-tal, hvor bevægelsen af fluiden sker hurtigt. For Reynolds-tal over cirka bliver bevægelsen turbulent. 3.1 Eksperiment - Faldforsøg med bordtennisbold Vi vil nu lave et eksperiment mere for se på kuglers bevægelse ved højt Reynolds-tal, Re 1. Tag en bordtennisbold og lad den falde fra oppe under loftet. Dette gøres nemmest ved at kaste bolden lodret op så den næsten rammer loftet. Brug igen webkameraet til at filme boldens fald. Følg boldens bevægelse den sidste 1.5 m i 5
7 Figur 3: Sammenhæng mellem formfaktor og Reynolds-tal. Kilde: [1]. LoggerPro. Plot nu y-positionen som funktion af tid. Grafen skulle gerne gå mod en ret linie. Aflæs hældningen på plottet som terminalhastigheden af bordtennisbolden. Udregn Reynolds-tallet for at tjekke om det er højt (Re 1). 3.2 Teori - Generel modstand i en fluid Ved højere Reynolds-tal, Re 100, viser det sig, at Stokes lov ikke længere gælder. I stedet kan gnidningskraften, F d, i en fluid generelt beskrives ved: F d = 1 2 ρ f AC d v 2, Re 100, (6) hvor ρ f er densiten af fluiden, A er tværsnitsarealet af legemet vinkelret på strømningen, v er hastigheden og C d kaldes formfaktoren. Formfaktoren beskriver indflydelsen af objektets form og kan betragtes som en fittekonstant. Bemærk, at kraften nu afhænger af hastigheden i anden potens. Det betyder, at hvis hastigheden tredobles, bliver modstanden ni gange så stor. Sammenhængen mellem formfaktor og Reynolds-tal er vist på figur 3, hvor formfaktoren er plottet som funktion af Reynolds-tal. Plottet er et såkaldt dobbeltlogaritmisk plot, som viser størrelsesordner på akserne. For Reynolds-tal over 100 og under , ses det, at formfaktoren, C d, stort set ikke afhænger af Reynoldstallet, men kan betragtes som en konstant. Formfaktoren er i dette område cirka 0,47 for en kugle. 6
8 3.3 Simulering - Højt Reynolds tal Vi vil nu prøve at lave en computersimulering af boldens fald i luft. I skal benytte samme program og samme fremgangsmåde som I gjorde ved opgaven i afsnit 2.3. Blot skal værdierne for viskositeten og densiteten af sæben udskiftes med de tilsvarende værdier for luft. Bemærk, at programmet måske vil komme med en fejlmeddelelse, hvis bevægelsen omkring kuglen bliver for voldsom. Dette kan vi desværre ikke gøre noget ved, og løsningen er at prøve igen med nogle andre parametre. Overordnet set skal Reynolds-tallet være under cirka for at programmet kan finde en løsning for fluidens bevægelse. Husk at eksportere de flotte resultater undervejs i øvelsen fra simuleringerne. 4 Konklusion og perspektivering I har nu været igennem øvelsen. I skulle meget gerne kunne forklare hvad en fluid er, hvad Reynolds-tallet beskriver og hvordan det udregnes. Derudover skal I kunne forklare forskellen mellem lavt og højt Reynolds-tal. I skal gerne kunne forklare hvad de forskellige grafer I har fremstillet undervejs betyder og analysere de talværdier I har udtrukket. Hvor godt stemmer de simple analytiske udtryk overens med eksperiment og simulering? Hvad kan være årsagerne til eventuelle forskelle? Til sidst vil vi gerne bede jer om at perspektivere jeres resultater. Hvad betyder fremdriftshastighed, profil, og tværsnitsareal for energiforbruget i forbindelse med transport gennem forskellige fluider? Hvordan er sammenhængen mellem kraft og arbejde? Hvordan kan energiforbruget af for eksempel en bil under kørsel nedbringes? Vi håber I har nydt øvelsen. På gensyn i Nanoteket! Litteratur [1] G. Christensen, E. Both og P.Ø. Sørensen, Mekanik, Institut for Fysik, 2002, ISBN: [2] David JC Mackay, Sustainable Energy - Without the Hot Air, UIT Cambridge, 2009, ISBN:
Kuglers bevægelse i væske
Kuglers bevægelse i væske Øvelsens formål er - at eftervise v 2 -loven for bevægelse i væsker: For et legeme der bevæger sig i vand. - at se at legemet i vores forsøg er så stort, at vi ikke har laminar
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mere7 QNL 2PYHQGWSURSRUWLRQDOLWHW +27I\VLN. 1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?:
1 Intro I hvilket af de to glas er der mest plads til vand?: Hvorfor?: Angiv de variable: Check din forventning ved at hælde lige store mængder vand i to glas med henholdsvis store og små kugler. Hvor
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane
Mekanik Legestue I - Gaussriffel og bil på trillebane Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk September 2012
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereBrydningsindeks af vand
Brydningsindeks af vand Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 15. marts 2012 Indhold 1 Indledning 2 2 Formål
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereFormålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.
Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereOpdrift og modstand på et vingeprofil
Opdrift og modstand på et vingeprofil Thor Paulli Andersen Ingeniørhøjskolen Aarhus Universitet 1 Vingens anatomi Et vingeprofil er karakteriseret ved følgende bestanddele: forkant, bagkant, korde, krumning
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereRelativitetsteori. Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015
Relativitetsteori Henrik I. Andreasen Foredrag afholdt i matematikklubben Eksponenten Thisted Gymnasium 2015 Koordinattransformation i den klassiske fysik Hvis en fodgænger, der står stille i et lyskryds,
Læs mereLøsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008
Løsningsforslag til fysik A eksamenssæt, 23. maj 2008 Kristian Jerslev 22. marts 2009 Geotermisk anlæg Det geotermiske anlæg Nesjavellir leverer varme til forbrugerne med effekten 300MW og elektrisk energi
Læs mereDansk Naturvidenskabsfestival Faldskærm i fart!
Dansk Naturvidenskabsfestival Faldskærm i fart! Mads Clausen Instituttet Sønderborg - 1 - Dette hæfte kan anvendes på en række forskellige måder: Som den første introduktion til fysik i gymnasiet/htx.
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Terminsprøve 2010. Kl. 09.00 14.00. STX0310-MAA-net
NETADGANGSFORSØGET STUDENTEREKSAMEN I MATEMATIK TERMINSPRØVE MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU Terminsprøve 2010 Kl. 09.00 14.00 STX0310-MAA-net Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs mereLINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL
LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere
Læs mereysikrapport: Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08
ysikrapport: Gay-Lussacs lov Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08 J eg har længe gået med den idé, at der godt kunne være
Læs mereTil at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.
I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereMonter Photogaten og kraftsensoren på stativet som vis på figuren nedenfor.
Cirkelbevægelse. Formålet med øvelser er: - At undersøge sammenhængen mellem kraften og hastigheden i en cirkelbevægelse. - At undersøge hvorledes ændring af massen og radius påvirker kraften. (variabelkontrol)
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærere Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 HTX
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mere7 QNL /LJHY JW VDPPHQVDWWHYDULDEOH +27I\VLN
1 At være en flyder, en synker eller en svæver... Når en genstand bliver liggende på bunden af en beholder med væske er det en... Når en genstand bliver liggende i overfladen af en væske med noget af sig
Læs mereViskositets indflydelse på dynamikken af en væskefyldt cylinder
Viskositets indflydelse på dynamikken af en væskefyldt cylinder Udarbejdet af: Casper Weile, Christian Kjeldbjerg Kristensen, Jesper Olsen, Kim Bonde Jensen, Mikkel Sakse Bennetsen og Nanna Kerlauge Projektrapport,
Læs mereFable er en robot der kan være en kaste robot, en social robot eller en industrirobot.
Fable på fysik B. Fremtidens samfund vil blive mere og mere domineret af robotter. Nogle af jer vil sikkert komme til at arbejde med robotter. I fysik B (2017)dækker Fable det faglige mål: at eleverne
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereTermodynamik Tilføjelser ABL 2007.02.08. Teksten her indføjes efter afsnit 4.1.2 på side 80. 4.1.3 Viskositetens afhængighed af trykket for gasser
Terodynaik Tilføjelser ABL 007.0.08 Teksten her indføjes efter afsnit 4.. å side 80 4..3 Viskositetens afhængighed af trykket for gasser Den dynaiske viskositet antages noralt at være uafhængig af trykket.
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereNår strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.
For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 HTX Vibenhus / Københavns Tekniske Gymnasium
Læs mereVi vil vide hvordan man opnår at man sparker bolden bedst i mål. eller kaste et spyd
Mønstergenkendelse og Galileo s faldlove Introduktion til CT med grafik og film. Inden timen er der givet lektier i siderne 271 til 273 i Orbit C bogen. Afsnittet hedder Galileos faldlove. Filmen i linket
Læs mereAnalytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011
Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereKørGrønt. Alt andet er helt sort. Spar op til 20 % på dit brændstofforbrug. 4. udgave
KørGrønt Alt andet er helt sort Spar op til 20 % på dit brændstofforbrug 4. udgave Spar op til 20 % på brændstoffet Sådan gør du Hver gang du tanker bilen, sender du en sms til 1230. Fylder du tanken helt
Læs mereEksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor
Modtaget dato: (forbeholdt instruktor) Godkendt: Dato: Underskrift: Eksperimentelle øvelser, øvelse nummer 3 : Røntgenstråling målt med Ge-detektor Kristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereVelkommen til denne Windows XP Moviemaker Guide.
Denne guide er lavet af Rasmus Andersen Side 1 Velkommen til denne Windows XP Moviemaker Guide. Du skal starte med at klik på Start, derefter klik på Programmer, til sidst skal du tryk på Windows Movie
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereDansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve. Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar. Prøvetid: 3 timer
Dansk Fysikolympiade 2007 Landsprøve Prøven afholdes en af dagene tirsdag den 9. fredag den 12. januar Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 6 opgaver med tilsammen 17 spørgsmål. Svarene på de stillede
Læs mereMatematik B. Studentereksamen
Matematik B Studentereksamen 1stx101-MAT/B-26052010 Onsdag den 26. maj 2010 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereRygtespredning: Et logistisk eksperiment
Rygtespredning: Et logistisk eksperiment For at det nu ikke skal ende i en omgang teoretisk tørsvømning er det vist på tide vi kigger på et konkret logistisk eksperiment. Der er selvfølgelig flere muligheder,
Læs mereBevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.
Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål
Læs mereOpgaver om koordinater
Opgaver om koordinater Formålet med disse opgaver er dels at træne noget matematik, dels at give oplysninger om og træning i brug af Mathcad: Matematik: Øge grundlæggende indsigt vedrørende koordinater
Læs mereUndervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A
Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Termin August 2014 Juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX HTX Fysik A Jesper Pedersen (JEPE) Hold 2.A Oversigt over planlagte undervisningsforløb
Læs mereVejledende Matematik A
Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes
Læs mereHåndvask i Afrika. Benny Lautrup Niels Bohr Institutet 22. januar 2004
Håndvask i Afrika Benny Lautrup Niels Bohr Institutet 22 januar 2004 At jordens rotation får badevand til at løbe ud af karret i en hvirvel, der set oppefra drejer mod uret på den nordlige halvkugle og
Læs mereBrugervejledning til Graph
Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,
Læs mereBetjeningsvejledning Seba VM-880 Stophanesøger. El.nr. 63 98 964 328
Betjeningsvejledning Seba VM-880 Stophanesøger El.nr. 63 98 964 328 Seba VM-880 side 2 Indhold Seba VM-880 introduktion... 2 Seba VM-880 standardudstyr... 2 Tekniske specifikationer... 3 Kontrol og indikatorer...
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner
Læs mereFormativt evalueringsskema
Formativt evalueringsskema I skemaet nedenfor markerer du i forbindelse med hver samtale de faglige mål, som du mener at have styr på. Inden evalueringssamtalen med din lærer, vil han/hun tilsvarende sætte
Læs mereBrugsvejledning for Frit fald udstyr
Brugsvejledning for 1980.10 Frit fald udstyr 13.12.10 Aa 1980.10 1. Udløser 2. Tilslutningsbøsninger for prøveledninger 3. Trykknap for udløser 4. Kontaktplader 5. Udfræsning for placering af kugle 6.
Læs mere1 - Problemformulering
1 - Problemformulering I skal undersøge, hvordan fart påvirker risikoen for at blive involveret i en trafikulykke. I skal arbejde med hvilke veje, der opstår flest ulykker på, og hvor de mest alvorlige
Læs meresammenhänge for C-niveau i stx 2013 Karsten Juul
LineÄre sammenhänge for C-niveau i stx y 0,5x 2,5 203 Karsten Juul : OplÄg om lineäre sammenhänge 2 Ligning for lineär sammenhäng 2 3 Graf for lineär sammenhäng 2 4 Bestem y når vi kender x 3 5 Bestem
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereAfdelingen for materialeforskning Risø, DTU
Afdelingen for materialeforskning Risø, DTU HVORFOR? HVORFOR?/ HVORDAN? Løse et videnskabeligt spørgsmål eller problem 1. Definer spørgsmålet eller problemet 2. Indsaml information 3. Formuler en hypotese
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereFysik A. Studentereksamen
Fysik A Studentereksamen stx102-fys/a-13082010 Fredag den 13. august 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet består af 7 opgaver med tilsammen 15 spørgsmål. Svarene på de stillede spørgsmål indgår med samme
Læs mereSportsfysik i Basketball Hvad er det bedste skud? Af Jerôme W. H. Baltzersen
Sportsfysik i Basketball Hvad er det bedste skud? Af Jerôme W. H. Baltzersen I mit projekt ønsker jeg at studere den optimale måde at skyde en basketball i kurven på, når man tager hensyn til, at man kan
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereGymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM)
Gymnasieøvelse i Skanning Tunnel Mikroskopi (STM) Institut for Fysik og Astronomi Aarhus Universitet, Sep 2006. Lars Petersen og Erik Lægsgaard Indledning Denne note skal tjene som en kort introduktion
Læs mereBevægelse i to dimensioner
Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereEvaluering af Soltimer
DANMARKS METEOROLOGISKE INSTITUT TEKNISK RAPPORT 01-16 Evaluering af Soltimer Maja Kjørup Nielsen Juni 2001 København 2001 ISSN 0906-897X (Online 1399-1388) Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Beregning
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereDet er ikke personligt
Det er ikke personligt Hans Harhoff Andersen 18. september 2013 Forudsætninger for dette kursus Forudsætninger for dette kursus Forudsætninger for dette kursus Fysik Forudsætninger for dette kursus Fysik
Læs mereC Model til konsekvensberegninger
C Model til konsekvensberegninger C MODEL TIL KONSEKVENSBEREGNINGER FORMÅL C. INPUT C.. Væskeudslip 2 C..2 Gasudslip 3 C..3 Vurdering af omgivelsen 4 C.2 BEREGNINGSMETODEN 6 C.3 VÆSKEUDSLIP 6 C.3. Effektiv
Læs mereAlmen studieforberedelse. 3.g
Almen studieforberedelse 3.g. - 2012 Videnskabsteori De tre forskellige fakulteter Humaniora Samfundsfag Naturvidenskabelige fag Fysik Kemi Naturgeografi Biologi Naturvidenskabsmetoden Definer spørgsmålet
Læs mereIFC Egenskaber. Mohammad Hussain Parsianfar s102951 BYG DTU
Mohammad Hussain Parsianfar s102951 Indholdsfortegnelse 1 Introduktion... 3 1.1 Hvorfor er det interessant... 3 1.2 Formål... 4 2 Simplebim... 5 2.1 Præsentation af softwaren... 5 2.1.1 Brugergrænseflade...
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.1 Aerodynamik 0.1. AERODYNAMIK I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereDokumentation - Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning og partikelspredning
Dokumentation - Del 3 Måling og modellering af turbulent strømning og partikelspredning Fremstilling af partikler Udgangspunktet for fremstilling af partikler er at fremstille gelkugler med en massefylde
Læs mereDette forudsætter, at alt stof i forvejen er opvarmet til smeltepunktet eller kogepunkt.
Projekt: Energi og nyttevirkning Temperaturskala Gennem næsten 400 år har man fastlagt temperaturskalaen ud fra isens smeltepunkt (=vands frysepunkt) og vands kogepunkt. De tre kendte, gamle temperaturskalaer
Læs mereModellering med Lego education kran (9686)
Modellering med Lego education kran (9686) - Et undervisningsforløb i Lego education med udgangspunkt i matematiske emner og kompetencer Af: Ralf Jøker Dohn Henrik Dagsberg Kranen - et modelleringsprojekt
Læs mereLærervejledning Modellering (3): Funktioner (1):
Lærervejledning Formål Gennem undersøgelsesbaseret undervisning anvendes lineære sammenhænge, som middel til at eleverne arbejder med repræsentationsskift og aktiverer algebraiske teknikker. Hvilke overgangsproblemer
Læs mere