Diskret delta hedging af optionsporteføljer. Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G Aalborg Universitet

Transkript

1 Diskret delta hedging af optionsporteføljer Matematik-Økonomi 4. semester - Gruppe G3-110 Aalborg Universitet

2 Aalborg University Department of Mathematics Frederik Bajers Vej 7G, DK-90 Aalborg Ø, Denmark Phone , Fax The content of this work is freely available. It may only be copied (with references) with the written permission of the authors.

3 Abstract This project focuses on financial hedging of option portfolios using hedging strategies and the Black-Scholes model. In chapter 1 a financial background of option theory is established to prepare the reader for the remaining chapters. Basic options strategies are introduced to illustrate how to guard the investor from unexpected price fluctuations. A simple binomial model is discussed to familiarize the reader with the topic of option pricing. The subsequent problem formulation takes its basis in the Black-Scholes formula and its implication in general hedging of option portfolios. Chapter 3 concerns with the Black-Scholes model. At first Markov and Wiener processes are introduced along with Itôs lemma in order to get a sound mathematical foundation for the more complex Black-Scholes model. As the model has certain assumptions and limitation these are discussed. When hedging using the Black-Scholes model the investor will hedge on certain parametres which are described in chapter 4. The mathematical background for these is derived and the financial implications are discussed. As option volatility is of high interest for an investor, the so-called volatility smile is shortly introduced in chapter 5 and it is described how investors use this information to rate options. Chapter 6 is the pivotal point of this project. Here an actual hedging model is established and it is described how discrete hedging is performed in practice. Furthermore an improved delta parameter is developed, in order to minimize hedging error and the effect is shown through empirical examples. These results are summarized in chapter 7. Throughout the project it is emphasized that the Black-Scholes model has multiple shortcomings and therefore improvements of the Black-Scholes assumptions are suggested in chapter 8. In addition it is suggested how to improve the model s reliability and realism, and which similar models can contribute to a better hedge. Keywords: Black-Scholes model, option pricing theory, the greeks, volatility surface, delta hedging.

4

5 Forord Denne P4-rapport er udarbejdet i perioden fra d. 1/-011 frem til d. 7/ af gruppe G3-110 på Instituttet for Matematiske Fag, Matematik-Økonomi ved Aalborg Universitet. Det overordnede tema for dette semester er Matematisk modellering i finansiering og investering. I rapporten anvendes kildehenvisninger med Harvard-metoden, som har udseendet [Efternavn, år, evt. sidetal]. Sidst i rapporten findes en uddybende litteraturliste. Tabeller, figurer, definitioner og sætninger mv. er alle fortløbende nummereret efter hvilket kapitel og afsnit de er placeret i. Eksempelvis angiver sætning 4.3. sætning, kapitel 4, afsnit 3. Alle beviser sluttes med og eksempler afsluttes med. Projektet er frit tilgængeligt for download på Vi vil gerne rette en tak til vores vejleder Lasse Bork for præcis og kompetent vejledning. Aalborg d. 7. maj 011. Troels Otte Andersen Nicoline Pagter Bach Anette Berg Julie Brandt Thomas Hvolby Morten Sørensen iii

6

7 Indhold Forord iii Indledning 1 1 Optioner Grundlæggende optionsteori Put-call pariteten Prisfastsættelse af optioner Optionsstrategier Positioner Problemformulering 13.1 Afgrænsning Black-Scholes modellen Markov processer Wiener processer Geometrisk Wiener proces Itôs lemma Black-Scholes ligningen Black-Scholes formlen The Greeks Delta Gamma Theta Vega Rho Opsummering Volatilitet Implied volatility og volatility smile Hedging Delta hedging Gamma hedging Diskret hedging Konklusion 47 v

8 vi INDHOLD 8 Perspektivering 49 Litteratur 49 A Replikerende portefølje 53 B Microsoft option data 55 C Taylor-rækkeudvikling 57

9 Indledning Investeringsteori er de seneste år blevet et område, der har fået særdeles stor opmærksomhed. Den teoretiske baggrund for emnet er vokset enormt; dels pga. udbredelsen af internettet og dels pga. stadigt større og flere internationale investeringer. Udviklingen har bredt sig ud i alle større finansielle virksomheder, og ikke mindst til mange individuelle investorer. Penge har altid været af stor betydning for mennesket, og tiltag for at maksimere sin pengemængde hænger uløseligt sammen med risikoen for at miste; denne sammenhæng medvirker til forskellige investeringsprofiler. Nogle investeringsprofiler er mere aggresive end andre, og dette indebærer, at nogle investorer ikke vil løbe en risiko og derfor vil forsøge at risikoafdække sine investeringer, mens andre tænker mere på et stort afkast og derfor er villig til at løbe en større risiko for at opnå dette. Globaliseringen har imidlertid resulteret i en større international handel og handel i fremmed valuta, hvilket har medvirket til en større efterspørgsel på derivater som f.eks. optioner. Optioner er et vigtigt finansielt derivat, idet de giver en investor mulighed for at købe eller sælge aktiver til en aftalt pris på et aftalt fremtidigt tidspunkt. Ligeledes kan der med optioner styres et stort antal aktiver for forholdsvis små beløb, hvilket giver mulighed for store afkast sammenlignet med markedsafkastet. Hvis der f.eks. efter købet af en option opstår prisstigninger på det underliggende aktiv, vil optionen kunne sikre, at aktivet enten kan sælges eller købes til den aftalte pris, alt efter hvilken slags option der er tale om. På denne måde er det f.eks. muligt at købe et aktiv til en pris, der ligger under markedsprisen, eller at sælge et aktiv for en pris der er højere end markedsprisen. Når optioner anvendes korrekt, kan det give en investor et af de bedste grundlag for at skabe afkast. Optioner giver mulighed for at investere udfra en forventning til markedet, hvad enten investoren forventer en stigning eller et fald i markedet. Det er muligt, at optionen giver et afkast, hvis priserne på markedet bevæger sig i overensstemmelse med investorens forventninger. For mange virksomheder er risikostyring en af de væsentligste opgaver, idet ændringer i valutakurser, renter etc. kan have afgørende betydning for virksomhedernes afkast på investeringer. Det ses derfor i stadigt større grad, at virksomheder sikrer sig mod mulige tab ved at hedge. Grundlaget for hedging er at risikoafdække og dermed minimere mulige tab. Der kan hedges på flere forskellige finansielle produkter f.eks. aktier, swaps, optioner, futures mm. At hedge kan sammenlignes med at forsikre sig f.eks. mod indbrud og skader. En investor kan anvende flere forskellige strategier til hedging, alt efter hvilke forventninger han har til markedet. Disse strategier har det fælles mål at mindske sandsynlighed for tab. Som det vil vise sig, er det vanskeligt at prisfastsætte optioner, da det kræver avancerede matematiske modeller så som Black-Scholes formlen. Prisfastsættelse af optioner får i dag stor opmærksomhed inden for finansverdenen, hvilket gør problemet utroligt samtidsrelevant. Projektet behandler derfor hedging af optionsporteføljer, da det gør det muligt at risikosikre investeringer mod eventuelle tab. 1

10

11 Kapitel 1 Optioner Da priser fastsættes efter udbud- og efterspørgselsprincippet, er det altid usikkert, hvordan priser udvikler sig; dette gælder for alt fra fødevarer og flybilletter til finansielle aktiver. Denne usikkerhed i priserne har skabt behov for futures og optioner, som giver mulighed for at købe eller sælge aktiver på et fremtidigt tidspunkt, til en fastlagt pris. I dette kapitel introduceres optioner som et finansielt derivat, herunder hvilke anvendelsesmuligheder der findes, og kort om hvordan optioner prisfastsættes. Litteratur [Hull, 005, kap. 9, 10 og 15], [Luenberger, 1998, kap. 11, 1 og 13] og [Wilmott, 1998, kap. ]. 1.1 Grundlæggende optionsteori En option er et finansielt derivat, der giver rettighed, men ikke pligt, til at købe eller sælge et aktiv til en given strike price til en på forhånd aftalt udløbsdato. Optionens underliggende aktiv kan være et værdipapir, renter, valuta, råstoffer etc. I afsnit forklares notationerne der anvendes i dette projekt [Luenberger, 1998] Begreber og notationer Der findes grundlæggende to typer optioner. En call option giver rettigheden til at købe et givet aktiv til en aftalt strike price. En put option giver derimod ret til at sælge et givet aktiv til en aftalt strike price. I så fald handlen kun kan finde sted ved udløbsdatoen, kaldes den en europæisk option. Kan handlen derimod finde sted under hele optionens løbetid, kaldes den en amerikansk option. Optionens løbetid Optionens længde betegnes T. Et givet tidspunkt i optionens løbetid betegnes t, således at optionen starter ved t = 0, udløber ved t = T og den resterende tid ved tidspunkt t er T t. Spot price er det underliggende aktivs værdi, hvilken altid er positiv. Spot price på tidspunkt t betegnes S t, og dermed er S 0 spot price ved optionens start, og S T spot price ved udløb. Strike price er den pris optionen giver rettighed til at købe eller sælge et aktiv til. Notationen ændrer sig ikke, hvad enten det er call eller put optioner, men betegnes altid som K. Optionens værdi til tidspunkt t med spot price S t betegnes C(S t, t) = C t for en call option og P (S t, t) = P t for en put option. Optionsprisen ved start betegnes C 0 hhv. P 0, og C T hhv. P T ved udløb. Efter optionens udløb er optionen værdiløs. Dette uddybes i afsnit

12 4 KAPITEL 1. OPTIONER Optionens præmie er den pris, køber betaler for optionen. Det antages, at optionens pris er lig med optionens værdi til det tidspunkt, hvor den handles. Derfor gælder det, at hvis optionen købes ved tidspunkt t = 0, så er præmien C 0 for en call og P 0 for en put option. Køberen af en call option håber, at aktivets pris stiger, da han i så fald har rettigheden til at købe aktivet til underkurs. Modsat håber sælgeren af en call option, at aktivets pris falder, således at optionen ikke bliver udøvet, og han dermed opnår gevinst i form af optionspræmien. Måden, hvorpå handel med optioner differentierer sig fra generel handel med aktiver, er ved, at selve aktivet ikke nødvendigvis ejes af nogen af parterne i optionens løbetid. Hvis optionen udøves, købes aktivet således kort forinden i markedet og sælges til den anden part i optionen, som derefter igen sælger i markedet. Derfor afhænger afkastet af optionen af det underliggende aktivs værdi. Handel med optioner indeholder derfor en stor risiko, hvis prisen på aktivet ændrer sig markant. Der findes altid to sider af en option. Køberen har den lange position, og sælgeren har den korte position. Generelt kan der antages fire forskellige positioner; lang call, lang put, kort call og kort put Typer af optioner Lang call En investor, som forventer, at et aktivs spot price vil stige, kan drage fordel af at købe en lang call option, hvilket giver mulighed for at købe aktivet på et aftalt tidspunkt til en aftalt pris. Dette giver et maksimalt tab på optionens præmie, mens profitten teoretisk set er ubegrænset. Dette giver følgende scenarier ved optionens udløb: [S T > K] Optionen udøves, da aktivet købes billigere end dets markedsværdi og derfor med det samme kan sælges i markedet til en højere pris. [S T > K + C 0 ] Profit for investoren. Profitten er da lig med S T K C 0. [S T < K] Optionen udøves ikke, og investoren taber optionens præmie, C 0. Profit/tab på en lang call option er illustreret i figur 1.1(a). Lang put Hvis investoren forventer et fald i aktivets spot price, kan det være rentabelt at købe en put option, da der er mulighed for at sælge aktivet på et aftalt tidspunkt til en aftalt pris. Ligesom ved lang call er det maksimale tab optionens præmie, mens profitten teoretisk kan være lig med K P 0, hvis S T = 0. Der er følgende tre scenarier ved optionens udløb: [S T < K] Optionen udøves, da aktivet sælges til mere, end det er værd i markedet. [S T + P 0 < K] Profit for investoren på K S T P 0. [S T > K] Optionen udøves ikke, og investoren taber optionens præmie, P 0. Profit/tab på en lang put option er illustreret i figur 1.1(b). Kort call En anden mulighed for investoren, som forventer et fald i aktivets spot price, er at skrive eller sælge en call option, også kaldet at gå kort i en call option. Denne type option kan tvinge investoren til at sælge aktivet til en aftalt pris på et aftalt tidspunkt. Den korte position er mere risikabel end den lange, da den maksimale profit er optionens præmie, mens det mulige tab er ubegrænset. Den korte call option har følgende scenarier ved udløb: [S T > K] Optionen udøves. [S T > K + C 0 ] Optionen udøves, og der er tab for investoren på S T K C 0. [S T < K] Optionen udøves ikke, investoren får en profit på C 0. Profit/tab på en kort call option er illustreret i figur 1.1(c).

13 1.1. GRUNDLÆGGENDE OPTIONSTEORI 5 Kort put Et alternativ for investoren, som forventer en stigning i aktivets spot price, er at skrive eller sælge en put option. Dermed kan investoren ved optionens udløb blive tvunget til at købe aktivet til en lavere pris end dets markedsværdi. Igen er den korte position den mest risikable, da optionens præmie P 0 er den maksimale profit, mens tabet teoretisk kan være K P 0, hvis S T = 0. Der er følgende muligheder ved optionens udløb: [S T < K] Optionen udøves. [S T + P 0 < K] Optionen udøves, og der er tab for investoren på K S T P 0. [S T > K] Optionen udøves ikke, og investoren får en profit på P 0. Profit/tab på en lang put option er illustreret i figur 1.1(d). C P 0 K S 0 K S (a) Lang call option. (b) Lang put option. C P 0 K S 0 K S (c) Kort call option. (d) Kort put option. Figur 1.1: Typer af optioner Optionens værdi Lemma [Luenberger, 1998] Lad K være strike price og S være spot price på en option. Call optionens værdi C og put optionens værdi P er da C(S, T ) = max{0, S K} hhv. P (S, T ) = max{0, K S}. Bevis Hvis S < K, er værdien på en call option lig 0, fordi optionen ikke udøves. Hvis derimod S > K, har optionen en værdi, da man kan købe aktivet til K og sælge det på det frie marked til S. Fortjenesten er da S K og er dermed værdien af optionen. Lignende argumenter kan bruges til at bestemme prisen på en put option. Lemma er gældende for både amerikanske og europæiske optioner.

14 6 KAPITEL 1. OPTIONER Call optionen siges at være i pengene, på pengene eller ude af pengene afhængig af, om hhv. S > K, S = K eller S < K. Prisen på optionen varierer over tid og afspejler i call optionens tilfælde sandsynligheden for, at S er i pengene ved udløb. Put optioner har den modsatte terminologi, således at den er i pengene, når S < K, ude af pengene når S > K og på pengene når S = K. Da amerikanske optioner kan udøves på ethvert tidspunkt inden udløbsdatoen, har de en værdi i hele tidsperioden. Dette er også tilfældet for europæiske optioner, idet de besidder en potentiel værdi, selvom de ikke kan udøves før udløb. Funktionen for optionens værdi er således en kurve, som tilnærmer sig funktionerne i figur 1.1. Hvis der er en lang løbetid, vil funktionen bevæge sig længere væk fra funktionerne, som vist i figur 1., idet usikkerheden ved det underliggende aktivs ændring i værdi gør sandsynligheden for at komme i pengene større. For både europæiske og amerikanske optioner gælder det, at optionen aldrig kan blive mere værd end det underliggende aktiv, C S. Hvis dette forhold ikke eksisterede, ville der forekomme arbitragemuligheder. Arbitrage betegner muligheden for at få et afkast uden risiko. Hvis en vare handles på forskellige markeder, hvor der er fri bevægelighed imellem, vil prisen på begge markeder blive ens. I modsat fald, hvis ikke prisen på begge markeder er ens, vil denne mulighed for at købe billigt på ét marked og sælge dyrt på et andet blive kaldt arbitrage. C t < t 0 t 1 < t 0 t 0 < T T = t 0 K S Figur 1.: Call option med forskellig løbetid Risikofrie rente Den rente, man kan få i markedet uden at have nogen risiko, kaldes den risikofrie rente. Den risikofrie rente repræsenterer den rente, en investor vil forvente fra en helt risikofri investering over en given periode. I realiteten eksisterer der ingen risikofrie aktiver, men da korte statsobligationer anses for at have minimal risiko, anvendes renten fra disse i praksis som den risikofrie rente. Den risikofrie rente anvendes i konstruktionen af en replikerende portefølje. Replikerende portefølje En option kan duplikeres ved at konstruere en portefølje af det underliggende aktiv og et risikofrit aktiv lånt til den risikofrie rente. Denne portefølje kaldes en replikerende portefølje eller en syntetisk option. Den replikerende porteføljes værdi og en mængde af det underliggende aktiv for porteføljen skal matche optionens, og da spot price er dynamisk, skal mængden af det underliggende aktiv og det risikofrie aktiv rebalanceres kontinuert. Mængderne af det underliggende og det risikofrie aktiv samt værdien af den replikerende portefølje kan udregnes som vist i appendiks A. Den udregnede værdi for hver uge i løbetiden bliver tilnærmelsesvist lig med optionsværdien, men kan for hver udregning variere lidt derfra. Afvigelser i værdien kan bl.a. skyldes, at den estimerede volatilitet ikke stemmer helt overens med den faktiske volatilitet.

15 1.. PUT-CALL PARITETEN 7 Arbitrageprincippet indebærer, at værdien af den replikerende portefølje og optionen skal være ens. Denne lighed skal være opfyldt, for at der ikke foreligger arbitragemuligheder. En replikerende portefølje vil blive anvendt i beviset for Black-Scholes ligningen i afsnit Put-call pariteten For europæiske optioner er der en teoretisk sammenhæng mellem priserne på de tilsvarende put og call optioner. Forholdet findes ved at bemærke, at en kombination af en put option, en call option og et risikofrit lån har et afkast identisk med det underliggende aktiv. Antag, at en investor køber en europæisk call og sælger en europæisk put option. De har en samlet værdi ved udløb på max{s(t ) K, 0} max{k S(T ), 0} = S(T ) K. Dette afkast er ækvivalent med afkastet af købet af det underliggende aktiv og et beløb K. Dette beløb K kan sikres på udløbstidspunktet ved at købe et risikofrit aktiv med rente r på tidspunkt 0 med en værdi, der kan bestemmes ved at tilbagediskontere med den risikofrie rente. Værdien af de to cashflows må derfor være ækvivalente. Dette beviser følgende sætning [Wilmott, 1998]. Sætning 1..1 Lad C og P være priserne på hhv. en europæisk call og europæisk put option, begge med en strike price K og defineret på det samme aktiv med prisen S t. Fra put-call pariteten fås C P = S(t) Ke r(t t) Prisfastsættelse af optioner En af de mest fundamentale udfordringer i arbejdet med optioner, fremkommer ifm. prisfastsættelse af en option. Det er med andre ord svært at sætte en pris på rettigheden til at købe et aktiv på et fremtidigt tidspunkt til en fastlagt pris, da det ikke vides, hvor meget rettigheden er værd ved udløb. Samtidig forsøger investorer og spekulanter at vurdere, hvorvidt prisen på optionen er høj eller lav. Der findes flere forskellige modeller til at beregne en teoretisk værdi af en option, som, sammenlignet med den reelle pris, kan beskrive rentabiliteten. Modellerne adskiller sig både i kompleksitet, realisme og i hvilke antagelser de gør sig om markedet Grænser for optionspriser I dette afsnit udledes de øvre og nedre grænser for optionspriser. Da optionen giver ret til at købe eller sælge et aktiv, kan værdien af optionen aldrig blive mere værd end aktivet selv. Hvis dette var tilfældet, ville der opstå arbitrage muligheder, hvilket bliver antaget ikke er tilstedeværende [Hull, 005]. Øvre grænser Som ovenfor nævnt er optionsprisen begrænset af spot prisen på det underliggende aktiv. For call optioner gælder, at C S 0, og for put optioner gælder at P K. Da optionen ikke kan være mere værd ved udløb på en europæisk option, gælder at nutidsværdien af optionen heller ikke kan være mere værd. P Ke rt.

16 8 KAPITEL 1. OPTIONER Nedre grænser for calls Antag, at der holdes en portefølje A med en europæisk call option i et aktiv, der ikke betaler dividende, og en mængde penge, der, hvis investeret i et risikofrit aktiv, har en nutidsværdi på Ke rt. Fra lemma vides det, at værdien af call optionen er max{s T K, 0}, og porteføljens værdi er derfor max{s T, K}. En anden portefølje B består af ét aktiv, af samme type som optionen blev købt i. Denne portefølje har en værdi af S T ved udløb. Derfor vides det, at A er mindst ligeså meget værd som B, og at C + Ke rt S 0. Call optionens værdi kan aldrig blive negativ, hvilket betyder, at C max{s 0 Ke rt, 0}. Nedre grænser for puts Antag igen, at der holdes to porteføljer, hvor aktivet ikke betaler dividende. D består af en europæisk put option og ét aktiv, og E består af en mængde penge svarende til Ke rt. Hvis S T < K udøves optionen, mens aktivets værdi falder, så værdien af D er K. Hvis S T > K, er optionen værdiløs, og D har en værdi på S T, og værdien af D er derfor max{s T, K}. Hvis pengene i portefølje E investeres i det risikofrie aktiv, har E værdien K ved udløb. Ved fravær af arbitrage gælder, at P + S 0 Ke rt. Yderligere gælder der, at put optionens værdi heller ikke kan blive negativ, så 1.3. Den binomiale model P max{ke rt S 0, 0}. Binomialmodellen er en simpel matematisk model til prisfastsættelse af et finansielt aktiv. Den udgør et grundlag for udledning af Black-Scholes modellen og vil derfor blive kort introduceret. Modellen tager udgangspunkt i, at spot price S 0 er kendt. Det antages, at prisen herefter opfører sig som en random walk 1 indtil udløb. { u op u > 1 d ned 0 < d < 1 Prisen i næste periode er derfor enten us eller ds, og sandsynligheden for disse muligheder er p hhv. 1 p. Prisudviklingen kan illustreres som et binomialtræ, som er vist i figur 1.3. Idet prisen aldrig bliver negativ, er det muligt at betragte ln S. µ defineres til at være den forventede årlige vækst µ = E [ln(s T /S 0 )], hvor S T er prisen ved udløb, S 0 er begyndelsesprisen og E [ ] betegner den forventede værdi. Ligeledes defineres den årlige volatilitet σ vha. variansen σ = Var [ln(s T /S 0 )]. 1 En random walk kan sammenlignes med en række møntkast. For hvert kast går personen frem, og afhængig af udfaldet går personen til højre eller venstre.

17 1.3. PRISFASTSÆTTELSE AF OPTIONER 9 Figur 1.3: Binomialtræ [Hull, 005, p 394]. Hvis t antager en lille værdi, kan parametrene p, u og d i den binomiale model bestemmes til [Luenberger, 1998] p = ( µ ) t, σ u = e σ t, d = e σ t. Bemærkning Selvom modellen kan virke simpel, vil der ved en tilstrækkelig lille værdi af t være mulighed for at antage uendelig mange værdier. Og ved at lade skridtlængden gå mod nul, fremkommer en kontinuert model, som beskrevet i næste kapitel. Grunden til, at den forventede vækst µ og volatilitet σ blev betragtet logaritmisk, skyldes en generel enighed på baggrund af empiriske observationer, om at afkastet på finansielle aktiver udvikler sig lognormalfordelt, foruden en svag afvigelse med de karakteristiske fede haler. Det vil sige, at der er større sandsynlighed for at få afkast i positioner længere væk fra middelværdien, når den empiriske fordeling benyttes, end der er, når den lognormale fordeling benyttes. Ydermere er der også større sandsynlighed for afkast i positioner i nærheden af middelværdien ved den empiriske fordeling Additive og multiplikative modeller Der findes tilsvarende diskrete modeller, heriblandt additive modeller, der er defineret ved S(k + 1) = as(k) + u(k), for k = 0, 1,..., N, S(k) er spot price, a er en konstant, og u(k) erne er stokastiske variable. I modsætning til binomial modellen er størrelsen, hvormed prisen ændrer sig til næste tidspunkt, ikke kendt, til gengæld er stigningen eller faldet bestemt ved en sandsynlighed. En tredje meget anvendt simpel model er den multiplikative model givet ved, S(k + 1) = u(k)s(k), for k = 0, 1,..., N 1. Her er u(k) erne igen uafhængige stokastiske variable. Den multiplikative model har den egenskab, at hvis den naturlige logaritme anvendes, fremkommer ln S(k + 1) = ln S(k) + ln u(k).

18 10 KAPITEL 1. OPTIONER Derfor er den multiplikative model en additiv model med hensyn til den logaritmiske pris. Det følger derfor, at hvis u(k) erne er lognormalfordelte, er ln u(k) erne normalfordelte. Itereres over S(k) fås S(k) = u(k 1)u(k ) u(0)s(0), hvilket giver anledning til at bruge den naturlige logaritme k 1 ln S(k) = ln S(0) + ln u(i). Da ln u(i) er normalfordelt, vil summen af normalfordelte variable også være normalfordelt. ln S(0) er konstant, så derfor vil ln S(k) være normalfordelt. Modellerne introducerer sandsynlighedsregning ifm. prisfunktioner på en simpel måde, og modellerne kan derfor udvides ad denne vej. Alene kan disse modeller med forbehold anvendes i praksis til prisfastsættelse, men modellerne danner mest af alt en grundlag for kapitel Optionsstrategier Når der handles med optioner, kan der anvendes forskellige strategier for at risikoafdække sit afkast. Strategiernes formål er at øge sandsynligheden for at opnå et afkast og mindske sandsynligheden for tab. Hvilken strategi, der bør anvendes, afhænger af forventningerne til det underliggende aktivs spot price ved optionens udløb. Alle strategier i dette afsnit forklares ud fra handel med call optioner. Strategierne kan ligeledes bruges til handel med put optioner, men i så fald vil illustrationerne se anderledes ud Butterfly spread Et butterfly spread anvendes, når en investor ikke forventer store udsving i spot price i den kommende periode. Strategien er, at købe to call optioner og sælge to call optioner. Strike price på de to call optioner, der købes, er forskellige, hvor den ene K 1 er relativ lav, og den anden K 3 er relativ høj. Strike price på de to optioner, der sælges, K, vælges generelt til at ligge tæt på den nuværende spot price, således at K 1 < K < K 3. Denne strategi er nyttig, hvis det forventes, at det underliggende aktivs pris ved udløb vil være i nærheden af K, idet det maksimale afkast opnås, hvis S = K. De stiplede linjer i figur 1.4 viser afkast for hvert K, og den markerede sorte linje viser det samlede afkast. Det ses her, at hvis K 3 < S T eller S T < K 1, vil investoren udelukkende tabe på foretagendet [Luenberger, 1998]. i=0 K 1 K 3 K S T Figur 1.4: Butterfly spread.

19 1.4. OPTIONSSTRATEGIER Bull spread Bull spread er en strategi, der anvendes, hvis det forventes, at spot price vil stige i løbet af perioden. Strategien er at købe en call option med en strike price K 1 og sælge en call option for det samme underliggende aktiv med en større strike price K. Begge optioner skal have den sammme udløbsdag. Strategien er vist i figur 1.5. De stiplede linjer illustrerer afkastet for hver af de to optioner, mens den markerede sorte linje viser det samlede afkast. Det ses ud fra figur 1.5, at der opnås et maksimalt afkast, hvis S T K. Dette skyldes, at begge optioner i så fald vil blive udøvet. Investoren vil da tjene mere på den købte call option, fordi K 1 < K, end han vil tabe på den solgte. Dermed vil dette tilfælde altid føre til gevinst for investoren. Omvendt, hvis S T K 1, vil investoren opnå tab. Tabet opstår, fordi ingen af optionerne i tilfældet, hvor S T K 1, vil blive udøvet. Så mister investoren præmien på den købte call option og tjener præmien på den solgte. Men da den købte præmie er større end den solgte, fordi K 1 < K, vil dette altid medføre et tab. K 1 K S T Figur 1.5: Bull spread. Ved at benytte en bull spread strategi opgiver investoren muligheden for at få et uendeligt højt afkast på sin option. Dette sker, fordi muligheden for afkast begrænses ved også at sælge en call option. Til gengæld opnås der en nedre grænse for, hvor stort et muligt tab maksimalt kan blive [Hull, 005] Bear spread Denne strategi anvendes, hvis det forventes, at spot price vil falde. Et bear spread kan konstrueres ved at sælge en call option med strike price K 1 og købe en call option med en højere strike price K. Denne strategi er illustreret i figur 1.6, hvor de stiplede linjer viser afkast for hver af optionerne, og den markerede sorte linje viser det samlede afkast. Det ses ud fra figuren, at der opnås maksimalt afkast, hvis S T K 1. Denne profit opnås, fordi begge call optioner ikke vil blive udøvet. Investoren mister da præmien på den købte call option, men opnår en større gevinst i præmien for den solgte call option, da K 1 < K, og dette vil altid føre til profit for investoren. Modsat opnås der størst tab, hvis S T K. Denne strategi har, ligesom ved bull spread, en øvre grænse for profit og en nedre grænse for tab [Hull, 005]. K 1 K S T Figur 1.6: Bear spread.

20 1 KAPITEL 1. OPTIONER Afrunding Der findes generelt mange andre optionsstrategier. Fælles for strategierne er, at de stræber efter at minimere risikoen for tab og øge sandsynligheden for afkast. Det kan i visse tilfælde være fordelagtigt at kombinere strategierne f.eks. et bull call spread, som har strike price K 1 og K, med et bear put spread med de samme to strike prices; denne kombination kaldes et box spread. Andre spreads opnås ved køb og salg af put og call optioner med forskellige eller samme strike price og forskellige eller samme udløbstidspunkt. Som tidligere nævnt afhænger valget af strategier af forventningerne til markedet eller optionen. 1.5 Positioner Når der investeres i optioner kan investoren have enten en risikoavers profil eller en aggressiv profil. Ens risikoafdækning eller position kan beskrives som enten naked eller covered. Naked position Der antages, at en investor sælger en call option. Hvis investoren ikke gør noget for at mindske risiko for tab, kaldes det at antage en naked position. Denne position giver gevinst for investoren, hvis spot price er under strike price efter udløbsdatoen, da køberen af call optionen ikke udøver, og investoren dermed beholder både aktivet og præmien. Hvis derimod spot price er højere end strike price, og optionen udøves, vil investoren risikere at miste penge, alt efter hvor meget spot price overstiger strike price. Covered position Der antages igen, at en investor sælger en call option. Investoren har som alternativ til naked position mulighed for at antage en covered position, for at risikoafdække sin portefølje. Denne strategi går ud på at købe samme antal aktiver som call optionen, på samme tidspunkt som optionen bliver solgt. Denne strategi kaldes buy-write, og på denne måde hedges salget af call optionen. Strategien vil gå godt for investoren, hvis optionen bliver udøvet. Hvis optionen ikke bliver udøvet, fordi spot price falder og bliver lavere end strike price, vil investoren opleve underskud. For at opnå en covered position er der flere forskellige metoder til at hedge sin portefølje, hvor delta hedging og gamma hedging er blandt de mest anvendte, som vil blive beskrevet i kapitel 6.

21 Kapitel Problemformulering Kapitel 1 har givet en grundlæggende optionsteori og beskrevet, hvordan optioner kan prisfastsættes. Det burde således nu være klart, hvorfor optioner udgør et vigtigt redskab til styring af store porteføljer og dermed også hedging af disse. Dette leder til følgende problemformulering: Hvordan kan en optionsportefølje ud fra Black-Scholes formlen hedges i diskret tid, og hvilken indflydelse har fast volatilitet på Black-Scholes modellen?.1 Afgrænsning Indledningsvist er grundlæggende optionsteori og prisfastsættelse af optioner blevet beskrevet for at danne et forståelsesgrundlag. Fra dette punkt behandles udelukkende europæiske optioner uden dividendebetaling, da Black-Scholes modellen sætter denne begrænsning. Projektet vil tage udgangspunkt i Black-Scholes modellen, hvorfor denne udledes i kapitel 3 vha. forskellige processer, der anvendes inden for finansiel matematik. Black-Scholes formlen indeholder fem parametre, som kan varieres, så i kapitel 4 vil Black-Scholes modellens følsomhed overfor disse parametre blive udledt. Ifm. hedging er det netop disse parametre der kan hedges på. Hedging er i sig selv et utroligt bredt emne. I den forbindelse afgrænses projektet derfor til at beskæftige sig med kontinuert hedging, som anvendes til Black-Scholes modellen, og diskret delta hedging, som uddybes i kapitel 6. Dette gøres af hensyn til at tre af parametrene i Black- Scholes modellen der kan hedges på, antages at være bestemte. Det gælder løbetiden, volatilitet og den risikofrie rente. Gammas afhængighed af delta gør, at når der efterfølgende opstilles en konkret model for diskret hedging, fokuseres der udelukkende på parametren delta, som samtidig er den mest anvendte i praksis. Andre store emner som eksempelvis statisk hedging udelukkes af hensyn til projektets omfang. Da optionspriser ændrer sig hele tiden i takt med investorernes forventninger og med det underliggende aktivs pris, kan historisk optionsdata være vanskeligt at fremskaffe. I flere eksempler tages der derfor udgangspunkt i et øjebliksbillede og lader den fremtidige udvikling være simuleret. Inden hedging vil volatiliteten, som beskriver en uregelmæssighed i Black-Scholes modellen vha. volatility smile og volatility surface, blive beskrevet. Dette gøres for at skabe et overblik over modellens anvendelighed og samtidig af hensyn til mulighederne for at udvide modellen. Dette kunne være ved at benytte stokastisk volatilitet eller inkludere en tidsvariabel, men dette er uden for målene for dette projekt. 13

22

23 Kapitel 3 Black-Scholes modellen De amerikanske økonomer Fischer Black og Myron Scholes udviklede i 1973 Black-Scholes modellen til matematisk beskrivelse af europæiske optioner. De modtog senere i 1997 Nobelprisen i Økonomi for værket. Modellen er grundlaget for, hvordan optioner i dag prisfastsættes. For at forstå modellen, er det vigtigt først at danne sig et matematisk grundlag herfor. Black-Scholes partielle differentialligning er baseret på Itôs lemma, hvilket vil blive udledt, ved at betragte flere forskellige processer, som bliver anvendt inden for finansiel matematik. Herefter vil Black-Scholes formel til prisfastsættelse af optioner blive udledt. Litteratur [Hull, 005, kap. 1, 13 og 14], [Hull, 011] [Luenberger, 1998, kap. 11 og 13], [Olofsson, 005, kap. ] og [Wilmott, 1998, kap. 19]. 3.1 Markov processer En Markov proces er en stokastisk proces, der opfylder den egenskab, at det kun er tilstanden i dag, der kan anvendes til bestemmelse af tilstanden i morgen. Alt historik omkring en markov proces foruden den sidste tilstand er i den forbindelse irrelevant. Markov egenskaben på aktiekurser er derfor konsistent med den svage form af et effektivt marked; dvs. at det ikke er muligt at anvende historisk data til at beregne den fremtidige kurs. Det er derfor ikke muligt at skabe et afkast over gennemsnittet ved at udnytte en længerevarende trend på aktiekurser, da denne ikke eksisterer, og på den måde kan aktiekurser opfattes som en random walk. Det er den store konkurrence om afkast på børserne, der resulterer i et svagt effektivt marked, da mange investorer vil presse prisen op, hvis en trend bliver opdaget. Dette vil ændre trenden, hvilket generelt betyder, at prisen derfor allerede indeholder alle informationer om tidligere udvikling og derfor ikke kan bevæge sig yderligere, kun pga. historik [Hull, 005]. 3. Wiener processer Wiener processen er en speciel type Markov proces med drift på 0 og varians på 1. Denne simple Wiener proces er en kontinuert stokastisk proces. Definition 3..1 En additiv proces z(t) er en Wiener proces, hvis følgende egenskaber er opfyldt: 1. For ethvert s < t er størrelsen z(t) z(s) en standardiseret normalfordelt stokastisk variabel med middelværdi 0 og varians t s.. For ethvert 0 t 1 < t t 3 < t 4 er de stokastiske variable z(t ) z(t 1 ) og z(t 4 ) z(t 3 ) ukorrelerede. 3. P (z(t 0 ) = 0) = 1. 15

24 16 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN Hvis ændringen af z(t) betragtes over en længere periode T, kan dette skrives som z(t ) z(0). Det kan opfattes som summen af små ændringer N af længden t, hvilket gør, at z kan opfattes som z = N ɛ i t, i= hvor ɛ i N (0, 1). Når t 0, bruges notationen dz = adt for at indikere, at z = a t. Når der refereres til dz som en Wiener proces, betyder det derfor, at den har egenskaberne fra definition Som det ses ud fra 3..1, er z proportional med t. Det betyder, at når t er lille, bliver t meget stor. Ud fra denne egenskab følger, at det forventede antal gange, processen z er lig med en værdi y, er uendeligt for ethvert tidsinterval t Generaliserede Wiener processer Den simple Wiener proces har en drift på 0 og en varians på 1. En drift på 0 betyder, at forventningen til en fremtidig værdi t + n er den nuværende værdi. En varians på 1 betyder, at z over et tidsinterval T højest kan være lig med T. Definition 3.. En generaliseret Wiener proces for en variabel x er givet ved hvor a og b er konstanter. dx = adt + bdz, Definition 3.. indikerer, at x har en drift på a. Hvis der ses bort fra det andet led bdz, haves at dx/dt = a. Integreret med hensyn til t fås x = x 0 + at, hvor x 0 er værdien til t = 0. Leddet dz er en Wiener proces, som har en volatilitet på 1, og derfor følger det, at Std [b] = b. Når t 0, fås det fra definition 3..1 og 3.., at x = a t + bɛ t, hvor ɛ N (0, 1). Det ses, at en generaliseret Wiener proces har en forventet drift a og varians b. I figur 3.1 er der simuleret en generaliseret Wiener proces, sammenfattet med Wiener processen. Itô processer En speciel type generaliseret Wiener proces med variabel drift og varians a og b er kendt som en Itô-proces. Definition 3..3 En Itô proces er en generaliseret Wiener proces givet ved dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz. Det ses ud fra definition 3..3, at den forventede drift og varians er afhængige af tiden t. Når t 0, er x = a(x, t) t + b(x, t)ɛ t.

25 3.3. GEOMETRISK WIENER PROCES 17 Figur 3.1: Wiener proces når t 0 [Hull, 005, p. 68]. 3.3 Geometrisk Wiener proces En generaliseret Wiener proces beskriver tilnærmelsesvis opførslen for en aktiekurs, hvor der er konstant forventet drift og konstant varians. Imidlertid er det klart, at afkastet på en aktie ikke er ens, når aktiekursen eksempelvis er 10, og når den er En konstant forventet drift er derfor utilstrækkelig til beskrivelse af en aktiekurs udvikling, men den forventede drift afhænger også af aktiekursen. Det vil sige, at S = µs t. For t 0 ds = µsdt. Ved at integrere udtrykket over tid fra 0 til T fås S T = S 0 e µt, hvor S 0 og S T er aktiekurser til forskellige tidspunkter. Processen er kontinuert, og aktiekursen vokser med en rate på µ pr. tidsenhed. En anden utilstrækkelig antagelse er, at variansen er konstant. Samme argument som med driften er gældende her; at volatiliteten er proportional med aktiekursen, og derfor opnås ds = µsdt + σsdz, hvor µ er aktiekursens forventede afkast, og σ er aktiekursens annualiserede volatilitet. Volitilitet udtrykker, hvor meget prisen på et aktiv varierer over tid. Jo mere aktivets værdi ændres, jo højere er volatiliteten. Denne proces er en geometrisk Wiener proces, hvilket er et hovedresultat inden for modeller af aktiekursers opførsel. Dette resultat fremkommer også ved at betragte en multiplikativ model, hvor skridtlængden går mod nul, hvilket ikke uddybes yderligere.

26 18 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN 3.4 Itôs lemma I dette afsnit udledes et af de vigtigste resultater inden for funktioner af stokastiske variable, kaldet Itô s lemma. Lemma (Itôs lemma) Antag, at variablen x følger en Itô proces dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz, hvor z er en Wiener proces, og væksten a og variansen b er funktioner af x og t. Funktionen F (x, t) opfylder da ligningen ( F df = x a + F t + 1 ) F x b dt + F x bdz, hvor z er den samme Wiener proces som i Det følger derfor, at F er en Itô proces med driften F x a + F t + 1 F x b, og variansen ( ) F b. x Hvis der betragtes en geometrisk Wiener proces 3.3.1, og Itô s lemma anvendes, fås ( F F df = µs + S t + 1 ) F S σ S dt + F S σsdz Dette resultat anvendes til udledning af Black-Scholes ligningen. 3.5 Black-Scholes ligningen Lad S være prisen på et underliggende aktiv, hvor prisen er reguleret af en geometrisk Wiener proces z. S er beskrevet ved ds = µsdt + σsdz, hvor t er tiden. Antag yderligere, at der findes et risikofrit aktiv med rente r. Værdien B på dette risikofrie aktiv opfylder db = rbdt Modellen bygger på antagelsen, at prisændringerne på det underliggende aktiv kan beskrives som en Itô proces. Sætning (Black-Scholes ligningen) [Luenberger, 1998] Antag, at prisen på et underliggende aktiv er reguleret af og renten r. Optionen af dette aktiv har prisen f(s, t), hvilket opfylder den partielle differentialligning f t + f S rs + 1 f S σ S = rf

27 3.5. BLACK-SCHOLES LIGNINGEN 19 Bevis Til beviset benyttes Itôs lemma på den geometriske Wiener proces. Fra 3.4. gælder, at ( f f df = µs + S t + 1 ) f S σ S dt + f S σsdz Der ønskes at definere en funktion, G(t), som udtrykker den totale værdi af en replikerende portefølje af det underliggende aktiv S og et risikofrit aktiv B. Til hvert tidspunkt t vælges en mængde x t af S og en mængde y t af B. Den totale værdi G(t) af den replikerende portefølje kan da udtrykkes ved G(t) = x t S(t) + y t B(t). Det antages, at der i Black-Scholes ligningen ikke optræder arbitrage. Ingen-arbitrage princippet indebærer, at værdien af den replikerende portefølje G(t) og værdien af optionen f(s, t) skal være ens, for at der ikke kan opstå mulighed for arbitrage. Derfor er ideen at vælge mængderne x t og y t, så G(t) = f(s, t). Ved hjælp af udvides den afledte af G fra dg = x t ds + y t db, til dg = x t (µsdt + σsdz) + y t rbdt = (x t µs + y t rb)dt + x t σsdz For at opnå G(t) = f(s, t), matches koefficienterne for med koefficienterne for 3.5.5, hvilket giver x t = f S Hvis G = f er f(s, t) = f S S + y tb, y t = 1 ( f(s, t) S f ) B S Ved at substituere og ind i fås ( f dg = S µs + 1 ( f(s, t) S f ) ) rb dt + f B S S σsdz Ovenstående koefficienter matches med koefficienterne i og der fås f S µs + 1 B ( f(s, t) S f S ) rb = f t + f S µs + 1 f S σ S rf(s, t) f f Sr = S t + 1 f S σ S rf = f t + f S rs + 1 f S σ S, hvilket slutter beviset for Black-Scholes partielle differentialligning. Black-Scholes ligning kan betragtes på to måder. Den første måde at betragte ligningen på er, at den etablerer en egenskab, der altid skal overholdes for at undgå arbitragemuligheder. Lad f(s, t) være en vilkårlig funktion, som bestemmer prisen på et aktiv. Da funktionen er vilkårlig, kan den bestemmes således, at Black-Scholes ligningen ikke er opfyldt. Hvis ikke ligningen er opfyldt, vil der forekomme arbitragemuligheder, og det vil være muligt at tjene penge risikofrit. Derfor udgør ligningen en egenskab, som altid skal holde for en options prisfunktion. En anden måde at betragte ligningen på er, at den kan blive brugt til at finde prisfunktionen til forskellige optioner.

28 0 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN Black-Scholes antagelser Black-Scholes modellen er nu blevet udledt, men hidtil er modellens antagelser ikke blevet beskrevet. Delta hedging Følgende udledning er en specificering af beviset for Black-Scholes ligningen. Det vides, at værdien af en call eller put option er bestemt ud fra flere forskellige parametre, så som værdien af det underliggende aktiv, tid til udløb, volatiliteten, driften, den risikofrie rente og strike price. Værdien af en option benævnes ved f(s, t, σ, µ, r, K, T ). Handel med call eller put optioner afhænger af forventningerne til markedet. Hvis det underliggende aktiv stiger i værdi, stiger prisen på en call option, og prisen falder på en put option. Dette svarer til en positiv hhv. negativ korrelation mellem det underliggende aktiv og en call hhv. en put option, hvilket ønskes at blive udnyttet i en portefølje bestående af optioner og det underliggende aktiv. Værdien af porteføljen er givet ved Π = V (S, t) S, hvor V (S, t) er værdien af optionerne. Her anvendes en konstant kvantitet til at betegne mængden holdt i det underliggende aktiv. kan enten være positiv eller negativ for hhv. korte og lange positioner, afhængig af om optionerne er put eller call, for at skabe negativ korrelation. Det antages, at det underliggende aktiv følger en lognormal random walk Ændringen i porteføljeværdien er givet ved Fra Itô s lemma følger det, at dv = V t Ved at substituere i fås ds = µsdt + σsdz. dπ = dv ds. dt + V S ds + 1 σ S V S dt. dπ = V V dt + t S ds + 1 σ S V dt ds. S I Black-Scholes modellen antages det, at investorer ønsker at reducere deres risiko i porteføljen dvs. at hedge deres porteføljer. Dette opnås ved at konstruere en portefølje, hvor aktiverne indbyrdes har negativ korrelation, således at når ét aktiv falder i værdi, stiger et andet. I optræder både stokastiske og deterministiske led, og for at hedge forsøges at reducere det stokastiske led til 0. I teorien kan -værdien vælges ved ( ) V S ds = V S I Black-Scholes er det antaget, at der hedges kontinuert, således at porteføljen altid er deltaneutral. Dette er imidlertidig umuligt i praksis, hvilket derfor gør antagelsen urealistisk. Denne form for hedging vil senere blive uddybet i kapitel 6.

29 3.6. BLACK-SCHOLES FORMLEN 1 Ingen arbitrage En anden vigtig antagelse for Black-Scholes modellen er, at der ikke optræder arbitrage, altså er der ikke mulighed for at opnå et risikofrit afkast højere end den risikofrie rente, hvilket stammer fra vores startantagelse For en delta hedget portefølje givet ved haves ( V dπ = t + 1 ) σ S V S dt. Denne ændring er risikofri og kan ikke være højere end den risikofrie rente. Derfor må der være opfyldt, at dπ = rπdt. Det antages yderligere, at den risikofrie rente er en kendt funktion af tiden. Ingen transaktionsomkostninger Transaktionsomkostninger besværliggør dynamisk hedging, da disse giver begrænsninger i forbindelse med hyppigheden af rebalancering. Dette skyldes, at afkastet ved rebalancering ved små ændringer udlignes af transaktionsomkostninger. Transaktionsomkostninger gør antagelsen om en kontinuert delta hedget portefølje yderligere urealistisk. Ingen dividende Dette er endnu en simplificerende antagelse i de enkelte tilfælde, hvor der bliver udbetalt dividende for aktier. I rapporten antages derfor, at aktiverne ikke betaler dividender. Fast volatilitet Det antages ydermere i Black-Scholes modellen, at volatiliteten er fast. Dette er dog i praksis ikke tilfældet. Dette emne vil blive behandlet i kapitel Black-Scholes formlen I dette afsnit udledes Black-Scholes formlen til prisfastsættelse af europæiske optioner. Sætning vil blive bevist og derefter brugt til beviset for Black-Scholes formlen. Sætning [Hull, 005] Lad V være en lognormalfordelt variabel, og lad standardafvigelsen ln V være w. Så er den forventede pris på en europæisk call option E [max{v K, 0}] = E [V ]N (d 1 ) KN (d ), hvor d 1 = E [V ]/K + w / w og d = E [V ]/K w /. w Bevis Lad g(v ) være tæthedsfunktion for V. Så fås E [max{v K, 0}] = K (V K)g(V )dv, hvor V er lognormalfordelt og ln V er normalfordelt [Olofsson, 005]. Middelværdien m af ln V er defineret ved m = ln(e [V ]) w, 3.6. hvor w er standardafvigelsen og E [ ] betegner den forventede værdi [Hull, 011]. Der defineres en ny variabel Q = ln V m, w

30 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN hvor Q N (0, 1). Tæthedsfunktionen for Q defineres som h(q) = 1 ( ) Q exp π [Olofsson, 005]. Ved at indsætte udtrykket for Q og V i fås E [max{v K, 0}] = (e Qw+m K)h(Q)dQ (ln K m)/w = e Qw+m h(q)dq K h(q)dq. (ln K m)/w (ln K m)/w Ved hjælp af fås e Qw+m h(q) = 1 ( Q ) + Qw + m exp π = 1 ( (Q w) + m + w ) exp π ( ) = em+w / (Q w) exp π ( ) m + w = exp h(q w). Da bliver til ( ) m + w E [max{v K, 0}] = exp (ln K m)/w h(q w)dq K (ln K m)/w h(q)dq N (x) defineres som sandsynligheden for, at en variabel med middelværdi 0 og varians 1 er mindre end x. Derved bliver det første integrale i [Olofsson, 005] ( ) ( ) ln K m ln K + m 1 N w = N + w. w w Ved at substituere med m fra 3.6. fås ( ln(e [V ]/K) + w ) / N = N (d 1 ). w Tilsvarende udregning gøres for det andet integrale ( ) ( ) ln K m ln K + m 1 N = N. w w Ved at substituere med m fra 3.6. fås ( ln(e [V ]/K) w ) / N = N (d ). w

31 3.6. BLACK-SCHOLES FORMLEN 3 Nu substitueres med N (d 1 ) og N (d ) i ( ) m + w E [max{v K, 0}] = exp N (d 1 ) KN (d ). ( ) Da E [V ] = exp m+w, fås hovedresultatet E [max{v K, 0}] = E [V ]N (d 1 ) KN (d ). Hermed er hovedresultatet bevist og vil nu blive brugt til at bevise Black-Scholes formlen. Sætning 3.6. (Black-Scholes formlen) [Hull, 005] Prisen på en europæisk call option C(S, t) kan bestemmes ved C(S, t) = SN (d 1 ) Ke r(t t) N (d ). Den tilsvarende put options pris udtrykkes ved P (S, t) = Ke r(t t) S + C(S, t) = (1 N (d )) Ke r(t t) S (1 N (d 1 )), hvor S er spot price, T t er tid til udløb, K er strike price, r er rente, σ er volatilitet, N er normalfordelingen og d 1 = ln(s/k) + (r + σ /)(T t) σ og d = d 1 σ T t, T t N (x) = 1 x ( ) y exp dy. π Bevis Prisen for en europæisk call option er givet ved C = e rt E [max{s T K, 0}], hvor E [ ] betegner den forventede værdi i den risikoneutrale verden. Da stock price S T er lognormalfordelt, er den forventede værdi til tiden T givet ved E [S T ] = S 0 e rt, og standardafvigelsen er σ T [Olofsson, 005]. Ved at indsætte sætning i ligning fås C = e rt (E [S T ]N (d 1 ) KN (d )) hvor og = e rt (S 0 e rt N (d 1 ) KN (d )) = S 0 N (d 1 ) Ke rt N (d ). d 1 = ln(e [S T ])/K + σ T/ σ T d = ln(e [S T ])/K) σ T/ σ T = ln(s 0/K) + (r + σ /)T σ T = ln(s 0/K) + (r σ /)T σ T.

32 4 KAPITEL 3. BLACK-SCHOLES MODELLEN Formlerne for europæiske put og call optioner er baseret på put-call pariteten (afsnit 1.), som definerer forholdet mellem to tilsvarende put og call optioner. Det er essentielt, at optionen ikke bliver udøvet før udløbsdatoen, hvorfor der udelukkende kan være tale om europæiske optioner. Eksempel I dette eksempel udregnes prisen på en europæisk call hhv. put option. Antag, at spot price er $100 og antag at strike price er $96. Udløbsdatoen er om 3 mdr. Den risikofrie rente er 9,5 % p.a. og volatiliteten er 50 %. d 1 = Prisen på call optionen findes ved ln ( ) + (0, ,5 0, 5 0, 5 ) 0, 5 d = 0, 383 0, 5 0, 5 = 0, 133, N (d 1 ) = N (0, 383) = 0, 648, N (d ) = N (0, 133) = 0, 55. = 0, 383, C(S, t) = 100 0, exp( 0, 095 0, 5) 0, 55 = $13, 05, og prisen på put optionen findes ved P (S, t) = 96 exp( 0, 095 0, 5) , 05 = $6, 80.

33 Kapitel 4 The Greeks Under anvendelse af Black-Scholes modellen er det interessant at observere optionsværdiens følsomhed over for ændringer i parametrene i modellen, f.eks. ændringer i det underliggende aktivs værdi, volatilitet, løbetid osv. Dette svarer til at vurdere risikoen for udsving i en portefølje, hvilket giver anledning til the greeks, som er afledte af Black-Scholes formlen. The greeks kan benyttes ved hedging af optioner og er vigtige værktøjer til at vurdere risici for en portefølje. I dette kapitel gennemgås og udledes de mest relevante typer af greeks. Der arbejdes kun med lange positioner. Litteratur [Wilmott, 1998, kap. 5 og 7] og [Lee, 010, kap. 33]. 4.1 Delta I udregning af Delta, og resten af the greeks, bruges V BS, hvilket er værdien af en option ud fra Black-Scholes modellen. V BS afhænger af, hvilken slags option der er tale om, og i kommende udregninger bruges Black-Scholes formel for henholdsvis call, 3.6.6, og put, optioners værdier. Definition Delta af en optionsportefølje er optionsværdiens følsomhed over for ændringen i værdien på det underliggende aktiv. Delta er givet ved = V BS S. Delta er den mest benyttede parameter, da det ud fra optionsbegrebet fremgår, at optionsværdien må påvirkes af det underliggende aktivs værdi. Men da værdien på det underliggende aktiv varierer over tid, ændrer delta-værdien sig tilsvarende, hvilket gør delta-begrebet dynamisk. I dette afsnit udledes delta, for hhv. en europæisk call- og put option uden dividende. Disse to tilfælde vil gå igen for de resterende greeks for at muliggøre en sammenligning og forståelse for parametrenes betydning for optionens værdi. Proposition 4.1. (Delta call) for en europæisk call option uden dividende er givet ved C = C(S, t) S = N (d 1 ) Bevis Vi ved fra 3.6.6, at værdien af europæiske call optioner er givet ved C(S, t) = SN (d 1 ) Ke r(t t) N (d ), hvor 5

34 6 KAPITEL 4. THE GREEKS d 1 = ln(s/k) + (r + σ /)(T t) σ T t d = ln(s/k) + (r σ /)(T t) σ = d 1 σ T t. T t N er den standardiserede normalfordeling, som er givet ved N (x) = 1 π x ( ) y exp dy. Når udtrykket i differentieres med hensyn til S fås følgende ligning C(S, t) C = S = S S N (d 1) + S N (d 1) S =N (d 1 ) + S d 1 S De fire differentialer i 4.1. udregnes Ke r(t t) N (d ) S N (d 1 ) Ke r(t t) d d 1 S N (d ) d d S = (d 1 σ T t) S N (d 1 ) d 1 = 1 N (d ) d = 1 = d 1 S, ( ) d exp 1, π ( ) d exp π ( (d1 σ T t) ) = 1 π exp = 1 ( exp d 1 π + σ (T t) = 1 ( exp d 1 π + σ = 1 ( exp d 1 π Differentialerne indsættes i 4.1. C =N (d 1 ) + S d 1 S =N (d 1 ) + S d 1 S =N (d 1 ), (T t) + ln ) S K er(t t). ( 1 d exp 1 π ( 1 d exp 1 π + d 1 σ ) T t ( ) ) S + r(t t) σ (T t) K ) Ke r(t t) d 1 S ) S d 1 S 1 π exp ( 1 exp d 1 π ( ) d 1 ) S t) er(t K hvilket opfylder Normalfordelingen antager værdier fra 0 til 1, og resultatet C = N(d 1 ) giver derfor en positiv sammenhæng mellem call optionens værdi og det underliggende aktivs værdi. Dermed vil værdien på en call option stige ved en stigning af det underliggende aktivs værdi, og vice versa. Derfor er

35 4.. GAMMA 7 call optionens værdi størst, når det underliggende aktiv har høj værdi (er i pengene), og lavest, når det er ude af pengene. Det er ligeledes muligt at udregne delta for europæiske put optioner, hvilket gøres i følgende proposition. Denne formel vil blive anvendt til udledning af de andre greeks for put optioner. Proposition (Delta put) for en europæisk put option uden dividende er givet ved P = P (S, t) S = N (d 1 ) Bevis Der tages udgangspunkt i Black-Scholes formel for værdi af europæiske put optioner fra P (S, t) = C(S, t) + Ke r(t t) S. Ovenstående ligning differentieres mht. S P (S, t) P = S C(S, t) = + S =N (d 1 ) 1. Ke r(t t) S S S Det ses, at er opfyldt. Resultatet P = N (d 1 ) 1 er strengt negativt, hvilket betyder, at en put option falder i værdi, når det underliggende aktiv stiger i værdi, og vice versa. Dette betyder, at en put option er i pengene, når det underliggende aktiv har lav værdi. Omvendt er put optionen ude af pengene, når det underliggende aktiv har høj værdi. 4. Gamma Da delta varierer ved ændringer i det underliggende aktiv, giver dette anledning til at beskrive forholdet mellem delta og det underliggende aktiv. Denne sammenhæng beskrives ved en ny greek, kaldet Gamma. Definition 4..1 Gamma for en optionsportefølje er den andenordens afledte i forhold til det underliggende aktiv, eller deltas følsomhed over for ændringer i det underliggende aktiv. Γ = V BS S = S. Proposition 4.. (Gamma call) Γ for en europæisk call option uden dividende er givet ved Γ C = C S = 1 Sσ T t N (d 1 ). Bevis Vi ved fra tidligere at C = N (d 1 ). Derudfra opstilles ligningen Γ C = N (d 1) S = d 1 S N (d 1 ). 4..1

36 8 KAPITEL 4. THE GREEKS d 1 differentieres mht. S Dette indsættes i 4..1 hvilket fuldender beviset. d 1 S = 1 σ ln(s/k) = T t S Γ C = 1 Sσ T t N (d 1 ), 1 Sσ T t. Proposition 4..3 (Gamma put) Γ for en europæisk put option uden dividende er givet ved Γ P = P S = 1 Sσ T t N (d 1 ). 4.. Bevis Fra har vi P = N (d 1 ) 1. Når dette differentieres, fås at Γ P = N (d 1) 1 = N (d 1) S S 1 = Sσ T t N (d 1 ), = C S hvilket opfylder 4... Da N (d 1 ), S, T t og σ er positive, bliver Γ positiv for både en put og call option, hvilke desuden er ens. Dette betyder at Γ er proportional med det underliggende aktiv, både for put og call optioner. 4.3 Theta Definition Theta for en optionsportefølje er ændringen i optionsprisen til tiden. Θ = V BS. t Proposition 4.3. (Theta call) Θ for en europæisk call option uden dividende er givet ved Θ C = C(S, t) t = Sσ T t N (d 1 ) rke r(t t) N (d ). Bevis Der tages igen udgangspunkt i Black-Scholes formlen for call optioner, og denne differentieres med hensyn til t. ( ) Θ C =S d 1 N (d 1 ) e r(t t) K N (d ) + Ke r(t t) d N (d ) t d 1 t t d =S d ( ) 1 1 exp d 1 Kre r(t t) N (d ) S d ( ) 1 exp d 1. t π t π d afledes med hensyn til t d t = (d 1 σ T t) t = d 1 t + σ T t.

37 4.4. VEGA 9 Ovenstående sættes ind i Θ C =S d 1 t ( ) 1 exp d 1 Kre r(t t) N (d ) S π = Kre r(t t) σ N (d ) S 1 exp T t π = Sσ T t N (d 1 ) Kre r(t t) N (d ), ( d 1 ( d1 t + σ T t ) ) ( ) 1 exp d 1 π hvilket fuldender beviset. Parametrene i formlen for Θ C er alle strengt positive og begge led har negativt fortegn, så derfor er fortegnet på Θ C negativt. En call option er mere værd, når der er lang tid til udløb, hvilket stemmer overens med figur 1. Proposition (Theta put) Θ for en europæisk put option uden dividende er givet ved Θ P = P (S, t) t = Sσ T t N (d 1 ) + rke r(t t) N ( d ) Bevis Ligningen for put optioner udledt i differentieres mht. til t C(S, t) Θ P = + S [ t t t = Sσ ] T t N (d 1 ) Kre r(t t) N (d ) Ke r(t t) r(t t) + rke = Sσ T t N (d 1 ) + rke r(t t) N ( d ), hvilket opfylder Parametrene er også her strengt positive, dog er det første led negativt og den andet led positivt, så fortegnet på Θ P afhænger af leddenes størrelse. 4.4 Vega Blandt en af de mere usikre parametre i Black-Scholes formlen findes volatilitet, som, på trods af at den i realiteten ikke er det, antages at være fast. Problemer med estimering opstår, fordi parameteren skal udtrykke volatiliteten inden for optionens fremtidige løbetid, men da denne er ukendt, anvendes oftest den historiske udvikling. Dette giver anledning til fejl i formlen. Definition Vega til en optionsportefølje er optionsprisens følsomhed over for volatilitet ν = V BS σ. Grundet volatilitetens usikkerhed er vega en meget vigtig greek, men på grund af Black-Scholes formlens antagelse om en fast volatilitet, kan fortolkningen af parameteren være forvirrende. Vega anvendes derfor til at beskrive, hvor følsom optionsprisen er over for den estimerede volatilitet, fremfor ændringer i volatiliteten.

38 30 KAPITEL 4. THE GREEKS Proposition 4.4. (Vega call) ν for en europæisk call option uden dividende er givet ved ν C = C(S, t) σ = S T tn (d 1 ). Bevis Black-Scholes formlen for call optioner differentieres mht. σ ν C = S d 1 σ N (d 1 ) Ke r(t t) d N (d ). d 1 σ d De afledede af d mht. σ d σ = (d 1 σ T t) σ = d 1 σ T t. Dette indsættes i sammen med værdierne udregnet i og ν C =S d 1 σ = S T t π ( 1 exp d 1 π ( exp d 1 =S T tn (d 1 ). ) ) S 1 ( exp d 1 π ) ( d1 σ ) T t Proposition (Vega put) ν for en europæisk put option uden dividende er givet ved ν P = P (S, t) σ = S T tn (d 1 ) Bevis Ligningenen for put optioner fra differentieres C(S, t) ν P = + σ σ =S T tn (d 1 ). Ke r(t t) S σ = C(S, t) σ Dermed er 4.4. opfyldt. Vega vurderes til at være positiv pga. parametrene i 4.4.3, hvilket gælder for både put og call optioner, da udtrykkene er ens. Der skelnes ikke mellem put eller call optioner, da volatiliteten kun beskriver, hvor meget det underliggende aktivs værdi svinger, men ikke i hvilken retning der svinger. En høj volatilitet giver store udsving i værdien på det underliggende aktiv. Hvorimod en lavere volatilitet giver mindre udsving i det underliggende aktivs værdi. En højere volatilitet giver dermed større sandsynlighed for, at værdien på det underliggende aktiv ændrer sig i en fordelagtig retning.

39 4.5. RHO Rho Den sidste greek, som vil blive beskrevet, er rho. Rho beskriver forholdet mellem renten og optionsprisen og estimerer, hvor meget optionsprisen vil ændres, når renten ændres. I Black- Scholes modellen antages renten, ligesom volatiliteten, at være fast inden for optionens løbetid. Definition Rho for en optionsportefølje er optionsværdiens følsomhed over for renten anvendt i Black-Scholes modellen ρ = V BS r. Proposition 4.5. (Rho call) ρ for en europæisk call option uden dividende er givet ved ρ C = C(S, t) r = K(T t)e r(t t) N (d ). Bevis Formlen for call optioner differentieres mht. r ρ C = S d 1 r N (d 1 ) d 1 ( K( (T t))e r(t t) N (d ) + Ke r(t t) d r ) N (d ). d d afledes mht. r d r = (d 1 σ T t) = d 1 r r. Ovenstående udregning samt differentialerne fra og indsættes i ρ C =S d ( ) 1 1 exp d 1 + K(T t)e r(t t) N (d ) S d ( ) 1 1 exp d 1 r π r π =K(T t)e r(t t) N (d ). Det ses, at ρ C kun har positive indgange, og derfor selv er positiv. Dette betyder, at prisen på en call option stiger, når den risikofrie rente stiger. Forklaringen for dette følger for alternativet til call optioner: Hvis en investor forventer en stigning i et givet aktivs kurs, er der to muligheder for at drage fordel af denne eventuelle stigning. Enten kan investoren vælge, at købe en call option på aktivet eller købe selve aktivet. Det er klart, at køb af selve aktivet er markant dyrere end køb af en option på aktivet. Der vil i tilfælde af køb af call optionen derfor være et overskydende beløb, som kan investeres i et risikofrit aktiv. Det er derfor nødvendigt at inddrage afkastet på det risikofrie aktiv, når værdien af call optionen udregnes. Hvis renten på det risikofrie aktiv stiger, vil det for investoren blive mere attraktivt at købe call optionen, da han vil kunne opnå stigning i afkast på det risikofrie aktiv. Dette vil medføre en stigning i call optionens pris, da en investering i call optionen vil være mere attraktiv end at investere i selve aktivet. Proposition (Rho Put) ρ for en europæisk put option uden dividende er givet ved ρ P = P (S, t) r = K(T t)e r(t t) N ( d ). 4.5.

40 3 KAPITEL 4. THE GREEKS Bevis differentieres med hensyn til r C(S, t) ρ P = + S r r r =K(T t)e r(t t) N (d ) K(T t)e Ke r(t t) = K(T t)e r(t t) N ( d ), r(t t) hvilket opfylder ρ P har ligesom ρ C kun positive indgange, men ρ P har negativt fortegn, hvilket betyder, at der er en negativ relation melllem prisen på en put option og den risikofrie rente. En forklaring af alternativet til en put option er nødvendig til at nå forståelse af denne relation. En investor, som ejer et aktiv, men frygter et fald i aktivets værdi har to muligheder; enten forsøge at inddække sine risici ved køb af en put option, eller simpelthen at sælge aktivet. Hvis aktivet sælges, vil investoren have et disponibelt beløb, som kan investeres i et risikofrit aktiv. Det skal derfor inddrages i værdien af en put option, at investoren ikke får mulighed for at tjene på det risikofrie aktiv, hvis put optionen vælges. Jo højere den risikofri rente er, desto større er det afkast, som investoren kan opnå ved salg af aktivet, hvilket gør put optionen mindre attraktiv for investoren. Dette medfører et fald i put optionens værdi. 4.6 Opsummering I dette kapitel udledtes de vigtigste afledte parametre i en prisfastsættelsesmodel for optioner. Disse parametres fortegn kan opsummeres for call optioner = C S > 0, Γ = C S > 0, Θ = C t < 0, ν = C σ > 0, ρ = C r > 0. Γ, ν og ρ har samme fortegn for put optioner. for put optioner ændrer derimod fortegn, og der fås P = C/ S < 0. For put optioner er fortegnet for Θ usikkert. Black-Scholes formlen har generelt visse mangler, da de anvendte parametre i de fleste tilfælde kun kan estimeres ex post og derfor ikke kan bestemmes for fremtidige tidspunkter. Da renten er variabel, kan det give anledning til fejl i estimeringen. Ændringer i renten vil kunne resultere i rentehop, som kan ødelægge fundamentet for modellens anvendelighed. For at undgå estimeringsfejl kan man estimere et best and worst case for de underliggende parametre og anvende intervallet på Black-Scholes formlen. Dette vil resultere i et interval, inden for hvilket optionsværdien med stor sandsynlighed befinder sig. The greeks er et vigtigt redskab i forbindelse med risikostyring. Hver greek måler følsomheden af en parameter i Black-Scholes formlen, hvilke derfor bruges til at hedge. Den mest anvendte greek, der benyttes til hedging er delta, hvorefter gamma er nummer to. Delta hedging omhandler risikoafdækning af ændringer i optionsværdien som følge af ændringer af spot price. Gamma beskriver deltas følsomhed over for ændringer i prisen på det underliggende aktiv, og er derfor vigtig, da den korrigerer for udsving af værdien i forhold til delta. Vega omhandler optionsprisens følsomhed over for volatilitet og kan være en vigtig greek for investorer, idet værdien af en option også afhænger af ændringer i volatiliteten. Rho beskriver optionsværdiens følsomhed over for ændringer i renten, men da renten som oftest ikke ændrer sig markant, er rho hedging sjældent anvendt. Theta beskriver ændringen i optionsprisen til tiden og er ikke særlig nyttig for individuelle optioner, men den kan anvendes til at vurdere ændringer i værdien af en portefølje. I følgende eksempel udregnes the greeks for både call og put optioner. I kapitel 6 beskrives praktisk hedging, især delta og gamma hedging.

41 4.6. OPSUMMERING 33 Eksempel I figur 4.1 er de forskellige greeks for call optioner illustreret. Strike price fastholdes til K = 50, og løbetid og spot price varieres. Figurerne bekræfter fortegnene på parametrene. Det ses ligeledes, at delta, gamma, theta og vega er særligt følsomme lige ved OTM-situationer (på pengene). Figur 4.1(e) viser, at en option er mindst følsom over for ændring i renten og kun gør udslag i ekstreme situationer, hvorfor rho også er den mindst benyttede greek. Select a Black-Scloles Greek then press a plot button Γ = C S : Gamma for a European Call Strike K = Time to Maturity T (år) 0 0 Spot Price S 0 Time to Maturity T (år) 0 0 Spot Price S 0 (a) Delta = C. S Θ = C t : Thetafor aeuropeancall Strike K =50 (b) Gamma Γ = C. S ν = C σ : Vegafor aeuropeancall StrikeK= Time to Maturity T (år) 0 0 Spot Price S 0 Time to Maturity T (år) 0 0 Spot Price S 0 (c) Theta Θ = C (d) Vega ν = C. t ρ = C r : Rho for a European Call Strike K =50 σ Time to Maturity T (år) 0 0 Spot Price S 0 (e) Rho ρ = C r. Figur 4.1: The greeks illustreret med K = 50.

42

43 Kapitel 5 Volatilitet Volatilitet er en interessant egenskab ved optioner, da den beskriver optionsprisens tilbøjelighed til at afvige fra gennemsnittet i en given periode. I afsnit 4.4 blev volatiliteten introduceret som hedgeparameter, vega, men da en høj volatilitet giver større sandsynlighed for at slutte i pengene end en option med lav volatilitet, er volatilitet en besværlig parameter at hedge på. Ved at sælge en option med lav volatilitet og købe en option med høj volatilitet, vil der derfor være størst sandsynlighed for at slutte i pengene, og prisen af sådanne optioner vil derfor være tilsvarende høj. En af Black-Scholes antagelser gik på en fast volatilitet, og derfor vil vega ikke ændre sig i løbet af løbetiden. Dette er i praksis ikke realistisk, og derfor vil denne antagelse blive undersøgt i dette kapitel. Ifm. en fast volatilitet opstår problemet med at estimere denne. Estimering kan foretages enten ved historisk volatilitet eller implied volatility. Den historiske volatilitet er baseret på, hvordan optionen er blevet handlet i fortiden, og beskriver, hvordan priserne på det underliggende aktiv har ændret sig. Den historiske volatilitet kan anvendes til at forecaste, men da volatiliteten er meget volatil, er der stor usikkerhed i resultatet. Implied volatility kan opfattes som forventningen til fremtidig volatilitet, baseret på de nuværende priser. Derfor er implied volatility mere relevant at betragte for en investor, fordi det er den fremtidige udvikling, der afgør rentabiliteten af en option. Litteratur [Hull, 005, kap. 16], [Wilmott, 1998, kap. ] og [Turner, 1999]. 5.1 Implied volatility og volatility smile Som udgangspunkt anvender Black-Scholes modellen en fast volatilitet til prisfastsættelse af optioner. Hvis der antages, at modellen er realistisk, er sandsynligheden for aktivets pris lognormalfordelt. Dette giver imidlertid ikke altid en korrekt empirisk sammenhæng, og man lader derfor volatiliteten afhænge af strike price og tid til udløb; dette kaldes implied volatility. I Black-Scholes formlen opfattes volatiliteten samt de andre parametre som værende givet, og ud fra disse er prisen på optionen beregnet. Implied volatility er således den volatilitet, som giver markedsprisen på optionen, når den indsættes i formlen, hvilket vil sige, at den er empirisk bestemt. Værdien af en europæisk call option kan iflg. Black-Scholes formlen, jf. sætning 3.6., bestemmes ved C(S, t) = SN (d 1 ) Ke r(t t) N (d ), hvor d 1 = ln(s/k) + (r + σ /)(T t) σ T t og d = ln(s/k) + (r σ /)(T t) σ. T t 35

44 36 KAPITEL 5. VOLATILITET Hvis alle parametre og variable er kendt, kan σ bestemmes, da volatiliteten antages at være fast i modellen. Hvis følgende er opfyldt max{s K r(t t), 0} < C < S, findes der præcis ét σ, der opfylder ligningen C BS = C mkt. Der findes ingen analytisk løsning til Black-Scholes mht. σ. Man er således nødt til at prøve sig frem eller benytte numeriske løsningsmetoder som f.eks. Newton-Raphson s metode eller bisektionsmetoden [Turner, 1999]. Når implied volatility plottes som funktion af strike price, fremkommer det såkaldte volatility smile (se figur 5.1). Dette sker, fordi volatiliteten generelt er højere i pengene og ude af penge end på pengene, og derfor kan volatility smile beskrive en defekt ved Black-Scholes modellen. Figur 5.1: Volatility smile. Figur 5.1 viser en asymmetrisk udgave af volatility smile, men ved forskellige finansielle aktiver opfører volatility smile sig forskelligt. For aktieoptioner falder volatiliteten, når strike price stiger, og der er derfor tale om en aftagende funktion, der ofte kaldes volatility skew. En mulig forklaring på, hvorfor smilet ser sådan ud for aktieoptioner, er gearing 1. Hvis en virksomheds aktie falder i værdi, falder aktiekapitalen, og gearingen øges derfor. Med en højere gearing, bliver investorerne udsikre på aktien, hvilket gør aktiens værdi mere volatil. Ligeledes falder gearingen, og derfor volatiliteten, når aktiens værdi stiger. Den risikoneutrale fordelingsfunktion for et aktivs pris på en fremtidigt tidspunkt kan bestemmes ved hjælp af volatility smile, kaldet implied fordeling. På figur 5. er fordelingsfunktionen for implied volatility og den lognormale fordelingsfunktion, hvor de har samme middelværdi og standard afvigelse, illustreret. Det ses, at mindre og større udsving har større sandsynlighed ved implied fordeling end ved lognormal fordeling. 1 Gearing fortæller, hvor stor del af en portefølje der er finansieret igennem lån, og som derfor er risiko på.

45 5.1. IMPLIED VOLATILITY OG VOLATILITY SMILE 37 Figur 5.: Illustration af den lognormale fordelingsfunktion og implied volatility fordelingsfunktion [Wilmott, 1998]. I eksempel anvendes empirisk data fra Microsoft optionen til at udfærdige et volatility smile. Eksempel Betragt Microsoft optionen fra appendiks B, og lad dags dato være 1/05/011. Spot prisen er 5,67 og den risikofrie rente fås fra en 4 week T-Bill som er 0,04 % p.a. Det er antaget, at optionen er uden dividende. I tabel 5.1 er implied volatility udregnet for call og put optioner. Strike Expiry Call DtM IVol (%) Strike Expiry Call DtM IVol (%) 0,00 Jan 13 6, ,46 5,00 Okt 11 1, ,1 1,00 Jun 11 4, ,61 5,00 Jan 1 1, ,99 1,00 Jul 11 4, ,71 5,00 Jan 13 3, ,93 1,00 Okt 11 4, ,74 6,00 Maj 11 0,01 9 6,0 3,00 Okt 11, ,66 6,00 Maj 11 0,04 9 9,33 4,00 Okt 11, ,38 6,00 Jun 11 0,7 37 1,61 4,00 Jan 1, ,38 6,00 Jul 11 0, ,73 5,00 Jun 11 0, ,11 6,00 Aug 11 0, ,58 5,00 Jul 11 0, ,37 6,00 Okt 11 1, ,81 5,00 Aug 11 1, ,90 6,00 Jan 1 1, ,94 Tabel 5.1: Udsnit af data for Microsoft optionen. Når strike price plottes mod implied volatility, fremkommer det karakteristiske smil for hver løbetid, som ses i figur Farverne på linjerne repræsenterer hver sin løbetid, hvor rød har kortest løbetid, maj 011, og lilla har den længste, jan 013. Der er en tendens til, at jo længere løbetid er, jo fladere er smilet. Figur 5.3: Volatility smiles for Microsoft optionen.

46 38 KAPITEL 5. VOLATILITET Volatilitetsflader Volatilitetsflader er en videreudvikling af volatility smile. I afsnit 5.1 blev det forklaret, at volatiliteten både afhænger af strike price og tid. For volatility smile er det således nødvendigt at indføre en tidsdimension, også kaldet volatility term structure, for at danne sig et komplet billede af implied volatility. For optioner med forskellig udløbstidspunkt kan det observeres, at volatiliteten er høj ved præsentation af årsregnskaber mv. Ligeledes ses det, at volatiliteten er høj lige inden nyheden, og falder kort efter, når spot price har absorberet selskabsmeddelelsen. Investorer bruger derfor volatilitetsfladen til at danne sig et overblik over fremtidige forventede udsving i optionens volatilitet. Desuden anvendes rentestrukturen til at beskrive forventningerne til fremtidig volatilitet. Hvis volatiliteten er lav i en kort tidshorisont, vil der være forventninger til, at volatiliteten vil stige, og derfor er volatiliteten en positiv funktion af tiden. Omvendt, hvis volatiliteten er høj i en kort tidshorisont, vil volatiliteten være aftagende med tiden. Eksempel 5.1. I dette eksempel anvendes samme materiale som fra eksempel til at udfærdige en volatilitetsflade. I dette eksempel inkluderes term structure fra appendiks B for at danne en flade. Når implied volatility plottes mod strike price og term structure, fremkommer volatilitetsfladen for optionen. Dette er illustreret i figur 5.4. Figuren anvender de forskellige løbetider fra figur til at tilknytte en tidsdimension, således at volatilitetssmilet bliver tredimensionelt. Pga. forskelligheden i antallet af observationer, er det ikke muligt at forbinde smilene for alle løbetider. Figur 5.4: Volatilitetsflade for Microsoft optionen.

47 Kapitel 6 Hedging Hedging blev kort introduceret i kapitel 4, og det blev vist, hvordan optionen påvirkes af følsomheden af de forskellige parametre. I dette kapitel uddybes begrebet hedging. Hedging er en proces til at afdække finansielle risici og dermed reducere et muligt tab, som kan opstå i forbindelse med investeringer som følge af f.eks. prisændringer eller valutakursændringer. Formålet med hedging er ikke at forbedre, men at sikre resultatet. I dagligdagen kendes hedging fra eksempelvis forsikringer, hvor der kan købes beskyttelse mod tab f.eks. i forbindelse med brand eller indbrud i boligen. Der findes flere måder at hedge på; at købe eller sælge futures, optioner og swaps er blot nogle af disse. I det finansielle marked bliver hedging mere kompliceret end blot at benytte sig af et forsikringsselskab, da risici for tab aldrig kan elimineres helt. Her kan der som tidligere nævnt hedges vha. the greeks for at minimere et potentielt tab. Litteratur [Bellalah, 009, kap. 11], [Hull, 005, kap. 15], [Luenberger, 1998, kap. 13], [Optiontradingpedia, 011] og [Wilmott, 1998, kap. 0]. 6.1 Delta hedging Som tidligere nævnt beskriver delta optionens prisfølsomhed over for det underliggende aktivs pris S. Delta hedging er således en strategi, som reducerer risici for tab som følge af prisændringer i S. Delta neutral er et udtryk for en portefølje, hvor summen af deltaerne i porteføljen er lig 0. I en delta neutral portefølje forbliver porteføljeværdien uændret ved små ændringer i S. Eksempel (Delta hedging) Her eksemplificeres en delta neutral portefølje med udgangspunkt i en Microsoft option. Porteføljen skal efterfølgende rebalanceres kontinuert. Betragt dataene fra appendiks B. Lad S = 5, 67, K = 0, C = $6, 10, r = 0, 04 % p.a., σ = 18, 46 % og T t = Ved hjælp af udregnes delta til ( ) ( ) = N ln 5, , , = 0, , En investor har solgt 0 call optioner, som giver retten til at købe 000 aktiver. Investoren kan hedge sin position ved at købe 0, = 1754 aktiver. Afkastet på optionerne vil udlignes af tabet på de nyindkøbte aktiver og vice versa. Antag eksempelvis, at S stiger med $1. I så fald fås et afkast svarende til de 1754 nyindkøbte aktiver. Da vil optionsprisen ligeledes stige med $1 0, 877, hvilket medfører et tab på $000 0, 877 = Hvis S derimod falder med $1, vil investoren tabe på de 1754 nyindkøbte aktiver, men få gevinst på optionerne. 39

48 40 KAPITEL 6. HEDGING I dette tilfælde er delta af investorens option 0, 877 ( 000) = Investoren taber altså 1754 S på optionen, når S øges med S. Delta for de købte 1754 aktiver er Investorens samlede delta værdi er derfor 0 og er dermed delta neutral. Da delta hele tiden ændrer sig, forbliver en investors position derfor kun delta hedget i en kort periode. Hedgen skal derfor rebalanceres periodisk, hvilket foregår ved dynamisk hedging. Hvis der ikke hedges løbende og kun hedges én gang på baggrund af andre aktiver/optioner, kaldes dette statisk hedging. Eksempel 6.1. (Delta hedging) Eksempel fortsat. Det antages, at S øges til $8, 98, så øges delta fra 0, 877 til 0, 95. Investoren skal nu købe 0, = 150 aktiver mere for at opretholde hedgen. Dette er et eksempel på dynamisk hedging, hvor det er vigtigt løbende at følge op på spot prisen og den dermed ændrede delta værdi. Det følger af eksempel 6.1., at jo større ændring i delta værdien, jo større rebalancering kræver det i den delta hedgede portefølje. Det kritiske tidspunkt i delta hedging optræder, hvis spot prisen pludseligt ændrer sig markant, og investoren derfor ikke har tid til at rebalancere. Dermed kan der opstå risiko for et muligt tab. For at undgå en sådan situation hedges for ændringer i delta og for at opretholde den delta neutrale situation; dette kaldes gamma hedging. 6. Gamma hedging Gamma beskriver deltas følsomhed over for ændringer i prisen på det underliggende aktiv og er derfor et mål for, hvor ofte og hvor meget en position skal rebalanceres for at opretholde den delta neutrale position. Formålet med gamma hedging er at reducere, hvor ofte der skal rebalanceres, for på denne måde samtidigt at reducere omkostningerne forbundet med rehedging. Ved en gamma hedging ønskes det at opnå eller i hvert fald at tilnærme sig en gamma neutral position, så Γ = 0. En gamma neutral position medfører derfor, at delta værdien ikke ændres. Gamma hedging er ligesom delta hedging en dynamisk hedge og kræver ligeledes løbende rebalancering; især hvis der forekommer større udsving i spot price. Hvis der opstår virkelig store ændringer i spot price, dækker gamma hedging dog ikke nødvendigvis et potentielt tab, idet gamma også ændres tilsvarende prisen på det underliggende aktiv. Gamma hedging kræver dog ikke så ofte rebalancering, som en ren delta hedget portefølje gør. Derimod er gamma hedging mere kompliceret end delta hedging, da gamma hedging kræver, at der holdes overblik over både delta og gamma for det enkelte aktiv. Ved gamma hedging købes/sælges ikke kun aktiver, men også optioner i rebalanceringen. Fremgangsmåden i gamma hedging er først at finde gamma for hver option. Derefter vurderes, hvor mange optioner der hhv. skal sælges eller købes. For at finde det antal optioner, der skal købes, udregnes gamma for optionen, der sælges, og multipliceres med 100. Ligeledes for at finde det antal optioner, der skal sælges, udregnes gamma for optionen, der købes, og multipliceres med 100. Eksempel 6..1 (Gamma hedging) Her eksemplificeres en gamma hedge på samme materiale anvendt til eksempel Betragt Microsoft optionen fra appendiks B. I dette eksempel hedges med køb og salg af optioner, i modsætning til delta hedging, hvor der blev købt eller solgt aktiver for at hedge porteføljen. Antag, at en investor har en portefølje, der består af $0 call optioner A med gamma på 1 Γ = 5, 67 0, , = 0, 0394,

49 6.3. DISKRET HEDGING 41 og $5 call optioner B med gamma på Γ = 1 5, 67 0, , = 0, Investoren vil sælge B og købe A for at hedge sin portefølje og forsøge at opnå Γ = 0. Investoren skal da købe 0, = 16, 97 optioner med Γ = 0, 0394, hvilket giver en samlet gammaværdi på 16, , 0394 = 55, 9. Der skal sælges 0, = 3, 94 optioner med gamma på 0, 01697, hvilket giver en samlet gamma værdi på 3, ( 0, 01697) = 55, 9. Dette giver en total gamma på 55, 9 55, 9 = 0. Den mest anvendte af disse er delta hedging, idet det er sværere at opnå gamma neutral end delta neutral. 6.3 Diskret hedging Ifm. Black-Scholes antages det, at der delta hedges kontinuert igennem hele optionens løbetid. Dette er som nævnt i kapitel 3 umuligt, og derfor fokuseres der på diskret hedging i dette afsnit. Dette giver samtidig mulighed for afvigelser i hedgen, da en perfekt hedge ikke kan opnås. For at danne et grundlag for forståelsen af diskret hedging opstilles en simpel model for diskret delta hedging Delta hedging - en grundmodel Implied volatility udregnes som i afsnit 5.1 vha. Black-Scholes formlen for optionen, som anvendes til hedgen. I Black-Scholes modellen antages volatiliteten at være fast, og derfor ændres denne ikke over tid. Dette vil sige, at der bruges samme volatilitet ved hver rehedge. Optionsprisen udregnes til hvert tidspunkt vha. Black-Scholes formlen. Til at beregne Black-Scholes værdien på en option anvendes optionspræmie, volatilitet, spot price, strike price, løbetid og risikofri rente. Ved hver rehedge anvendes den nye spot price, og der udregnes tid til udløb, optionsværdi ved Black-Scholes og delta. Rehedgen består så i at rebalancere porteføljen, således at den er delta neutral, ved at købe eller sælge det underliggende aktiv [Wilmott, 1998]. Eksempel I dette eksempel antages en investor at eje et aktiv, og for at risikoafdække sit aktiv køber investoren en call option til aktivet og sælger en del af aktivet. Delta, som er udregnet i afsnit 4.1, betegner her den mængde af aktivet, investor sælger. Det disponible beløb efter salg af S og køb af optionen sættes i et risikofrit aktiv. Der hedges i diskret tid, i alt 100 gange i optionens løbetid, og dermed fås en simpel diskret model til delta hedging. Eksemplet er udført ud fra fiktivt data på en call option og et underliggende aktiv med startværdierne S 0 = 100, K = 100, µ = 0, 1, σ = 0,, T = 1 og r = 5 %. Optionsprisen udregnes vha. Black-Scholes formlen til at være C 0 = 10, 45. Spot price simuleres i Excel ud fra driften, volatiliteten, tidsskridtet og ( 1 1 RAND() 6), hvor RAND() er et tilfældigt genereret tal mellem 0 og 1 med middelværdi 0,5. Dette betyder, at der i alt fås et tal, der ligger omkring 0, og som både kan være positivt eller negativt. Der opstilles et regneark med kolonnerne beskrevet i tabel 6.1. Et kort udsnit af regnearket kan ses i tabel 6.. Hedging error beskriver forskellen mellem den replikerende porteføljes værdi og det underliggende aktivs værdi. Det underliggende aktivs værdi er udregnet fra Black-Scholes, som antages at være kontinuert delta hedget. Hedging error er derfor også forskellen mellem resultatet fra diskret og kontinuert delta hedging. Jo bedre hedgen er, jo tættere er hedging error på 0. Ved hver rehedge optræder en hedging error.

50 4 KAPITEL 6. HEDGING Tid t δt = 0, 01 (tidsskridt) Spot price S(t) S(t 1)(1 + drift r + σ δt( 1 1 RAND() 6)) ln(s(t)/k) + (r + 1/σ )(T t) d 1 (t) σ/ T t (t) N ( d1(t) ) Optionspris C(t) S(t) (t) Ke r(σ t) N ( d 1 (t) σ T t ) Cashflow cf(t) S(t) ( (t 1) (t) ) Balance B(t) B(t 1)e δt r + cf(t) Hedging error C(t) + S(t) (t) B(t) Tabel 6.1: Kolonner i regneark for normal delta. Tid Spot price d 1 Delta Optionspris Cashflow Balance Hedging error 0 100,00 0,350 0,637 10,45 53,3 0,000 0,01 10,3 0,463 0,678 11,91 4,6 57,51-0,010 0,0 103,19 0,505 0,693 1,45 1,53 59,08 0,00 0,03 107,5 0,700 0,758 15,3 6,94 66,05-0,077 0,04 109,57 0,809 0,791 17,06 3,60 69,68-0,08 0,05 11,97 0,967 0,833 19,75 4,78 74,49-0,14 0,06 110,14 0,838 0,799 17,38-3,78 70,75-0,14 0,07 110,30 0,846 0,801 17,43 0,5 71,04-0,110 0,08 109,41 0,804 0,789 16,66-1,8 69,79-0,083 0,09 107,75 0,75 0,766 15,30 -,54 67,9-0,069 Tabel 6.: Udsnit af regneark for normal delta. Summeret hedging error over tid kan ses i figur 6.1. Hedging error er udregnet efter C + S Balance = H.E., således at en positiv hedging error betyder, at den solgte mængde af det underliggende aktiv ved optionens udløb er mere værd end den replikerende portefølje, som er call optionen og en mængde af risikofrit aktiv. Derfor ville det have været mere rentabelt at holde fast i aktivet fremfor at hedge. Formålet med hedging er dog ikke at maksimere profit, men at minimere risici. I figur 6.1 er hedging error positiv fra t = 0, og op efter, hvilket skyldes stigning i det underliggende aktiv. Generelt vil hedging error ende med at være positiv, hvis det underliggende aktiv stiger i optionens løbetid, og negativ hvis det underliggende aktiv falder. Dette følger også af formålet med hedging, da dette er at risikoafdække sit aktiv mod et eventuelt fald, mens der ikke kan forventes samme afkast ved en stigning i aktivet Udledning af forbedret delta Da hedgen ikke kan foretages perfekt, giver det anledning til at forbedre den udregnede delta værdi, således at afvigelserne bliver mindre. For at bestemme værdien af optionen vælges først en model for det underliggende aktiv i diskret tid ) S = e x hvor δx = (µ σ δt + σφδt 1/, hvor φ er en standardiseret normalfordelt variabel [Wilmott, 1998]. δ er en diskret tilvækst, og δt er den tilsvarende diskrete tilvækst i tiden t. Ligesom i afsnit konstrueres en delta hedget portefølje, hvor der købes en option, og der gås kort i et antal af det underliggende aktiv, bestemt ved. Π = V S.

51 6.3. DISKRET HEDGING 43 Figur 6.1: Total hedging error. Der anvendes Taylor-rækkeudvikling af 3. orden af V og S til at forbedre hedgeparameteren, da Ito s lemma ikke kan anvendes i diskret tid. Følgende resultater er udregnet i appendiks C: δπ =δv δs = Aδt 1/ + Bδt + Cδt 3/ + O(δt ), ( ) V A =σφs S, B = V t + (µ + 1 ( ) V σ (φ 1))S S C =σs(µφ 1 σ φ + 1 ( ) V 6 σ φ 3 ) S σ3 φ 3 S 3 3 V S 3. hvor + 1 σ φ S V S, + σφ(µ + 1 σ (φ 1))S V S + σφs V S t Selvom Taylor-rækkeudviklingen kan foretages i uendeligt mange skridt, er resultaterne vist ovenfor nok til, at de afviger fra Black-Scholes. Det ville ligeledes være for omstændigt at medtage flere skridt i Taylor-rækkeudviklingen. I beregning af variansen af δπ optræder φ både i første, anden, tredje og fjerde potens. Kvadratet af en normalfordelt variabel er kendt som en χ fordelt variabel, i dette tilfælde med frihedsgrad én. Denne fordeling har middelværdi 1, grundet frihedsgraden, og da φ optræder i et led med (φ 1), bliver middelværdien af leddet 0. χ fordelingen er asymmetrisk, hvilket kort fortalt betyder, at der er større sandsynlighed for, at variablen er mindre end 1, end at den er større end 1. Når vi betragter de stokastiske led i δπ, optræder kun ét af disse med en middelværdi forskellig fra 0. Dette er givet ved 1 σ φ S V S, som kan omskrives til 1 σ S V S + 1 (φ 1)σ S V S. Her optræder det andet led, som hedging error. Hedging error er vigtig for en portefølje, da den beskriver usikkerheden, og derfor også risikoen ved porteføljen. Der gælder følgende egenskaber for hedging error; den er proportional med gamma, da en større acceleration i aktivets pris vil

52 44 KAPITEL 6. HEDGING forårsage større ændringer for at rehedge og dermed større hedging error. Desuden er hedging error proportional med tiden mellem rehedgene, hvilket skyldes, at der er større sandsynlighed for, at aktivets pris ændrer sig over en længere periode. Der gælder også, at standardafvigelsen på hedging error er større i praksis end i teori, fordi fordelingen afviger i praksis med de førnævnte fede haler [Wilmott, 1998]. Vi er interesserede i at minimere variansen i δπ, hvilken er givet ved Var [δπ] =E [ δπ ] E [δπ] ( ) V [ ( 1 =δtσ S S + δt σ4 S 4 V S ( ) V + S 3 σ (σ + µ r) S V ) + 3 ( V 4 σ4 S S + µσ S ) S ) ] + O(δt 5/ ). ( V S For at minimere variansen differentieres udtrykket mht.. Samtidig indsættes = V S + δtη, hvor det første led er givet ved det kontinuerte Black-Scholes delta. Var [δπ] ( = σ S 3 η S( 1 ( )) σ + µ r) V V S 4µσ S S δt + O(δt 5/ ). Ved at sætte lig med 0, kan det, der minimerer variansen på porteføljen, findes = V ( S + δt S(µ r + 1 ) σ ) V S I det forbedrede delta optræder µ eksplicit, hvilket er en vigtig kontrast i forhold til det kontinuerte Black-Scholes delta. Der optræder altid en risiko ved hedging, og dette er udtrykt i væksten µ i det underliggende aktiv. Eksempel 6.3. Ud fra tallene brugt i eksempel delta hedges efter det forbedrede delta. Forbedret (t) Γ(t) 1 Sσ T t N (d 1 ) ( ) N (d 1 ) = 1 d π exp 1 N (d 1 ) δt ( S(t) S(t 1) S(t 1) r + 1 σ ) SΓ 6.3. Tid Gamma Vækst i S Delta Optionspris Cashflow Balance Hedging error 0 0,01 0,637 10,45 53,30 0,000 0,01 0,0 0,03 0,679 11,91 4,1 57,53-0,009 0,0 0,0 0,009 0,694 1,44 1,57 59,13 0,0 0,03 0,04 0,039 0,758 15,3 6,86 66,0-0,073 0,04 0,06 0,0 0,791 17,06 3,65 69,70-0,079 0,05 0,09 0,031 0,833 19,75 4,75 74,49-0,10 0,06 0,07-0,05 0,800 17,38-3,60 70,93-0,138 0,07 0,07 0,001 0,80 17,43 0,17 71,13-0,106 0,08 0,06-0,008 0,790 16,66-1,5 69,91-0,080 0,09 0,05-0,015 0,767 15,30 -,5 67,4-0,068 Tabel 6.3: Udsnit af regneark for forbedret delta.

53 6.3. DISKRET HEDGING 45 Figur 6. viser hedging error for det tidligere delta og det forbedrede delta. Den røde linje viser det forbedrede delta, og det ses, at dette ligger tættere på 0 end det tidligere delta. I dette tilfælde giver det forbedrede delta et mindre afkast, men ligeledes en lavere risiko, og derfor en bedre hedge. Figur 6.: Total hedging error Opsummering Først blev en simpel diskret model udviklet ved at bruge det kontinuerte delta fra afsnit 4.1 til at hedge en portefølje i diskret tid. Den hedgede portefølje, som har til formål at replikere det underliggende aktiv, har en hedging error. Denne beskriver fejlen ved den hedgede portefølje, altså afvigelsen mellem porteføljeværdien og det underliggende aktivs værdi. Ved en hedging error på 0 vil den hedgede portefølje replikere det underliggende aktiv perfekt. Dette er et idealtilfælde, da porteføljen får samme afkast som det underliggende aktiv, men med lavere risiko. Dette giver motivation til at udregne et, som samtidig med at minimere risici giver en bedre replikering i diskret tid. Til dette benyttes en model i diskret tid for det underliggende aktiv ) S = e x hvor δx = (µ σ δt + σφδt 1/. Ud fra denne model udregnes et forbedret delta i diskret tid til at være = V ( S + δt S(µ r + 1 ) σ ) V S. Ved en simuleret aktiekursudvikling udføres diskret hedging med både det kontinurerte og det diskrete. Som ønsket fås en mindre hedging error (se figur 6.).

54

55 Kapitel 7 Konklusion Projektet omhandler prisfastsættelse af europæiske optioner, hovedsageligt på baggrund af Black- Scholes formlen, som anvendes i stor udstrækning i erhvervslivet. Når modellen differentieres mht. de forskellige parametre, fremkommer de såkaldte greeks, som beskriver optionsprisens følsomhed over for ændringer i parametrene. De vigtigste er delta og gamma, som beskriver optionens følsomhed over for ændringer i spot price hhv. ændringer i delta selv. The greeks kan anvendes til at minimere variansen på porteføljen, således at der opstår mindre risiko for tab i porteføljen, hvilket svarer til at hedge. Dette understreger, at formålet med hedging ikke er at maksimere sit afkast, men at sikre det mod eventuelle tab. Formålet med dette projekt var således at undersøge forskellige hedging strategier, hvilke er blevet afgrænset til delta hedging. I teorien kan der hedges på hver greek, men den mest anvendte er delta, som beskriver optionsprisens følsomhed over for ændringer i det underliggende aktiv. Da prisen på det underliggende aktiv ændrer sig, ændres delta ligeledes, og derfor er det nødvendigt at rehedge dynamisk. For at opnå et perfekt deltahedge skal der i teorien rebalanceres kontinuert. Delta er her givet ved = V S. Det er dog i praksis ikke muligt at rehedge kontinuert, og derfor bruges diskret hedging. Til diskret hedging anvendes delta hedging i diskret tid, typisk med et tidsinterval på mellem én og fjorten dage. Det viser sig, at der opstår en hedging error i forbindelse med rebalanceringen. Denne hedging error gør, at hedgen ikke bliver perfekt, og derfor forsøges det at forbedre hedgen ved at udlede et forbedret delta, som er givet ved = V ( S + δt S(µ r + 1 ) σ ) V S. I diskret tid bliver delta således afhængig af tidsintervallet, som en afvigelse ift. kontinuert tid. Desuden er delta bl.a. afhængig af driften i det underliggende aktiv og gamma. I eksempel 6.3. fremgår det, at hedging error for det forbedrede delta er mindre end for det oprindelige delta. Det forbedrede delta giver dermed en lavere risiko, men det resulterer også i et mindre afkast. Da Black-Scholes modellen antager en fast volatilitet, gør det modellen urealistisk på dette punkt. Selvom volatilitet tilnærmelsesvist kan beskrives som konstant på kort sigt, er den aldrig fast på lang sigt. Dette illustreres af volatility smile og volatility surface, som, baseret på empirisk materiale, er beskrevet og udledt i kapitel 5. Disse beskriver en afhængighed mellem volatilitet, løbetid og strike price, hvilket dokumenterer, at fast volatilitet er en urealistisk antagelse ved Black-Scholes. 47

56

57 Kapitel 8 Perspektivering Da Black-Scholes modellen, som udgør baggrunden for den udledte hedging model, bygger på generelt simplificerende antagelser (afsnit 3.5.1), er dette et naturligt udgangspunkt for revurdering. Antagelserne er bl.a. ingen dividende betalinger, fast volatilitet og ingen arbitrage. Der kan tages højde for dividende betalinger ved at subtrahere den diskonterede værdi af fremtidige betalinger fra spot price. Volatiliteten kan tilnærmelsesvis beskrives som konstant på kort sigt, men på lang sigt er volatiliteten ikke fast. For at ændre denne antagelse, kan der benyttes en model, som anvender stokatiske elementer. Ifm. stokastisk volatilitet er Heston modellen en oplagt mulighed, da den antager en arbitrær korrelation mellem det underliggende aktiv og dets volatilitet. Generelt er stokastisk volatilitet et bredt emne, og der findes derfor mange, mere komplicerede modeller, som anvender stokastisk volatilitet. Antagelsen om overholdelse af ingen arbitrage princippet har ingen betydning for den almindelige investor og vil derfor ikke blive diskuteret yderligere. For at analysere effekten af at inkludere transaktionsomkostninger foreslår [Wilmott, 1998] Hoggard-Whalley-Leland modellen, som derfor kan komme i naturlig forlængelse af arbejdet med Black-Scholes modellen, da den også behandler prisfastsættelse af optioner. Black-Scholes modellen antager desuden, at spot price tilnærmelsesvis opfører sig efter en lognormal fordeling. Gennem empiriske observationer viser det sig dog, at lognormalfordelingen ikke altid stemmer overens med virkeligheden. Dette er især tilfældet ved markante ændringer i priserne, kaldet jumps. Disse jumps optræder så pludseligt, at de bryder med den kontinuerte baggrund. Jump diffusion er et emne, som kunne udvide Black-Scholes modellen. Da en sådan model indeholder en ikke-kontinuert spot price, bliver prisfastsættelsen af optioner besværligt - og i særdeleshed at hedge dem. Der er i rapporten hovedsageligt blevet fokuseret på delta hedging. Kapitel 4 indeholder the greeks, som er parametre, der kan hedges på. For at udvide hedging kunne de andre greeks anvendes. Hvis transaktionsomkostninger medtages, kan diskret hedging blive en bekostelig affære. Dette kan undgås ved at følge en strategi med statisk hedging; enten vha. lineære eller ikke-lineære ligninger. For at opnå hedging resultater, som kan forbedre de hidtidige hedging strategier, vil det derfor være oplagt at inkludere statisk hedging. De perspektiverede emner vil uden tvivl besværliggøre prisfastsættelsen. I sådanne tilfælde kan det blive fordelagtigt at benytte andre numeriske løsningsmetoder. Nogen af de typiske anvendte metoder er Finite-difference metoden eller Monte-Carlo metoden. Finite-difference metoden tager udgangspunkt i binomialtræet, beskrevet under afsnit 1.3., ved at etablere et rektangulært net af punkter i S og t dimensionen. Monte-Carlo metoden simulerer de stokastiske elementer og estimerer middelværdien af udfaldet. I praksis er man interesseret i at anvende de regneteknisk hurtigste metoder, således at der kan handles hurtigt, når markedet bevæger sig hurtigt. 49

58

59 Litteratur Mondher Bellalah. Derivatives Risk Management & Value. World Scientific Publishing Company, 009. ISBN: John C. Hull. Options, Futures and Other Derivatives. Prentice Hall, 005, 6. udgave. John Hull. Technical Note No.. URL: Cheng-Few Lee, Alice C. Lee og John Lee, editors. Handbook of Quantitative Finance and Risk Management. Springer, 010. ISBN: David C. Luenberger. Investment Science. Oxford University Press, Peter Olofsson. Probability, Statistics, and Stochastic Processes. Wiley, 005. Optiontradingpedia. Gamma Hedging. URL: Peter R. Turner. Guide to Scientific Computing. Palgrave Macmillan, ISBN: Paul Wilmott. Discrete Charms. URL: Paul Wilmott. Derivatives: The Theory and Practice of Financial Engineering. Wiley,

60

61 Bilag A Replikerende portefølje Her vises et eksempel på konstruktion af en replikerende portefølje. Eksempel A.0.3 r = 10 % p.a., σ = 18 % og K = $35. Dataene er fiktive. Uger Spot Call Porteføjle- Underliggende Risikofrie tilbage price price værdi aktiv aktiv t S C P V U R 4 37,98 3,7 0,966 3,7 36,69-33,4 3 38,10 3,31 0,983 3,33 37,45-34,1 38,73 3,86 0,999 3,88 38,69-34, ,60 3,67 1 3,68 38,60-34,9 0 37,60,60,61 Udregninger t 4 : S 4 og C 4 er givet. 4 udregnes vha P V 4 sættes lig med C 4. U 4 udregnes ved 4 S 4. R 4 beregnes ved P V 4 U 4. t,...,5 : S t og C t er givet. t udregnes vha P V 4 beregnes ved ( (S t /S t+1 )U t+1 ) ) ( R t+1 (1+ r/5) ). U t beregnes ved t S t. R t udregnes ved P V t U t. 53

62

63 Bilag B Microsoft option data Microsoft (MSFT) optionen. Dags dato er 1/5/011. Spot price er 5,67 og den risikofrie rente fås fra en 4 week T-Bill som er 0,04 % p.a. Strike Expiry Call DtM IVol (%) 0,00 Jan 13 6, ,46 1,00 Jun 11 4, ,61 1,00 Jul 11 4, ,71 1,00 Okt 11 4, ,74 3,00 Okt 11, ,66 4,00 Okt 11, ,38 4,00 Jan 1, ,38 5,00 Jun 11 0, ,11 5,00 Jul 11 0, ,37 5,00 Aug 11 1, ,90 5,00 Okt 11 1, ,1 5,00 Jan 1 1, ,99 5,00 Jan 13 3, ,93 6,00 Maj 11 0,01 9 6,0 6,00 Maj 11 0,04 9 9,33 6,00 Jun 11 0,7 37 1,61 6,00 Jul 11 0, ,73 6,00 Aug 11 0, ,58 6,00 Okt 11 1, ,81 6,00 Jan 1 1, ,94 7,00 Maj 11 0, ,70 7,00 Maj 11 0,0 9 0,5 7,00 Jun 11 0, ,3 7,00 Jul 11 0, ,87 7,00 Aug 11 0, ,8 7,00 Okt 11 0, ,01 8,00 Maj 11 0,01 9 7,71 55

64 56 BILAG B. MICROSOFT OPTION DATA Strike Expiry Call DtM IVol (%) 8,00 Jun 11 0, ,67 8,00 Jul 11 0, ,64 8,00 Aug 11 0, ,17 8,00 Okt 11 0, ,9 9,00 Maj 11 0, ,85 9,00 Jun 11 0,0 37 0,7 9,00 Jul 11 0, ,9 9,00 Aug 11 0, ,84 9,00 Okt 11 0, ,08 9,00 Jan 1 0, ,31 30,00 Maj 11 0, ,37 30,00 Jun 11 0,0 37 4,81 30,00 Jul 11 0, ,10 30,00 Aug 11 0, ,13 30,00 Okt 11 0, ,80 30,00 Jan 1 0, ,7 30,00 Jan 13 1, ,59 31,00 Maj 11 0, ,39 31,00 Jun 11 0, ,33 31,00 Jul 11 0,0 65 1,93 31,00 Aug 11 0, ,45 31,00 Okt 11 0, ,46

65 Bilag C Taylor-rækkeudvikling I afsnit 6.3 foretages en Taylor-rækkeudvikling af funktionen for værdi af en hedget portefølje, Π = V S, hvor S = e x og δx = ( µ 1 σ) δt + σφδt 1. Fremgangsmåden i dette appendiks udregninger er inspireret af [Wilmott, 1998] og [Wilmott, 1994]. Taylor-rækkeudviklingen af en funktion f(x, t) omkring x og t er repræsenteret af polynomiet [Bellalah, 009, p. 530] ( f(x, t) f(x + δx, t + δt) =f(x, t) + x + 1 ( f(x, t) t ) δx + ) δt + ( f(x, t) t ( f(x, t) x t ) δt + 1 ( f(x, t) ) δx x ) δx δt f(x, t) 6 x 3 δx Notationen δf bruges som ændringen i funktionen f ved en udvikling i dens variable x og t, hvilken er givet ved δf = f(x + δx, t + δt) f(x, t). Det ønskes at finde funktionen δπ, hvilken skrives som δπ = δv δs. δv og δs udregnes via Taylor-rækkeudviklinger i funktionernes variable. δs beregnes som en Taylor-rækkeudvikling af variablen x: δs = S x δx + 1 S = σφsδt 1/ + x δx S 6 x 3 δx (µ 1 σ + 1 ) σ φ δt + δs = σ φ S δt + σφs (µ 1 σ + 1 σ φ )δt 3/ + O(δt ), δs 3 = σ 3 φ 3 S 3 δt 3/ + O(δt ). (µφ 1 σ φ + 16 σ φ 3 ) σsδt 3/ + O(δt ), δv beregnes som en Taylor-rækkeudvikling af variablen x og t: δv = V V δt + t S δs + 1 V t δt + 1 V S δs + V S t δsδt V 6 S 3 δs =σφs V ( V S δt1/ + δt (µ t + 1 ) σ φ S V S + 1 ) σ φ S V S + O(δt ) + δt 3/ [σ (µφ 1 σ φ + 16 σ φ 3 ) S V S + σφ (µ 1 σ + 1 σ φ ) S V S + σφs V S t ]. 57

66 58 BILAG C. TAYLOR-RÆKKEUDVIKLING Nu kan δπ skrives: δπ =δv δs = Aδt 1/ + Bδt + Cδt 3/ + O(δt ), ( ) V A =σφs S, B = V t + (µ + 1 ( ) V σ (φ 1))S S C =σs(µφ 1 σ φ + 1 ( ) V 6 σ φ 3 ) S σ3 φ 3 S 3 3 V S 3. hvor + 1 σ φ S V S, + σφ(µ + 1 σ (φ 1))S V S + σφs V S t Middelværdien af δπ beregnes: [ ( ) V V E [δπ] =δt t + µs S + 1 ] σ S V S, [ ( ) E [δπ] V ( ) V =δt + µ S t S + 1 ( 4 σ4 S 4 V S ) V + σ S V t V S + σ µs 3 ( V S S ]. ) + µs V t ( ) V S Kvadratet af δπ beregnes: δπ =A δt + ABδt 3/ + B δt + ACδt + O(δt 5/ ), hvor ( ) V A =σ φ S S, ( ) V V AB =σφs S t + (µ + 1 ( ) V σ (φ 1))σφS S + 1 ( ) V σ3 φ 3 S 3 S V S, ( ) V B = + (µ + 1 ( ) V t σ (φ 1)) S S + 1 ( 4 σ4 φ 4 S 4 ) V S + (µ + 1 σ (φ 1))S V ( ) V t S + σ φ S V V t S + (µ + 1 ( ) V σ (φ 1))σ φ S 3 S V S, AC =φσ S (µφ 1 σ φ + 1 ( ) V 6 σ φ 3 ) S + σ φ S 3 (µ + 1 ( ) V σ (φ 1)) S V S ( ) V + σ φ S S V S t + 1 ( ) V 3 σ4 φ 4 S 4 3 S V S 3.

67 59 Middelværdien af δπ beregnes: E [ δπ ] =δte [ A ] + δt 3/ E [AB] + δt E [ B ] + δt E [AC] + O(δt 5/ ), hvor E [ A ] ( ) V =σ S S, E [AB] = 0, E [ B ] ( ) V ( ) V = + µ S t S + 3 ( ) V 4 σ4 S S + 3 ( 4 σ4 S 4 ) V S + µs V ( ) V t S + σ S V ( ) V V t S + (µ + σ )σ S 3 S V S, ( ) V ( ) V E [AC] =µσ S S + (µσ S 3 + σ 4 S 3 ) S V S ( ) V + σ S ( ) S V V S t + σ4 S 4 3 S V S 3. Vha. Black Scholes partielle differentialligning fås, at V S t = ( rv rs V S S 1 ) σ S V S Variansen af δπ beregnes, og V S t indsættes: = rs V S σ S V S 1 σ S 3 V S 3. Var [δπ] =E [ δπ ] E [δπ] [ ( ) 1 V =δt σ4 S 4 S + 3 ( ) V ( ) V 4 σ4 S S + 3σ 4 S 3 S V S ( ) V + µσ S 3 ( ) S V V S + σ4 S 4 ( ) S V V S rσ S 3 S V S ( ) V σ 4 S 3 ( ) S V V S σ4 S 4 3 ( ) S V V ] S 3 + µσ S S + δtσ S ( V S =δt [ 1 σ4 S 4 ( V S + µσ S ( V S ) ) σ4 S ) ] ( ) V ( V S + S 3 σ (σ + µ r) ). + δtσ S ( V S Ovenstående differentieres mht. delta, og = V S Var [δπ] =δt [ 6 4 σ4 S ( V ) S ) δtσ S ( V S =δt [ σ S η S 3 σ (σ + µ r) V S + δtη indsættes: ) S V S ( ) ] V 4µσ S S S 3 σ (σ + µ r) V S ] + O(δt 3/ ).

68 60 BILAG C. TAYLOR-RÆKKEUDVIKLING Ovenstående sættes lig med 0, og η isoleres: ( )) 1 0 =δt σ S (η σ + µ r ( ) 1 η = σ + µ r. η sættes ind i = V S + δtη: = V ( S + δt S(µ r + 1 ) σ ) V S.