Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Transkript

1 Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses derfor med de metoder, vi kender fra integralregningen. I kapitel 3 om Integralregning, viste vi nogle teknikker til at beregne stamfunktioner til visse produkter. Dette kan vi nu udntte til at løse en større klasse af differentialligninger, der ikke falder ind under de forskellige tper af vækstmodeller. Det er differentialligninger, der kan skrives på formen: d hx ( ) g ( ), hvor hx () og g ( )begge er kontinuerte funktioner. En differentialligning, der kan skrives således, kaldes en separabel differentialligning, fordi vi kan separere (adskille) de to variable x og, dvs. vi kan dele højresiden af differentialligningen op i to udtrk, der ganges sammen, hvor det ene kun afhænger af x og det andet kun afhænger af. Eksempel: Separabel og ikke-separabel differentialligning Separable differentialligninger kan fx være af tpen: d x eller d x - hvor vi i det første kan opdele højresiden i h( x) x og g( ), og i det andet opdeler vi h( x) x - og g (), hvor hx () og g ( ) i begge tilfælde er ganget sammen. Kravet er, at vi kan separere de to variabeludtrk i hhv. x og, så vi i løsningsprocessen (ved at gange eller dividere) kan samle det udtrk, der afhænger af x, på den ene side, og det udtrk, der afhænger af, på den anden side af lighedstegnet. Differentialligning af tpen: d d x x + x eller e er ikke separable, fordi det er umuligt at dele højresiden af differentialligningen op i to udtrk, der ganges d sammen, hvor det ene kun afhænger af x, og det andet kun afhænger af. Ser vi derimod på e x +, så x er den separabel, fordi højresiden kan omskrives til e e. Det kan altså somme tider være lidt tricket, at gennemskue, om en differentialligning er separabel. Øvelse : Følgende differentialligninger er alle separable. Hvad svarer h og g til i hver af dem? a) d x ( + ) b) d c) d -4 x - 3 Vi vil først demonstrere løsningsmetoden ved at gennemgå et eksempel, og dernæst generalisere dette. Eksempel: Løsning af en differentialligning ved separation Bestem den løsningskurve til differentialligningen: d x L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: [email protected]

2 hvis graf går gennem punktet (,). Før vi går i gang skaffer vi os overblik over differentialligningens løsningskurver med et uddrag af den grafiske repræsentation af differentialligningen med linjeelementer, hvor vi samtidigt plotter løsningskurven svarende til den oplste begndelsesbetingelse. Vi ser, at planen tdeligvis deles op lodret af linjen med ligningen x 3 og vandret af linjen 0. Idenfor hver af disse fire områder af planen forløber løsningskurverne forskelligt, og vi finder selvfølgelig den søgte løsning, hvor x og i det område, hvor x < 3 og > 0, men det er uklart, hvad definitionsmængden egentlig er. Vi gennemgår nu løsningen skridt for skridt, hvor det bliver tdeligt, hvilke antagelser man må gøre undervejs. Trin : Opdeling af højresiden i to udtrk Vi deler nu højresiden op i to udtrk, der ganges sammen, hvor det ene kun afhænger af x og den andet kun afhænger af, dvs. vi sætter hx ( ) og g() x - 3 Vi bestemmer derefter definitionsmængderne for h og g: Dm(h): Alle tal bortset fra tallet 3, hvilket giver den lodrette opdeling af planen med linjen x 3 Dm(g): Alle tal Vi ønsker, at samle erne på venstre side. Vi skal derfor dividere g ( )over på en anden side. Det kan vi kun gøre hvis g ( ) ¹ 0. Det er trivielt her, men det skal vi altid undersøge først: g ( ) 0 har løsningen 0 Trin : Er 0 en løsning? Før vi går videre undersøger vi nu ved indsættelse, om funktionen 0 er en løsning. Det ser vi let, at den er. Men vi ser også, at punktet (,) ikke ligger på grafen for denne løsningsfunktion. Foreløbig konklusion: 0 er løsninger til differentialligningen, men ikke den søgte løsning. Trin 3: Omskrivning ved separation Vi antager herefter, at funktionen er forskellig fra nulfunktion: ¹ 0, hvilket giver den vandrette opdeling af planen med linjen 0. Den løsning, vi søger, er en funktion f( x), der er differentiabel og dermed specielt kontinuert. Da dens graf skal gå gennem (,) findes der et helt interval I omkring x, hvor funktionen er forskellig fra 0. Vi regner nu videre indenfor dette interval (dvs. i området hvor x < 3 og > 0 ) og løser differentialligningen ved en række omskrivninger, hvor vi separerer de variable x og : 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: [email protected]

3 x -3 Dividere g ( )over på venstre side: x - 3 ( f x ) fx ( ) Indsæt f( x) (*) x - 3 ( ( )) ( f x ) f x ( ) x -3 Bestem stamfunktion på begge sider (**) ( ( )) Overvej selv, at hvis (**) er opfldt, så er også (*) opfldt, dvs. (*) og (**) er ensbetdende. Vi løser nu integralerne. Ved løsningen tilføjes en konstant på begge sider. Vi kan samle disse to konstanter i en og samme konstant, som vi skriver på højre side af ligningen: Reducer højresiden: Da x < 3 er x - 3< 0, så vi må omskrive, så nævneren i integranden bliver positiv, så vi kan anvende ln: ln(3 ) 3 - x 3 x - x c Løsning af dette integral kan ske med en substitution ( t 3 - x, dt - ), men så forholdsvis simple integraler klarer vi ofte ved at prøve os frem ud fra vores viden i dette tilfælde om ln. Reducer venstresiden: Vi foretager substitutionen: ( f x ) d f x ( ) ( ) - Substituer: f( x) og d ( f ( x) ) ( ) - Overvej resultatet anvend fx, at. Konklusion: Ligningen (**) er nu blevet omformet til ligningen: - ln(3 - x ) + c hvor x < 3 og > 0. (***) Trin 4: Bestemmelse af konstanten samt forskriften for løsningsfunktionen Vi bestemmer nu konstanten c ved at indsætte punktet (,) : - ln(3 - ) + c - c, som vi indsætter i (***): - ln(3 - x ) - Vi kan nu isolere i den sidste ligning: - ln(3 - x ) Gang igennem med - Anvend brøkregel - ln(3 - x) Trin 5: Bestemmelse af definitionsmængden for løsningsfunktionen Vi mangler nu kun at bestemme definitionsmængden for funktionen. Løsningskurven skal ligge i området, hvor > 0, og heraf følger det, at: -ln(3 - x) > 0 > ln(3 -x) Flt over 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: [email protected]

4 e ln(3 -x) > e Anvend, at e er voksende x > 3- e» 0,87 Anvend, at Trin 6: Endelig konklusion løsningfunktion med definitonsmængde Løsningen til differentialligningen er funktionen fx ( ) - ln(3 - x) med Dm( f ) ] 3 - e;3 [»] 0,87;3 [. x x e er den omvendte til ln På figuren ses løsningsfunktionens grafiske forløb i det orange afgrænsede område ]3- e;3[ ]0; [, hvor det klart fremgår, at grafen har en lodret asmptote i x 3- e, fordi vi har skaleret -aksen anderledes, så vi kan se mere af grafen. Det kan være svært umiddelbart at se, hvordan løsningskurven forløber i hele sin definitionsmængde, og det kan derfor være nødvendigt at fortage en nærmere analse af differentialligningen, som beskrevet ovenfor. Løsningskurve med lodret asmptote i x 3- e. Bemærkning: Hvis man forsøger at løse differentialligningen ved hjælp af et værktøjsprogram, kan man sagtens komme ud for, at værktøjsprogrammet ikke kan udskille den korrekte definitionsmængde for løsningsfunktionen. Så ligesom med solve-kommandoen skal man være omhggelig med at kontrollere løsningsudtrkket grafisk og holde det op mod teorien for differentialligningen. Øvelse : Bent et værktøjsprogram til at løse differentialligningen ovenfor og kommenter de steder, hvor det eventuelt kommer til kort. Den detaljerede gennemgang ovenfor kan generaliseres, så vi får følgende: Sætning: Den separable differentialligning Hvis en differentialligning er skrevet på formen: d hx ( ) g ( ) hvor hx ()er en kontinuert funktion defineret i det åbne interval I, og g ( )er en kontinuert funktion defineret i det åbne interval J, hvori g ( ) ¹ 0, så gælder der, at:. Løsningsmængden til differentialligningen er den samme som løsningsmængden til integralligningen: 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: [email protected]

5 d g () h( x). Integralligningen kan altid løses mht., hvilket betder, at der altid kan findes løsninger til differentialligningen. 3. Der er givet punkt P( x0, 0), hvor x0 ligger i intervallet I, og 0 ligger i intervallet J. Så findes der en entdigt bestemt løsning til differentialligningen, hvor den uafhængige variabel x ligger i intervallet I, og den afhængige variabel ligger i intervallet J, hvis graf går gennem P. Bemærkning: Når et værktøjsprogram forsøger at løse en separabel differentialligning, så omskriver det netop til en ligning med integraler her uden begndelsesbetingelse: desolve( h( x) g( ), x, ) > d h( x) + c g ( ) og her med begndelsesbetingelse: x desolve( h( x) g( ) and ( x0) 0, x, ) > dt h( t) dt 0 gt () x0 Bevis Hvis g ( )er kontinuert, så er også kontinuert. Det betder at alle de forskellige integraler, der g () optræder, er veldefinerede. Antag f er en løsning til differentialligningen. Så får vi ved indsættelse af f i differentialligningen: f () x hx () gfx (()) Indsæt f( x) f ( x) hx ( ) Udnt, at g ( ) ¹ 0 gfx ( ( )) f ( x) h( x) gfx ( ( )) d h( x) g () Substituer: fx ( ) og d f ( x) Ens funktioner har samme stamfunktion Hvis omvendt f( x) er en løsning til denne integralligning kan vi få den oprindelige ligning ved at foretage omvendte operationer, hvor vi begnder med at differentiere og derefter omskriver. Hermed er punkt bevist. Antag er en løsning til integralligningen. Vi skal nu vise, at vi kan isolere. Vi vælger nu en stamfunktion til hver af de to integrander (venstresiden og højresiden) i integralligningen, og vi definerer disse som: G() d og H( x) h( x) g () Disse to stamfunktioner er ifølge sætningen om samtlige stamfunktioner ens pånær en konstant, dvs.: G( ) H( x) + k hvor k er en konstant. Vi har brug for en omvendt funktion til G, så vi kan fjerne G. Vi ved, at G () g () 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: [email protected]

6 og da er kontinuert, har den samme fortegn overalt den kan jo aldrig blive 0! Men når G g () ( ) > 0 overalt, så er G voksende over alt, og så kan vi definere en omvendt funktion til G. Det samme kunne vi selvfølgelig gøre, hvis G ( ) < 0. Så alt i alt ved vi, at G har en omvendt funktion G -, som vi nu anvender: G( ) H( x) + k ( ( )) ( ( ) ) - ( () ) - - G G G H x + k Anvend G - G H x + k Udnt definitionen på omvendt funktion Hermed har vi vist punkt : Vi kan altid isolere. Det kan i praksis være svært, men teoretisk set kan det lade sig gøre. Vi har givet et punkt P( x0, 0), hvor g ( 0) ¹ 0. Dette indsætter vi i G( ) H( x) + k: G( 0) H( x0) + k Indsæt x x0 og 0 k G ( 0) -Hx ( 0) Isoler k Dermed er k entdigt fastlagt ud fra G og H. Og dermed er funktionen: - - G Hx ( ) + k G Hx ( ) + G ( )-Hx ( ) ( ) ( ) 0 0 entdigt fastlagt. Således har vi bevist punkt 3. Hermed har vi afsluttet beviset for sætningen Bemærkning: Hvis g ( 0) 0 er entdigheden ikke længere garanteret. Fx har den separable differentialligning 3 3 ( ) 3 de to løsninger 0 og x, der begge går gennem (0,0). Øvelse 3: I afsnit.3 undersøgte vi følgende fire differentialligninger ved brug af linjeelementer. Nu vil vi bestemme de søgte løsninger til differentialligningerne: a) d x ( + ) med begndelsesbetingelsen P(0,0). b) d x med begndelsesbetingelsen P(4,3). c) d -4 med begndelsesbetingelsen P(3,). d d) med begndelsesbetingelsen P(0,0). ( x+ ) (-) 04 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade DK-48 København K Tlf: [email protected]