Opgave nr. 28. Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel

Transkript

1 H.D.-studiet i Finansiering Hovedopgave forår 004 Opgaveløser: Vejleder: Carsten Holdum Peter Toftager Ejlersen Opgave nr. 8 Prisfastsættelse af asiatiske optioner på aktier - ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel Handelshøjskolen i København

2 Indholdsfortegnelse FORORD INDHOLD OG PROBLEMFORMULERING PROBLEMFORMULERING AFGRÆNSNING OPGAVENS DISPONERING OPTIONSBEGREBET DEFINITION OPTIONENS VÆRDI PUT- / CALL-PARITET MODEL FOR EN AKTIES KURSUDVIKLING STOKASTISKE VARIABLE STOKASTISK PROCES Wiener-proces (brownsk bevægelse) Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Ito s lemma Modellens overensstemmelse med empiri Modellens begrænsninger Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE OG BLACK-SCHOLES FORMEL BEVIS FOR RISIKONEUTRAL PRISFASTSÆTTELSE BLACK-SCHOLES FORMEL (BS) HVORFOR FINDES DER ET MARKED FOR AFLEDTE AKTIVER DEN ASIATISKE OPTION ASIATISK OPTIONS VIRKEMÅDE VÆRDI AF ASIATISK OPTION SAMMENLIGNING MELLEM ASIATISK OG EUROPÆISK OPTION ASIATISK OPTION PRAKTISK ANVENDELSE PRISFASTSÆTTELSESMODELLER MONTE CARLO-SIMULERING TILFÆLDIGE TAL I EXCEL MODELLERNES IMPLEMENTERING I EXCEL... 38

3 7..1 Model A St simuleres direkte Model B Monte Carlo-simulering med tidsskridt VARIANSBEGRÆNSENDE HJÆLPEMETODER Antithetic-metoden (AT) Control Variate-metoden (CV) KONTROL AF MODELLERNES KORREKTHED, SAMMENLIGNING MED BS MODELLERNES PRÆCISION MED OG UDEN BRUG AF HJÆLPEMETODER Antal tidsskridt i model B Modellernes præcision ved rå simulering Modellernes præcision med anvendelse af AT Modellernes præcision med anvendelse af CV Modellernes præcision, opsummering MODELLERNES ANVENDELSE, BEREGNING AF OPTIONSPRISER SIMULERET PRIS PÅ DEXIA-OBLIGATIONEN OPTIONSVÆRDI, ASIATISK OVER FOR EUROPÆISK KONKLUSION LITTERATURHENVISNINGER

4 Forord Min interesse for optioner opstod undervejs i faget Finansiel Planlægning på H.D.. del, hvor vi introduceredes til begrebet reale optioner. Selvfølgelig fordi det giver anledning til interessante beregninger og til tider overraskende konklusioner, men primært fordi jeg i takt med den grundlæggende forståelse for en options opbygning begyndte at se, at der også inden for mit eget specielle arbejdsområde (reassurance) eksisterede en række problemstillinger og muligheder, som alle indeholdt et optionselement! Det gav konkret anledning til en ny indgangsvinkel til vore interne drøftelser om, hvilke forretningsmuligheder som skulle forfølges straks, og hvilke som skulle vente. Ligesom det gav et bedre grundlag for at forsøge at finde den totale værdi ved at indgå en aftale i dag frem for senere. Efterfølgende skulle jeg lære væsentligt mere om prisfastsættelse af optioner på finansielle aktiver i faget Videregående Værdipapiranalyse, hvor det afsluttende spørgsmål til eksamen: Er værdien af en europæisk option højere end en tilsvarende asiatisk option uheldigvis ikke blev besvaret fuldt tilfredsstillende, men i stedet gav mig anledning til at fundere længe over, om der mon fandtes en simpel omregningsmetode for asiatiske optioner, således at den kendte Black-Scholes formel alligevel kunne finde anvendelse. Da min lærer ikke umiddelbart kunne godkende eller forkaste min -siders redegørelse for problemstillingen, var vejen i stedet banet for at vælge emnet til denne hovedopgave. I den forbindelse vil jeg gerne rette en tak til Ken Beckmann, hvis undervisning i faget var en inspiration. Asiatiske optioner er fascinerende fordi der ikke eksisterer nogen kendt lukket formel til deres prisfastsættelse, og fordi de uanset dette faktisk handles i markedet, som det fx vil blive illustreret ved at se på den såkaldte Dexia aktiebaserede obligation, hvor afkastet med brug af en asiatisk option afhænger af udviklingen af A.P. Møller-aktien. Opgaven vil fokusere på brug af Excel til at opbygge en model til at udføre Monte Carlo-simulering, eftersom Excel er et hjælpeværktøj, som i stigende omfang er til rådighed i erhvervslivet, og som dermed vil få stigende praktisk betydning. 4

5 1. Indhold og problemformulering 1.1 Problemformulering I det omfang der ikke kan udledes endelige analytiske prisudtryk for optionspriser, kan i stedet numeriske metoder anvendes. Dette gælder for flertallet af optionstyper, herunder den asiatiske option. Denne hovedopgave vil undersøge, hvordan asiatiske optioner på aktier i stedet kan prisfastsættes ved at bruge den numeriske metode: Monte Carlosimulering (herefter forkortet MCS). Endvidere vil hovedopgaven fokusere på muligheden for at anvende MCS i Excel (fra Microsofts Office-pakke), som i vidt omfang anvendes i erhvervslivet og således er og vil være et betydeligt hjælpeværktøj fremover. I løbet af opgavebesvarelsen vil følgende punkter blive behandlet: at opstille en generel model for prisfastsættelse af optioner på aktier, herunder definere den underliggende proces, som aktiekurser antages at følge, en beskrivelse af anvendelsen af MCS til prisfastsættelsen af optioner praktisk anvendelse af MCS i Excel til at beregne optionspriser, herunder sammenligning med kendte analytiske priser, således at MCS-metoden kan verificeres undervejs i opgaven vil de teoretiske konklusioner blive sammenholdt med Dexia, aktieindekseret obligation, hvis opbygning der er redegjort for i bilag A, og som netop indeholder et asiatisk optionselement, hvorved teori illustreres med praktisk anvendelse. Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til prisfastsættelse af asiatiske optioner, og dermed reelt kan være ramme om prisfastsættelse for mange andre finansielle produkter. I korthed er opgavens problem således at undersøge, om og med hvilken præcision det er muligt, at: prisfastsætte asiatiske optioner på aktier ved Monte Carlo-simulering foretaget i Excel 5

6 1. Afgrænsning Enhver option, herunder den i opgaven valgte asiatiske option, er et afledt finansielt produkt, som knytter sig til et underliggende finansielt aktiv. I denne opgave er aktier valgt som finansielt aktiv. Andre finansielle aktiver, fx rente eller valuta, vil ikke blive behandlet. Princippet for den asiatiske options virkemåde er ens for alle aktiver. Aktier er valgt som finansielt aktiv, fordi aktiehandel har betydelig og generel interesse i praktikken og dermed giver mulighed for mange kombinationsprodukter, som kan indeholde et asiatisk optionselement, fx den aktieindekserede obligation (Dexia), hvis værdi knytter sig til en aktiekurs. I opgaven vil optioner blive prisfastsat ud fra et teoretisk synspunkt, idet det antages, at der foreligger perfekte markeder, karakteriseret ved: at der frit og i ubegrænset mængde kan handles i alle aktiver, som alle er fuldt likvide, herunder også at sælge af aktiver, som ikke ejes at alle markedsdeltagere handler rationelt og profitmaksimerende, og at alle deltagere har fuld information at der er fravær af omkostninger og skat at markedsdeltagerne frit kan frit låne og udlåne til den risikofri rente, r (hvor renten regnes kontinuert, og rentestrukturen antages af være flad, dvs. uafhængig af varighed). Antagelsen om perfekte markeder er naturligvis aldrig helt i overensstemmelse med virkeligheden. Det vurderes dog, at det ikke er en helt urimelig antagelse netop for afledte aktiver, idet disse helt overvejende handles af professionelle markedsaktører, som har høj grad af information og ekspertise. MCS er én numerisk metode til at prisfastsætte optioner. Numeriske metoder anvendes subsidiært, når det ikke er muligt at finde et egentligt analytisk prisudtryk. MCS er imidlertid ikke den eneste kendte numeriske metode; i hvert fald metoden kaldet numerisk estimation (på engelsk: Finite Difference Method ) har også været genstand for betydelig interesse og forskning. I denne opgave skal alene MCS behandles. 6

7 1.3 Opgavens disponering Kapitel Først beskrives virkemåden for ordinære optioner, hvor der erhverves en ret men ingen pligt til at handle et underliggende aktiv. Kapitel 3 og 4 For at kunne prisfastsætte en option er det nødvendigt at kende værdien af et underliggende aktiv. Der skal derfor opstilles en model, som beskriver værdien af det underliggende aktiv. Først ved at indføre den såkaldte generelle geometriske brownske bevægelse (GBM) til at beskrive aktiekursens bevægelse og efterfølgende ved at indføre princippet om risikoneutral prisfastsættelse, hvorved det bliver muligt at prisfastsætte optioner. Kapitel 5 Dernæst vil opgaven nærmere beskrive virkemåden for den valgte asiatiske option og illustrere den praktiske anvendelse af asiatiske optioner i markedet. Kapitel 6 Med ovenstående teori på plads er det herefter muligt opstille egentlige modeller for prisfastsættelse af asiatiske optioner. En række kendte modeller omtales. Monte Carlosimulering (MCS) vælges i denne opgave. Kapitel 7 Der opstilles to modeller for MCS, udviklet i Excels Visual Basic for Applications (VBA). Dernæst udføres opgavens egentlige analysearbejde: at fastslå modellernes præcision, både med hensyn til at konvergere mod den korrekte optionspris, og en statistisk analyse af med hvilken sikkerhed optionsprisen er fastsat. Undervejs i analysen vil tidsaspektet (simuleringstiden) blive beskrevet. Kapitel 8 - Afslutningsvis skal det konkluderes, om MCS i Excel er en anvendelig metode til at prisfastsætte asiatiske optioner, og i givet fald med hvilken præcision. 7

8 . Optionsbegrebet.1 Definition En option er en aftale mellem to parter, hvor den ene part mod en given betaling opnår en ret, men ikke en pligt til på et senere tidspunkt at handle et givent underliggende aktiv til en forud aftalt (defineret) pris. Helt ordinære optioner (på engelsk: plain vanilla) vil være karakteriseret som følger: Part A betaler straks en given pris til part B (en præmie). Hermed opnår part A ret, men ikke pligt til på et givet aftalt tidspunkt at handle en given mængde af et givet aktiv til en forud aftalt pris (kaldet strikekurs eller exercisekurs). Haves retten til at købe aktivet, kaldes det en call-option, og haves retten til at sælge aktivet, kaldes det en put-option. Når optionen alene kan anvendes (kaldet: exercises) på det forud aftalte tidspunkt, kaldes det en europæisk option. Alternativt kan det aftales, at part A kan anvende sin option på et vilkårligt tidspunkt frem til dens udløb; i så fald kaldes optionen en amerikansk option. I praksis skelnes imellem optionens tre afkasttilstande til ethvert givent tidspunkt, fx for call-optionens vedkommende: At-The-Money (ATM), når strikekurs er lig spotkurs In-The-Money (ITM), når spotkurs er højere end strikekurs Out-of-The-Money (OTM), når spotkurs er lavere end strikekurs. Fx gælder for call-optionen, at den med gevinst kan anvendes (exercises), når spotkursen er højere end strikekursen. I praksis er det i øvrigt ofte forekommende, at man ved exercisetidspunktet alene foretager en differencebetaling, dvs. indehaveren af calloptionen modtager blot differencen mellem aktivets værdi, S, og den aftalte købspris, X. Dette svarer fuldstændig til faktisk at købe aktivet og straks sælge det igen (i fravær af handelsomkostninger og -restriktioner). 8

9 Afkast Afkast Afkast Afkast På markedet skelnes der mellem optioner, som noteres og handles på en børs, og optioner som handles direkte mellem to parter. Sidstnævnte kaldes Over-The-Counter (OTC). Asiatiske optioner falder i sidstnævnte kategori, og der gælder helt generelt, at OTC-markeder overstiger børs-markedet for derivater, jvf. Hull (003:163). Dette vanskeliggør arbejdet med at knytte teori om prisfastsættelse af asiatiske optioner sammen med faktiske markedspriser. Ikke blot er handlerne og dermed priserne parterne imellem ikke kendte; priserne er ej heller udtryk for en markedspris. I stedet er det teoretiske arbejde med prisfastsættelse henvist til at se på teoretiske priser:. Optionens værdi En options værdi afhænger således af et underliggende aktivs værdi. Matematisk haves følgende udtryk for afkastet fra en option, som man har købt, fx en call-option: c = max ( 0; S-X ) Tilsvarende haves værdien for put-optionen ved at bytte rundt på S og X. Samlet haves: Figur..a: Afkast ved udløb for call- og put-optioner Købt Solgt Call-option put-option Solgt Call-option put-option X X Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Købt put-option Solgt put-option X X Aktiekurs ved udløb Aktiekurs ved udløb Kilde: Egen tilvirkning 9

10 Der gælder dermed, at optionens værdi på tidspunktet for aftaleindgåelsen alene afhænger af S og af den risikofri rente: For rentens vedkommende skal der blot foretages en simpel tilbagediskontering af optionens eventuelle udbetaling på udløbstidspunktet. For det underliggende aktivs vedkommende (S) afhænger optionens værdi mere præcist af fordelingen af S på udløbstidspunkt. På aftaletidspunktet kendes aktivets aktuelle værdi, medens dets fremtidige værdi er ukendt. Hvilke antagelser der gøres om fordelingen af aktivets fremtidige værdi, er afgørende for optionens værdi, herunder det vigtige resultat, at det underliggende aktivs volatilitet har meget stor betydning for en options værdi. Høj volatilitet giver en høj værdi af optionen, hvilket umiddelbart kan fortolkes således: Det at have en ret (men ikke en pligt) til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er meget usikker, har stor værdi. I modsætning hertil: Det at have en ret til at handle et aktiv, hvis fremtidige værdi er kendt, hvilket ikke har nogen værdi overhovedet. I det senere analysearbejde er det især interessant at beskæftige sig med optioner, som har en forventet aktiekurs nær strikekursen, eftersom det er i dette område, at optionens afkast er mest usikkert (volatilt). Hvis alternativt en option med en sikkerhed grænsende til vished er enten ITM ved udløb hhv. OTM, da bliver prisen på optionen jo blot aktiens aktuelle værdi minus nutidsværdien af strikekursen hhv. 0. I begge tilfælde bortfalder optionselementet, idet der ikke længere er tvivl om den profitable handlemåde ved optionens udløb, nemlig at udnytte ITM-optionen og at afstå fra at udnytte OTMoptionen. Det kan sammenfattes, at værdien, f, af et afledt aktiv er en funktion af to faktorer: tid, t og et underliggende aktiv, S: f f ( t, S). Denne helt elementære sammenhæng vil blive brugt i det følgende. 10

11 .3 Put- / Call-paritet En call- og en put-option er hinandens to modsatte størrelser. Haves både retten til at købe et aktiv (man har købt en call-option) til en strikepris, X, og pligten til at sælge samme aktiv (man har solgt en put-option) til strikepris, X, da vil man ved optionens udløb være stillet, som om man faktisk ejede det pågældende aktiv mod at skulle betale strikekursen. Hvilket ses ved at sammenholde graferne for fx en købt call- og en solgt put-option i figur..a. Optionspræmierne betales altså til tid 0, medens man ved tid T bliver ejer af aktivet mod at skulle betale strikekursen. I fravær af arbitrage gælder derfor følgende matematiske sammenhæng: c p = PV ( St - X exp(-rt) ) <=> c p = So X exp(-rt) Denne sammenhæng kaldes put/call-pariteten og betyder, at når man først kender værdien af den ene option, da kan den anden umiddelbart findes. Mere om put/callparitet for asiatiske optioner i kapitel 5. 11

12 3. Model for en akties kursudvikling For at kunne prisfastsætte et afledt aktiv er det nødvendigt at have en model for prisudviklingen på det underliggende aktiv. Det er klart, at man aldrig vil kende værdien af det underliggende aktiv, men der kan imidlertid opstilles modeller, hvor det underliggende aktiv beskrives som en stokastisk variabel, hvorved aktivets værdi som funktion af tid bliver en stokastisk proces. I det følgende skal først selve begrebet stokastisk proces gennemgås, og efterfølgende vil en model for en akties kursudvikling blive opstillet som en stokastisk proces. 3.1 Stokastiske variable En stokastisk variabel knytter et tal (en sandsynlighed) til ethvert udfald af et tilfældigt eksperiment. Mere præcist knyttes der en sandsynlighed til ethvert udfald i et udfaldsrum. En stokastisk variabel, der ofte betegnes med store latinske bogstaver, fx X, er altså en måde at håndtere en variabel, hvis præcise værdi ikke kendes, men hvor det er muligt statistisk at beskrive sandsynlighederne for dens mulige værdier, også kaldet variablens fordeling. En simpel stokastisk variabel er antallet af øjne ved kast med en normal sekssidet terning. Udfaldsrummet er her: 1,... 6 og til hvert udfald er knyttet sandsynligheden 1/6 (kaldet punktsandsynligheder). Stokastisk beskrives variablen således: Tabel 3.1.a: X:= antal øjne ved kast med en sekssidet terning. x (udfaldsrum) P(X=x) (tæthedsfunktion) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 En stokastisk variabels sandsynligheder som funktion af dens mulige udfald kaldes dens tæthedsfunktion og betegnes med lille f. 1

13 Stokastiske variable kan være enten diskrete eller kontinuerte. En diskret variabel har et endeligt antal værdier for udfaldsrummet (et tælleligt udfaldsrum). I ovenstående eksempel med terningen er variablen diskret. I modsætning hertil vil en kontinuert variabel ikke have et endeligt udfaldsrum. Det vil fx være tilfældet, hvis udfaldsrummet er alle tidspunkter mellem kl. 16 og kl. 17. Ligesom den stokastiske variabel beskriver sandsynligheden for et enkelt udfald, kan den beskrive sandsynligheden for at den er mindre end eller lig en given værdi, hvilket bliver en funktion af x, som følger: F(x) = P (X <= x). Dette kaldes den stokastiske variabels fordelingsfunktion og betegnes med store F. Der eksisterer en entydig sammenhæng mellem en stokastisk variabels tæthedsfunktion og dens fordelingsfunktion. Kendes den ene, kan den anden udledes. Hvor fordelingsfunktioner for diskrete stokastiske variable beregnes ved blot at summere de enkelte punktsandsynligheder, er det for kontinuerte stokastiske variable nødvendigt at bruge integralregning. For kontinuerte stokastiske variable eksisterer der ikke en sandsynlighed for et enkelt punkt; i stedet kan der knyttes en sandsynlighed til et interval, hvor sandsynligheden er lig med integralet af fordelingsfunktionen over det givne interval. Fx bliver sandsynligheden for en værdi mindre end eller lig med x beskrevet ved: x F ( x) f ( x) dx Stokastiske variable beskrives ved deres momenter, særligt første moment: middelværdi og andet moment: varians, som samtidig er de to momenter, der skal anvendes i denne opgave. Simple (symmetriske) stokastiske variable beskrives fuldstændigt ved disse to momenter, fx ovenstående ligefordeling og den kendte: normalfordeling. Første moment er middelværdien, som benævnes E(X) og er givet ved: diskret E ( X ) x * f ( x) kontinuert E ( X ) x * f ( x) dx x Middelværdien er den stokastiske variabels vægtede gennemsnit. 13

14 Andet moment er varians, som benævnes V(X), og er givet ved: diskret ( X ) x E( x) V f ( x) kontinuert ( X ) x E( x) x V f ( x) dx Variansen bliver et mål for, i hvilket omfang den stokastiske variabels sandsynlighedsmasse er centreret omkring dens middelværdi. Tages kvadratroden af varians, fås hjælpebegrebet standardafvigelse (STD). Standardafvigelse bruges inden for økonomisk teori i vidt omfang til at beskrive volatilitet (usikkerhed). Foretages en undersøgelse af en naturlig forekommende stokastisk variabel, fx antal pollen i en vis mængde luft som funktion af dagen i året, kan variablen kun fuldstændig beskrives ved en tabel, som angiver det totale udfaldsrum og alle tilknyttede sandsynligheder. Dette er ikke praktisk for teoretisk arbejde, og der findes da også i statistisk teori et stort antal kendte stokastiske variable (fordelinger), som er karakteriseret ved, at den stokastiske variabel præcist kan beskrives ved et matematisk udtryk. Dette gælder fx for normalfordelingen (den gaussiske fordeling), som ubestridt er den mest kendte og anvendte teoretiske stokastiske variabel. Denne fordeling vil efterfølgende blive anvendt ved opstilling af en model for aktiekurser. Der gælder for normalfordelingen, at den er kontinuert, og når dens middelværdi og varians er givet ved: og, da beskrives dens tæthedsfunktion som følger: 1 f ( x, ) exp( 1/ ( x ) / ). Særligt gælder, at når middelværdien er 0 og variansen (og dermed også standardafgivelsen) 1, da kaldes fordelingen for den standardiserede normalfordeling (også kaldet u-fordeling). Denne fordeling er særligt simpel og vil derfor blive anvendt nedenfor. Bl.a. vil der gælde, at da enhver fordelingsfunktion ( for den standardiserede normalfordeling) vil løbe fra 0 til 1, da kan man ved at bruge et tilfældigt tal mellem 0 og 1 og ved at bruge den inverse fordelingsfunktion ( 1 ) opnå et tilfældigt udtræk i den standardiserede normalfordeling. I Excel gøres dette ved funktionen: NORMSINV(RND()). 14

15 3. Stokastisk proces En stokastisk proces kan nu defineres som en variabel, hvis værdi over tid er stokastisk bestemt. En sådan stokastisk proces kan være såvel diskret som kontinuert, hvilket blot afhænger af, om den skifter værdi alene på bestemte tidspunkter (diskret), eller om den kan skifte værdi til ethvert tidspunkt (kontinuert). Præcis hvilken stokastik, som lægges til grund for processen, vil nu afgøre, hvordan variablen vil udvikle sig over tid. Ved modelarbejde vælges en kendt og simpel stokastisk variabel for at lette det videre modelarbejde. Det skal dog gælde, at den valgte stokastik i videst muligt omfang skal være i overensstemmelse med virkelighedens observationer, og at der i hvert fald ikke må være afgørende uoverensstemmelser Wiener-proces (brownsk bevægelse) Wiener-processen er blevet hjørnestenen ved simulering af aktiekurser, og den skal også anvendes i denne opgave (nedenfor redegøres for valget af denne proces). Det stokastiske led (dz), som anvendes for en wiener-proces, er beskrevet ved: dz * dt, hvor ~ (0;1 ) og ved at processen har uafhængige tilvækster, dvs. at værdien af dz for to forskellige tidsintervaller er uafhængige. Wiener-processen er en Markov-proces, hvilket vil sige, at al relevant information for processens videre udvikling er givet ved dens aktuelle værdi. Processens første to momenter bliver: E(dz) = 0 V(dz) = dt Det bemærkes, at ved notationen dt og dz er der i teorien tale om uendeligt små størrelser, altså grænseværdierne hvor t går imod 0. 15

16 3.. Generaliseret wiener-proces (brownsk bevægelse med drift) En model for aktiekurser har ud over et stokastisk led tillige brug for et driftled, som kan modellere, at aktiekurser generelt antages at vokse over tid (give positivt afkast). Derfor udvides den simple wiener-proces til den såkaldte generelle wiener-proces, som for variablen X er givet ved: dx = a * dt + b * dz hvor a * dt bliver driftleddet (processen stiger med a pr. tidsenhed) og b * dz bliver det stokastiske led. Processens første to momenter bliver: E(dx) = a * dt V(dx) = b * dt Af særlig interesse for det senere modelarbejde er det forhold, at de stokastiske tilvækster for en generaliseret wienerproces til enhver tid (T) vil være normalfordelt med middelværdi a * T og varians b * T. Dette vil gøre det muligt umiddelbart at simulere aktiekurser, ved blot ét udtræk fra normalfordelingen (og dermed ved blot at gøre brug at ét tilfældigt tal) jvf. nedenfor under Ito s lemma Ito proces (geometrisk brownsk bevægelse, GBM) Sidste udvidelse fra den generelle wiener-proces til en såkaldt ito proces sker ved at lade leddene a hhv. b være funktioner af dels tid (t), dels den underliggende proces (x). Dermed haves: dx = a(x,t) * dt + b(t,x) * dz, hvor dz fortsat er en stokastisk standard normalfordelt variabel ( ) multipliceret med kvadratroden af tiden, dt: ( dz * dt ). Processen kaldes også en geometrisk brownsk bevægelse (GBM) og er geometrisk (i modsætning til en aritmetrisk brownsk bevægelse), da driftleddet afhænger af x, hvorved driften altså vil ændres over tid, i takt med at x ændres. For at modellere aktiekurser (S) vælges nu følgende parametre: a(t,x) = * S og b(t,x) = * S 16

17 Dermed haves den kontinuerte model af aktiekurser, som vil blive brugt fremover. I denne udgave vil både og være konstanter, men der er imidlertid ikke noget til hinder for, at de var tidsafhængige. Det bemærkes, at aktien antages ikke at være udbyttebetalende. Såfremt aktien faktisk havde været udbyttebetalende, skulle modellen ændres, således at driften ( ) reduceredes fx med et kontinuert udbytte. Den i opgaven anvendte model til at beskrive værdiudviklingen på det underliggende aktiv, aktiekursen S, bliver herefter som følger: ds S dt S dt Modellen opstiller en differentialligning for aktiekursens udvikling, idet der ikke umiddelbart kan angives et udtryk for S som funktion af tid, hvorfor der i stedet opstilles et udtryk for ds som funktion af tid. Dette illustrerer, hvorfor det er vanskeligt at opstille lukkede matematiske udtryk for optionspriser: aktiens værdi (integralet af differentialligningen) på de tidspunkter, som har betydning for options værdi, kun undtagelsesvist vil kunne løses matematisk. Samtidig ses det, hvorfor numeriske metoder finder anvendelse, idet ovenstående differeltialligning giver mulighed for fx at simulere aktiekursens udvikling over tid Ito s lemma Ito s lemma er en yderst anvendelig hjælpesætning, som for en given ito-proces (x) samt for en funktion af denne proces, fx givet ved G(t,x), vil kunne give formlen for den differentierede G proces (dg). Ito s lemma er dermed en hjælpesætning til at differentiere stokastiske processer. Hvor der normalt vil gælde, at G G dg * dx * dt, haves ifølge Ito s lemma for en stokastisk proces i stedet: x t G G G dg * dx * dt ½ * dx x t x For ito-processen: dx = a(t,x) * dt + b(t,x) * dz fås ved indsættelse følgende resultat: dg dg d G dg dg * a 0,5* * b * dt * b * dz dx dt dx dx 17

18 Det ses, at også dg vil være en ito-proces, idet de to parenteser foran hhv. dt og dz blot bliver det nye driftled a(t,x) hhv. det nye volatilitetsled b(t,x). Denne hjælpesætning har stor betydning ved prisfastsættelse af afledte aktiver, som netop er funktioner af t og x. Endvidere vil Ito s lemma give indsigt i, hvordan aktiekursen direkte kan simuleres, hvilket vil blive benyttet i denne opgave. Opstilles følgende G-proces: G(S,t) = Ln( S t ), altså den naturlige logaritme til den generelle aktiemodel givet ovenfor: ds S dt S lemma, at: dt, hvor altså a(t,x) = * S og b(t,x) = * S, da giver Ito s Bevis: dg * dt * dz Når G=Ln(S), da er første afledte med hensyn til S lig G (S)= G (S)= - 1 S, anden afledte S, medens G differentieret med hensyn til t er lig 0. Ved indsættelse fås: dg * * S 0 0,5* * * S S S dg * dt * dz * S * dt * * S dz Det ses altså, at G-processen også er en generaliseret wiener-proces, hvor det jvf. afsnittet herom ovenfor vil gælde, at processen vil være normalfordelt med følgende momenter: E( G(t) ) = Go + ( - /) * T V( G(t) ) = * T At G, altså den naturlige logaritme til S, er normalfordelt, er ensbetydende med, at S er lognormalfordelt. For yderligere læsning om Ito s lemma henvises til Itô, Kiyosi (1951) On Stochastic Differential Equations, Memoirs of the American Mathematical Society 4: p

19 3..5 Modellens overensstemmelse med empiri Ovenstående model anvendes hyppigt, herunder nedenfor, ved udledningen af Black- Scholes formel (BS-formel), eftersom den findes at være i god overensstemmelse med empiri for aktiekurser. Her skal der peges på: at modellen er en såkaldt Markov-proces, som er en stokastisk proces, hvor kun variablens aktuelle værdi har betydning for dens fremtidige udvikling eller med andre ord: Hvordan den har opnået sin aktuelle værdi, har ingen betydning for dens fremtidige værdi. Dette er netop et kendetegn for aktier, hvor det antages (for effektive markeder i svag form eller bedre), at aktiekursens fremtidige udvikling ikke kan forudsiges ud fra viden om dens historik. at modellen indeholder en driftrate ( ) som netop angiver det relative afkast, som ejeren af aktien forlanger, og endelig at modellen indeholder et stokastisk usikkerhedselement, som angiver den til aktien knyttede relative usikkerhed (volatilitet) Modellens begrænsninger Den geometriske brownske bevægelse vil som nævnt blive lagt til grund i denne opgave. Følgende indvendinger skal dog for god ordens skyld nævnes: at modellens antagelser om konstant og uafhængig rente og volatilitet ikke helt er i overensstemmelse med empiri om aktiekurser, herunder at der observeres korrelation mellem kursudvikling og volatilitet (aktier har perioder med højere hhv. lavere volatilitet) at modellen helt generelt ikke indeholder tilstrækkelig volatilitet. Det stokastiske led beskriver måske nok ordinære udsving i aktiekurser, mens det ikke i fuldt omfang beskriver ændringer i aktiekurser, forårsages af overordnede makroøkonomiske forhold (strukturelle økonomiske ændringer), som fx verdenskrige, etablering af fællesmarked i Europa, krav om højere risikopræmie i tider med aktiv verdensomspændende terrorisme eller IT-bobler, som brister at en kontinuert model teknisk set ikke er korrekt, idet aktier ikke kan handles efter en børs lukketid, hvorimod den underliggende økonomi jo fortsætter alle 19

20 døgnets 4 timer, hvorfor der hver dag ved åbningstid skal korrigeres for nattens udvikling. Med hensyn til punkt to kan modellen enten ændres til at tage højde herfor, fx ved at tilføje yderligere stokastiske led, som fx beskrevet af Merton (1979), hvor en poissonvariabel tilføjes, eller man skal i hvert fald være opmærksom på, at modellen bedst finder anvendes ved prisfastsættelse inden for et kortere tidsrum Opgavens anvendelse af stokastisk proces for aktiekurser I denne opgave vil der senere blive opstillet to modeller i Excel for prisfastsættelse af asiatiske optioner. Begge modeller bygger på ovenstående generelle differential-ligning. Model A til prisfastsættelse af asiatiske optioner Den ene model vil umiddelbart anvende den kontinuerte proces som angivet ovenfor, hvor det ved at bruge Ito s lemma udnyttes, at da den naturlige logaritme til aktiekursen er normalfordelt med de angivne to første momenter, så kan aktiens værdi umiddelbart findes ved et tilfældigt udtræk fra normalfordelingen. G( t) ~ N( G ( )* t; * ) 0 t S( t) LnS ( )* t * t Ln * 0 S ( t) exp Ln( S ) ( )* t * * t 0, hvor ~ N(0;1) Ved modelarbejdet udnyttes det, at et tilfældigt udtræk fra den standardiserede normalfordeling kan findes ved blot at bruge et enkelt tilfældigt tal. I Excel gøres dette som følger: =Normsinv(Rnd()). I VBA programmeres aktiens kurs (S1) som følger: S1 = S0 * Exp((r - vol / ) * T + vol * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(T)) For asiatiske optioner, hvor der skal foretages gennemsnit af flere værdier af aktien, foretages blot flere udtræk fra normalfordelingen. Således findes S tillige ved ovenstående metode, ved blot at anvende S1 som startværdi. Den tid, som indgår i formlen, skal da blot være den tid, som forløber imellem aktieværdierne. 0

21 Model B til prisfastsættelse af asiatiske optioner Den anden model bruger Monte Carlo-simulering, ved at tage mange små tidsskridt ( t ). For at gøre dette, omskrives den kontinuerte model til dens diskrete version: S * S * t S * * * t hvor tidsskridt ikke er uendeligt små (dt), men i stedet får længden t. Dermed bliver det stokastiske led givet ved: z * t. Ved simulering haves altså: St t St S St * St * t St * * * t hvor epsilon fortsat er den stokastiske normalfordelte (0;1) variabel. Ved at foretage MCS med små tidsskridt (altså at bruge modellen i dens diskrete form) opnås i teorien samme resultat som i BS-formel! Ved enhver form for simulering udnyttes den såkaldte store tals lov, hvor det gælder, at ved tilstrækkelig mange simuleringer, da vil simuleringernes middelværdi konvergere mod den sande middelværdi. De mange simuleringer af aktiekursen, som vil blive foretaget, vil konvergere mod det sande billede af aktiekurserne sande fordeling på de tidspunkter, som er relevante for den asiatiske option (under antagelse om risikoneutralitet). Som det vil blive vist nedenfor, benytter BS-formel for den europæiske option netop kendskabet til aktiekursens fordeling til at opstille et generelt udtryk for optionsværdien. MCS giver dog anledning til en fejlkilde, idet der i praksis ikke udføres uendeligt mange tidsskridt. Betydningen heraf i forhold til at udføre MCS diskuteres nedenfor i afsnittet 7.., hvor model B implementeres. 1

22 4. Risikoneutral prisfastsættelse og Black-Scholes formel Princippet om risikoneutral prisfastsættelse for afledte aktiver er en hjørnesten for den teoretiske udvikling af optionspriser, herunder en nødvendig forudsætning for den såkaldte Black-Scholes formel, som det vil blive vist senere i afsnit 4.. At det forholder sig sådan, er ikke intuitivt forståeligt, idet man normalt ville forvente, at der skal anvendes en risikopræmie, når et sikkert cash-flow (optionens pris) modtages, men et volatilt cash-flow (optionens eventuelle senere afkast) skal afleveres. Krav om en risikopræmie kan fx illustreres ved et helt almindeligt aktiekøb, hvor køberen af en aktie straks betaler et fast kendt beløb til sælger af aktien. En akties fremtidige afkast er imidlertid usikkert, idet ingen kan forudsige dens kursudvikling og de fremtidige udbytter (herunder risikoen for at aktien bliver værdiløs ved aktieselskabets konkurs). Køberen af aktien vil derfor forlange en risikopræmie i forbindelse med købet og vil altså kun være villig til at betale aktiens værdi (nutidsværdien af dens forventede fremtidige cash-flow) minus denne risikopræmie. Jo større usikkerhed (volatilitet), der er knyttet til et cash-flow, jo større risikopræmie vil køber forlange. At dette, under fravær af arbitrage, ikke er tilfældet for afledte aktiver, vil blive vist matematisk nedenfor. Forklaringen er, at der netop er tale om afledte aktiver, dvs. kunstige aktiver. Afledte aktiver indeholder ganske vist endda stor usikkerhed om det fremtidige cash-flow (stor volatilitet i afkastet), men dette beror ikke på nogen underliggende økonomiske sammenhænge, som fx en virksomheds forløb, men alene på, at man teknisk set har konstrueret aftalen med denne volatilitet. I det omfang man ikke ønsker denne volatilitet, ville det netop være muligt at hedge den bort ved at sammensætte en passende portefølje af det afledte aktiv og det underliggende aktiv, det vil nedenfor vil blive vist, at en sådan sammensat portefølje er risikofri. 4.1 Bevis for risikoneutral prisfastsættelse At afledte aktiver på fx aktier kan prisfastsættes under antagelse om risikoneutralitet, kan vises som følger, under antagelse om fravær af arbitrage. I udgangspunktet haves

23 det underliggende aktiv S t, som følger en geometrisk brownsk bevægelse, som vist i afsnit 3..3: ds S dt S For det afledte aktiv, f, gælder, at prisen på dette alene afhænger af tid og værdien af det underliggende aktiv. Altså f(t,s). Dette er imidlertid netop en sådan funktion af en itoproces (som S jo følger), hvor Ito s lemma kan finde anvendelse, jvf. afsnit Der vil altså gælde: df df d f df df * a 0,5* * b * dt * b * dz dx dt dx dx Det er nu muligt at sammensætte en blandet portefølje af aktivet S og dets afledte aktiv f, således at porteføljen bliver risikofri. Med fravær af arbitrage er det oplagt, at en risikofri portefølje ikke skal indeholde nogen risikopræmie, men blot give et afkast lig den risikofri rente! Porteføljen sammensættes på en smart måde ved at sælge det afledte aktiv og ved at købe et passende antal aktier (hvor df/ds viser sig at være det passende antal!). Porteføljens værdi P er herefter lig: P = -f + df/ds * S At porteføljen så faktisk er risikofri, vises ved at betragte dens værdiudvikling over et meget lille stykke tid (dt). Hvis denne værdiændring er uafhængig af den stokastiske proces, er porteføljen risikofri. Der haves: dt dp = -df + df/ds * (S(to+dt)-S(to)) Nu indsættes ovenstående værdier for hhv. df og ds (ds = S(to+dt)-S(to)), idet a = * S og b= * S: df df d f df df dp S * dx dt dx dx ds df d f dp 0,5 dt dx S dt S dt * * S dz S dt S dz Det ses, at det stokastiske led forsvinder. Porteføljen er dermed risikofri, og dens afkast skal være lig med den risikofri rente, altså dp = r * P * dt, der haves: df d f r * P * dt 0,5 * * * dt dx * S dt df df d f r * f * S * r 0,5 * * S dt ds ds * 3

24 Ovenstående ligning kaldes den generelle partielle differential-ligning, og den vil gælde for alle afledte aktiver, hvor det underliggende aktiv følger en GBM, idet ligningen jo blev udledt for det generelle afledte aktiv f. Ligningen er dog igen en differential-ligning, endda en kompliceret differential-ligning, idet der er differentieret både mht. t og S og ved både første afledte og anden afledte. Det gælder dog fortsat generelt, at enhver funktion er defineret præcist ud fra dens afledte funktion, såfremt man tillige kender et punkt for selve funktionen. Det er dog ikke sikkert, at udtrykket kan løses med en lukket formel, idet integralet ikke altid kan findes, jvf. betragtningerne overfor om hvorfor numeriske metoder (herunder Monte Carlo-simulering) kan finde anvendelse ved prisfastsættelse af afledte aktiver. 4. Black-Scholes formel (BS) Ét kendt punkt for værdien af afledte aktiver findes dog for den europæiske call-option hhv. ved den europæiske put-option ved deres udløb, hvor værdien fx for call-optionen er givet ved f(t,s) = max ( S-X ; 0 ). Dette gør det muligt at udlede den meget kendte Black-Scholes formel i forlængelse af ovenstående princip om risikoneutralitet og fravær af arbitrage, uanset at det oprindelige bevis fra de tre involverede forskere tog en anderledes vinkel, jvf. Black, Fisher & Myron Scholes (1973). Det er vist i afsnit 3..4, at Ln( S t ) følger en normalfordeling med middelværdi: = Ln(S) + ( r - 0,5* / ) * t og varians: * t. Indsættes dette i den generelle tæthedsfunktion for normalfordelingen fra afsnit 3.1, fås: f ( Ln( S t 1 )) exp( 1/ ( Ln( S t ) ) / ) Det følger heraf, at når Ln til St er normalfordelt, da bliver St selv logaritmisk normalfordelt (lognormal-fordelt), givet ved: 4

25 f ( S t ) 1 exp( 1/ ( Ln( S S t t ) ) / ) I den risikoneutrale verden vil call-optionens pris ved dens udstedelse være givet ved: c = E (max ( 0; St - X ) * exp(-rt), hvor E er den stokastiske middelværdi af udtrykket i parentesen, og hvor denne middelværdi af afkastet på optionens udløbstidspunkt, T, tilbagediskonteres med den risikofri rente. Værdien af en option kan illustreres med denne figur. Aktiekursen begynder med værdien So til tid 0. Aktiekursen følge en GBM frem til tid T. Et enkelt forløb er vist. Med kendskab til GBM-bevægelsen kendes aktiekursens fordeling til tid T, og denne fordeling er indtegnet på den lodrette akse. Ved MCS udnyttes det, at tilstrækkelig mange simuleringer vil afspejle netop denne fordeling. Arealet over X angiver sandsynligheden for at call-optionen er ITM, medens optionens værdi findes som nutidsværdien af integralet af: tæthedsfunktionen multipliceret med gevinsten ( St -X). Figur 4..a: Illustration af en optionsværdi Aktiekurs Aktiekursens fordeling til tid T Intensitet for St Optionens værdi X So 0 Kilde: Egen tilvirkning T Tid Som det ses på ovenstående tegning, kan problemet med maksimumfunktionen løses ved at finde arealet fra X og op. Dermed sikres, at maksimumfunktionen altid er positiv, hvorved den udgår. Dvs. ved at integrere prisudtrykket fra X og frem til uendelig. 5

26 x ST X * f ( ST dst c exp( rt) * ), hvor f(s) er punktsandsynlighederne for S <=> c exp( rt) * S * f ( S ) ds X *exp( rt) * f ( S ) ds x T T T Til løsning af disse to integraler skal der bruges en del avanceret statistik, herunder viden om at når S t er lognormal-fordelt, så er Ln( S t ) normalfordelt. x T T Det sidste integral findes relativt nemt ud fra viden om den standardiserede normalfordeling. Integralet angiver blot den samlede sandsynlighed for, at den stokastiske variabel S t er større end eller lig X, hvilket svarer til at Ln( S t ) er større end eller lig Ln(X), da den naturlige logaritme er en monotont voksende funktion: x f ( S T ) ds P( Ln( S T Ln( X ) ) Ln( X ) ) Ln( X )) 1 N( ) N( ) Den sidste omskrivning kan foretages, da normalfordelingen er symmetrisk, hvorfor 1- N(x) er lig N(-x). Indsættes den allerede fundne middelværdi og standardafvigelse for S t fås: Ln( S) Ln( X ) ( r N * t ) * t Ln( S / X ) ( r N * t ) * t Det første integral er mere kompliceret. Her benyttes følgende sammenhæng for en lognormal-fordelt stokastisk variabel med middelværdi og standardafvigelse : a x * f ( x) dx exp( / ) * N( Ln( a) ) Denne sammenhæng skal ikke gennemgås nærmere, i stedet henvises til Jensen (1995). Ved indsættelse af St s middelværdi og standardafvigelse jvf. ovenfor fås: X S T f ( S T ) ds T exp Ln( S) ( r ) t Ln( X ) Ln( S) ( r ) t t* N t Ln( S / E) ( r ) T S *exp( rt) * N T Hermed er de to integraler løst, hvorved et lukket udtryk for værdien af en europæisk call-option er fundet. Black-Scholes formel var, da den blev fremsat i 1973, bane- t 6

27 brydende for den økonomiske teori omkring derivater, og to af de tre forskere modtog da også i 1997 Nobelprisen i økonomi herfor (Merton og Scholes, idet Black døde i 1995). Hull udleder tillige formlen også under antagelsen om risikoneutralitet, jvf. Hull (003:6). Formlens populære og simple udseende er: C(T,X) = S * N (d1) X * exp (-rt) * N (d), hvor altså argumenterne for N er forkortet til: d1 Ln( S / E) ( r ) T T Ln( S / X ) ( r ) T d d1 T * T Ønskes den tilsvarende værdi for en europæisk put-option, findes denne umiddelbart ved brug af put/call-pariteten, jvf. afsnit.3. Det nævnes for god ordens skyld, at den oprindelige BS-formel antog, at aktien ikke udbetalte udbytte. Denne restriktion blev dog efterfølgende fjernet, jvf. Merton (1973). Såfremt der blot sker en enkelt dividendeudbetaling (q) til tidspunkt (t1), kan den sædvanlige BS-formel anvendes med den modifikation, at S udskiftes med S * exp(q * t1), svarende til at den relevante værdi af aktien bliver dens nuværende værdi minus den tilbagediskonterede værdi af udbyttebetalingen. Hvis der udbetales et kontinuert udbytte (d), som tilfældet fx er for aktieindeks, skal der blot foretages to simple ændringer: (1) at driften r justeres til: (r-d), og () at S ændres til S*exp(-d*T) efter samme ræsonnement som for aktier med én udbyttebetaling. Black-Scholes formel vil blive anvendt i denne opgave, eftersom den giver en teoretisk korrekt værdi for europæiske optioner. I den forbindelse kan europæiske optioner opfattes som et specialtilfælde i opgavens generelle modeller for prisfastsættelse af asiatiske optioner, idet en europæisk option er lig en asiatisk option, hvor gennemsnittet findes ved blot at se på én værdi for S (nemlig slutværdien). Black-Scholes formel kan dermed bruges til at validere, om opgavens opsatte modeller er korrekte. 7

28 I den forbindelse skal nævnes, at numeriske metoder, herunder MCS, i teorien altid kan finde frem til det korrekte resultat; det kræves blot at der gennemføres tilstrækkelig mange simuleringer, hvorved det interessante ved disse metoder ud over om de måtte indeholde egentlige programmeringsfejl bliver, hvor hurtigt de konvergerer mod det korrekte resultat. 4.3 Hvorfor findes der et marked for afledte aktiver Man kan så spekulere over, hvorfor der overhovedet findes et marked for afledte aktiver, idet man umiddelbart ville forvente, at ingen ville ønske at købe/sælge volatile aktiver, når der ikke kan opnås nogen risikopræmie. Det forholder sig da også sådan, at der kun eksisterer et marked for afledte aktiver, i det omfang der findes naturlige udbydere, altså to parter som hver især har behov for at købe hhv. sælge det afledte produkt. Eksempel 4.3.a Et eksempel herpå kunne være et dansk hhv. et amerikansk firma, som begge handler på den andens marked, hvorfor begge virksomheder har indtægter i det andet lands valuta. Såfremt selskaberne ønsker at immunisere deres indtægter over for valutakursudsving, kan der indgås en aftale. Under eksempel 5.4.a vil dette eksempel blive udbygget, og det vil blive vist, hvordan virksomhederne med fordel kunne udstede hhv. en asiatisk call- og en asiatisk put-option på dkk/usd-valutakursindekset til hinanden. At afledte aktiver skal prisfastsættes under antagelse om risikoneutralitet (også kaldet risikoneutral verden) betyder altså, at alle markedsdeltagere antages at være risikoneutrale. Det gælder endvidere, at aktivers forventede værdi skal beregnes ud fra de sandsynligheder, som en risikoneutral invester ville tillægge dem, ligesom enhver diskontering skal ske med den risikofri rente. 8

29 5. Den asiatiske option Den asiatiske option er en såkaldt eksotisk option, og kaldes ligesom en række andre optionstyper eksotisk, fordi de alle har en kompliceret opbygning, i modsætning til de ordinære optioner, som beskrevet i kapitel. At optionen kaldes en asiatisk option har ikke nogen speciel betydning. David Spaughton fortæller den historie, at han og Mark Standish begge arbejdede for Bankers Trust i De var udstationerede i Tokyo, da de udviklede den første anvendte prisformel for optioner, tegnet på råolie-indekset med brug af en gennemsnitsberegning. Eftersom de var i Asien, fik optionerne navnet Asian Options, jvf. Falloon (1999). Der er jo generel aftalefrihed mellem to parter, også på det finansielle område, hvorfor det står to parter frit at indgå aftale om netop den type afledte produkter, som de måtte ønske og mener at have behov for. Tager man menneskets generelle opfindsomhed i betragtning, kan det ikke undre, at der stedse opstår nye afledte finansielle produkter. På den meget omfattende hjemmeside for derivater ( findes således beskrevet 75 forskellige eksotiske optioner, flere af dem angivet med tilhørende Excel-ark til beregning af værdien. Udfordringen består i at forstå, hvordan de virker, være opmærksom på antagelserne om det underliggende aktivs værdiudvikling og dermed forsøge at prisfastsætte dem korrekt! 5.1 Asiatisk options virkemåde Den asiatiske option har følgende virkemåde: I udgangspunktet er der tale om en europæisk option, hvor præmien betales straks, og hvor optionen giver ret til at handle et underliggende aktiv på ét senere fastsat tidspunkt (T). Det aftales imidlertid, at optionen skal give et afkast lig med differencen imellem den aftalte strikekurs (X) og et gennemsnit ( S average) af det underliggende aktivs værdi hen over optionen løbetid. I det simple tilfælde kan gennemsnittet ( S average ) beregnes ved to målepunkter: halvvejs i løbetiden og ved tidspunkt T. Der er imidlertid intet til hinder for, at gennemsnittet beregnes ved brug af et vilkårligt antal målepunkter, herunder at gennemsnittet i teorien beregnes kontinuert over hele løbetiden. Følgende udtryk haves for optionens afkast: 9

30 max ( 0, a ( S average X) ), hvor a=1 for call-optionen og -1 for put-optionen. Som nævnt tidligere indeholder Dexia-obligationen netop en asiatisk option, når man dekomponerer produktet, jvf. bilag A. Som det fremgår af bilaget, er der tale om en asiatisk option med varigheden fem år, hvor det underliggende aktiv er A.P. Mølleraktien. Det fremgår også, at præmien for optionen er konstrueret på den specielle måde, at dels betales straks en præmie på 5, dels foretages et udlån fra køber til sælger på 100 rentefrit i fem år. Det er imidlertid muligt at beregne nutidsværdien af dette lån og dermed beregne en teknisk pris for optionen: 41,47 kr. pr. 1 stk. option. Det skal for god ordens skyld nævnes, at den asiatiske option i teorien godt kan have førtidig exercise (altså på samme måde som en amerikansk option), hvorved der så blot foretages et gennemsnit frem til exercise-dagen. Endvidere findes en helt anden variant af optionen: at den giver anledning til et afkast ved udløb lig med den aktuelle spotkurs på det underliggende aktiv minus aktivets gennemsnitlige kurs. I denne opgave vil disse to varianter ikke blive gennemgået yderligere. Det kan kort nævnes, at den sidstnævnte type nemt kan prisfastsættes ved ganske små ændringer i opgavens opstillede modeller (i VBA), medens en asiatisk option med mulighed for vilkårlig exercise vanskeligt lader sig prisfastsætte ved brug af MCS. 5. Værdi af asiatisk option Når det antages, at det underliggende aktiv følger en GBM, hvorved aktivets værdi bliver lognormal-fordelt, og såfremt der anvendes et geometrisk gennemsnit s 1 * s s ) i stedet for et aritmetrisk gennemsnit, da er det muligt at finde et lukket ( n n udtryk for den asiatiske options værdi. Dette skyldes, at det geometriske gennemsnit af et sæt af lognormal-fordelte stokastiske variable selv vil blive lognormal-fordelt. Det er bevist (Kemma, 1990:113+), at når det underliggende aktivs volatilitet ændres fra til 3, og dets drift ændres fra r til ½( r 6), da kan den asiatiske options værdi beregnes som en almindelig europæisk option ved brug af BS-formlen. I markedet ses denne metode for beregning af gennemsnit ikke, imidlertid vil det i det senere modelarbejde blive udnyttet, at den lukkede formel for den asiatiske option med 30

31 geometrisk gennemsnit kendes. Dette udnyttes til at forbedre præcisionen ved Monte Carlo-simulering ved brug af den såkaldte Control Variate-metode, jvf. afsnit 7.3. Med kendskab til den asiatiske options virkemåde og med henvisning til gennemgangen af put/call-pariteten i afsnit. kan det nu godtgøres, at put/call-pariteten gælder for den asiatiske option, på samme måde som den gælder for ordinære europæiske optioner, blot med den forskel, at S t udskiftes med S average, således at formlen bliver: c p = exp (-rt) ( S X ). average Put/call-pariteten kan bruges som kontrol i modelarbejdet, men finder ikke tilsvarende praktisk anvendelse som for europæiske optioner, fordi værdien af gennemsnitsaktivet er vanskeligere at håndtere for den asiatiske option. 5.3 Sammenligning mellem asiatisk og europæisk option Den asiatiske option har betydeligt lavere volatilitet end en tilsvarende europæisk, hvilket følger af, at der beregnes en gennemsnit af det underliggende aktivs kurs. Jo flere målepunkter der anvendes for den asiatiske option, jo lavere volatilitet vil den have. Dette vil i næsten alle tilfælde betyde, at den asiatiske option har lavere værdi end en tilsvarende europæisk option, da volatilitet øger en options værdi. Det skal imidlertid i opgaven undersøges, om dette altid til være tilfældet, således som angivet af fx Hull (Hull, 003:443). Man kunne forestille sig, at det undtagelsesvis for en put-option ville være mere værdifuldt med lavere drift, trods den lavere volatilitet, ud fra den hypotese, at det kan være mere værdifuldt at øge sandsynligheden for at ende In-The-Money på bekostning af den værdi, som optionen opnår ved den højere volatilitet. Dette var i øvrigt det afsluttende eksamensspørgsmål fra kurset videregående værdipapiranalyse, som omtalt i forordet! Resultatet af analysen findes nedenfor i afsnit For generelt at belyse denne problemstilling ses i den følgende analyse på put-optioner. Kun undtagelsesvis vil det have interesse at se på både call- og put-optioner, eftersom analyseresultater fra den ene type generelt vil gælde for den anden type også, og fordi det generelt er fastslået, at for call-optionen vil den asiatiske option altid have lavere værdi end en tilsvarende europæisk option. Der henvises i denne forbindelse til den 31

32 ovenfor beskrevne put/call-paritet, som også gælder for asiatiske optioner, med behørig respekt for, at det er differencen mellem strikekursen og aktiekursens gennemsnitsværdi, som optionen giver ret til, og som derfor skal indgå ved anvendelse af put/call-pariteten. 5.4 Asiatisk option praktisk anvendelse Man kan spørge, hvilken interesse en asiatisk option har for markedsdeltagerne. Ihukommende at optioner, jvf. afsnit 4.3, kun eksisterer, i det omfang der er naturlige udbydere. En sådan option kan imidlertid være ganske anvendelig for en markedsdeltager, hvis produktion er meget afhængig af én given ressource med meget volatil pris; eller en markedsdeltager, som har et løbende cash-flow, som ønskes beskyttet, fx over for ændringer i valutakurs. Følgende eksempel vil illustrere behovet: Eksempel 5.4.a: Anvendelse af asiatisk option til afdækning af valutarisiko En virksomhed i Danmark producerer varer, som skal afsættes på det amerikanske marked. Varerne produceres i Danmark, fragtes til USA, hvor de antages at ville blive solgt løbende over seks måneder. Virksomheden modtager indtægter i takt med salget, men ønsker ikke at være eksponeret for valutakursrisici og ønsker derfor, at indtægten i DKK ligger fast, uanset hvordan dollarkursen udvikler sig. En simpel option på valutakursindekset USD/DKK kan overvejes, idet en put-option herpå giver virksomheden mulighed for at sælge dollars til en forud fastsat kurs. Det er imidlertid ikke oplagt, hvilken løbetid optionen i givet fald skulle have, idet tidspunktet for salgsindtægterne er ukendte, og idet der ikke vil være tale om indtægter i USD på kun ét givent tidspunkt. Her kan virksomheden i stedet udtage en asiatisk put-option, hvorved salgsindtægterne i dollars i det omfang de modtages jævnt over optionens løbetid netop bliver omvekslet til DKK til periodens gennemsnitlige valutakurs. En alternativ anvendelse for asiatiske optioner er det tilfælde. hvor der i udgangspunktet var behov for en ordinær europæisk option, men hvor det underliggende aktiv er en enkelt aktie, hvorfor der ønskes en beregning af et gennemsnit over et vist tidsrum for at opnå beskyttelse imod kursmanipulation. Dette kunne fx være tilfældet med optioner, som en virksomheds ledelse måtte have, eller optioner tegnet på et aktiv med lav omsætning. Kemna angiver denne beskyttelse imod kursmanipulation som en meget attraktiv egenskab ved den asiatiske option, Kemna (1990:17). 3

33 6. Prisfastsættelsesmodeller Kun undtagelsesvis findes der kendte lukkede prisudtryk for optioner. I alle øvrige tilfælde er det nødvendigt at ty til andre metoder. I denne opgave vil den numeriske metode Monte Carlo-simulering blive anvendt. Dette skyldes, dels at metoden er blevet betydeligt lettere tilgængelig, i takt med at stort set alle har stedse kraftigere computere til rådighed på deres arbejde, dels at metoden er særlig anvendelig på asiatiske optioner. Det gælder nemlig for asiatiske optioner, at deres værdi er sti-afhængig, altså at værdien ikke blot afhænger af det underliggende aktivs værdi ved optionens udløbstidspunkt, men også af hvordan denne værdi opstod. Styrken ved MCS består i, at det underliggende aktivs værdi beregnes med små tidsskridt, hvorved aktivets værdi ved hver simulering er kendt på ethvert tidspunkt. Af andre kendte prisfastsættelsesmodeller kan nævnes: dels den tidligere nævnte numeriske metode finite difference method, hvor den generelle differentialligning omskrives til en differensligning (diskret form), hvor de enkelte led derefter løses iterativt, dels metoden med at opstille et binomial-træ. Om sidstnævnte metode gælder dog, at den ganske vist kan konstrueres, så den kender det underliggende aktivs prisudvikling, men dette medfører, at binomialtræet vokser eksponentielt i størrelse (for hver tidsskridt fordobles antallet at gitterpunkter), hvorfor metoden er lidet anvendelig for asiatiske optioner. For den nyeste forskning om brug af binomial-træ se Klassen (001). Der er tillige lagt et stort teoretisk arbejde i at finde approksimative udtryk for værdien af asiatiske optioner. De vigtigste er Turnbull (1991), Levy (199) og Curran (199). 33

34 7. Monte Carlo-simulering Det er nu muligt at påbegynde det egentlige analyse-arbejde med at finde værdien af asiatiske optioner ved brug af Monte Carlo-simulering. Det gælder for MCS som for alle andre numeriske metoder, at det i teorien altid er muligt at finde den korrekte værdi, eftersom opstillede modeller for prisfastsættelse skal konvergere herimod, hvorfor der blot kræves, at der udføres tilstrækkeligt mange simuleringer. Den praktiske vanskelighed består i at have tilstrækkelig computerkraft /-tid til rådighed. Ved analysen af de i opgaven opstillede modeller til at finde værdien af den asiatiske option skal to forhold derfor undersøges: Er modellen korrekt opstillet, og er modellen korrekt implementeret i Excel? Hvor præcis er modellen, hvor hurtigt konvergerer den mod det korrekte resultat? Ved alle beregninger bruges i videst muligt omfang disse parametre: (S0=10, r=6%, vol=30%, T=1, X=15, A=1, Sim=100, OType=False, Step=10), i det efterfølgende refereret til som standardparametrene, medmindre andet er angivet. MCS vil blive udført i Microsoft Excel 00 (version ) med brug af det indbyggede programmeringssprog Microsoft Visual Basic 6.3 (version 9108), også kaldet VBA. Programmerne befinder sig på min hjemmecomputer, som har følgende tekniske karakteristika: Pentium 4;,53 GHz, 51 MB Ram. Analysearbejdet vil blive disponeret som følger: I afsnit 7. opstilles de to modeller, og deres implementering i Excel vil blive gennemgået og dokumenteret. I afsnit 7.3 gennemgås to variansreducerende teknikker til at øge præcisionen. Begge metoder vil blive implementeret i Excel og dokumenteret. I afsnit 7.4. kontrolleres korrektheden af de to modeller ved at lade dem prisfastsætte en europæisk call-option (betragtet som specialtilfælde af en asiatisk option, ved kun at have ét punkt til gennemsnitsberegningen) og denne værdi sammenholdes med den teoretisk korrekte værdi fundet ved BSformel. Endelig i afsnit 7.5 undersøges præcisionen ved de opstillede modeller med og uden brug af variansreducerende hjælpeteknikker.. 34

35 7.1 Tilfældige tal i Excel Forskeren John von Neumann udtalte i 1951: Anyone who consider aritmetical methods of producing random digits is, of course, in a state of sin. Det særligt bemærkelsesværdige ved udtalelsen er, at han selv arbejdede inden for området med tilfældige tal og faktisk selv anviste sådanne metoder til at udtrække tilfældige tal. Udtalelsen rammer imidlertid et meget relevant og til dels også ømt punkt ved Monte Carlo-simulering, idet det viser sig at være uhyre vanskeligt faktisk at udtrække tilfældige tal, herunder at Excel blandt mange andre programmer ikke udtrækker tilfældige tal! Det giver sig selv, at MCS ikke kan blive mere præcis end metodens svageste led, herunder at såfremt det svageste led måtte vise sig at bestå i udtrækningen af tilfældige tal, da sætter det en øvre grænse for metodens præcision. Det er med andre ord ikke sikkert, at man vilkårligt kan øge præcisionen ved MCS blot ved rå anvendelse af flere simuleringer. I teorien kan tilfældige tal opdeles i 3 kategorier: Ægte tilfældige tal. Sådanne observeres ved at studere fysiske fænomener som fx radioaktivt henfald, hvor ethvert henfald afhænger af en unik atomkerne, hvis opførsel er uafhængig af alle andre atomkerner, hvorfor henfaldet ikke siden kan replikkeres. Sådanne tilfældige tal er uheldigvis ikke umiddelbart tilgængelige for computere! Pseudo-tilfældige tal, som ganske vist tilsyneladende er tilfældige, men som ikke desto mindre er baseret på fx en computers digitale dele, hvorved de dels kan genskabes, dels vil begynde at gentage sig selv efter et vist antal. Kvasi-tilfældige tal, som består af en permutation af bestemte tal, som der ønskes at udtrække blandt, fx alle tallene fra 1 til 10 i forskellig rækkefølge, men altid netop ét af hvert tal. Denne metode har den fordel, at det samlede udfaldsrum for de tilfældige tal beskrives, herunder at der benyttes meget præcise intensiteter for kontinuerte tilfældige tal (det sikres, at der udtrækkes et passende antal gange i arealer af lige stor størrelse). 35

36 Excel anvender metode nr. to, hvorfor det er relevant at undersøge, hvornår de pseudotilfældige tal ophører med at være tilfældige. Dette afhænger af styrken af algoritmen, som anvendes til at beregne de tilfældige tal. Indtil for nylig var Excels metode til at udtrække tilfældige tal hverken særlig velbeskrevet eller vurderet som særlig stærk. Imidlertid har Microsoft fra og med introduktionen af Office 003-pakken (Excel 003) lavet metoden teste, og det skønnes, at gentagelse først vil optræde, når der udtrækkes > 10^13 tilfældige tal. Der henvises i den forbindelse til Microsofts support-side desangående: vedlagt som bilag B. I denne opgave anvendes som nævnt Excel 00, som altså har en væsentligt ringere og mindre veldokumenteret metode til at udtrække tilfældige tal. Det konkluderes derfor, at det ikke med sikkerhed vil være muligt at få optionsværdier til at konvergere mod deres sande værdi ved at udføre tilstrækkeligt mange simuleringer. Det skønnes dog ikke at være noget praktisk problem, idet antallet af simuleringer, som det tidsmæssigt er muligt at udføre, er så relativt beskedent (mindre end ). I opgaven anvendes i VBA funktionen Rnd (Rand() i Excel) til at udtrække et tilfældigt tal mellem 0 og 1. Dernæst anvendes den inverse kumulerede standardiserede normalfordelingsfunktion med dette tilfældige tal til at udtrække et tilfældigt tal fra den standardiserede normalfordeling. Dette er beregningsmæssigt tungt og lægger beslag på størstedelen af tid, som anvendes til simulering. Det ville derfor være hensigtsmæssigt hurtigere at kunne udtrække tilfældige tal fra normalfordelingen. Det har konkret været undersøgt, om VBA er hurtigere til at udtrække tilfældige tal fra normalfordelingen, når en Box-Muller-transformation anvendes, Box (1958). Test viste dog, at hastigheden ved denne metode hverken var højere eller lavere, hvorfor VBA s indbyggede funktioner foretrækkes, idet de giver et lettere læseligt program. I forbindelse med opbygning af modeller til MCS i Excel er det nyttigt indledningsvis at have kontrol over, hvilke tilfældige tal som anvendes. Dermed er det muligt at simulere et resultat, arbejde videre med modellen og samtidig anvende samme række af tilfældige tal, så det sikres, at der kun sker tilsigtede ændringer i resultatet. Dette gøres ved i VBA først at anvende funktionen Rnd(-1) og dernæst bruge Randomize (eller enhver anden 36

37 kombination af først et negativt tal til Rnd og så et tilfældigt tal til Randomize). Randomize giver Excels algoritme et nyt udgangspunkt for beregning af tilfældige tal, hvor alternativt algoritmen beregner det næste tilfældige tal ud fra det forrige tilfældige tal. Herunder skal man være opmærksom på, at Randomize ved simulering ikke må kaldes mere end én gang Randomize må altså ikke befinde sig inde i en løkke i programmeringen. Randomize bruger computerens ur til at give algoritmen et nyt udgangspunkt, så hvis Randomize kaldes med kort tids mellemrum, ophører tallene med at være tilfældige! Når metoden med NormsInv(Rnd) anvendes, tager det VBA 10 sekunder at foretage (i det følgende anvendes k for tusinde) udtræk fra normalfordelingen. Dette illustrerer begrænsningen i omfanget af simuleringer, der kan foretages, særligt for model B, der anvender tidsskridt, eftersom hvert tidsskridt kræver et tilfældigt udtræk. De senere analyser vil indeholde måling af tidsforbrug, og det fremgår heraf, at simulering i gennemsnit tager op til 1/87% længere tid end de ovenfor nævnte 10 sek. pr. 100k udtræk, hvilket betyder, at udtræk af tilfældige tal lægger beslag på op til 87% af tidsforbruget i simuleringen. Dermed fås følgende approksimative formel for tidsforbrug (i sekunder) ved et givent antal simuleringer (sim) i VBA, når hver simulering anvender A tilfældige tal: Simuleringstid i sek. = 10 / 100k tal / 87% * A * Antal sim <=> Simuleringstid i sek. = 0, * A * sim. Hvilket for et givet tidsbudget (i sekunder) og et givet antal nødvendige tilfældige tal pr. simulering (A) kan omskrives til: Mulige simuleringer = Tid i sek. * / A Eksempel 7.1.a: Der ønskes 1k simuleringer i model A, hvor der tages gennemsnit over 50 handelsdage (50 tilfældige tal pr. simulering): Simuleringstid = 0, sek * 50 * 1k = 600 sek. Alternativt haves 5 min. til rådighed, hvorfor antal simuleringer, der kan foretages, er givet ved: 5 * 60 sek * 8700 / 50 = simuleringer. 37

38 7. Modellernes implementering i Excel De to modeller, som opgaven vil gøre brug af til at finde værdien af den asiatiske option, er udledt teoretisk ovenfor i afsnit Der anvendes to modeller for at øge sandsynligheden for at finde frem til en brugbar model, subsidiært at hver model måtte have sin styrke i forskellige situationer. De to modeller beregner i virkeligheden optionens værdi ud fra samme teoretiske basis, uanset at model A beregner det underliggende aktivs værdi umiddelbart, medens model B udfører mange små tidsskridt, hvorved det underliggende aktivs værdi ud fra den opstillede differentialligning langsomt øges. Det gælder fx, at såfremt model A anvender lige så mange støttepunkter (mellemværdier) for det underliggende aktivs værdi som model B, da vil de to modeller udføre nøjagtig samme beregning. Begge modeller anvender samme teori som BS-formlen. Ved at simulere tilstrækkelig mange gange opnås den korrekte fordeling af det underliggende aktiv, hvorved begge modeller vil konvergere mod BS-værdien. De optionspriser, som findes ved rå MCS, bliver et stikprøvegennemsnit. Standardafvigelsen for disse optionspriser findes derfor ifølge den centrale grænseværdisætning (på engelsk: central limit theory eller blot CLT) som stikprøvens standardafvigelse divideret med kvadratroden af antallet af elementer i stikprøven: estimatets standardafvigelse / N, hvor N = antal simuleringer. Det følger fx heraf, at ved rå simulering skal antallet af simuleringer firdobles for at opnå en 50% reduktion i standardafvigelsen på estimatet. Middelværdien af de beregnede optionsværdier er dermed en estimator for opgavens to modeller, hvorved fordelingen for estimatoren kan approksimeres ved normalfordelingen. Når standardafvigelsen for estimatoren derefter findes på baggrund af de simulerede værdier, bliver det muligt at opstille et konfidensinterval for estimatoren. I opgaven bruges konfidensintervallet med = 5%, og dette konfidensinterval vil i opgaven blive brugt til at beskrive præcisionen i modellen. Der vil gælde, at 95%-konfidensintervallet for (estimatet for) optionsprisen bliver: 1,96* n ; 1,96* hvor, er hhv. stikprøvens middelværdi og standardafvigelse. n 38

39 7..1 Model A St simuleres direkte Model A udnytter, at S t antages at være lognormalfordelt, hvorfor det er muligt direkte at simulere værdierne for S t ved udtræk i normalfordelingen. Trods den asiatiske options eksotiske natur er det kendt, på hvilke tidspunkter værdien af S t skal anvendes, hvorfor nedenstående formel kan bruges til at fremskrive S t mellem de for optionsprisen relevante tidspunkter: S Ln S t t t exp ( 0 ) ( * ) * * *, hvor ~ N(0;1) Modellen implementeres i VBA som følger: Der oprettes en funktion, der med So,,, r og t som input-parametre kan beregne værdien S t til ethvert givent tidspunkt. Input-parametren A angiver antallet af støttepunkter til beregning af aktiekursens gennemsnitsværdi. En For/Next-løkke bruges til at beregne S t -værdierne på de tilhørende tidspunkter. Det antages, at første støttepunkt er ved optionens udløb, og at alle øvrige støttepunkter er jævnt fordelt over varigheden (tid nul bruges aldrig som støttepunkt). Dermed beregnes den gennemsnitlige værdi, S average. Med X som input-parameter beregnes den asiatiske optionsværdi, fx c = exp(-rt) * max( 0; Saverage-X ) for call-optionen. Ved brug af input-parametren OType ( true for call og false for put) sættes en variabel, OptionsType til hhv. 1 eller -1, hvorved optionsværdien kan beregnes som: værdi = exp(-rt) * max ( 0; ( Saverage-X) * OptionsType ). Endelig anvendes input-parametren Sim til at bestemme, hvor mange gange simuleringen skal udføres. Middelværdien af de simulerede værdier for calloptionen bliver output og dermed modellens bud på den asiatiske options værdi. 39

40 Programmeringen i VBA bliver som følger: Function AsiaMCa ( So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, A As Long, Sim As Long, OType As Boolean) As Double ' Model A - Monte Carlo for asiatisk option, hvor der laves udtræk i NF ' Erklæring af variable Dim S() Dim Savg Dim AsiaValueAvg Dim OptionType Dim i, j As Double As Double As Double As Integer As Integer ' Initialiseringer Randomize ReDim Preserve S(0 To A) S(0) = So AsiaValueAvg = 0 If OType Then OptionType = 1 Else OptionType = -1 ' Nyt seed til tilfældige tal ' OType=True for Call-option ' Simuleringer begynder her For i = 1 To Sim Savg = 0 For j = 1 To A ' Hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsværdi af aktivet S(j) = S(j - 1) * Exp((r - vol ^ / ) * (T / A) + vol * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(T / A)) Savg = Savg + S(j) Next j ' Sims totale options-afkast AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Savg / A - X) * OptionType, 0) Next i ' Optionsværdi til tid 0 beregnes AsiaMCa = Exp(-(r * T)) * AsiaValueAvg / Sim End Function Denne og alle senere funktioner kan umiddelbart copy/pastes ind i VBA og evalueres formodentlig bedre dér, hvorfor jeg har tilladt mig at anvende punktstørrelse 10 her! 40

41 7.. Model B Monte Carlo-simulering med tidsskridt Model B er den traditionelle og mest fleksible Monte Carlo-simulering. Der foretages små tidsskridt, og værdien af S t fremskrives for hvert tidsskridt. Modellen anvender den diskrete version af den opstillede model for aktiekursens udvikling (såkaldt Euler approksimation): St t St S St * St * t St * * * t, hvor ~ N(0;1) Som nævnt giver denne diskrete model for aktiekursens udvikling anledning til en approksimationsfejl, som følge af at der ikke udføres uendelig mange tidsskridt. Fejlen fremkommer, fordi modellen angiver aktiekursens hældning som funktion af t (den oprindeligt opstillede differentialligning), hvorved aktiens kurs til enhver given tid t er givet ved integralet frem til tidspunkt t. Når integraler ikke beregnes korrekt matematisk, men i stedet beregnes som en tilnærmet værdi, sker den fejl, at aktiekursen (funktionsværdien) holdes konstant i tidsrummet t. Jo større kan illustreres ved følgende figur: t er, jo større fejlkilde. Problemet Figur 7...a: Approksimatinsfejl ved diskret simulering Aktiekurs Simuleret aktiekurs S(t+dt) S(t) S(t)*dt Tid 0 t t+dt Drift-tilvæksten underestimeres, da S(t)*dt < faktiske areal. Kilde: Egen tilvirkning Når modellerne bruges ved MCS af asiatiske optioner, herunder den matematiske komplikation, at ved beregning af optionsprisen skal der tages gennemsnit over aktiekurserne på et givet antal tidspunkter, bliver forholdet yderligere kompliceret. For at opnå større indsigt i hvordan de to modeller fungerer, udføres følgende beregning: 41

42 [relativ kursstigning for model A] / [relativ kursstigning for model B] Ved brug af samme række af tilfældige tal simuleredes aktiekursen i hver af de to modeller. Som det ses af grafen nedenfor, er det ikke sådan, at model A i alle tilfælde opnår den største relative ændring i aktiekursen, som man umiddelbart ville forvente. I stedet ses det, at den relative ændring i aktiekurs afhænger af, om 1;1 dz eller ej. Inden for dette interval sker den største relative ændring i aktiekurs ved model B og vice versa. Det synes ikke muligt, inden simuleringen begynder, at konkludere, om de to modeller vil opnå samme middelværdi og varians ved estimationen af optionsprisen. Figur 7...b: Sammenligning af udvikling i kurs for model A i forhold til model B Udvikling i aktiekursen pr. tidsskridt for de to modeller, som funktion af dz 1,0040 1,0030 1,000 1,0010 1,0000 0,9990 0,9980 (,00) (1,00) 0,00 1,00,00 dz Kilde: Egne beregninger Model B implementeres i VBA på samme måde som model A, jvf. afsnit 7..1 med følgende modifikation:. Udover input-parameteren T anvendes input-parameteren antal skridt (Step). Der udføres simulering med Step tidsskridt, og hvert tidsskridt har størrelsen: dt = T/Step. 4

43 Programmeringen i VBA bliver som følger: Function AsiaMCb (So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, A As Long, Sim As Long, OType As Boolean, Step As Integer) As Double ' Model B - Monte Carlo for asiatisk option, med tidsskridt ' Erklæring af variable Dim S() As Double Dim Savg As Double Dim dt As Double Dim AsiaValueAvg As Double Dim i, j, k As Integer ' Initialiseringer Randomize dt = T / Step ReDim Preserve S(0 To Step) If OType Then OptionType = 1 Else OptionType = -1 S(0) = So AsiaValueAvg = 0 'OType=True for Call-option ' Simuleringer begynder her For i = 1 To Sim For j = 1 To Step ' Hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsværdi af aktivet S(j) = S(j - 1) + (r * S(j - 1) * dt) + (vol * S(j - 1) * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(dt)) Next j Savg = 0 For k = 1 To A ' Aktiens gennemsnit beregnes Savg = Savg + S(Round(Step / A * k)) Next k ' Sims totale options-afkast AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Savg / A - X) * OptionType, 0) Next i ' Optionsværdi til tid 0 beregnes AsiaMCb = Exp(-r * T) * AsiaValueAvg / Sim End Function 43

44 7.3 Variansbegrænsende hjælpemetoder Som vist ovenfor er præcisionen i estimatet for optionsprisen givet ved: estimatets standardafvigelse / N, hvor N = antal simuleringer Præcisionen øges altså med kvadratroden af antal simuleringer. Dette sætter i praksis en øvre grænse for præcision ved MCS, idet tidsforbruget øges voldsomt ved ønske om større præcision. I stedet er det muligt at ty til metoder, som sænker standardafvigelsen på estimatet. I takt med at MCS er blevet mere populært, er der udviklet adskillige metoder hertil, hvoraf de to mest kendte, Antithetic- og Control Variate-metoderne, skal anvendes, og deres implementering i VBA dokumenteres i denne opgave. Af andre metoder, som ikke vil blive gennemgået, men som vil have interesse for et supplerende studium kan nævnes: Moment Matching Method, hvis generelle princip er, at det sikres, at rækken af tilfældige tal passer til de to første momenter i den fordeling, som der udtrækkes fra. For et tilfældigt udtræk fra en fordeling vil dette typisk ikke være tilfældet. En metode hertil vil være at transformere ethvert givet tilfældigt tal som følger: Z ˆ i ( Zi Z ), hvor: Z,,, angiver hhv. stikprøvens middelværdi og Zi standardafgivelse og fordelingens sande middelværdi og standardafgivelse. Metoden har samme svaghed, som beskrives nærmere nedenfor ved Antitheticmetoden, nemlig at de tilfældige tal ikke længere er uafhængige, hvorfor det ikke er trivielt at kvantificere den øgede præcision i estimatet af optionsprisen. Latin Hypercube Sampling, hvis generelle princip er, at udfaldsrummet for de tilfældige tal opdeles i områder, og det sikres, at der udtrækkes et passende antal tilfældige tal fra hvert område. Avramidis (1995) viser en markant reduktion i estimatets standardafvigelse (40%). 44

45 Importance sampling, hvis generelle princip er at sikre, at der sker udtræk, som netop har betydning for middelværdi. Fx at der sker udtræk af ekstreme værdier, som er nødvendige for at bringe en option ITM. Low discrepancy sequences, hvis generelle princip er at bruge kvasi-tilfældige tal (jvf. ovenfor om tilfældige tal). Hele udfaldsrummet anvendes, men i tilfældig rækkefølge. Det gælder også her, at tallene ikke er uafhængige, hvorfor det er vanskeligt at beskrive den øgede præcision i estimatet Antithetic-metoden (AT) Det generelle princip ved Antithetic-metoden er at udnytte rækken af tilfældige udtrukne tal til at beregne en ny række af tilfældige tal, hvorom det gælder, at den variabel, som skal undersøges, vil blive negativt korreleret ved brug af de to rækker af tilfældige tal. I forhold til MCS af aktiekurser kan dette gøres ved at udtrække tilfældigt fra normalfordelingen, epsilon, og derefter udnytte, at minus epsilon tillige vil være et udtræk fra normalfordelingen. I den forbindelse udnyttes det, at normalfordelingen har middelværdi 0, hvorfor epsilon og minus epsilon tilsammen har korrekt middelværdi. Ved brug af Antithetic-metoden sikres det dermed, at den totale mængde af tal udtrukket fra normalfordelingen har korrekt middelværdi, 0, og uanset at halvdelen ikke længere er tilfældige i egentlig forstand, vil præcisionen i simuleringen øges, på samme måde som præcision kan øges ved at bruge kvasi-tilfældige tal. Det vil nu gælde, at epsilon og minus epsilon er negativt korrelerede. Såfremt aktiekursen ved den oprindelige række af tilfældige tal vil have tendens til at bevæge sig i én retning, da vil aktiekursen ved den alternative række af tilfældige tal have tendens til at udvikle sig i modsat retning. Såfremt den oprindelige talrække vil give en meget høj aktiekurs, da vil den alternative talrække give en lav aktiekurs. Det gælder for gennemsnittet af de to simuleringer, der behandles som en ny stokastisk variabel, at det giver et korrekt billede af optionsværdiens middelværdi, og det vil 45

46 endvidere gælde, at variationen i optionsværdiens middelværdi er betydeligt lavere, hvorfor der kan opstilles et sikrere konfidensinterval for middelværdien. Det bemærkes i denne forbindelse, at gennemsnittet af to optionspriser igen er identisk fordelte og uafhængige stokastiske variable, hvorved estimatet på sædvanlig vis approksimerer normalfordelingen, og konfidensinterval kan opstilles på sædvanlig vis! I bilag C vises, hvordan standardafvigelsen ændres ved brug af Antithetic-metoden. Konklusion er, at det afhænger af co-variansen på de to sæt af optionspriser, og at variansen på estimatet vil reduceres med mellem 50% og 100%. I programmeringen i VBA kan der foretages to simuleringer ved brug af kun ét tilfældigt tal, og der skal altså kun udtrækkes halvt så mange tilfældige tal. Til gengæld skal programmet udvides til at beregne to forskellige forløb af aktiekursens udvikling. Det er derfor ikke på forhånd givet, om dette vil lægge beslag på mere eller mindre computerkraft. Dette vil blive undersøgt nedenfor. Metoden implementeres for begge modeller, og modulerne i VBA tilføjes AT ved navngivningen. Dernæst måles tidsforbrug ved 5k simuleringer med tilhørende standardafvigelse på optionværdiens gennemsnit, når hvert gennemsnit beregnes ved 100 simuleringer. I alt 500k beregninger af optionsværdierne ved brug af standardparametrene: (S0=10, r=6%, vol=30%, T=1, X=15, A=1, Sim=100, OType=False, Step=10) Tabel a: Simulering med AT-metoden Model Uden AT Med AT A AsiaMCa 7 sek. ; Std=1,98 4 sek. ; Std=0,846 B AsiaMCb 560 sek. ; Std=1,8 95 sek. ; Std=0,879 Det ses, at standardafvigelsen på estimatets middelværdi (ved gennemsnit af 100 simuleringer) ved brug af AT reduceres med 57% for model A og med 5% for model B, hvilket er en væsentlig forbedring i sikkerheden af estimatet ved brug af samme antal tilfældige tal, og hvilket i øvrigt bekræfter, at simulerede værdier for de to talrækker er negativt korrelerede. 46

47 Programmering i VBA for model A med Antithetic (AT) bliver: Function AsiaMCaAT (So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, A As Long, Sim As Long, OType As Boolean) As Double ' Model A - Monte Carlo for asiatisk option, hvor der laves udtræk i NF. Antithetic inkluderet ' Erklæring af variable Dim S(),Savg, Dim U(),Uavg, AsiaValueAvg,epsilon As Double Dim i, j, OptionType As Integer ' Initialiseringer Randomize ReDim Preserve S(0 To A) ReDim Preserve U(0 To A) S(0) = So U(0) = So AsiaValueAvg = 0 If OType Then OptionType = 1 Else OptionType = -1 'OType=True for Call-option ' Simuleringer begynder her, Sim/ da der simuleres to optioner For i = 1 To Round(Sim / ) Savg = 0 Uavg = 0 For j = 1 To A ' Hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsværdi af aktivet epsilon = Application.NormSInv(Rnd()) S(j) = S(j - 1) * Exp((r - vol ^ / ) * (T / A) + vol * epsilon * Sqr(T / A)) U(j) = U(j - 1) * Exp((r - vol ^ / ) * (T / A) + vol * -epsilon * Sqr(T / A)) Savg = Savg + S(j) Uavg = Uavg + U(j) Next j AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Savg / A - X) * OptionType, 0) ' Første option-afkast AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Uavg / A - X) * OptionType, 0) ' Andet option-afkast Next i ' Optionsværdi til tid 0 beregnes AsiaMCaAT = Exp(-(r * T)) * AsiaValueAvg / Sim End Function 47

48 Programmering i VBA for model B med Antithetic (AT) bliver: Function AsiaMCbAT (So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, A As Long, Sim As Long, OType As Boolean, Step As Integer) As Double ' Model B - Monte Carlo for asiatisk option, med tidsskridt. Antithetic inkluderet ' Erklæring af variable Dim S(),Savg,dt,U(),Uavg,AsiaValueAvg As Double Dim i, j, k As Integer ' Initialiseringer Randomize dt = T / Step ReDim Preserve S(0 To Step) ReDim Preserve U(0 To Step) If OType Then OptionType = 1 Else OptionType = -1 ' OType=True for Call-option S(0) = So U(0) = So AsiaValueAvg = 0 ' Simuleringer begynder her, Sim/ da der simuleres to optioner For i = 1 To Round(Sim / ) For j = 1 To Step ' Hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsværdi af aktien epsilon = Application.NormSInv(Rnd()) S(j) = S(j - 1) + (r * S(j - 1) * dt) + (vol * S(j - 1) * epsilon * Sqr(dt)) U(j) = U(j - 1) + (r * U(j - 1) * dt) + (vol * U(j - 1) * -epsilon * Sqr(dt)) Next j Savg = 0 Uavg = 0 For k = 1 To A ' Aktiens gennemsnit beregnes Savg = Savg + S(Round(Step / A * k)) Uavg = Uavg + U(Round(Step / A * k)) Next k AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Savg / A - X) * OptionType, 0) ' 1. option AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Uavg / A - X) * OptionType, 0) '. option Next i ' Optionsværdi til tid 0 beregnes AsiaMCbAT = Exp(-(r * T)) * AsiaValueAvg / Sim End Function 48

49 7.3. Control Variate-metoden (CV) Control Variate-metoden (CV) fungerer ved, at man ud over værdien af den asiatiske option (med aritmetisk gennemsnit) tillige simulerer værdien af en lignende option, hvis teoretiske værdi kendes. I denne opgave udnyttes det, at der findes en kendt teoretisk formel for værdien af den asiatiske option med geometrisk gennemsnit. Ved at finde den fejl, som ved simulering opstår ved beregning af værdien af den asiatiske option med geometrisk gennemsnit, og derefter korrigere beregningerne af værdien af den asiatiske option med aritmetisk gennemsnit, opnås, at simuleringen af den asiatiske option med aritmetrisk gennemsnit hurtigere konvergerer mod dens sande værdi. Ved Monte Carlo-simuleringen af den asiatiske call-option ved aritmetisk gennemsnit A ( C ) udføres n simuleringer, og der haves resultaterne: C C A A 1 n, som alle er identisk fordelt. Deres middelværdi E( C ) er den teoretiske pris for optionen, og denne A i estimator konvergerer mod den sande værdi med sandsynlighed 1, når n går mod uendelig. Ved Control Variate-metoden indføres nu endnu en variabel for en simuleret pris for en asiatisk option med geometrisk gennemsnit: G C i, og for hver simulering beregnes begge værdier ( C, C ) for i = 1,...n, og hvor E( C ) altså er kendt. A i For enhver konstant k kan nu følgende variabel beregnes: C C G i A A G G i ( k) Ci k Ci E C for den i te simulering, og det samlede gennemsnit bliver: A ( k) C A i k n G G 1 A G G C EC C kc EC i i n i1 Dette bliver således en Control Variate-estimator, hvor den observerede fejl: G G G C EG fungerer som en kontrol ved estimationen af G G i E. Det gælder endvidere, at C A (k) er en middelret estimator, fordi 1 lim n n 1 n A Ci ( k) lim n i1 n i1 For alle variable Var n A G G A G G A C i kc i EC EC kc EC EC A C i (k) gælder, at deres varians er givet ved: A A G G C k) Var C kc EC A k A G A G k i ( G i i C C C C C C, hvor 49

50 C A A G C, G Var C A G Var, er korrelationen imellem de to variable. Det C C C fremgår heraf, at kontrol estimatoren k k C G b C G A C C A G G C Cov( C ; C ) A G C C G A Var C C G A C i (k) har lavere varians, såfremt, herunder at den optimale værdi for k findes ved: Indsættes denne optimale værdi for b i udtrykket for den samlede varians, fås en varians lig: 1 C A G C. Det ses, at effektiviteten af en kontrolvariabel afhænger af korrelationen imellem de to variable. Det har ingen betydning, om de er positivt eller negativt korrelerede, eftersom korrelationen opløftes i anden potens. Hvis simuleringshastigheden er uændret, uanset om der beregnes én eller to variable, vil ovenstående udtryk angive, med hvilket forhold præcisionen øges. For en given varians ved n simuleringer uden brug af en kontrolvariabel er det altså kun nødvendigt at anvende n / (1-rho( C ; C ) ) simuleringer ved brug af en kontrolvariabel. Det ses, der opnås markant større forbedring, når den numeriske værdi af korrelationen er tæt ved 1. CV-metoden frembringer altså gode resultater, såfremt en stærkt korreleret kontrolvariabel kan findes. A i G i Afslutningsvis skal det nævnes, at ovenstående beregninger forudsætter, at E( C ), Var( C ) og Rho( C ; C ) er kendte størrelser, hvilket netop ikke er tilfældet! Det er A i A i G i dog fortsat muligt at bruge den indsigt, beregningerne har givet. I stedet for at anvende den sande værdi for b* kan i stedet anvendes en estimeret værdi som følger: bˆ n i1 A A G G C i C C i C n G G C i C i1 A i I denne opgave udføres metoden med CV ved at sætte b til værdien 1. Ønskes større præcision vil det være muligt først at udføre en stikprøve på fx 10% * n antal simuleringer, hvor resultaterne bruges til at estimere b*, hvorefter der udførres 90% * n antal simuleringer til den egentlige beregning af den asiatiske options værdi. 50

51 Programmering i VBA for model A med Control Variate (CV) bliver: Function AsiaMCaCV (So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, A As Long, Sim As Long, OType As Boolean) As Double ' Model A - Monte Carlo for asiatisk option, hvor der laves udtræk i NF & Control Variate ' Erklæring af variable Dim S(),Savg As Double Dim SgeoMC As Double Dim AsiaValueAvg As Double Dim OptionType As Integer Dim i, j As Integer ' Initialiseringer Randomize ReDim Preserve S(0 To A) S(0) = So AsiaValueAvg = 0 If OType Then OptionType = 1 Else OptionType = -1 'OType=True for Call-option ' Simulering begynder her For i = 1 To Sim Savg = 0 ' Initialiseringer for hver sim SgeoMC = 1 ' Initialiseringer for hver sim For j = 1 To A ' Hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsværdi af aktivet S(j) = S(j - 1) * Exp((r - vol ^ / ) * (T / A) + vol * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(T / A)) Savg = Savg + S(j) SgeoMC = SgeoMC * S(j) ' Hjælpeberegn til geo snit Next j SgeoMC = SgeoMC ^ (1 / A) ' Beregn af geo snit færdiggøres AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Savg / A - X) * OptionType, 0) _ - 1 * (Application.Max((SgeoMC - X) * OptionType, 0) - Exp(r * T) * AsiaGeo(So, r, vol, T, X, OType)) ' Sims totale options-afkast justeret med CV Next i ' Optionsværdi til tid 0 beregnes AsiaMCaCV = Exp(-(r * T)) * AsiaValueAvg / Sim End Function 51

52 Programmering i VBA for model B med Control Variate (CV) bliver: Function AsiaMCbCV (So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, A As Long, Sim As Long, OType As Boolean, Step As Integer) As Double ' Model B - Monte Carlo for asiatisk option, med tidsskridt ' Erklæring af variable Dim S(), Savg,dt,SgeoMC,AsiaValueAvg As Double Dim i, j, k As Integer ' Initialiseringer Randomize dt = T / Step ReDim Preserve S(0 To Step) If OType Then OptionType = 1 Else OptionType = -1 'OType=True for Call-option S(0) = So AsiaValueAvg = 0 ' Simulering begynder her For i = 1 To Sim SgeoMC = 1 For j = 1 To Step ' Hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsværdi af aktivet S(j) = S(j - 1) + (r * S(j - 1) * dt) + (vol * S(j - 1) * Application.NormSInv(Rnd()) * Sqr(dt)) SgeoMC = SgeoMC * S(j) Next j SgeoMC = SgeoMC ^ (1 / Step) Savg = 0 For k = 1 To A ' Aktiens gennemsnit beregnes Savg = Savg + S(Round(Step / A * k)) Next k AsiaValueAvg = AsiaValueAvg + Application.Max((Savg / A - X) * OptionType, 0) _ - 1 * (Application.Max((SgeoMC - X) * OptionType, 0) - Exp(r * T) * AsiaGeo(So, r, vol, T, X, OType)) ' Sims totale options-afkast justeret med CV Next i ' Optionsværdi til tid 0 beregnes AsiaMCbCV = Exp(-r * T) * AsiaValueAvg / Sim End Function 5

53 For begge programmer med Control Variate simuleres altså samtidig med værdien af den asiatiske option med aritmetisk gennemsnit tillige værdien af en tilsvarende asiatisk option med geometrisk gennemsnit, hvorefter denne simulerede værdi for den geometriske option sammenholdes med den teoretiske værdi heraf, som beregnet af Kemna (1990). Konkret i programmeringen kaldes et hjælpeprogram, som indeholder Kemnas teoretiske beregning: Function AsiaGeo (So As Double, r As Double, vol As Double, T As Double, X As Double, OptionType As Boolean) As Double ' Teoretisk værdi af Asiatisk option med geometrisk gennemsnit beregnet kontinuert ' Kemma (1990) p. 35 Dim b, d1, d As Double b = 0.5 * (r - vol ^ / 6) * T d1 = (Log(So / X) * (r + vol ^ / 6) * T) / (vol * Sqr(T / 3)) d = d1 - vol * Sqr(T / 3) If OptionType = True Then AsiaGeo = Exp(b - r * T) * So * Application.NormSDist(d1) - X * Exp(-r * T) * Application.NormSDist(d) Else AsiaGeo = X * Exp(-r * T) * Application.NormSDist(-d) - So * Exp(b - r * T) * Application.NormSDist(-d1) End If End Function 53

54 7.4 Kontrol af modellernes korrekthed, sammenligning med BS En kontrol af modellernes korrekthed i beregningen af optionspriserne er medtaget, på trods af at modellerne i teorien vil konvergere mod det korrekte resultat. For ved ethvert modelarbejde er det vigtigt at sikre sig, at teorien er implementeret korrekt i modellen, herunder at der ikke er sket egentlige programmeringsfejl. Eftersom tidsforbruget ved simulering er i størrelsesordenen syv timer pr. model, synes det relevant først at gøre en indsats for at sikre, at beregningerne faktisk er valide. Ønsket om kontrol af korrektheden i beregningen støder dog på det problem, at der ikke findes nogen kendte teoretiske priser at sammenligne med, og at der ej heller findes kendte markedspriser for asiatiske optioner. I stedet bruges de to modeller til at simulere værdien af de europæiske call- og put-optioner, hvor den teoretiske pris findes ved at bruge BS-formel. Dermed kontrolleres det faktisk ikke, at modellerne er i stand til at simulere korrekte priser for asiatiske optioner, bortset fra det specialtilfælde, hvor den asiatiske option kun har det ene punkt, som bruges ved beregningen af aktiens gennemsnit (nemlig slutværdien). Det skønnes, at modellernes korrekthed med passende sikkerhed kan fastslås på denne måde. Det antages, at de mellemliggende værdier for aktiekursen tillige er korrekte, såfremt det kan vises, at slutværdien er korrekt. Der foretages dog ingen kontrol af, om implementeringen i VBA er korrekt for så vidt angår beregningen af den gennemsnitlige aktiekurs. Denne kontrol kan foretages af begge modeller i deres rå form, ligesom begge modeller kan testes med brug af Antithetic-metoden. Derimod er det ikke muligt at teste Control Variate-metoden, eftersom den metode netop vil trække resultaterne væk fra BS s teoretiske pris for europæiske optioner. Ved modelkontrollen anvendes standardparametrene, dog med 100k simuleringer, hvorved estimater for optionspriserne findes: (S0=10, r=6%, vol=30%, T=1, X=15, A=1, Sim=100k, OType=False, Step=10) 54

55 Tabel 7.4.a: Modellernes estimering af europæisk optioner Call Put Middel- Std Tid i Middel- Std Tid i værdi sek. værdi sek. Black-Scholes 15,34 n/a <1 13,06 n/a <1 Model A AsiaMCa Model A Antithetic AsiaMCaAT Model B AsiaMCb Model B Antithetic AsiaMCbAT 15,36, ,06 1, ,45, ,07 1, ,7, ,06 1, ,4 1, ,09 1,10 58 Kilde: Egen tilvirkning Det fremgår heraf, at begge modeller, såvel for call-optionen som for put-optionen og såvel i deres rå form som i udvidelsen med Antithetic-metoden, ser ud til at foretage en korrekt beregning, når der sammenlignes med den korrekte teoretiske værdi fra BSformel. Styrken ved at foretage denne kontrol blev dog afsløret, da Model B med Antithetic indledningsvist gav resultater et stykke fra BS. Først efter en times debugging i VBA blev det afsløret, at beregningen af aktiekursen med brug af den alternative række af tilfældige tal var fejlbehæftet, idet formlen herfor indeholdt en reference til aktiekursen for den primære række af tilfældige tal (sædvanlig copy/paste-fejl i Excel!). Som forventet giver Antithetic-metoden samme middelværdi som ved rå simulering. Der er nemlig udført præcis lige mange simuleringer, blot ved at udtrække halvt så mange tilfældige tal. Det er dog interessant, at Antithetic-metoden viser sig at udføre simuleringerne ca. halvt så hurtigt. Dette illustrerer, at størstedelen af beregningstiden i 55

56 VBA bruges til at udtrække tilfældige tal fra normalfordelingen ikke til de efterfølgende beregninger af optionsprisen. Eftersom det tager ca. 10 sek. at udtrække 100k tal fra normalfordelingen, ses det, at ca. 75% af det samlede tidsforbrug ved simulering i model A bruges hertil: 10/13=77%. Samlet konkluderes det, at begge modeller med og uden brug af Antithetic fremtræder som værende uden fejl i programmeringen, og der er opnået en god indsigt i værdien af Antithetic-metoden. Der er en klar indikation for, at model A vil bruge signifikant mindre computerkraft /-tid til at konvergere mod det korrekte resultat, idet simulering i model A sker ca. 8 gange hurtigere end i model B. Dette gælder både i rå form og ved brug af AT. 7.5 Modellernes præcision med og uden brug af hjælpemetoder Antal tidsskridt i model B Uanset at det ovenfor er godtgjort, at model B synes at konvergere mod værdien for europæiske optioner, er det fortsat af interesse at finde de mest optimale parametervalg for hhv. antal tidsskridt (A) og antal simuleringer, som skal udføres. Produktet af de to parametre angiver modellens tidsforbrug ved simulering. Dette skal analyseres nærmere. Som nævnt tidligere er de to modeller A og B ens, med den ene forskel at model B anvender tidsskridt, herunder at model B vil konvergere mod model A, når der anvendes uendeligt mange tidsskridt. Dette kan udnyttes til at teste præcisionen i model B ved at bruge resultater fra model A som mål-parameter for test i model B. Der skal altså findes en optimal indstilling for antal tidsskridt i model B, som får modellens resultater til at være passende tæt på model A s. Der opstilles to hypoteser: at den optimale indstilling af antal tidsskridt vil være T/k, hvor k= konstant eller at det vil være optimalt at holde forholdet mellem antal tidsskridt og antal simuleringer konstant, Step/Sim = k, hvor k= konstant. 56

57 Under alle omstændigheder skal der anvendes mindst lige så mange tidsskridt, som der anvendes hjælpepunkter til beregning af aktiekursens gennemsnit. Interessen samler sig altså om tilfælde, hvor dette antal hjælpepunkter er lavt, hvorfor der skal foretages et valg imellem tidsskridt og antal simuleringer. Der simuleres herefter med standardparametrene: (S0=10, r=6%, vol=30%, T=1, X=15, A=1, Sim=100, OType=False, Step=10), dog således at der varieres i antal tidsskridt og antal simuleringer for at belyse de to hypoteser. Herefter vælges en simuleringsstrategi, som belyser de to hypoteser. I den forbindelse vil simuleringstiden være konstant, dvs. produktet af antal tidsskridt pr. simulering og antal simuleringer holdes konstant. Den optimale indstilling findes som følger: Optionsværdien findes i model A ved 100k simuleringer I model B udføres i alt 100k simuleringer * tidsskridt, fx 0k simuleringer ved anvendelse af 5 tidsskridt osv, der testes med følgende tidsskridt: 5, 10, 0, 40, 67, 100 og 00. Parametrene tid (T) og antal punkter til beregning af gennemsnit (A) varieres, så der betragtes både optionsværdier In-The-Money og Out-of-The-Money. I alt testes 56 forskellige indstillinger, hvorfor der anvendes et konfidensinterval på 98%-niveau, svarende til at % * 56 = 1 observation må falde uden for konfidensintervallet og fortsat være i statistisk kontrol. Endelig anvendes den indstilling, som minimerer bredden af konfidensintervallet, hvorved optionsværdien er fundet med størst præcision. Alt i alt skulle dette føre til et valg af antal tidsskridt, som dels på 98%-testniveau vil være korrekt, dels vil estimere optionsværdien med størst præcision. Resultatet af analysen med 00k tilfældige tal, angivet i bilag D, viser, at fem tidsskridt i de fleste tilfælde er for få, hvorfor den mulighed forkastes. Imidlertid viser det sig noget overraskende, at det for alle øvrige indstillinger gælder, at det opsatte konfidensinterval indeholder det korrekte resultat (med en enkelt undtagelse, hvilket som nævnt er i orden). Det ses endvidere, at konfidensintervallet bliver smallere, jo færre tidsskridt der 57

58 tages, hvilket vil sige, at det vægter mere i præcisionen at foretage mange simuleringer end at simulere med (teoretisk) større præcision pr. simulering. Dette synes at forkaste den første hypotese om, at det optimale antal tidsskridt skulle være en konstant * optionstiden. Resultatet af analysen med 400k tilfældige tal viser, at fem tidsskridt i alle tilfælde er for lidt, og at 10 tidsskridt også er upræcis. I forhold til simuleringerne med 00k tilfældige tal ses det, at præcisionen øges (med faktor kvadratroden af ), hvorved de opstillede konfidensintervaller bliver smallere, og det bliver af større betydning, at den valgte indstilling af tidsskridt er tæt på det faktiske gennemsnit. Det er derfor helt forventligt, at flere tilfældige tal vil stille krav om større sikkerhed i bestemmelsen af optionsprisen, altså flere tidsskridt. Det ser ud til, at det vil være optimalt (minimere bredden af konfidensintervallet), når der vælges 0 tidsskridt. Dette synes at understøtte hypotesen om, at antal tidsskridt skal være en konstant andel af antal simuleringer, nemlig 0/400k = 10/00k = 1/0k. Resultatet af analysen med 50k tilfældige tal viser, at fem tidsskridt i 7/8 tilfælde er for få, hvorimod 10 tidsskridt er tilstrækkeligt til at sikre præcisionen, herunder at 10 tidsskridt minimerer bredden af konfidensintervallet. På baggrund heraf ser det ud til, at der i alle tilfælde skal anvendes mindst 10 tidsskridt i model B, og at antallet af tidsskridt med fordel kan sættes til antal simuleringer / Dog således, at der naturligvis anvendes mindst lige så mange tidsskridt som antal støttepunkter til beregning af aktiekursens gennemsnit. Der fås: Tidsskridt (Step) = MAX ( støttepunkter ; MAX (10 ; Antal simuleringer/100k) ). I denne opgave vælges det fremover at anvende disse indstillinger Modellernes præcision ved rå simulering Ved test af modellernes præcision i første omgang uden brug af variansbegrænsende hjælpemetoder er det vigtigt at variere forudsætningerne, således at analysen i videst 58

59 muligt omfang beskriver modellernes præcision generelt og ikke blot i specifikke tilfælde. I den forbindelse skal det først og fremmest sikres, at der både ses på optioner, som generelt vil være ITM, og optioner som generelt vil være OTM. Dette sikres ved at vælge forskellige optionsvarigheder. Når standardparametrene derefter anvendes, hvor startaktiekursen er lavere end strikekursen, og da aktiekursen samtidig har en positiv drift, vil optionsvarigheden afgøre, om optionen gennemsnitligt vil være ITM eller OTM. Dernæst skal aktiens volatilitet varieres, hvilket vil afgøre, hvor bred fordelingen af aktiekurserne bliver på de relevante tidspunkter. Man kan i den forbindelse forestille sig, at høj volatilitet vil give mindre præcision, eftersom fordelingen bliver bredere (mere volatil), og det kan være vanskeligere i MCS korrekt at simulere disse værdier. Endelig skal modellerne testes for antallet af støttepunkter for beregningen af gennemsnitsaktiekursen. Her ses i praktikken stor forskel på, om der foretages gennemsnit over daglige fx valutakurser, eller om det er årlige aktiekurser for fx Dexiaobligationen. Samlet set arbejdes igen ud fra standardparametrene (S0=10, r=6%, vol=30%, T=1, X=15, A=1, Sim=100, OType=False, Step=10), hvorefter følgende parametre vil blive varieret: Tabel 7.5..a: Parametervalg for rå simulering Parameter Indstilling 1 Indstilling Tid (T) 0,5 1 Volatilitet (vol) 0, 0,4 Støttepunkter for T * 10 gennemsnitskurs (A) (ca. 1 pr. handelsdage) Antal tidsskridt (Model B) Max ( A ; ( Antal simuleringer / 100k ; 10 )) Antal simuleringer 1k, k, 4k, 8k, 16k, 3k, 64k, 18k 59

60 95% konfidensinterval Beskrivende statistik for de udførte simuleringer er vedlagt i bilag E. Det samlede tidsforbrug til simuleringerne er knap 7 timer i teorien, og op til det tredobbelte tidsrum i praksis, eftersom det stort set er umuligt at undgå genberegninger. Bl.a. fordi Excel jævnligt opdaterer alle formler (fx ved visse ændringer i format, som når der indsættes eller fjernes kolonner, rækker eller ark). Ved analyse af dette store datamateriale genopfriskes det, at to forhold har interesse: Konvergerer modellen mod rette middelværdi? Hvor høj grad af præcision opnås (målt ved bredden af 95%- konfidensintervallet)? Datamaterialet i bilag E kan illustreres med følgende to grafer, som for scenarierne1 og 8 viser de to modellers konfidensintervaller som funktion af antal simuleringer. Figur 7.5..b: 95%-konfidensintervaller for optionsprisen for begge modeller Scenarium 1: Tid 0,5 - Vol 0, - A - Put 7,50 7,00 6,50 6,00 ModelA CF-low ModelA CF-high ModelB CF-low ModelB CF-high 5,50 5, Antal simuleringer 60

61 95% konfidensinterval Scenarium 8: Tid 1 - Vol 0,4 - A 10 - Put 13,00 1,50 1,00 11,50 ModelA CF-low ModelA CF-high ModelB CF-low ModelB CF-high 11,00 10,50 10, Antal simuleringer Kilde Egne beregninger Undersøges først om de to modeller kan antages at konvergere mod samme middelværdi for optionsprisen, ses følgende: Antages model A med 14k simuleringer at være det mest præcise resultat, og opstilles der et 95%-konfidensinterval for denne simulering, kan præcisionen for alle øvrige resultater undersøges ved at se, om konfidensintervallet for de øvrige resultater opstillet på baggrund af deres estimerede varians så overlapper med konfidensintervallet for model A med 14k simuleringer. Det fremgår af bilag E, at der for alle øvrige resultater gælder, at de to konfidensintervaller overlapper, hvorfor det kan konkluderes, at modellerne konvergerer mod samme middelværdi. Begge modeller er i statistisk kontrol. Excels pseudo-tilfældige tal er tilpas tilfældige. Der anvendes ca. 00 mio. tilfældige tal i analysen. Som nævnt ved gennemgangen af model B kunne man have forestillet sig, at approksimationsfejlen som følge af den diskrete version af aktiekursudviklingen, jvf. figur 7...a, ville give anledning til, at modellem ikke ville konvergere mod den rette 61

62 L middelværdi. Dette ses altså ikke at være tilfældet med op til 14k tilfældige tal. Det er bemærkelsesværdigt, at modellen også ser ud til at være korrekt i de scenarier, hvor antallet af tidsskridt i modellen er lig med antallet af støttepunkter for beregning af gennemsnitskursen, altså i de tilfælde, hvor man kunne frygte at approksimationsfejlen var størst. Dernæst skal præcisionen i estimatet analyseres, hvor præcisionen jo er givet ved bredden af 95%-konfidensintervallet. Det ses umiddelbart, at præcisionen er stort set ens for de to modeller. Ganske vist har model A en anelse højere standardafvigelse for de ulige scenarier, som vist ovenfor, men dette har kun ringe betydning for bredden af konfidensintervallet, der i højere grad bestemmes af antallet af simuleringer. I det følgende vises for de to modeller konfidensintervalbredden som funktion af antal simuleringer: Figur 7.5..c Præcision ved rå simulering, angivet ved bredde af 95%-CF: Præcision, bredde af 95% konfidensintervaller,50,00 1,50 1,00 0,50 A1 B1 A B A3 B3 A4 B4 A5 B5 A6 B6 A7 B7 A8 B Antal simuleringer Kilde: Egne beregninger 6

63 L / Optionspris Det ses, at præcisionen i estimatet i høj grad afhænger af optionens parametre. Der gælder for alle scenarierne følgende forventede og pæne sammenhæng: Alle optioner med lav volatilitet bestemmes med højest grad af præcision uanset øvrige parametre. Optionens varighed er næstvigtigste parameter. For samme volatilitet opnås størst præcision med kort varighed. Antallet af hjælpepunkter har kun betydning, når volatilitet og optionsvarighed er konstante. Mange hjælpepunkter giver størst præcision. Parametrenes rangorden for betydningen af graden af sikkerhed i estimatet er givet ved: volatilitet > varighed > hjælpepunkter for gennemsnitsberegning Sættes dernæst præcision i forhold til optionens værdi (L / ) fås følgende graf, idet for overblikkets skyld alene data for model A anvendes: Figur 7.5..d: Præcision for model A, bredde af 95% CF / optionspris Præcision: Bredde af 95% konfidensintervaller i forhold til optionspris 0,18 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 Scenarium:1 Scenarium: Scenarium:3 Scenarium:4 Scenarium:5 Scenarium:6 Scenarium:7 Scenarium:8 0,04 0, Antal simuleringer Kilde: Egne beregninger 63

64 Det fremgår heraf, at for alle scenarier er L / optionspris stort set konstant (alle værdier for 14k simuleringer ligger i intervallet: 1,1 til 1,3) og naturligvis en faldende funktion af antal simuleringer. Der observeres altså en omtrentlig konstant sammenhæng imellem simuleringernes middelværdi (optionsprisen) og simuleringernes standardafvigelse: standardafvigelse / middelværdi konstant Der ses den interessante sammenhæng, at de samme faktorer, som øger optionens middelværdi (volatilitet, varighed og antal punkter for beregning af gennemsnit) samtidig er de samme faktorer, som øger standardafvigelsen på simuleringens estimat, hvorfor det ved MCS gælder at: den relative præcision er uafhængig af optionens parametre, dvs. ens for alle optioner. Dermed bliver den ønskede grad af relativ præcision alene givet ved kvadratroden af antal simuleringer, og det aflæses fx af grafen, at en optionspris bestemmes med en sikkerhed på +/-,5% ved at foretage ca. 8k simuleringer. Tabel 7.5..e: Oversigt over præcision, antal simuleringer og simuleringstid L / Antal Simuleringer Model A - simuleringstid Model B - simuleringsstid A= A=60 A= A=60 15% sek. 7 sek. sek. 7 sek. 10%.000 sek. 14 sek. 3 sek. 14 sek. 8% sek. 8 sek. 5 sek. 8 sek. 6% sek. 55 sek. 10 sek. 55 sek. 4% sek. 1 min 50 sek. 0 sek. 1 min 50 sek. % sek 7 min 1 sek 74 sek. 7 min 1 sek Kilde: Egne beregninger Det ses, hvordan øget krav om præcision stiller øget krav til simuleringstiden, herunder at simuleringstiden stiger til over syv minutter, hvis optionsprisen skal bestemmes med en sikkerhed på +/- 1%, og der skal beregnes et gennemsnit over 60 aktiekurser. 64

65 7.5.3 Modellernes præcision med anvendelse af AT I dette afsnit udføres simulering med brug af Antithetic-metoden. For bedst at analysere denne metode simuleres de samme otte scenarier, som i afsnittet ovenfor, dog med et reduceret antal simuleringer for at spare tid og det er jo trods alt formålet med metoden at opnå større præcision! Det genopfriskes, at VBA-modulet for AT kun udtrækker ét tilfældigt tal pr. kald, men at der så beregnes to optionspriser på baggrund af dette tilfældige tal og dets værdi med omvendt fortegn. Når der således foretages fx 3k simuleringer under AT, er der altså anvendt 3k tilfældige tal, men simuleret 64k aktiekurser og dermed 64k optionspriser. Igen er dataomfanget betydeligt alle simulerede værdier blev udskrevet i Excel til videre analyse, og igen er beskrivende statistik medtaget i bilag F. I første omgang kontrolleres, at begge modeller med brug af AT konvergerer mod rette middelværdi. Dette kontrolleres på samme måde som i forrige afsnit. For hvert scenarium og opdelt på antal simuleringer opstilles et 95%-konfidensinterval for optionsprisen. Dernæst undersøges, om nogen af disse konfidensintervaller skulle vise sig ikke at være overlappende med 95%-konfidensintervallet for model A med 14k simuleringer (den mest præcise teoretiske værdi). Det fremgår, at alle konfidensintervaller overlapper med konfidensintervallet for model A med 14k simuleringer, med en enkelt undtagelse (Scenarium 6, 8k simuleringer i model A, AT). Eftersom der kontrolleres i alt 64 sådanne konfidensintervallet på 5%- testniveau, er det helt acceptabelt at 0- af dem fejler. Det konkluderes, at begge modeller med brug af AT-metoden konvergerer mod rette middelværdi (optionspris). Dermed nås det mest interessante punkt: Hvilken præcision i estimatet opnås så faktisk med AT-metoden? Det fremgår ved en sammenligning af konfidensintervalbredderne (L) for hhv. rå simulering og simulering med AT. For overskuelighedens skyld 65

66 udarbejdes nedenfor et indeks, som viser konfidensintervalbredden (L) med AT over for samme i rå form: Tabel a: Model A, indeks over konfidensintervalbredde AT / rå simulering Simuleringer Scenarium k 54% 55% 55% 5% 68% 60% 60% 5% 4k 60% 51% 57% 55% 68% 63% 59% 53% 16k 59% 54% 58% 55% 67% 6% 57% 56% 64k 59% 5% 57% 55% 67% 6% 59% 57% Kilde: Egne beregninger Tabel b: Model B, indeks over konfidensintervalbredde AT / rå simulering. Simuleringer Scenarium k 60% 51% 6% 58% 65% 65% 60% 58% 4k 61% 53% 6% 56% 70% 63% 63% 59% 16k 60% 53% 61% 57% 70% 63% 63% 58% 64k 60% 53% 60% 56% 69% 63% 61% 58% Kilde: Egne beregninger Som nævnt udføres der ved AT-metoden i virkeligheden to simuleringer pr. kald af VBA-modulet, hvorfor der ved denne sammenligning er udført fx k simuleringer ved AT og 4k simuleringer i rå form. I tabellerne ovenfor er antallet af simuleringer i rå form angivet. Tidsforbruget er tilnærmelsesvis ens. Det ses heraf, at brug af AT-metoden nedsætter konfidensintervalbredderne til niveau 50-60%. Der opnås altså som tommelfingerregel en 50% reduktion i usikkerheden på estimatet og/eller en 50% forbedring i simuleringsresultatet. Det er bemærkelsesværdigt, at denne forbedring opnås både ved et lavt og et højt antal simuleringer. 66

67 Det ses generelt, at der opnås stort set samme forbedring i estimatet for de to modeller, med undtagelse af scenarierne 3 og 7, hvor der for model A opnås et svagt bedre resultat (AT forbedrer model A mere end model B for disse to scenarier, som er kendetegnede ved høj volatilitet og få hjælpepunkter til beregning af gennemsnitsaktiekursen). AT-metoden giver altså med et minimum af indsats og med uændret simuleringstid en 50% forbedring af resultatet Modellernes præcision med anvendelse af CV I dette afsnit udføres simulering med brug af Control Variate-metoden. For bedst muligt at analysere denne metode simuleres de samme 8 scenarier, som i afsnittene ovenfor, igen med et reduceret antal simuleringer for at spare tid. Der udføres simuleringer med brug af hhv. 1k, 4k, 16k og 64k tilfældige tal. I alt anvendes 131 mio. tilfældige tal. Ved brug af CV-metoden er fremgangsmåden altså, at modellen både simulerer optionsværdien med aritmetisk og med geometrisk gennemsnit. Differencen mellem den simulerede geometiske optionspris og den kendte formel for geometriske optionspriser bruges derefter til at korrigere den simulerede værdi for den aritmetiske optionspris, jvf. den tekniske gennemgang ovenfor i afsnit Beskrivende statitisk er vedlagt i bilag G. Det ses allerførst, at metoden er helt uanvendelig, når A har værdien, altså når den simuleringen anvender to tidspunkter til at beregne gennemsnit af det underliggende aktiv. I disse scenarier (alle fire ulige scenarier) giver CV-metoden direkte forkerte optionspriser. Årsagen er, at der er for få støttepunkter til at beregne det simulerede geometriske gennemsnit. Derved bliver resultatet meget forskelligt fra det kontinuerte geometriske gennemsnit, og de simulerede værdier justeres alt for meget og i vilkårlig retning. Ved gennemgang af teorien bag CV-metoden jvf. afsnit 7.3. ses da også, at CV-modellens estimat C A (k) kun er en middelret estimator, når det gælder, at 67

68 1 lim n n 1 n A Ci ( k) lim n i1 n i1 G G dvs. at C EC n A G G A G G A C i kc i EC EC kc EC EC k skal gå mod 0, hvilket ikke er opfyldt med A =. Den følgende analyse vil se på scenarierne, 4, 6 og 8, hvor A har værdien 60 hhv. 10, og samme antal værdier for aktiekursen. Dermed er det sandsynligt, at det beregnede geometriske gennemsnit vil konvergere mod det kontinuerte geometriske gennemsnit. Det er naturligvis fortsat muligt at bruge CV-metoden også for asiatiske optioner, fx med A =, blot skal simuleringen indeholde mange værdier for det underliggende aktiv, svarende til at der skal foretages mange tidsskridt. Eftersom antallet af tidsskridt netop er forskellen på de to modeller (hvor A bruger viden om aktiekursens lognormalfordelig til at simulere slutværdier på bestemte tidspunkter, medens model B simulerer aktiekursen skridt for skridt), er realiteten, at brug af CV-metoden kræver simulering efter model B s metode, hvorved CV-metoden egentlig ikke er forenelig med model A. Undersøges det først, om CV-metoden for disse scenarier konvergerer mod den korrekte optionsværdi, sammenlignes igen med den simulerede værdi for model A med 14k simuleringer. Opstilles en indeks-tabel, som viser estimatets middelværdi ved CVmetoden i forhold den estimerede værdi ved model A med 14k simuleringer, fås: Tabel a: Estimatets middelværdi ved CV i forhold til rå simulering Simuleringer Model A Model B Scenarium k 99,4% 99,1% 99,% 99,7% 99,3% 99,% 99,1% 99,5% 4k 99,3% 99,% 99,% 99,1% 99,4% 99,% 99,% 99,3% 16k 99,4% 99,% 99,% 99,% 99,4% 99,% 99,1% 99,1% 64k 99,4% 99,% 99,1% 99,% 99,4% 99,1% 99,% 99,1% Kilde: Egne beregninger 68

69 Det ses heraf, at estimatet ved CV-metoden rammer ganske præcis i forhold til rå simulering, men at det ikke ser ud til at konvergere mod den forventede middelværdi for optionsprisen. Tværtimod ser det ud til, at uanset antallet af simuleringer opnås omtrent samme resultat, og at dette resultat er en anelse lavere end den forventede værdi. På bilag G er der opsat konfidensintervaller for de enkelte estimater, og det fremgår heraf, at alle konfidensintervaller i scenarium overlapper med konfidensintervallet for rå simulering, medens det for alle øvrige scenarier gælder, at konfidensintervallet overlapper ved få simuleringer (1k og 4k), medens det ikke overlapper ved mange simuleringer (16k og 64k). Forklaringen herpå findes ved at se på usikkerheden i estimatet ved CV-metoden. Der opstilles igen en indeks-tabel, hvor der sammenlignes med usikkerheden på estimatet for model B, 14k simuleringer: Tabel b: Indeks for konfidensintervalbredde ved CV / rå simulering Simuleringer Model A Model B Scenarium k 1,9% 4,%,8% 5,4% 1,8% 4,9% 3,0% 6,% 4k,1% 4,3%,9% 5,9%,0% 4,5%,9% 6,3% 16k,0% 4,3%,9% 6,1%,0% 4,5% 3,0% 6,4% 64k,0% 4,3% 3,0% 6,%,0% 4,5%,9% 6,4% Kilde: Egne beregninger Det ses heraf, at CV-metoden reducerer usikkerheden på estimatet overordentlig meget, fx med helt op til en faktor 50 for begge modeller i scenarium. Disse spændende resultater er helt i overensstemmelse med fx Charnes analyse af brug af CV-metoden, Charnes (00). 69

70 Dette forklarer samtidig, hvorfor der ikke er overlappende konfidensintervaller ved mange simuleringer. Det skyldes simpelthen, at konfidensintervallet ved CV-metoden i takt med at antallet af simuleringer øges bliver for smalt omkring en for lavt estimeret middelværdi. Om brug af CV-metoden kan opsummeres at: CV-metoden er kun anvendelig, når der haves mange værdier for det underliggende aktiv til rådighed i simuleringen. CV-metoden konvergerer mod en estimeret middelværdi, som er ca. 1% lavere end ved rå simulering. CV-metoden giver et overordentlig sikkert estimat. Dette estimat findes med så få simuleringer som 1k, hvilket kan udføres på 14 sekunder for A = 10, sammenlignet med en tid på 3 minutter for 14k rå simuleringer Afslutningsvis henledes opmæksomheden på, at det ved brug af CV-metoden ikke er givet, at der skal justeres med netop -1 multipliceret med differencen mellem det simulerede og det teoretiske (kontinuerte) geometriske gennemsnit. I afsnit 7.3. er det på teoretisk vis udledt, hvordan det er muligt ud fra co-variansen mellem estimatorerne for simuleret aritmetisk og geometrisk gennemsnit og ud fra variansen på det simulerede geometriske gennemsnit at finde frem til den optimale faktor at anvende. Med brug af den optimale faktor er det muligt, at CV-metoden vil konvergere mod samme optionspris som rå simulering Modellernes præcision, opsummering Ved simulering har tre forhold interesse: Findes den rette optionspris? Med hvilken sikkerhed er optionsprisen fundet? Hvor lang tid tager simuleringen? Det er vist, hvordan simulering kan implementeres i VBA i Excel, og det er vist, hvordan variansreducerende hjælpeteknikker kan implementeres. 70

71 Rå simulering viser sig at have den øvre grænse for præcisionen, at antal simuleringer udover 3k til 64k i antal bliver uhyre tidskrævende, herunder at øget præcision er en aftagende funktion af antal simuleringer, som des ses af graf 7.5..d. Det blev også vist, at begge modeller er omtrent lige præcise for alle scenarier og giver ca. samme resultater. Dermed er forskellen på de to modeller reelt begrænset til, at model A er betydeligt hurtigere i anvendelse end model B i de scenarier, hvor A er lav, altså hvor der skal anvendes få støttepunkter til beregning af det underliggende aktivs gennemsnitskurs. Dette skyldes, at model A i disse situationer kan nøjes med at anvende A tilfældige tal, medens model B for at opnå tilstrækkelig præcision skal anvende mindst 10 tidsskridt, jvf. ovenfor under afsnit Til gengæld er model B mere generel og kan i modsætning til model A let udvides til at simulere priser på andre optioner og/eller håndtere en anden bevægelse for aktiekursen end den geometriske brownske bevægelse. Hjælpe-teknikken Antithetic er let at implementere, og den viser sig at give en forbedring i præcisionen af estimatet på ca. 50%. Det er en god forbedring, og metoden kan dermed anbefales i praksis. AT-metoden svarer dermed omtrent til at nedsætte simuleringstiden til 5%, idet præcisionen ved rå simulering skal firdobles for at opnå samme forbedring. AT-metoden simulerer parvist korrelerede optionspriser, og det er ikke trivielt på teoretisk grundlag at redegøre for den opnåede præcision, som redegjort for i bilag C. Hjælpe-teknikken Control Variate kan potentielt give anledning til betydelig forbedring ved Monte Carlo-simulering, idet variansen på estimatet ved denne metode er i størrelsesordenen 16 til 50 gange mindre end ved rå simulering. Dermed bliver det muligt ved blot 1k simuleringer at opnå betydeligt højere grad af præcision end ved fx rå simulering ved antal 14k. CV-metoden kræver, at simuleringen foretages med mange tidsskridt, hvorved metoden reelt er uforenelig med model A. Endvidere er CV-metoden ikke let at implementere, og der kan være betydelig usikkerhed forbundet med, om den konvergerer mod rette middelværdi, således som analysen i denne opgave viste, herunder at det kan være vanskeligt efterfølgende at finde frem til årsagen eller årsagerne til en afvigende middelværdi. Uanset dette usikkerhedsmoment synes den forbedrede præci- 71

72 sion ved CV-metoden at være så attraktiv, at det kan anbefales at ofre tid på at implementere metoden ved praktisk simuleringsarbejde. Især når høj grad af præcision er påkrævet. CV-metoden kræver dog, at det i forbindelse med simuleringen er muligt på tilfredsstillende måde at simulere et udtryk, hvor en teoretisk værdi er kendt. I denne opgave er vist, hvordan dette er muligt, når der simuleres med mange tidsskridt (60+), medens det ikke er muligt, når der simuleres med få tidsskridt ( 10). De fundne resultater kan illustreres i tabelform, hvor der for hver metode vises estimeret middelværdi (optionspris), standardafvigelsen på middelværdien og den til estimatet anvendte simuleringstid: Tabel a: Modellernes præcision, opsummering Model B, antal sim. Middelværdi Standardafvigelse Tidsforbrug Rå simulering, 1k 5,94 6,80 7 sek. Rå simulering, 4k 5,77 6,49 14 sek. Rå simulering, 3k 5,65 6,37 3 ½ min. Rå simulering, 14k 5,70 6,45 14 ½ min AT, 1k* 5,69,47 3 sek. AT, 64k* 5,68,40 5 min. CV, 1k 5,66 0,13 14 sek. CV, 16k 5,66 0,13 4 min. Scenarium : So = 10, r = 0,06, Tid = 0,5, Vol = 0,, X = 15, A = 60, Put-option *AT kalder VBA-modulet det halve antal gange, men simulerer to optionspriser pr. kald. Ønskes det alternativt at få besvaret, hvor mange simuleringer som skal foretages for at opnå et 95%-konfidensinterval for % af optionsprisen, svarende til en sikkerhed på +/- 1% af optionsprisen, fås for hver metode: 7

73 Tabel b: Antal nødvendige simuleringer, når estimatet skal være fastsat med en præcision på +/- 1% Metode Antal sim. Tidsforbrug Model A, Model B, rå simulering 64k fra 15 sek op til 15 min. AT-metoden 16k fra 0 sek. op til 4 min. CV-metoden < 1k < 14 sek. Det ses, hvordan AT-metoden giver en god reduktion i antal og tid, men at CV-metoden er vejen frem, såfremt der skal ske markant stigning i præcisionen. 7.6 Modellernes anvendelse, beregning af optionspriser Arbejdet med at opstille teoretiske modeller og analysere deres præcision er overstået, og dermed er opgavens problem så behandlet. Inden opgaves rundes af med en egentlig konklusion, skal der dog bruges lidt krudt på at anvende modellerne på to konkrete problemstillinger: dels at undersøge om investorer betaler en fair præmie for Dexiaobligationen, dels at undersøge om det er muligt for asiatiske optioner at have højere værdi end en tilsvarende europæisk option! Simuleret pris på Dexia-obligationen Ved brug af de opstillede modeller og med følgende parametre for optionen: So=100, X=100, r=6%, vol=30%, T=5, A=5 og OType = True (call-option) kan følgende fair optionspriser estimeres: Tabel a: Simuleret pris for Dexia-optionens option Model Middelværdi Standardafvigelse Simuleringsstid Model A, 3k,9 36,4 4 sek. Model B, 3k 3,4 34,7 43 sek. Model A, AT, 3k 3, 0,7 13 sek 73

74 Model B, CV, 1k,9 11,5 8 sek. Kilde: Egne beregninger Det fremgår, at simulerede værdier for Dexia-obligationens indbyggede asiatiske option er i niveauet 50% af den pris, som investorerne betaler. Det bemærkes i denne forbindelse, at parametrene rente og volatilitet med vilje er sat højt, for dermed at belyse den øvre grænse for optionens værdi. Især renten er sat højt, når det tages i betragtning, at A.P. Møller-aktien er udbyttebetalende. At de simulerede værdier ikke stemmer overens med den faktiske pris i Dexia-obligationen, er naturligvis bekymrende. Om end bekymringen ikke går på modellernes korrekthed, men nærmere på, hvordan det kan lade sig gøre at sælge et produkt som Dexia-obligationen i markedet! I hvert fald er de ovenfor fundne resultater i overensstemmelse med Lars Jensens artikel i FinansInvest, Jensen (003), hvor han beregner en fair deltagelsesgrad (antal optioner) til 15%, hvilket svarer til en optionspris på 4, Optionsværdi, asiatisk over for europæisk Konkret at finde svaret på om asiatiske optioner kan have højere værdi end en tilsvarende europæisk option, løser det eksamensspørgsmål, vi som nævnt i forordet blev stillet i kursusfaget Videregående Værdipapiranalyse. Hull beskriver ikke direkte forholdet, men anfører blot: Average price options are less expensive than regular options, Hull (003:443). Ses imidlertid på en option med følgende faste parametre: So=10, vol=0,, 6%, T=, A=4, og varieres X over værdierne 15, , fås ved at bruge hhv. BS-formel og model A (AT, 16k simuleringer) følgende pæne grafiske oversigt over problemet: 74

75 Optionsværdi Figur 7.6..a: Sammenligning af optionsværdier Sammenligning af optionsværdier Asiatisk Europæisk X Kilde: Egen tilvirkning Det ses, at det undtagelsesvis er muligt at have optioner, hvor den asiatiske option er mere værdifuld end en tilsvarende europæisk, hvilket altså sker for put-optionen, når den lavere driftrate som følge af gennemsnitsmetoden medfører større optionsværdi end det tilhørende tab i volatilitet. Dette afsnit måtte simpelthen medtages, eftersom det afslutter min rejse ud i asiatiske optioner. 75

76 8. Konklusion Denne opgaves formål er at undersøge. om og i givet fald med hvilken præcision det er muligt at prisfastsætte asiatiske optioner ved Monte Carlo-simulering i Excel. Efter indledningsvis at fastlægge det teoretiske fundament for at undersøge problemet, herunder navnligt at fastlægge en proces for bevægelsen i det underliggende aktiv, opstilles i opgaven to modeller til at prisfastsætte den asiatiske option. Begge modeller implementeres i Excels programmeringssprog, Visual Basic for Application, VBA. Ved test, hvor Black-Scholes teoretiske priser for europæiske optioner bruges som sammenligninggrundlag, fastslås det, at begge de opstillede modeller opnår resultater, som er forenelige med BS-værdierne, hvorved det ses, at modellerne konvergerer mod rette middelværdi for optionsprisen i det simple tilfælde med en europæisk option. I fravær af markedspriser for asiatiske optioner er det ikke muligt direkte at teste, om modelresultaterne er forenelige med markedspriser. Den fortsatte analyse viser, at det er muligt at prisfastsætte asiatiske optioner med en relativt god præcision. Fx ned til +/- 1% af optionsprisen ved at foretage 64k rå simuleringer med et tidsforbrug på ca. 8 sekunder pr. hjælpepunkt til beregning af gennemsnitsaktiekursen (fx 15 minutter når der anvendes 10 hjælpepunkter). Endvidere vises, at denne præcision er uafhængig af optionens øvrige parametre: varighed, volatilitet, rente og det relative niveau for strikekursen. Analysen viser også, at betydelig højere grad af præcision er vanskeligt at opnå ved rå simulering, da simuleringsantallet og dermed tidsforbruget skal øges eksponentielt. I forlængelse heraf er det undersøgt, i hvilket omfang variansreducerende hjælpemetoder kan anvendes. Antithetic-metoden er let at implementere og giver en forøgelse af præcisionen med ca. 50%, men løser ikke det grundlæggende problem, at øget præcision kræver en eksponentiel stigning i antal simuleringer og dermed i tidsforbrug. Control Variate-metoden giver en forbløffende forbedring af præcisionen, i niveauet faktor 16 til faktor 50 afhængig af optionens konkrete parametre. Uheldigvis er CV- 76

77 metoden vanskelig at implementere, og ved de konkrete omstændigheder ser den ud til at konvergere mod en svagt lavere optionspris end ved rå simulering. På baggrund af den foretagne analyse af muligheden for at prisfastsætte asiatiske optioner ved MCS i Excel kan det konkluderes, at: Excel er et velegnet redskab til at udføre MCS. Programmet er fleksibelt, og simulerede værdier kan udskrives enkeltvis til senere behandling, herunder grafiske præsentationer af resultaterne. Simulering i Excel kan give en god grad af præcision i de simulerede værdier, op til +/-1% af optionsprisen, men at Excel ikke er et velegnet redskab, såfremt der kræves markant højere grad af præcision, eftersom tidsforbruget for en almindelig kontorcomputer stiger voldsomt. Flexibiliteten i Excel kan udnyttes til at anvende variansreducerende hjælpemetoder, hvor særlig Control Variate-metoden påkalder sig interesse, idet denne metode har potentialet til at forbedre præcisionen mangefold. Det gælder, at MCS i Excel er simpelt at implementere, og dermed kan være et nyttigt generelt værktøj, fx også i forbindelse med mere komplekse finansielle instrumenter, hvor det udnyttes, simulering kun vokser lineært i omfang ved stigende kompleksitet MCS har dog den svaghed, at metoden konvergerer relativt langsomt uden brug af variansreducerende teknikker. Endvidere har MCS den svaghed, at metoden dårligt håndterer afledte produkter med førtidig exercise. MCS vil dermed i udgangspunktet ikke være det rette værktøj for amerikanske optioner. Det synes oplagt, at interessen for at bruge MCS vil stige som følge af den fleksibilitet, metoden giver, hvorved det er muligt at prisfastsætte komplekse finansielle instrumenter. Yderligere vil øget brug af variansreducerende teknikker sammen med stedse mere udbredte og kraftigere computere reducere den tid, som er påkrævet til simulering for at opnå tilfredsstillende præcision. Øget kendskab til MCS-teknik og eventuelt øget udbredelse / anvendelse af simulerings-software vil yderligere sætte fart på denne udvikling! 77

78 Litteraturhenvisninger Avramidis AN, JR Wilson (1995) Correlation-induction techniques for estimating quantiles in simulation experimentes. In Proceedings of the 1995 Winter Simulation Conference. Black, Fisher & Myron Scholes (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabiities Journal of Political Economy 83: pp Black, Fisher (1976). The Pricing of Commodity Contracts. Journal of Financial Economics 3: pp Boyle P, Broadie & Glasserman (1997) Monte-Carlo methods for security pricing. Journal of Economics Dynamics and Control, V.1, pp Box, G.E.P, M.E. Muller (1958). A note on the generation of random normal deviates. Annals Math. Stat, V.9, pp Charnes, JM (000). Using Simulation for Option Pricing. Proceedings of the 000 Winter Simulation Conference Charnes, JM (00). Sharper Estimates of Derivative Values. Financial Engineering News, June 15, 00 issue. Cox, John & Stephen Ross (1976). The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes, Journal of Financial Economics v.3 1- Curran, Michael (199). Beyond average intelligence, Risk 5 (10), 60 Falloon, William and David Turner (1999). The evolution of a market. Managing Energy Price Risk. Garanti-Invest (00). Prospekt: Dexia, Aktieindekseret obligation 00/

79 Hull, John C (003). Options, Futures, and Other Derivatives Hunt, PJ & JE Kennedy (000). Financial Derivatives in Theory and Practice Itô, Kiyosi (1951) On Stochastic Differential Equations, Memoirs of the American Mathematical Society 4. Jarrow, Robert & Stuart Turnbull (1996). Derivative Securities Jensen, KS. (1995). Eksotiske optioner og deres prisfastsættelse Jensen, Lars K. (003). Er aktieindekserede obligationer oplagte investeringsobjekter, FinansInvest Nr. 6/003. Kemna, AGZ & ACF Vorst (1990). A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values. Journal of Banking and Finance v.14 pp Klassen, TR (001). Simple, Fast & Flexible Pricing of Asian Options. Journal of Computational Finance v.4 pp Kolb, Robert W (003). Futures, Options, and Swaps Levy, Edmon (199). Pricing European Average Rate Currency Options. Journal of Internaltional Money and Finance v.14 pp Merton (1973). Theory of Rational Option Pricing. Bell Journal of Economics & Management. Nelken, Israel (000). Pricing, hedging, and trading exotic options Pindyck, Robert & Daniel Rubinfeld (1998). Econometric Models and Economic Forecasts Staum, J (003). Efficient Simulations for Options Pricing. Proceedings of the 003 Winter Simulation Conference Turnbull, SM & LM Wakeman. (1991). A Quick Algorithm for pricing European Average Options. Journal of Financial and Quantitative Finance v.6 pp