Projekt 3.12 Uniform kontinuitet og eksistensen af arealer

Transkript

1 Hvad r matmat? A, ISB Projtr: Kaptl 3 Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Dt oftst ovrst problm arbjdt md at gv dffrtal- og tgralrgg fast grud udr føddr r dt som aførs ovrsrft: Essts af aralr Før v år frm tl dt, oprdsr v lg hl procss frm tl bvst for, at hvr oturt futo har stamfuto Bvst r dlt op flr srdt, og udrvjs fortags forsllg ataglsr om futor, m dt r fats hr, problmt lggr: Først atags f ( ) ³ hl trvallt [ ;] d grlt For oturt futo g( ) har t mmum mî [ ab ;] : g( ) ³ m, llr g( ) - m³ Dtt gvr os, at d oturt futo g( ) - m har stamfuto ( ) M så r G( ) + m stamfuto tl g( ) Altså gældr påstad grlt ab Ka v bvs påstad dtt tlfæld, så gældr D æst atagls r, at f r mooto M dtt r udlud bvsts lttls G Øvls: Aralsætg ud atagls om mooto Fd bvst for dt mooto tlfæld og sammlg md dt følgd: I bvst dførs aralfuto A( ), og v gmførr vurdrg på størrls A( ) - A( ) D størrls r aralt af lll strmml udr graf for f M da f r oturt har d t masmum, Drfor gældr: b og t mmum, a [ ; ] f ( a) ( - ) < A( ) - A( ) < f ( b ) ( -) A( ) -( A ) f ( a) < < f ( b) - V afsættr størrlsr på tallj for at få t bdr ovrbl: f ( a ) f ( ) f ( b ) år u, vl båd a og b gå mod (Ovrvj hvorfor!) S på tallj og oludér: ( ) - A( ) A - ( ) -( ) A - A - >, drfor bvars ulghdstgt, og drmd vl f ( a ) og f ( b ) gå mod ( ) ( ) f hvlt btydr, at A( ) r dffrtabl md dffrtalvott: A' ( ) f ( ) Md adr ord: A( ) r stamfuto tl f ( ), = f V sr sålds, at bvst a gmførs ftr samm opsrft som dt tlfæld, hvor f r mooto Problmt bvst for sætg om, at oturt futo har stamfuto, lggr på t mr grudlæggd pla: Essts af A() V postulrr, at aralt udr graf, og drmd A() sstrr For d grafr v ormalt stødr på, forommr dtt dlysd M v har A-bog st smplr på futor, hvor dtt r hlt så dlysd D pågældd futor var gas rgtgt oturt, m hvad r dt lg vd otutt, dr rddr os? V må start md dfto: 4 L&R Uddals A/S Vogmagrgad DK-48 Købhav K Tlf: Emal: fo@lrud

2 Hvad r matmat? A, ISB Projtr: Kaptl 3 Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Dfto: Aralt af t områd Et områd har t aral, hvs dr fds følg af dr og ydr polygor, hholdsvs P og Q, sålds aral Q - aral P, år at: Btragt putmægd afgræst af ljr md lggr = a og = b, samt af -as og graf for d postv futo f Lad: a< < < < < = b vær ddlg af [ ab ;] lg stor dl Itrvallægd r så l = a - b I hvrt dltrval har f t masmum t put M og t mmum t put m D ydr polygo fastlæggs u af værdr ( ) f M, og d dr af værdr ( ) f m Aral af dr polygo: aral ( P) = ( f ) m l+ + f ( m) l Aral af ydr polygo: aral ( Q) = ( f ) M l+ + f ( M) l Forsll: aral( ) aral ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) Q - P = f M - f m l + + f M - f m l (*) Hrftr vl v lad Så vl l Hvad a v da oludr om (*)? Umddlbart ogt, for atallt af ld vosr også mod udlgt Sammlg md: + =, + + =,, = ( ld) Btragtr v stuato grafs, sr dt ud tl, at tall ( f ( M) ( f ) m ) - a gørs så små, v øsr dt, r mlg, at v sal styr, hvad dr sr på hl trvallt [ ] blot trvalddlg blvr tlstrælg f M v har værtøjt tl at afgør dtt Vort problm ab ;, og bar t lt put Kotuttsbgrbt, som v har dført dt, talr u om, hvad dr sr t lt put D mr grll problmstllg, dr hr r stsrt dæs af bgrbt Uform otutt Dt var fats dtt otuttsbgrb, Wrstrass først søgt at få styr på Som tdlgr omtalt blv otutt dgag altd opfattt som gsab yttt tl t hlt trval: E graf a vær sammhægd t trval, ms dt umddlbart forom mr suspt at tal om otutt t put Wrstrass dfto af dt, v dag aldr Uform otutt (for at sl dt fra bgrbt otutt t put) lydr: Dfto: Uform otutt f alds uform oturt I, hvs dr gældr, at for thvrt > fds t d > - y < d Þ f - f y < f ( M ), sålds at: Dfto sgr altså, at hvs v får t ε stut ud, så fds t d, så uast hvor trvallt I, v bfdr os, så gældr dt, at blot forsll - y r mdr d δ, så har v styr på udsvgt futosværdr: Forsll mllm dss r mdr d dt gv M m 4 L&R Uddals A/S Vogmagrgad DK-48 Købhav K Tlf: Emal: fo@lrud

3 Hvad r matmat? A, ISB Projtr: Kaptl 3 Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Dtt rav forommr lagt stærr d d almdlg otuttsdfto Sal v gmfør t argumt vdrørd otutt, dr følgr Wrstrass dfto, så vl dt δ, v vælgr, ormalt afhægr båd af ε og af dt, v har som udgagsput Såda r dt også almdlghd M sr v på lud trvallr gældr fats følgd: 3 Hovdsætg om oturt futor a; b, så r f også uformt oturt Hvs f r oturt på [ ] Bvs Lad ε vær gvt V sal vs, dr fds t δ, så dr for all y, [ ab ; ] - y < d Þ f ( ) -( f ) y < (**) Î gældr: V gvr t drt bvs Atag mlg at dr fds t sådat δ Dt btydr, at v a vælg følg af tal δ, fs følgd:,, 3,,,, sålds at d, år, og hvor dr for thvrt d fds to tal og y, dr opfyldr (**), dvs: y d f - f y > (***) Ovrvj øj dtt! u avds Bolzma-Wrstrass sætg, dr r vst t appds dfor Sætg sgr, at hvr udlg følg af tal t bgræst trval har t fortætgsput - <, m samtdg: Følg { } har sålds t fortætgsput Dtt btydr, at dr fds dlfølg:,,,,, 3 Ovrvj u, at må lgg trvallt [ ; ] ab, år dtt r lut V vd, at - y, og drfor vl også y, y, y,, y 3 f r oturt, så drfor har v u båd: f ( ) f ( ) og: f ( y) f ( ) Avd så Wrstrass dfto på otutt: ù é Læg t trval J md brdd ε om f ( ) : J= ú f ( ) - ; f ( ) + û ê og vælg hrtl t δ, ë I= - d; + d afblds hlt d J så trvallt ] [ I r t trval om, så fra t vst tr r båd M så r båd f ( ) og ( ) og f y md J, dvs ( ) ( ) y md I f - f y <, hvlt r modstrd md valgt af r og y r, som bsrvt (***) Drfor r atagls (***) forrt: V a blv vd md at vælg dss Altså fds dr t δ, så (**) r opfyldt: - y < d Þ f - f y < Dtt afsluttr bvst for hovdsætg 3 og y Md sætg om uform otutt bagag a v afslutt bvst for, at områdr udr graf for postv oturt futo har t aral Og dtt vl afslutt bvst for, at hvr oturt futo har stamfuto V vdr tlbag tl problmstllg på sd, hvor v var åt frm tl at fortag vurdrg på: ( ( ) ( ) ) ( ) aral Q - aral P = f M - f m l + + f M - f m l 4 L&R Uddals A/S Vogmagrgad DK-48 Købhav K Tlf: Emal: fo@lrud

4 Hvad r matmat? A, ISB Projtr: Kaptl 3 Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr V øsr at vs: aral Q - aral P år Lad drtl t ε vær gvt V sal bstmm t, så dr gældr, at aral Q - aral P < år > Vælg u tl tallt b - a t δ følg dfto på uform otutt Så gældr: - y < d Þ f ( ) -( f ) y < b - a ab ;, dvs v vælgr tallt, så dr gældr: Lad så δ bstmm ddlg af trvallt [ ] trvallægd l r mdr d δ, dvs: l = < d Btragt u t tlfældgt tal, dr r størr d For hvrt lggr masmums og mmumsputr M og m t trval md trvallægd l < l < d Så gældr åbbart: M m d Idsæt u dtt (*): - < for all, og drfor r f ( M) ( ) - f m < b - a for all (****) ( ( ) ( ) ) ( ) ( Q) ( P) f ( M) ( f ) m l f ( M) ( f ) m l aral Q - aral P = f M - f m l + + f M - f m l (*) aral - aral tratsulghd aral( Q) - aral ( P) l + + l aral( Q) - aral( P) l aral( Q) - aral( P) aral Q - aral P Idsæt (****) Idsæt l = Altså top d øsd oluso aral Q - aral P år dvs områdt udr graf har t aral! Drmd har v vst: På grudlag af dybr dsgt d rll tal som v har brug for bvst for Bolzao-Wrstrass sætg - og vd hjælp af d tr otuttssætgr, har v hrmd fåt tablrt t soldt grudlag udr d matmats aalys Appds Bolzao-Wrstrass sætg Hvs,, 3,,, r følg af rll tal, dr r bgræst, dvs dr fds t trval [ ; ] r, så har følg t fortætgsput [ ;] ab, hvorvd forstås t tal, hvorom dr gæl- : z år holdr all dr, at dr a udtags dlfølg z, z, z 3, af r, som går mod Bvs V avdr trvalrust ab, dr d- 4 L&R Uddals A/S Vogmagrgad DK-48 Købhav K Tlf: Emal: fo@lrud

5 Hvad r matmat? A, ISB Projtr: Kaptl 3 Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Halvér trvallt [ ab ; ] d to dl: [ am ; ] og [ m b ] I mdst é af halvdl, f [ am ; ] lggr dr udlgt mag af r Vælg dtt trval, og udtag t af ; r som z Halvér dt y trval [ am ; ] d to dl: [ am ; ] og [ m ; m ] I mdst é af halvdl, f [ m ; m ] dr udlgt mag af r Vælg dtt trval, og udtag t af r som z Gtag d procs md halvrg af trvallr V får så bstmt trvalrus: I ÉI ÉI3 ÉI hvor lægd af trvallr går mod Dvs dr lggr t tal på bud af trvalrus Ovrvj øj, hvorfor v a vær sr på, at dtt lggr trvallt [ ;] lut trval) ab (Ht: Avd, at [ ;] lggr ab r t M samtdg har v bstmt dlfølg af tal fra d oprdlg følg: z, z, z3,, z, hvor z lggr I for thvrt M så må dr gæld: z, z, z3,, z, år Altså har v bstmt t fortætgsput for talfølg Bmær, at bvst r t sstsbvs V har vst, at dr fds t fortætgsput, m v har vst hvorda dt fds 4 L&R Uddals A/S Vogmagrgad DK-48 Købhav K Tlf: Emal: fo@lrud