Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Transkript

1 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3, taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,..., =, 2, 3,... + ( ),,,,...,,..., =, 2, 3, De almee form af e følge er a, a 2, a 3,..., a,... og ma ka opfatte e talfølge som e fukto af de aturlge tal d de reelle tal. De almdelge fuktoedtor TI-89, ka kke tege grafe for e følge. Tl det formål skal ma gå d MODE, fg., fg. og vælge SEQUENCE, fg.2 fg.2 Ma ka opfatte e talfølge som e fukto af de aturlge tal d de reelle tal. E gag mellem reges 0 tl de aturlge tal, tl tder kke. V vl kke her gå d e lægere overvejelse om dette, me tllade 0 at være med år det passer os, og kke med år det kke passer os. I tvvlstlfælde æves det udtrykkelgt om 0 er med eller ej

2 Iduktosbevs og sum af række sde 2/7 Når ma så går d y= -edtore ser skærme ud som på fg.3 fg.3 I eksemplet på fg.3 er følge a = dtastet, med begydelsesbetgelse a = Ma ser at Texas Istrumets har valgt betegelse u, u2, u3, osv. Tallee, 2, 3, osv. efter u betyder at det er første følge, ade følge, trede følge, osv., lgesom skrvemåde for fuktoer (y, y2, osv.). Nedeuder u står u: et står for tal altså begydelses-. På fg.3 er u=. Det betyder at begydelsesværde for følge er sat tl og er altså det samme som a = Øsker ma at se grafe følger ma blot de ormale procedure: Gå d F2 og sæt parametree som vst på fg.4 (eller vælg zoomft) fg.4 Resultatet ses på fg.5: fg.5 I forbdelse med rækker er ma ofte teresseret at fde ud af om ma ka fde summe af des elemeter, altså at fde e uedelg sum. Ma skrver da a + a 2 + a a +... Skal ma fx fde summe af de seks første tal

3 Iduktosbevs og sum af række sde 3/7 ka ma aturlgvs blot lægge dem samme hovedet, eller bruge e lommereger. Aderledes forholder det sg hvs det er summe af de 600 eller 6000 første tal som skal fdes. Det er gaske vst mulgt at lægge tallee samme hovedet eller ved at bruge e lommereger, me det vl tage et pæt stykke td. Så derfor vl v se på om kke der skulle være e gevej. Ved at skrve på e aderledes måde ses, at det er der: = ( + 6) + (2 + 5) + (3 + 4) = = 3 7 = 2 Fduse er altså at parre talee, så det første og det sdste kommer samme, det adet og det æstsdste kommer samme, osv. Ved dee metode får v samme sum for hvert par af tal, og v får halvt så mage summer som v har tal tl at begyde med. Hvs der er et lge atal tal. V ka på dee måde skrve summe af de seks første tal som ½ 6 (6 + ) Me hvad u hvs det er summe af de syv første tal? Som ovefor skrver v = ( ) + 7 = ½ 6 (6 + ) + 7 = ½ 6 (6 + ) + (6 + ) = (6 + ) (½ 6 + ) = 7 ½(6 + 2) = ½ 7 8 = ½ 7 (7 + ) dvs. e formel af samme form som der gjaldt for 6. Det lader tl at det er lgegyldgt om der er et lge eller et ulge atal. I begge tlfælde tør v tro på at summe af de første tal s ka fdes således: s = ½ ( + ) V ka bevse påstade ved et argumet mage tl ovefor 2, me v vl hellere bruge e ade fremgagsmåde, kaldet et duktosbevs. 2 Formles gyldghed drekte: s = s + s = ( ) + ( ) 2 s = (+)+(2+-)+... alt led 2 s = (+) s = ½(+)

4 Iduktosbevs og sum af række sde 4/7 For = er det ldt kustgt at tale om e sum, me v vl allgevel tllade os at gøre det, og rege med at summe er. Bruges formle tlfældet =, fås ½ (+) = ½ 2 =. Formle og drekte regg gver altså det samme, og formle er derfor rgtg tlfældet =. For = 2 har v + 2 = 3, og formle gver ½ 2 (2 + ) = 3, så formle er også rgtg her. Opgave Vs at formle gver det rgtge tlfældee = 4 og = 5. Opgave 2 Vs, ved at efterlge argumetet ovefor, at hvs formle er rgtg for = 7, så er de det også for = 8. Me hvad med = 9, 0,,...? Hvs v skal rege efter hvert tlfælde, er der kke meget fdus at have e formel. Så v ser på tlfældet +, det v atager at formle er gyldg for. V atager altså at der gælder s = = ½ ( + ) og vl gere fde et udtryk for s + : s + = ( + ) = ( )+( + ) = s + ( + ) I dette udtryk ka v bruge vores formel for s da v jo har ataget at de gælder. Derfor får v s + = ½ ( + ) + ( + ) og sættes + udefor paretes, har v s + = ( + )(½ + ) = ( + )½ ( + 2) = ½( + )(( + ) + ) Formle har altså samme udseede for og +. Dvs. at de gælder for + år de gælder for. Me u ved v at de gælder for =. Derfor gælder de også for = + = 2. Me så gælder de også for = 2 + = 3, hvorefter de gælder for = 3 + = 4, osv. Der udløses e kædereakto eller e lave om ma vl, og v kokluderer at formle gælder for et hvlketsomhelst aturlgt tal, og dermed for alle aturlge tal. Et bevs af de type som v lge har geemført, kaldes for et duktosbevs, og at bevse e sætg ved hjælp af et duktosbevs, kaldes at bevse ved dukto. De almee stuato er, at ma har e påstad som afhæger af, p():. Først vser ma at påstade er sad for =, dvs. at p() er sad. 2. Derefter vser ma, at hvs påstade er sad for, så er de det også for +, eller, hvad der kommer ud på det samme, at p() er sad medfører at p(+) er sad. 3. Af og 2 slutter ma at påstade gælder for alle!.

5 Iduktosbevs og sum af række sde 5/7 (Ma ser ofte at! også omfatter 0; det er som regel kke oget problem. I vores eksempel er det på de ade sde ok ldt kustgt at tale om summe af de ul første tal; me tllægger ma dee sum værde 0, så passer formle). Opgave 3 Vs, at +..., 2 =! {} Opgave 4 Der fdes et tal k, således at formle (2+) 2 - = (2-k) 2 + k gælder for alle hele postve tal. Bestem k og bevs formle. På TI-89 er der e fukto som ka berege summer 3. De befder sg F3, 4 og har symbolet Σ, fg.6. Fg.6 Sytakse er, fg.7: Σ(udtryk, varabel, edre græse, øvre græse). Fg.7 3 På TI s hjemmesde ka ma dowloade e maual tl TI-89/92+/Voyage. Adresse er

6 Iduktosbevs og sum af række sde 6/7 Vl ma fx fde summe af de første 0 tal, skrver ma Σ(,,, 0) trykker på ENTER, og straks har ma svaret 55. Opgave 5 Prøv at skrve j stedet for, altså Σ (j, j,, 0), og bemærk hvad der sker. Eller k stedet for j. Er det afgørede om ma bruger, j eller k? I matematkke bruges øvrgt e otato som mder meget om TI-89'eres: = = Opgave 6 Fd summe af de første tal vha. TI-89. Opgave 7 Brug TI-89 tl at fde summe af kvadratet på de første hele tal, altså Bevs ved dukto, at det er rgtgt at dee sum er ( + )( 2+ ) 6 Forsøg også her at udskfte med j eller k. Og prøv så med. Hvad sker? Hvorda opfatter TI-89 symbolet Σ( 2,,, )? Opgave 8 Ma kalder a + aq + aq 2 + aq aq - for e (edelg) kvotetrække. Årsage tl dette av er, at forholdet, kvotete, mellem to på hade følgede led er kostat: a a + aq = = q aq Fd summe vha. TI-89, og vs ved dukto at det er rgtgt. Opgave 9 a og q har samme betydg som opg.8. Hvs ma ku ser på værder af q som (umersk) er mdre ed, og lader vokse, hvlke græseværd får ma så for gåede mod?

7 Iduktosbevs og sum af række sde 7/7 Opgave 0 Fd et udtryk for = 3 og bevs at det er rgtgt. V har tdlgere vst, at dfferetalkvotete af et produkt er ( f f ) = ( f ) f + f ( f ) Opgave Vs ved dukto, at ( f f f... f ) = ( f ) f f... f + f ( f ) f... f f f f...( f ) I specaltlfældet f (x) = f 2 (x) = f 3 (x) =... = f (x) = x, har v ( x ) = x x... x + x x... x + x x... x + x x x... = x Opgave 2 Vs dee formel drekte vha. et duktosbevs. Vk. For = står der (x) = x - = x 0 = ; her er formle altså ok. For = 2 står der (x 2 ) = 2x 2- = 2x = 2x; så også dette tlfælde passer formle. Vs u, at formle gælder for + år det atages at de gælder for. Opgave 3 Vs, at vkelsumme e -kat, 3, er ( 2) 80 Opgave 4 Vs, at summe af de første ulge tal er 2, altså at (2 ) = 2 Opgave 5 Vs, at 2 +, =, 2, 3,...