Vejledende løsning. Ib Michelsen. hfmac123

Transkript

1 Vejledende løsning hfmac123

2 Side 1 Opgave 1 På en bankkonto indsættes kr. til en rentesats på 2,125 % i 7 år. Beregning af indestående Jeg benytter formlen for kapitalfremskrivning: K n=k 0 (1+r )n hvor K 0= og r = 2,125 % og n = 7 De oplyste tal indsættes: K n= (1+2,125/100)7=34757,28 Efter 7 år er indeståendet kr ,28 Da rentes rente ike spiller nogen større rolle fås renten som lidt mere end 2,125*7 % af ; 15 % svarer til kr. Svaret er ihvert fald omtrent rigtigt. Opgave 2 Vægten af tropisk nåletræ kan beskrives ved modellen y=0,31 d 2,11 hvor d er diameter (i cm) og y er den tilsvarende vægt i kg. Vægt af træ, hvor d=15 15 indsættes i den oplyste formel: y=0, ,11=93,95 Træet med diameter 15 cm vejer 94 kg Skønsregning: Vægt=152 /3=75 Diameter for træ, hvor vægt = 150 kg 150 indsættes i den oplyste formel: =0,31 d 2,11 d = =18, Træet med vægten 150 kg har diameter 18,7 cm Til elever: se formelsamlingen : Potensfunktionen (næstsidste punkt)

3 Side 2 regning: vægt =0,31 18,723 2,11=149,99 Hvis x fordobles... For potensfunktioner som denne gælder, at hvis x-faktor = k, er y-faktor = ak. Her er k = 2 (~ fordobling). Til elever: se Indsætning af de givne tal formelsamlingen : 2,11 y faktor=2 =4,32 Potensfunktionen (sidste punkt) Når træets diameter fordobles bliver vægten 4,3 gange større Eksempel: Vægt for et træ med diameter 30 cm = 0, ,11 kg=406 kg hvilket svarer til 94 kg 4,32=406 kg (jævnfør 1. del af opgaven) Opgave 3 En trekant har mål som vist på tegningen: Vis, at vinkel B = 49,7º Vinkel B kan beregnes med cosinusrelationerne, da disse gælder for alle trekanter: a +c b 2 a c De oplyste tal fra figuren indsættes: cos ( B)=

4 Side ,4 2 5,72 cos ( B)= =0, ,4 B=cos 1 (0,6465)=49,72 Vinkel B = 49,7 Overflødig her; ellers benyt vinkelmåler på tegning Trekantens areal Arealet beregnes med formlen: T =0,5 a c sin (B), som gælder i enhver trekant De kendte tal indsættes: T =0,5 4 7,4 sin (49,7)=11,29 T = 11,3 Skøn over højden: CD = 3 og benyt formlen T =0,5 højde grundlinje ; T =0,5 3 7,4=11,1 eller beregn arealet præcist med Herons formel. Længden af AD I den retvinklede trekant BCD kan BD beregnes med formlen hk =hyp cos ( v) og med de aktuelle betegnelser: BD = CB cos (B) Det gælder naturligvis, at AD = AB DB Derfor fås ved indsætning, at AD = AB DB =7,4 4 cos (49,7)=4,81 AD = 4,8 Mål på en tegning Opgave 4 Tabellen viser sammenhængen mellem højden (x) og tiden (y); Til elever: Læs opgaven omhyggeligt og noter i den rigtige række, hvad der er x- hhv. y-værdier. Marker derefter x1, y1...

5 Side 4 ifølge opgaven er sammenhængen tilnærmet lineær: Beregning af parametre Da funktionen er lineær, gælder: y y a= 2 1 x 2 x1 Oplysningerne fra tabellen indsættes: a= = = 44 2,80 0,30 2,50 Ligeledes gælder b= y 1 a x 1 De kendte tal indsættes: b=320 ( 44) 0,30=333,2 a = -44 b = 333,2 Alternativ løsning med GeoGebra (eller blyant og papir): Betydning af a For hver km man kommer højere op ændrer tiden før udmattelse sig med -44 sekunder, dvs. man bliver udmattet 44 sekunder før.

6 Side 5 Opgave 5 Ovenstående boksplot (fra opgaven) viser spilletid fra den amerikanske top-15 liste; de tre pile er tilføjet. Kvartilsæt Kvartilsættet aflæses på aksen med spilletider, som pilene viser: Kvartilsættet = { 199 ; 210 ; 233 } Omhu og gentagelse; benyt bilag i stor størrelse eller forstør den elektroniske udgave for at kunne lave en præcis aflæsning. Tegn og sammenlign De to boksplot tegnes med GeoGebra. Til det ene er der benyttet det fundne kvartilsæt samt største- og mindsteværdi, til det andet er der blot anvendt de rå data. Det ses på figuren, at spilletiderne for de 15 sange varierede mindre i tid i 2012 end i 72, hvor der både var kortere og længere numre. Yderligere ses, at mange (50 %) af numrene i 1972 var korte sammenlignet med 2012: nemlig kortere eller lige så korte som den korteste fjerdedel i Trods dette havde 1972 dog også den længste sang overhovedet samt én med samme længde som den længste i 2012.

7 Side 6 Prøv som hovedregel at finde mindst to klare udsagn som kommentarer og relater det til det emne, der beskrives. Opgave 6 I en prognose regnes der med en stigning i vinforbruget på 1,3 % om året med et udgangspunkt på 192 mio. liter i Model baseret på prognosen Lad x være antal år efter 2010 og f(x) det tilsvarende vinforbrug i mio. liter. f ( x )=192 1,013 x Begrundelse Når x-værdien vokser med én (1) og y-værdien tilsvarende vokser med en konstant faktor (eller procent), er der tale om en eksponentiel funktion, hvor (her) b = 192 (begyndelsesværdien) og a = 1+1,3 % = 1,013. Tjek formelsamlingen for at vælge den rigtige funktionstype. Beregn forbruget i 2011 og indtegn to støttepunkter i GeoGebra. Find funktionen med fitexp. Hvornår er forbruget = 200? Grafen for funktionen tegnes i GeoGebra ved indtastning af forskriften: Linjen y = 200 tegnes og skærinspunktet mellem denne og grafen findes (A). Heraf ses, at niveauet 200 nås efter ca. 3 år. Afhængig af opgørelsesmetode fås: Danskernes vinforbrug når 200 mio. L i 2013 (evt. 2014)

8 Side 7 Opgave 7 Omregn tabellens tal til indekstal Basisår er 2007: Så er indeks 100 Indekstallet for 2012 fås som: Indeks 2012 = =116, Årstal Indeks for månedlig SU Sammenligning af stigninger for SU og rejsepriser For at sammenligne indekstal, skal de have samme basisår. Nyt basisår er 2007: Så er indeks 100 Indekstallet for 2012 fås som: Indeks2012 = 132,3 100=116,0 114,1 Årstal Nyt indeks for charterrejser Ved sammenligning af indekstallene for 2012, ses at SU i perioden er steget mere end priserne på charterrejser