Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Transkript

1 Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010

2 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske og ikke-deterministiske dynamiske systemer det simpleste eksempel på et kaotisk dynamisk system eksempler på Julia mængder Mandelbrot mængden

3 Ordforklaring fra Den Danske Ordbog Kompliceret geometrisk figur, hvis detaljer genfindes i figuren under stadig større forstørrelser Ordet fraktal: lanceret af Mandelbrot i 1975 Benoit B. Mandelbrot ( )

4 Georg Cantor ( ) Cantor s konstruktion (1883) frembringer for iterationen Georg Cantor, iteration = gentagen proces I grænsen efter uendeligt mange iterationer opnås den klassiske Cantor mængde. Egenskaber for Cantor mængden består af uendeligt mange punkter ingen af punkterne er isolerede Alle mængder med de egenskaber kaldes nu for Cantor mængder

5 Helge von Koch ( ) Helge von Koch s konstruktion (1904) frembringer for iterationen snefnugkurven On a continuous curve without tangents, constructible from elementary geometry iskrystaller

6 Waclaw Sierpinski ( ) Sierpinski s konstruktion (1916) frembringer for iterationen I grænsen efter uendeligt mange iterationer opnås Sierpinski s trekant - også kaldet - si.

7 De klassiske fraktaler er strengt selvsimilære dimension = ln 2 ln 3 Cantor mængden består af to kopier af hele Cantor mængden formindsket med faktoren 1/3 dimension = ln 3 ln 2 Koch kurven består af fire dele, der hver for sig forstørret med faktoren 3, dækker hele kurven dimension = ln 4 ln 3 Sierpinski sien består af tre dele, der hver for sig forstørret med faktoren 2, dækker hele sien

8 Ordforklaring fra Den Store Danske Encyclopædi dynamisk system, matematisk begreb, der benyttes til at beskrive tidslige udviklinger, og som har sit udspring i de naturlove, som Newton opstillede til bestemmelse af legemers bevægelse. Som matematisk disciplin er dynamiske systemer tæt forbundet med de fleste hovedgrene af matematikken og i høj grad stimuleret af problemer fra naturvidenskab, bl.a. celest mekanik, hydrodynamik, statistisk mekanik og andre dele af matematisk fysik samt reaktionskemi og populationsdynamik. Der er to hovedgrupper af dynamiske systemer: de kontinuerte og de diskrete. i de kontinuerte dynamiske systemer indgår differentialregning i de diskrete dynamiske systemer indgår iteration

9 Ordforklaring fra Den Danske Ordbog Eksempel på ikke-deterministisk system: FORKLARES PÅ TAVLE Eksempler på deterministisk system: slå plat eller krone vinkelfordobling rotation med en fast vinkel

10 Ordforklaring fra Den Danske Ordbog Meteorologen Edward Lorenz ( ) studerede omkring 1960 en simplificeret model for luftstrømninger og dermed vejrforudsigelser. Han opdagede fænomenet: følsomhed på begyndelsesbetingelserne. Han beskrev det poetisk som sommerfugleeffekten: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?

11 Egenskaber Vinkelfordobling på en cirkel Det simpleste eksempel på deterministisk kaos de periodiske punkter ligger tæt der findes baner, der ligger tæt der er følsomhed på begyndelsesbetingelserne Rotation af punkterne på en cirkel med en fast vinkel Egenskaber enten er alle punkter periodiske eller alle baner ligger tæt der er ingen følsomhed på begyndelsesbetingelserne Systemet er ikke kaotisk

12 Den komplekse talplan C z = x + iy (engelsk: complex) z C en udvidelse af den relle tallinie R x, y R FORKLARES PÅ TAVLE

13 Den komplekse talplan C z = x + iy (engelsk: complex) z C en udvidelse af den relle tallinie R x, y R Inden for dynamiske systemer bruges komplekse dynamiske systemer nogle gange synonymt med komplicerede systemer. De systemer, vi ser på, er komplekse i to betydninger: vi bruger de komplekse tal, og dynamikken er kompliceret.

14 Eksemplet med vinkelfordobling udvidet til C P 0 (z) =z 2 Banen for z 0 z 0,z 1 = P 0 (z 0 ),...,z n+1 = P 0 (z n ),... Vi interesserer os for langtids-opførslen. Hvis z 0 < 1, så z n 0 for n Hvis z 0 > 1, så z n for n Hvis z 0 =1, så z n =1. Banerne er som i eksemplet med vinkelfordobling. Dynamikken er kaotisk på enhedscirklen og forudsigelig inden for og uden for enhedscirklen.

15 En familie af komplekse andengrads polynomier P c (z) =z 2 + c, hvor c = a + ib C og a, b R Vi undersøger dynamikken for hvert fastholdt c z planen opdeles i de z 0, hvor z n for n og de z 0, hvor det ikke gælder. Grænsen mellem de to forskellige opførslen kaldes Julia mængden efter den franske matematiker Gaston Julia ( ). Dynamikken er kaotisk på Julia mængden og forudsigelig uden for Julia mængden. For c = 0 er Julia mængden J(P 0 ) lig med enhedscirklen.

16 Douady s kanin Vælg c så 0 c c 2 + c (c 2 + c) 2 + c = 0 og b>0. Julia mængden J(P c ) kaninen i sort Adrien Douady ( )

17 Ideen bag farvelægningen forklaret for c =0 FORKLARES PÅ TAVLE

18 For c valgt som før: Punkterne i den periodiske bane 0 c c 2 + c 0 ses som hvidt punkt i kaninens blå mave, det røde øre og det blå øre henholdsvis Julia mængden J(P c ) er den fælles grænse for de blå, de røde og de grønne punkter

19 Julia mængder er invariante forlæns P c (J(P c )) = J(P c ) baglæns P 1 c (J(P c )) = J(P c ) Julia mængder er selvsimilære

20 ZOO af forskellige arter af Julia mængder Vi ønsker at klassificere Julia mængderne ved at opdele c-planen, så forskellige områder svarer til forskellige arter.

21 Første grove inddeling i de c-værdier, hvor Julia mængden er sammenhængende og de c-værdier, hvor Julia mængden er usammenhængende faktisk altid en Cantor mængde.

22 Et eksempel på en usammenhængende Julia mængde, en Cantor mængde

23 M a n d e l b r o t m æ n g d e n

24 Mandelbrot mængden M består af de c-værdier, hvor J(P c ) er sammenhængende Hvordan kan det afgøres? Der gælder c M banen for z 0 = 0 opfylder z n 2 for alle n hvor z 1 = c, z 2 = c 2 + c,... en karakteristik, der let kan implementeres på computer

25 Randen af Mandelbrot mængden - og ikke Mandelbrot mængden selv - giver os den ønskede klassifikation M Fjern randen og tilbage er uendeligt mange forskellige sammenhængende områder, der hver svarer til netop een art.

26 Illustreret ved et eksempel c/ M To artsfæller c M En nærbeslægtet artsfælle c M

27 Asymptotisk similaritet mellem specielle Julia Mængder og Mandelbrot mængden De specielle c-værdier svarer til at z 0 =0 er præperiodisk. Eksempel

28 Asymptotisk similaritet mellem specielle Julia Mængder og Mandelbrot mængden Konklusion: Mandelbrot mængden er ikke selvsimilær

29 Mandelbrot mængden inderholder uendeligt mange kopier af sig selv, mere eller mindre deformerede, altså dog en form for selvsimilaritet.

30 Den samme kopi men med dekorationerne skrællet af.

31 Computerbilleder og -programmer kan findes på nettet Søg under Mandelbrot set Julia set