Billeder af Julia-mængder

Transkript

1 1 Billeder af Julia-mængder af Gert Buschmann Vi identificerer planen med de komplekse tal og lader f(z) være en afbildning af planen på sig selv som er defineret og kontinuert-differentiabel næsten overalt. For et punkt z lader vi z k være den k-te iteration af z ved f(z) og vi sætter z 0 = z. Når et punkt z itereres, vil slutstillingen være en vis bane C, i den forstand at iterationsfølgen konvergerer imod C (eller går ind i C). Og man kunne tro at forskellige punkter vil give forskellige slut-baner, men det normale er at punkterne i en omegn af z giver den samme slut-bane. Dette betyder at C er tiltrækkende, og en sådan mængde C kaldes en attraktor (for f(z)). Det normale er også at C er endelig - i så fald kaldes C en (tiltrækkende) cykel, og dens antal af elementer kaldes dens orden. De tiltrækkende cykler betyder at vi på en naturlig måde kan farvelægge områder i planen. En tiltrækkende cykel C giver nemlig anledning til en potentialfunktion φ(z) i en omegn af C. Vi forudsætter at f(z) er rational. Hvis cyklens orden er r og z* et af dens punkter, er z* fikspunkt for f (r) (z), og har vi f (r) (z) = (z z*) p h(z) + z*, hvor p er et naturligt tal og h(z*) 0. For p = 1 er tallet α = 1/ (f (r) )'(z*) (= produktet af tallene 1/ f'(z i ) over cyklens punkter = 1/ h(z*) ) et mål for cyklens tiltrækning, og hvis m er et nummer således at z m er tilstrækkelig nær z*, er φ(z) = lim k 1/( z m+rk z* α k ) defineret i en omegn af C. p > 1 betyder at α = og at f'(z i ) = 0 for et af cyklens punkter, og i dette tilfælde kaldes cyklen supertiltrækkende. Vi har nu at φ(z) = lim k log z m+rk - z* /α k, hvor α = p, er defineret i en omegn af C - eller, hvis cyklen er det supertiltrækkende fikspunkt, hvilket betyder at i f(z) er graden af tælleren mindst 2 større end graden af nævneren: φ(z) = lim k log z k /α k, hvor α nu skal være forskellen imellem de to grader. Hvis ε er et (meget) lille positivt tal og n er det første iterations-nummer således at z n+r - z* < ε, er φ(z) tilnærmelsesvist givet ved:

2 2 1/( z n z* α k ) henh. log z n z* /α k, hvor k = [n/r] (+ en konstant som er uden betydning), og dette tal er 1/(εα k' ) henh. logε/α k', hvor k' = k - κ og κ opfylder 0 κ < 1 og er givet ved: log(ε/ z n z* )/log( z n-r z* / z n z* ) henh. log(log( z n z* /logε))/logα (i første formel er α erstattet med z n-r z* / z n z* ). For fikspunktet har vi at hvis N er et (meget) stort tal og n er det første iterations-nummer således at z n N, er φ(z) tilnærmelsesvist givet ved log z n /α n, og dette tal er logn/α n', hvor n' = n κ og κ = log(log z n /log N)/logα. Det er ved hjælp af det reelle tal k' = k - κ at vi farvelægger. Da farverne ved deres RGB-værdier svarer til de hele punkter i en terning med kantlængde 256, fås enhver farveskala ved en lukket kurve (f.eks. en ellipse) i denne terning. Man kan give farvelægningen et tre-dimensionalt præg (billedene på side 7 og 9), hvis man i punkterne udregner normalen til højdefladen for φ(z) (ved at udregne φ(z) i tre punkter beliggende som en lille trekant ved punktet), tager skalarproduktet af denne (enhedsvektor) med en given enhedsvektor, og lægger dette tal til farvetallet. Hvis vi dividerer potentialfunktionen φ(z) med normen af dens gradient φ'(z) (som jo er en vektorfunktion), får vi en funktion δ(z) = φ(z)/ φ'(z) som må være et mål for en afstand: nemlig fra randen af det område φ(z) er defineret på, hvilket er mængden givet ved φ(z) = 0. Ved tilnærmelse til denne bliver δ(z) proportional med den sædvanlige afstand. Hvis Df(z) er den afledede af f(z) (altså en 2x2-matrix) og vi lader Dz k være den afledede af den k- iteration z k (= f (k) (z)), har vi henh. δ(z) = lim k z k z* / detdz k og δ(z) = lim k z k log z k / detdz k, hvor detdz k succesivt udregnes ved detdz k+1 = detdf(z k ) detdz k, idet der startes med detdz 0 = 1. Bemærk at disse udtryk er uafhængige af tallet α. Denne afstandsfunktion er nødvendig hvis det område man farvelægger (billedet på side 7) næsten udgør hele planen, og man ønsker et klart billede af dets rand. Hvis afstandsfunktionen er defineret næsten overalt, giver den anledning til et bakkelandskab hvorigennem randen løber:

3 3 Situationen "tiltrækkende cykel" er som sagt det almindeligste. Og den mest uproblematiske situation ser således ud: ved de tiltrækkende cykler deles planen op i en endeligt antal åbne områder, men der bliver en rest: en afsluttet og ikke-numerabel nulmængde. Denne nulmængde kaldes Julia-mængden for f(z), og hver af de åbne områder kaldes et Fatou-område for f(z). Juliamængden er invariant ved f(z) og en bane i den er normalt kaotisk, der er dog numerabelt mange iterationsfølger som går ind i en endelig cyklus. Hvis f(z) er kompleks-differentiabel har Fatou-områderne har samme rand, nemlig Julia-mængden. Dette at der kun er endelig mange Fatou-områder og at Julia-mængden er en nulmængde er sikret når f(z) er rational. Afvigelserne (generel f(z)) kan være: 1. Attraktoren er ikke endelig, i så fald farver vi ikke Fatou-området, men lader dette være sort og indtegner evt. attraktoren - en sådan kan tilsyneladende have ethvert tænkeligt og besynderligt udseende (en strange attractor):

4 4 2. Attraktoren er neutral. I så fald vil iterationsfølgerne for punkterne i det Fatou-område som "hører til" den, gå ind i individuelle endelige eller uendelige baner udenfor attraktoren. Attraktoren kan derfor ikke findes ved direkte iteration, men må findes ved løsning af ligninger (evt. ved iteration):

5 5 3. Attraktoren har singulære punkter, hvilket betyder at Fatou-området kan være uden indre punkter. For en trancendent holomorf funktion som sin(z) + c, er kun delvis et tiltrækkende fikspunkt, thi ethvert Fatou-område bestemt ved en endelig cykel har som grænsepunkt, idet et ikke-numerabelt system af adskilte dele konvergerer imod linier parallelle med y-aksen. Dette betyder at Julia-mængden ikke er afsluttet. Vi får dog alligevel et billede frem på skærmen, da tallenes eksponentielle vækst betyder at mængderne afskæres:

6 6 Ligeledes kan en ikke-holomorf rational funktion have et endeligt fikspunkt som tiltrækker i nogle retninger og frastøder i andre, disse retninger kan udgøre sektorer, men tiltrækningen og frastødningen kan også foregå på kurver som har samme tangent i punktet. *** For en rational kompleks funktion vil der vil kun være endelig mange Fatouområder, og de har samme rand, nemlig Julia-mængden. Hvis der er mere end to Fatou-områder vil Julia-mængden derfor nødvendigvis have fraktal-karakter. F.eks. f(z) = (1 + 2z 2 )/(3z 3 ), funktionen som bestemmer Newtons iterationsprocedure for ligningen z 3 = 1 - altså: f(z) = z g(z)/g'(z), hvor g(z) = z 3 1 (hver af de tre løsninger til z 3 = 1 er supertiltrækkende fikspunkter):

7 7 Hvis der er to Fatou-områder (f.eks. f(z) = z 2 + c for passende c), kan Juliamængden have fraktal-karakter, og den vil være sammenhængende i den forstand at den ikke er totalt usammenhængende. Når der kun er ét Fatouområde kan Julia-mængden være totalt usammenhængende. Jo flere Fatouområder der er, jo mere sammenhængende vil Julia-mængden være. Det at funktionen er kompleks-differentiabel betyder at sammenhængen i planens to retninger er forbundet. Når funktionen ikke er kompleks-differentiabel kan denne forbindelse gå tabt: det gælder ikke nødvendigvis mere at ethvert punkt på Julia-mængden er grænsepunkt for ethvert af Fatou-områderne, og Julia-mængden kan have forskellig grad af "sammenhænghed" i de to retninger. Den kan f.eks. består af kurveagtige trævler som hver især er sammenhængende, men som indbyrdes er totalt usammenhængende:

8 8 Julia-mængdens sammenhængsforhold er bestemt af dens beliggenhed i forhold til de kritiske punkter: z er et kritisk punkt for f(z) hvis detdf(z) = 0. De kritiske punkter udgøres af et system af kurver eller isolerede punkter:

9 9 Ethvert Fatou-område vil altid indeholde kritiske punkter. Julia-mængden behøver ikke at indeholde kritiske punkter, men det at den gør det, betyder at den er "mere" sammenhængende, idet et sådant kritisk punkt kan betragtes som værende indeholdt i et udartet Fatou-område. En Julia-mængde som er totalt usammenhængende indeholder ingen kritiske punkter, men hvis den f.eks. udgøres af et totalt usammenhængende system af sammenhængende tråde, vil disse gå igennem det kritiske kurvesystem. Man kan studere dette fænomén - og samtidig finde frem til de interessante Julia-mængder - ved at hæfte en parameter på f(z) således at man har en iterationsfamilie. Vi vil betragte iterationsfamilien z f(z) + c (c kompleks). De kritiske punkter er uafhængig af c, men Fatou-områderne og Julia-mængden forandres når c flyttes. Vi søger de c som giver anledning til en radikal forandring af Julia-mængden, og det må være de c således at et givet Fatou-område ved ændring af c forandrer beliggenhed i forhold til det kritiske system, f.eks. ved at det fra at indeholde en given kurve eller et punkt, ophører med dette. Vi vælger to kritiske punkter z 1 og z 2, og betragter mængden af de punkter c således at z 1 og z 2 ikke tilhører det samme Fatou-område. Det indre af denne mængde må bestå af de c således at z 1 og z 2 itereres imod tiltrækkende men forskellige attraktorer. Denne mængde kaldes Mandelbrot-mængden hørende til z 1 og z 2. Når c altså passerer denne mængdes rand, må der ske en radikal ændring af Julia-mængden for f(z) + c. Vi får Mandelbrot-mængden frem ved at farvelægge dens ydre. Det normale er som sagt at en attraktor er en (endelig) tiltrækkende cykel. For næsten ethvert c bestemmer z 2 altså en sådan, og det at c er udenfor Mandelbrotmængden betyder at z 1 itereres imod denne cykel, men dette betyder at potentialfunktion φ(z) (for funktionen f(z) + c og denne cykel) er defineret i punktet z 1, og vi har således en potentialfunktion på området udenfor Mandelbrot-mængden - og dermed en naturlig farvelægning. I formlen for afstandsfunktionen δ(z) skal dog nu differentieres med hensyn til c, så derfor foregår den succesive udregning af detdz k nu ved Dz k+1 = Df(z k )Dz k + I, hvor I er enhedsmatricen (den afledede af c) og hvor der startes med Dz 0 = 0-matricen. For f(z) = (1 z 2 /2! + z 4 /4!)/(1 z 2 /2!) og kritiske punkter 0 og ser Mandelbrot-mængden således ud:

10 10 Et program som tegner Mandelbrot-mængden og Julia-mængderne til en sådan iterationsfamilie, må virke således: Programmet hører til en bestemt formel (f.eks. to reelle 4. gradspolynomier) og denne indtastes. Herefter vises de kritiske punkter grafisk, to udpeges og deres præcise værdi findes ved Newton-iteration. Herefter kommer Mandelbrot-mængden frem, og programmet er indrettet således at man kan zoome og ændre farveskala og farvetæthed og randtykkelse (hvis vi kun er interesseret i Julia-mængderne kan vi nøjes med ét kritisk punkt, så er Mandelbrot-mængden ganske vist tom, men der er stadigvæk en rand). Ved tryk på en tast kommer et punkt frem som kan flyttes, og ved endnu et tryk kommer Julia-mængden til dette punkt (dvs. denne c- værdi), og nu er proceduren den samme som for Mandelbrot-mængden. Teorien kan selvfølgelig generaliseres til højere-dimensionale rum. F.eks. kunne udgangspunktet være en afbildning f(z, w) fra CxC ind i sig selv eller en afbildning f(z) fra rummet af kvaternioner ind i sig selv. Meningen skulle i så fald være at skabe billeder af fraktaler som (i modsætning til landskabet dannet ved afstandsfunktionen) er naturligt tre-dimensionale. I rummet indlejres et tre-dimensionalt rum, og i dette lægges en plan, og man ser det af

11 11 fraktalen som ligger bag denne plan (man farvelægger ud fra hvor langt bag planen Mandelbrot- eller Julia-mængden eller et Fatou-område befinder sig):