Første konstruktion af Cantor mængden
|
|
- Karla Mogensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er så snittet af alle alle I i erne: C = I i i= 7 8 Cantor-mængden, C, består altså af de tal mellem 0 og som ligger i alle I i erne Denne mængde er svær at tegne bla fordi den ikke indeholder nogen intervaller, og det er faktisk ikke let at afgøre om et givet tal mellem 0 og ligger in C eller ej C er tydeligvis ikke tom; mange af tallene j n, j, n N, 0 j n, ligger tydeligvis i C Men der er langt flere elementer: C er nemlig overtællelig Det kan feks indses ved at knytte et entydigt element i C til enhver følge i ordene højre og venstre : Til følgen højre, højre, venstre, venstre, venstre, højre, knytter vi det element i C der ligger i det højre af intervallerne i I, det højre af intervallerne fra I som ligger i det førstvalgte interval, det venstre af de intervaller i I som ligger i det andet vi valgte, det venstre af intervallerne i I 4 som ligger i det interval vi valgte i det tredje skridt OSV På den måde får vi lavet en bijektion mellem C og den uendelige produkt-mængde {højre, venstre} N Cantors berømte diagonal-argument viser at denne produktmængde er overtællelig Så der er altså væsentlig flere elementer i C end de få rationale tal man typisk først Version: December 8, 006
2 KLAUS THOMSEN får øje på Ikke desto mindre er det uhyre vanskeligt faktisk at bestemme hvilke tal det ligger i C Det vides således ikke om C indeholder et tal som er algebraisk, men ikke rationalt Karakterising af Cantor mængden som metrisk rum Dette foredrag handler dog om de unikke egenskaber som C har som metrisk rum, og er således uafhængig af hvorledes vi realiserer C - som delmængde af de reelle tal eller på anden måde Men C er jo ihvertfald et metrisk rum: Metrikken fremkommer feks ved at restringere den sædvanlige metrik fra de reelle tal til Cantor mængden Det er så ikke svært at vise, at C har følgende egenskaber C er kompakt dvs at enhver overdækning af C med åbne mængder har en endelig udtynding), C er totalt usammenhængende, hvilket betyder at enhver åben mængde i C er en foreningsmængde af delmængder som er både åbne og lukkede, og C har ingen isolerede punkter Dette kan udtrykkes på matematisk ved brug af metrikken d: x C ǫ > 0 y C\{x} : dx, y) < ǫ Op til homeomorfi er C det eneste metriske rum med disse tre egenskaber: SÆTNING : Hvis X er et metrisk rum som er kompakt, totalt usammenhængende og uden isolerede punkter, så er X homeomorf med C: Der findes en kontinuert bijektion ϕ : C X med kontinuert invers ϕ : X C Det følger fra denne sætning at Cantor mængden sagtens kan dukke frem på helt andre måder end den vi benyttede ovenfor Dette illustreres ved et producere C ud fra Dannebrog på en måde der er analog til den der blev brugt på [0, ] ovenfor) Den fremkomne mængde i planen er kompakt, totalt usammenhængende, og uden isolerede punkter Iflg sætningen ovenfor er det altså tale om en kopi af C Den universelle egenskab af Cantor mængden - den statiske version SÆTNING : Lad X være et kompakt metrisk rum Så findes der en kontinuert surjektion fra C på X Lidt poppet udtrykt siger sætningen at ethvert kompakt metrisk rum er skyggen af Cantor mængden! Vi kan iøvrigt sagtens skitsere et bevis: Først konstrueres en følge U, U, U, af endelige åbne overdækninger af X således at U n+ er en forfining af U n, dvs U U n+ V U n : U V, diameteren af ethvert element in U n er højest n, dvs dx, y) n når x, y V U n, U n er minimal i den forstand at vi ikke har en overdækning af X hvis vi udelader blot en af de åbne mængder i U n Et tal er algebraisk når det er rod i et polynomium med heltals koefficienter
3 DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN For ethvert n og ethvert U U n vælger vi et punkt x U U Vi konstruerer så en følge af funktioner f n : C X rekursivt på følgende måde: f konstrueres ved at inddele C i åbne og lukkede mængder I V, V U, så I V I V = når V V Vi sætter så f y) = x V når y I V Bemærk at f er kontinuert For at konstruere f vælger vi en afbildning h : U U så hu) V Bemærk at h er surjektiv pga den sidste ovenfor For ethvert V U vælger vi en opdeling af I V i disjunkte åbne og lukkede mængder I U, U h V ) Vi definerer så f : C X ved f y) = x U når y I U Bemærk at d f y), f y)) = d x U, x V ) diam V for alle y C Dernæst vælger vi en afbildning h : U U så hu) V Og for ethvert U U vælger vi en opdeling af I U i disjunkte åbne og lukkede mængder I W, W h U) Vi definerer så f : C X ved f y) = x W når y I W Så er f kontinuert og d f y), f y)) Fortsættes på denne måde får vi en følge f, f, f, af kontinuerte afbildninger f n : C X således at ) f n C) = {x U : U U n }, og ) d f n y), f n+ y)) n for alle y C og alle n N Det følger fra ) at {f n y)} n= er en Cauchy-følge i X for alle y C Derfor eksisterer grænsen fy) = lim f n y) n Pga uniform konvergens af funktionsfølgen {f n } bliver f : C X kontinuert Surjektiviteten af f følger let fra ) Jeg håber at nogle publikummer bliver en smule overrasket over den sidste sætning; ved første øjekast er det ikke geometrisk indlysende at den undseelige lille Cantor-mængde som ikke syner af meget i intervallet fra 0 til faktisk er stor nok til at afbilde kontinuert og surjektivt på et hvilket som helst kompakt metrisk rum - Men sker der så noget på C? Er der nogen dynamik på den lille ubetydelige klat mellem 0 og som vi kalder Cantor-mængden? Hovedformålet med foredraget er forklare hvorfor det rigtige svar på disse spørgsmål er: Ja, mon ikke! Dynamiske systemer I dette foredrag er et dynamisk system et par X, ϕ), hvor X er et kompakt metrisk rum, og ϕ : X X er en homeomorfi af X på sig selv Her er et par eksempler: Irrational rotation på cirklen Lad T = {λ C : λ = } være enhedscirklen i den komplekse plan Vælg et reelt tal α, som vi antager er irrationalt Definer en homeomorfi ϕ α : T T ved at ϕ α λ) = e πiα λ Så er T, ϕ α ) et dynamisk system Det fulde n + -skift Produkt-rummet {0,,,, n} Z = { x i ) i= : x i {0,,,, n}, i Z }
4 4 KLAUS THOMSEN er kompakt i produkt topologien, og et metrisk rum i metrikken d x i ), y i )) = i Z i x i y i Venstre-skiftet σ : X X er homeomorfien givet ved, at σ x i ) ) i= = x j j+ Så X, σ) er et dynamisk system De dynamiske systemer udgør, som så mange andre klasser af matematiske objekter, en kategori En morfi mellem to dynamiske systemer, X, ϕ ) og X, ϕ ), er en kontinuert afbildning π : X X som respekterer ϕ og ϕ i den forstand at ϕ π = π ϕ Når π er surjektiv kaldes π en faktor afbildning og X, ϕ ) er en faktor af X, ϕ ) Når π er en homeomorfi er den en isomorfi i kategorien af dynamiske systemer, og vi siger at X, ϕ ) og X, ϕ ) er konjugerede Konjugerede dynamiske systemer betragtes i stort alle sammenhænge som værende ens Lad X, ϕ) være et dynamisk system Banen, Ox), for et punkt x X er mængden Ox) = { ϕ j x) : j Z }, hvor ϕ 0 er identitets-afbildningen på X, ϕ k = ϕ ϕ ϕ når k og ϕ }{{} k = k ϕ ϕ ϕ }{{ når k } k Et dynamisk system X, ϕ) er minimalt når alle baner er tætte i X, dvs at Ox) = X x X Irrational rotation er minimal, men det fulde n + -skift er det ikke Den næste sætning give en væsentlig udvidelse af Sætning, og beskriver en dynamisk version af den universelle egenskab ved Cantor mængden SÆTNING Ethvert dynamisk system er en faktor af et dynamisk system på C Ethvert minimalt dynamisk system er en faktor af et minimalt dynamisk system på C Igen kan man formulere dette lidt populært ved at sige, at ethvert dynamisk system er skyggen af et dynamisk system på Cantor mængden Bevis: Lad X, ϕ) være et dynamisk system Ifølge Sætning findes der en kontinuert surjektion π 0 : C X Sæt Y = C Z = { c i ) i= : c i C i Z } Y er et kompakt metrisk rum på stort set samme måde som det fulde n + -skift er det Y er totalt usammenhængende fordi C er det Faktisk er Y homeomorf med C) Venstre-skiftet σ virker på Y på den sædvanlige måde: σ c i )) j = c j+, og Y, σ) bliver på denne måde et dynamisk system For ethvert x X og ethvert i Z kan vi vælge v x i C så Vi sætter så π 0 v x i ) = ϕi x) 0) w x = v x i ) i= Y
5 DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN 5 Definer π : Y X ved at π ci ) i= ) = π0 c 0 ) Så er π σ σ j w x ) )) = π σ j+ w x ) ) = π 0 v x j+ ) = ϕ j+ x) = ϕ ϕ j x) ) = ϕ π 0 v x j )) = ϕ π σ j w x ) )) 0) Sæt så D = {σ j w x ) : x X, j Z} Y Så er D et kompakt metrisk rum og totalt usammenhængende - men D kan have isolerede punkter Da σd) = D er D, σ) et dynamisk system, og det følger fra 0) at π σ = ϕ π 0) på D Da π D) = X er X, ϕ) altså en faktor af D, σ) På det topologiske produkt-rum C D definerer vi en homeomorfi ψ : C D C D ved at ψc, d) = c, σd)) Så er C D, ψ) et dynamisk system Da C D er kompakt metrisk, totalt usammnenhængende og uden isolerede punkter fordi C ingen har), er C D, ψ) konjugeret til et dynamisk system på C Dette følger af Sætning Definer nu π : C D X ved πc, d) = π d) Så er π kontinuert og surjektiv fordi π er det, og det følger fra 0) at ϕ π = π ψ Altså er X, ϕ) en faktor af et dynamisk system C, α) C D, ψ) på C Hvis X, ϕ) er minimalt er C, α) det ikke automatisk, men det kan repareres på flg måde: Lad π : C, α) X, ϕ) være en faktor afbildning Zorn s lemma eller Hausdorff s maximalitets sætning, der som bekendt er ækvivalent med udvalgsaksiomet, giver os en maximal totalt ordnet ved inklusion) samling af lukkede ikke-tomme α-invariante delmængder, L µ Sætter vi så Z = µ L µ fåes en lukket ikke-tom α-invariant delmængde Z C Minimaliteten af det dynamiske system Z, α) følger umiddelbart fra maximalitetet af L µ Da ϕ π = π α giver minimaliteten af Z, α) og X, ϕ) at πz) = X 04) Altså er X, ϕ) en faktor af Z, α) Bemærk at Z er kompakt metrisk og totalt usammnenhængende Da Z, α) er minimalt kan der kun være isolerede punkter i Z hvis alle punkter er isolerede, hvilket medfører at Z må være en endelig mængde Ifølge 04) er det umuligt med mindre X er en endelig mængde Altså kan vi konkludere fra Sætning at Z er en kopi af C med mindre X er en endelig mængde Dermed er det sidste udsagn i Sætning bevist i alle tilfælde hvor X ikke er en endelig mængde Det er let at håndtere tilfældet hvor X er endelig, men argumentet udelades her Ekspansive og minimale dynamiske systemer på Cantor mængden - en kort oversigt Som det fremgår af Sætning må strukturen af de dynamiske systemer på Cantor mængden være lige så komplicerede som dynamiske systemer generelt er Alligevel bliver de bla brugt til at studere dynamiske systemer på kompakte rum af højere dimension Det skyldes især to forhold: Topologien af Cantor mængden er næsten diskret, og som følge heraf er homeomorfierne på C meget kombinatoriske eller algebraiske af natur Flere klasser af homeomorfier på C er relativt vel-studerede, og der er derfor adskillige redskaber til rådighed til undersøgelser af dem
6 6 KLAUS THOMSEN De minimale homeomorfier på C udgør en af store relativt vel-forståede klasser Den vigtigste reference til disse er T Giordano, I Putnam, C Skau, Topological orbit equivalence and C -algbras, J f die reine u angew Math 46 5), 5- Det er interessant at notere sig, at de centrale redskaber og ideer der benyttes i studiet af minimale homeomorfier på C omfatter C -algebraer of K-teori Det er næppe disse emner den typiske matematiker, der vil forsøge at forstå en klasse af homeomorfier, vil gribe til i første forsøg En anden vigtig og meget studeret klasse af homeomorfier på Cantor mængden udgøres af de ekspansive homeomorfier Et dynamisk system X, ϕ) er ekspansivt når der findes et δ > 0 så d ϕ j x), ϕ j y) ) δ j Z x = y Irrational rotation på enhedscirklen er ikke ekspansiv, men det fulde n + -skift er Lad os checke at δ = virker: Hvis x = x i) i= og y = y i) i= er to elementer i {0,,,, n} Z som opfylder at d σ j x), σ j y)) for alle j Z, ser vi, at x j y j i Z i x i+j y i+j = d σ j x), σ j y) ) Altså må x j = y j Da dette gælder for alle j finder vi at x = y Bemærk nu at hvis Y er en lukket ϕ-invariant delmængde af X, og X, ϕ) er ekspansiv, så er Y, ϕ) også ekspansiv Så hvis Σ {0,,, n} Z er lukket og invariant under venstre-skiftet σ, så er Σ, σ) endnu et eksempel på et ekspansivt dynamisk system Et sådant dynamisk system kaldes et skiftrum Der gælder flg SÆTNING 4: En ekspansiv homeomorfi af C er konjugeret til et skiftrum Et bevis for Sætning 4 kan findes i WL Reddy, Lifting expansive homeomorphisms to symbolic flows, Math Syst Theory 68), - Det er næsten rigtigt at alle skiftrum svarer til en ekspansiv homeomorfi på Cantor mængden: Et skiftrum Σ er altid et kompakt metrisk rum og totalt usammnenhængende, men det kan undtagelsesvist indeholde isolerede punkter Alle interessante skiftrum er dog homeomorfe med C Skiftrum kan være minimale, og altså svare til minimale homeomorfier på C med mindre de er endelige - og dermed ikke særligt interessante), men det er ikke rigtigt at alle minimale homeomorfier på C er konjugerede til et minimalt skiftrum - langtfra Relationen mellem de to klasser af dynamiske systemer er som illustreret nedenfor: Nu er der egentlig ikke mange danskere der brug for at give disse dynamiske systemer et navn, og det er værd at notere sig, at ordet skiftrum blot er min favorit til at være den nyttigste oversættelse af det engelske ord subshift
7 DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN 7 Minimale homeomorfier på C Minimale skiftrum Skiftrum Ligesom i forbindelse med de minimale homeomorfier spiller både C -algebraer og især) K-teori en vigtig rolle i studiet af generelle skiftrum Men som noget nyt er der for en meget vigtig klasse af skiftrum en fundamental og tæt sammenhæng til formelle sprog, som er en klassisk disciplin i datalogi En fremragende første indføring i studiet af skiftrum finder man i bogen D Lind, B Marcus, An introduction to Symbolic Dynamics and Coding, Cambridge University Press, 5
Gult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i I b M a d s e n o g J o h a n D u p o n t J a n u a r 2 0 0 5 I n s t i t u t f o r M a t e m a t i s k e Fa g D e t N a t u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u l t e t
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereNormale tal. Outline. Hvad er tilfældighed? Uafhængighed. Matematiklærerdag Simon Kristensen. Aarhus Universitet, 24/03/2017
Matematiklærerdag 2017 Institut for Matematik Aarhus Universitet Aarhus Universitet, 24/03/2017 Outline 1 2 3 Hvad er tilfældighed? I statistik, sandsynlighedsteori og ikke mindst i programmering er det
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereStuderende: Ole Lund Jensen Dato: Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer.
Specialekontrakt Studerende: Ole Lund Jensen Dato: 27.06.02 Vejleder: Søren Eilers Censor: Anders Jensen 1. Forventet indhold Overordnet emne: Symbolske dynamiske systemer. Hovedfokus: Kvantitativ analyse
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs mereAppendiks 6: Universet som en matematisk struktur
Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereKaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)
Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mereMat2AN Minilex. Indhold. Henrik Dahl 6. januar Definitioner 2. 2 Sætninger Uligheder 28
Mat2AN Minilex Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dk 6. januar 2004 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende fejl.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1
OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereMASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Læs mereMATEMATIK 4 PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1
PROJEKT 3. marts 2006 Oversigt nr. 1 1. og 2. møde (15/2 og 2/3). Her har vi læst og gennemgået kapitel 1 i [GKP] om mængdeteoretisk topologi. Dog er følgende kursorisk: 1.1; 1.5.10 13; 1.6.13 14. 3. gang,
Læs mereSide 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik
Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens
Læs mereHomotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereMatematik 3GT. Topologi. Christian Berg
Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereN o t e r t i l G e o m e t r i
N o t e r t i l G e o m e t r i J o h a n D u p o n t o g I b M a d s e n J a n u a r 2 0 0 6 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fa g D e t N at u rv i d e n s k a b e l i g e Fa k u lt e t A a r
Læs mereTrykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori
9. januar 2005 Stat 2A / EH Trykfejlsliste - alle fejl Asymptotisk teori Denne liste indeholder alle de regulære fejl, slåfejl og stavefejl der er fundet i 2A-noterne indtil nu. 9 1 Forkert: x C x ro alle
Læs mereDen mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015
Den mundtlige prøve i matematik og forenklede Fælles Mål Odense 20. April 2015 153 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14+ 15 + 16 + 17 153 = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! 153 = 1 3 + 5
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mere