FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi

Transkript

1 FRAKTALER Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi

2 OVERSIGT Hvad er en fraktal Lidt historie Fraktaler i matematikken Den fraktale dimension Fraktaler i fysikken Fraktaler i biologien Fraktaler som pynt FRAKTALER 2

3 Hvad er en fraktal Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles,, and bark is not smooth,, nor does lightning travel in a straight line Mandelbrot 1983 Ny geometrisk beskrivelse af skala-invariante, eller selvsimilære genstande i naturvidenskaberne og matematikken. Fraktaler karakteriseres af den såkaldte fraktale dimension D. Menger s svamp Natur svamp FRAKTALER 3

4 Ligedannethed FRAKTALER 4

5 Ligedannethed Jonathan Swift ( ) FRAKTALER 5

6 Lidt historie Leibnitz: Rekursiv ligedannethed Weierstrass Monsterfunktion Hilbert og Peano s Monsterkurver Koch s kurve og Cantor s fraktale støv Richardson: Kystlinie s længde Poincare,, Julia, Mandelbrot: Iteration af funktioner i den komplekse plan Witten og Sander: Diffusionsbegrænset aggregering (DLA) FRAKTALER 6

7 Fraktaler i matematikken Weierstrass monsterfunktion Von Koch s kurve Hilbert og Peano Cantor Julia og Mandelbrot FRAKTALER 7

8 Weierstrass monster funktion 1 a Fa ( x) = sin( π k x) a π k k = 1 Kurve sammenhængende, men knæk på alle skalaer k = 1 k x = x+ x + x + x +.. Karl Weierstrass ( ) FRAKTALER 8

9 Von Koch s kurve Kurve sammenhængende, men knæk på alle skalaer Helge von Koch ( ) FRAKTALER 9

10 Hilbert og Peano Den rumfyldende Peano-kurve vendte op og ned på traditional matematik. Vilenkin udtrykte de således: Alt er gået fra hinanden! Det er svært at forklare den effekt Peano's resultat havde på den matematiske verden. Det syntes som om alt var ruiner, at alle basale matematiske begreber havde tabt deres betydning. David Hilbert ( ) Giuseppe Peano ( ) FRAKTALER 10

11 Hilbert Kurve FRAKTALER 11

12 Georg Cantor Grundlagde mængdeteori Indførte de uendelige tal (kardinaltal) Revolutionerede matematikken Nogle citater: Jeg placerer mig selv i modsætning til de udbredte forestillinger vedrørende det matematiske uendelighedsbegreb (Cantor) Fra hans paradis skal ingen udvise os (Hilbert) Cantorism er en sygdom som matematikken må komme sig over (Poincare) Georg Cantor ( ) Tågesnak (Weyl) FRAKTALER 12

13 Cantor-mængden Cantor-mængden kan ikke tælles Canter-mængden har ingen længde Cantor-mængden er en fraktal Procedure: Først fjernes en tredjedel, dernæst fjernes en tredjedel af tredjedelene, etc. L = 1 Hvad fjerner vi: FRAKTALER 13

14 Kvadratisk Julia-mængde x = x y + y 2 2 n+ 1 n n n+ 1 n n Julia-mængder konstant = 2 x y + konstant Julia-mængden består af de punkter i x-y planen som ikke forsvinder væk når vi itererer Gaston Julia ( ) FRAKTALER 14

15 Benoit Mandelbrot Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line Indførte betegnelsen fraktal Demonstrerede anvendelse af fraktal geometri i matematikken og fysikken Bog: The Fractal Geometry of Nature Benoit Mandelbrot FRAKTALER 15

16 Mandelbrot-mængden Mandelbrot click Kan Zoomes click Automatisk click FRAKTALER 16

17 Den fraktale dimension Dæk genstanden med N kasser med sidelængde a. N(a) vil afhænge af a Gør kasserne mindre og mindre. N(a) vil afhænge af a ifølge en potenslov log D N = a N = D log a D er den fraktale dimension FRAKTALER 17

18 Gensyn med Koch-kurven N(a)=a -D, D fraktale dimension N(1) = 1, N(1/3) = 4, N(1/9)=16,.. N(1/3 n )=4 n D Koch =log4/log3 ~ < D Koch <2 Koch-kurven har en dimension større end én Koch-kurven er ulden Koch-kurven er uendelig lang Repræsenterer en matematisk kystlinje FRAKTALER 18

19 Gensyn med Cantor mængden N(a)=a -D, D fractal dimension N(1) = 1, N(1/3) = 2, N(1/9)=4,.. N(1/3 n )=2 n D Cantor =log2/log3 ~ < D Cantor <1 Cantor-mængden har en dimension mindre end én Cantor-mængden er som støv Cantor-mængden har ingen længde FRAKTALER 19

20 Lewis Fry Richardson Matematiker, fysiker og psykolog Beskæftigede sig med vejrudsigter Matematisk analyse af krig. Bog: Dødelige konflikters statistik Teori for turbulens i væsker Forskning i længden af kyster og landegrænser Lewis Fry Richardson ( ) FRAKTALER 20

21 Englands kystlinje Richardson stillede spørgsmålet: Hvor lang er Englands kyst S Længde (Målestok), s'te potens Log(Længde) S Log(Målestok) S kaldes skalerings-eksponenten Google Earth S= Englands vestkyst S= Tysklands landegrænse S= Portugal s landegrænse S= Sydafrikas kystlinje FRAKTALER 21

22 Fraktaler i fysikken DLA Udladninger Kolloider og elektroder Viskøs fingerdannelse Flammefront og snefald FRAKTALER 22

23 Diffusionsbegrænset aggregering (DLA) Komputer-simulering af model for vækst Foreslået af Witten og Sander (1981) Tilføj kim i midten Lad partikler diffunderer ind fra omkredsen Hvis en partikel rammer kim-partiklen sidder den fast Der dannes en forgrenet struktur (diffusions begrænset) Aggregatet har en fraktal dimension Diffusion Limited Aggregation (DLA) FRAKTALER 23

24 DLA s fraktale dimension Analyser morfologien af DLA klyngen ved hjælp af den fraktale dimension D N ( R) R R størrelsen af klyngen N(R) aggregerede partikler inden for en radius R D = 2 for kompakt vækst D < 2 for fraktal vækst Log-log plot af N(R) mod R Hældningen giver den fraktale dimension D DLA s fraktale dimension D 1.7 FRAKTALER 24

25 Overfladeudladning Udladninger Udladningsmønster i en plastikblok Opladet ved hjælp af 2 MeV elektroner FRAKTALER 25

26 Kolloider og elekroder FRAKTALER 26

27 Viskøs fingerdannelse Farvet vand sprøjtet ind i vådt ler At presse olie ud af klipper FRAKTALER 27

28 Flammefront og snefald Udbredelse af flammefront Snefald på rude Komputersimulering FRAKTALER 28

29 Fraktaler i biologien Bakteriekoloni Komputergenereret fraktal Fraktal vækst af bacillus subtilis Eksperiment udført af Matsushita og Fujikawa Der iagttages fraktal vækst DLA-lignende mønstre Fraktal dimension D ~1.72 FRAKTALER 29

30 Visne blade Vissen bladkant Self-similær Koch-kurve FRAKTALER 30

31 Koraller og blomkål Skala-invariant blomkål Skala-invariant koralvækst FRAKTALER 31

32 Fraktaler som pynt FRAKTALER 32

33 Blue metal FRAKTALER 33

34 Medusa FRAKTALER 34

35 Druer FRAKTALER 35

36 Slut FRAKTALER 36