עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "עצי 3-2 ועצי דרגות חומר קריאה לשיעור זה. Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )"

Tina Jespersen
6 år siden
Visninger:

1 2-3 trees עצי 3-2 ועצי דרגות Lecture5 of Geiger & Itai s slide brochure Chapter 19: B trees ( ) חומר קריאה לשיעור זה Chapter 15: Augmenting data structures ( ) Geiger & Itai, 2001

2 2-3 trees 2 תזכורת: עצים מאוזנים משפחת עצים נקראת מאוזנת אם.h(T) = O(log n) עצי AVL הם עצים מאוזנים. עצי 3-2 מהווים דוגמא נוספת לעצים מאוזנים. הגדרה: עץ 3-2 הוא עץ בו 1- כל העלים נמצאים באותה רמה 2- לכל צומת פנימי 2 או 3 בנים. דוגמאות:

3 גובה עצי 3-2 הוא גובה העץ. hכאשר 2 h n 3 h בעץ 3-2 מקיים Lמספר העלים נימוק: עבור חסם תחתון נבחן את העץ הבינרי השלם הנוצר ע"י סילוק כל ילד שלישי מעץ 3-2. עבור חסם עליון נבחן את העץ הטרינרי השלם הנוצר ע"י הוספת ילד שלישי לעץ 3-2 בכל מקום בו חסר ילד. 2-3 trees 3 נתון עץ בו כל ילד שלישי סולק עץ 3-2 עץ בו כל ילד חסר הוסף לפיכך הגובה מקיים log 3 n h log 2 n כלומר: n) h = O(log cs,technion

4 כל 2-3 trees 4 עצי 3-2 כמבני נתונים עלה מכיל מ פ ת ח ורשומה לכל צמת פנימי 3 d 2 הרשומה הנחוצה. )רק המפתחות נראים בציור(. בו בנים ויש 1 d אינדקסים המשמשים לחיפוש בצומת פנימי בעל שני בנים רשום אינדקס בודד הגדול ממש מהמפתח המקסימלי בתת העץ ששורשו הוא הבן הראשון וכן קטן או שווה למפתח המינימלי בתת העץ ששורשו הוא הבן השני. בצומת פנימי בעל שלושה בנים רשומים שני אינדקסים. אינדקס ראשון גדול ממש מהמפתחות בעץ הראשון וקטן שווה מהמפתחות בעץ בשני ואינדקס שני גדול ממש מהמפתחות בעץ השני וקטן שווה מהמפתחות בעץ השלישי.

5 2-3 trees A B 5 T 1 T 2 T 3 T 1 < A T 2 < B T 3 A T 1 T 2 T 1 < A T 2 cs,technion

6 2-3 trees 6 חיפוש מפתח k בעץ 3-2 יהי k 1 האינדקס המינימלי בצומת v. אם : k < k 1 המשך את החיפוש בבן הראשון של v. אחרת, אם ל- v רק שני בנים או ש- k קטן מהמפתח השני של v: יהי v השורש של העץ המשך את החיפוש בבן השני של.v אחרת, המשך את החיפוש בבן השלישי של.v אם v עלה, בדוק אם k נמצא בצומת.v 10, 20 חפש 14: 2, , 27 cs,technion

7 2-3 trees הכנסת מפתח k לעץ בהכנסת איבר לעץ 3-2 מבוצעות הפעולות הבאות: k חיפוש מקומו של המפתח החדש k. הכנסת עלה למקום החדש וקביעת ערכו k. תיקון העץ כך שלכל צומת יהיו 2 או 3 בנים. התיקון נעשה במסלול החיפוש של מהעלה שנוסף ועד השורש. בכל רמה נבצע (1)O פעולות נ מ ח י ש זאת תחילה ע"י דוגמאות. cs,technion

8 2-3 trees 8 דוגמא להכנסה לעץ 3-2 צעד ראשון: הכנס 7 10, 22 10, 22 2, 3, , , , , 10, 22 צעד שני: צעד שלישי: פ צ ל פ צ ל , ,

9 2-3 trees 9 אלגוריתם להכנסת מפתח k )חלק א( 1. חפשו את k בעץ. T אם k נמצא, סיימו. יהי אינו ב- T, f הצומת האחרון, שאינו עלה, במסלול החיפוש..2 אם k צ ר ו עלה חדש בעל מפתח k, והוסיפו אותו כבן ל- f תוך שמירת הסדר בין הבנים של f. )יתכן וכעת יש ל- f ארבעה בנים(. הוסיפו ל- f אינדקס נוסף בהתאם לכללי עץ 2-3. )יתכן וכעת יש שלושה אינדקסים(..3.4 f T 10, 22 2, 3, , T f 10, 22 k= הכנס 7 2, ,

2-3 trees 10 f אלגוריתם להכנסת מפתח k )חלק ב( v f v 3, 10, 22 1 v 2 3 22 v 1 v 2 2 7 14 25, 27 2 7 14 25, 27 10 f 1 2 3 7 10 14 22 25 27 1 2 3 7 10 14 22 25 27 ו- f parent(v) - אם ל- v שלושה בנים

10 2-3 trees 10 f אלגוריתם להכנסת מפתח k )חלק ב( v f v 3, 10, 22 1 v v 1 v , , f ו- f parent(v) - אם ל- v שלושה בנים סיימו v f.5 v 1,v 2 אם v הוא שורש צ ר ו צומת f אשר בניו הם הצמתים וסיימו..6 אם ל- v ארבעה בנים, פ צ ל את v לשני צמתים v, 1 v, 2 f תוך שמירה על סדר האינדקסים הנכון. וחבר אותם כבנים לאב.7 8. חזרו לצעד 5.

11 2-3 trees 11 אלגוריתם להכנסת מפתח k )במלואו( 1. חפשו את k בעץ. T אם k נמצא, סיימו. יהי אינו ב- T, f הצומת האחרון, שאינו עלה, במסלול החיפוש..2 אם k צ ר ו עלה חדש בעל מפתח k, והוסיפו אותו כבן ל- f תוך שמירת הסדר בין הבנים של f. )יתכן וכעת יש ל- f ארבעה בנים(. הוסיפו ל- f אינדקס נוסף בהתאם לכללי עץ 2-3. )יתכן וכעת יש שלושה אינדקסים(..3.4 ו- f parent(v) - אם ל- v שלושה בנים סיימו v f.5 v 1,v 2 אם v הוא שורש צ ר ו צומת f אשר בניו הם הצמתים וסיימו..6 אם ל- v ארבעה בנים, פצל את v לשני צמתים v, 1 v, 2 f תוך שמירה על סדר האינדקסים הנכון. וחבר אותם כבנים לאב.7 8. חזרו לצעד 5.

12 2-3 trees 12 פרוט לפיצול צומת v k 1 k 2 k 3 v 1 v 2 k 1 k 3 v 1 v 2 v 3 v 4 עלים v2 v 3 v 4 v 1 <k 1 v 2 <k 2 v 3 <k 3 v 4 v 1 k 2 v root k 1 k 2 k 3 T 1 <k 1 T 2 <k 2 T 3 <k 3 T 4 k 2 k 1 k 3 T 1 T 2 T 3 T 4 עצים T 1 T 2 T 3 T 4

13 2-3 trees תכונות תהליך ההוספה 13 שינויים מתבצעים רק על המסלול מהשורש לעלה שהוסף. בזמן פיצול של צומת, הצמתים החדשים הם בעומק שווה לצומת שפוצל. בפיצול השורש נוצר צומת חדש שמגדיל ב- 1 את העומק של כל הצמתים. מסקנה 1: לאחר הוספה, כל העלים באותו עומק ולכל צומת פנימי 3-2 בנים. מסקנה 2: סיבוכיות הכנסת אבר (n.o(log cs,technion

14 2-3 trees הוצאת מפתח k מעץ בהוצאת איבר לעץ 3-2 מבוצעות הפעולות הבאות: k. חיפוש מקומו של המפתח 1. הוצאת העלה שערכו k. 2. תיקון העץ כך שלכל צומת יהיו 2 או 3 בנים. 3. התיקון נעשה במסלול החיפוש של k מהעלה שהוצא ועד השורש. בכל רמה נבצע (1)O פעולות. נ מ ח י ש זאת תחילה ע"י דוגמאות. cs,technion

15 2-3 trees 15 דוגמא להוצאה מעץ 3-2 )השאלה בלבד( 10 סלק צומת: 10 הוצא 14: , , ה ש א ל מהאח: 10 תקן ערכי ההורים: ,

16 2-3 trees 16 דוגמא להוצאה מעץ 3-2 )שני איחודים( 10 אח ד הורים: 10 הוצא 3: , , , , 15 אח ד הורים: 10, 15 סלק שורש מיותר: 2, , 19 2, ,

17 2-3 trees 17 אלגוריתם להוצאת מפתח k מעץ 3-2 k בעץ. אם k חפש את 1. יהי 2. l העלה שערכו ויהי k לא נמצא בעץ, סיים. f אביו. סלק את 3. l מהעץ. v f אם v.4.5 אם ל- v 6. הוא שורש ולו בן בודד, סלק את v נותרו מקרה א: אם ל- v בנים, סיים. )המשך אם ל- v וסיים. נותר רק בן בודד(. יש אח ולו שלושה בנים, ש אל בן מהאח וסיים. מקרה ב: אם לכל אח קרוב רק שני בנים, אחד את v עם אח קרוב ל- v ועדכן את המפתחות בצומת שנוצר. יהי f ה ה ור ה של v. חזור לצעד 4. k=3 f l v

18 2-3 trees 18 פרוט פעולת האיחוד בזמן הוצאה מקרה א: k 3 k 2 f 1 f f f k 2 k k k 3, k 4 v 1 v 2 v 3 v 4 v v 1 v 2 v 3 v 4 v<k 1 v 1 <k 2 v 2 <k 3 v 3 <k 4 v 4 מקרה ב: k 4 k 2, k 4 f k 2, k 3 f k 1 f 1 k 3 v 1 v 2 v 3 v 4 v v 1 v 2 v 3 v 4 v<k 1 v 1 <k 2 v 2 <k 3 v 3 <k 4 v 4

19 2-3 trees ניתוח פעולת ההוצאה 19 נכונות: העומק של שום צומת אינו משתנה בזמן ההוצאה מלבד בסוף התהליך, במידה ומתבטל השורש, אז העומק של כל הצמתים קטן באחד. לפיכך כל העלים נ ות ר ים בעומק שווה. כמו כן לכל צומת פנימי נ ות ר ים 3-2 בנים ונשמר יחס הסדר בין האינדקסים כנדרש. מסקנה 1: לאחר הוצאה, כל העלים באותו עומק ולכל צומת פנימי 3-2 בנים. מסקנה 2: סיבוכיות הוצאה אבר (n.o(log cs,technion

20 2-3 trees 20 סיבוכיות הפעולות בעץ 2-3: סיבוכיות function פעולה O(1) create(d) אתחול O(log n) find(d,x) חיפוש O(log n) insert(d,x,info) הוספה O(log n) delete(d,x) הוצאה O(log n) O(1) min(d) מינימום O(log n) O(1) next(d,v) עוקב cs,technion

21 2-3 trees.i-1 )מדרגה m( 21 עצי + B הגדרה: עץ + B מדרגה m הוא עץ המקיים את התכונות הבאות: 1. כל הערכים נמצאים בעלים, כל העלים באותה רמה. 2. לכל צומת פנימי, פרט אולי לשורש, יש c בנים כאשר. m/2 c m לשורש מספר הבנים הוא.2 c m 3. לצומת פנימי בעל c בנים יש 1-c אינדקסים ממוינים לפי גודלם. כל המפתחות הנמצאים בתת העץ ה- i קטנים מהאינדקס ה- i וגדולים או שווים לאינדקס ה- כל המפתחות הנמצאים בתת העץ הימני ביותר גדולים או שווים לאינדקס האחרון. 10, 22 2, 3, , 27 דוגמא: עץ + B מדרגה = 3 עץ.3-2 דוגמא: עץ + B מדרגה = 4 עץ חיפוש/הכנסה/הוצאה כמו בעץ כלומר, חיפוש לפי הגדרת עץ + B בדרגה m, הכנסה או הוצאה של העלה המבוקש, ותיקון העץ מהעלה ועד השורש במסלול החיפוש כך שמספר הבנים בכל רמה יעמוד בדרישות עץ + B בדרגה m. cs,technion

22 2-3 trees m 2 c m גובה עץ + B מדרגה m 22 m 2 h n m h h(log m 1) log n h log m log n log m h log n log m 1 cs,technion

23 2-3 trees דוגמא להכנסה לעץ + B מדרגה , 22 2, 3, , 27 דוגמא: הכנס , 10, 22 במקרה זה נדרש פיצול בודד. מחצית הצמתים )מעוגל כלפי מעלה( ומחצית )מעוגל כלפי מטה( בימני. בענף השמאלי 2, , cs,technion דוגמאות נוספות בתרגול.

24 2-3 trees 24 הז כ ר ון זיכרון ראשי ברוב המחשבים מורכב משני חלקים: שימוש עיקרי לעץ B +, מהיר, )RAM( ללא חלקים נעים, ש ב ב סיליקון בודד. זיכרון משני,)DISK( גדול, איטי יחסית לזיכרון הראשי, בעל חלקים מכניים. כאשר לא ניתן להכניס את כל מבנה הנתונים לזיכרון הראשי יש ל פ נ ות מדי פעם לזיכרון המשני לקבלת אינפורמציה נוספת. זמן הגישה לזיכרון המשני גבוה מאד יחסית לזמן הקריאה של הנתונים והקריאה נעשית בבלוקים. עצי +B מדרגה גבוהה מספקים פתרון: השורש נשמר בזיכרון הראשי כל צומת אחר נשמר בזיכרון המשני. מספר הגישות לזיכרון המשני תלוי במספר הרמות עץ )וזהו מספר נמוך( הנקבע ע"י גודל הבלוק. m מדרגה B + height log n log m המחיר יהיה בסקירה ליניארית של המפתחות על מנת לקבוע את המשך החיפוש בעץ )תוך שימוש בזיכרון log המהיר(. n time T Access T Read ( m ) m log m

Relaterede dokumenter

בהצלחה! מבני נתונים

בהצלחה! מבני נתונים המחלקה למדעי המחשב מבני נתונים 202-1-1031 מבחן מועד א', 05/07/2015 13:30, חומר עזר משך הבחינה פרופ' איתן בכמט, פרופ' פז כרמי, דר' צחי רוזן, דר' דקל צור, פרופ' מיכאל אלקין, גב' אירינה רבייב. עמית בן בסט,