3.1 Baser og dimension

Transkript

1 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V ikke har en endelig basis, så er det af uendelig dimension Definition 32 Et F-vektorrum V er endeligt frembragt, hvis der findes v,, v n V, så V = Span(v,, v n ) Et endeligt frembragt vektorrum er af endelig dimension, fordi en endelig udspændende mængde kan udtyndes til en basis: Sætning 33 Lad V være et F-vektorrum, V {0}, som er udspændt af endeligt mange vektorer v,, v n Da har V en basis indeholdt i {v,, v n } Vi argumenterer ved induktion over antallet af vektorer i den udspændende mængde Udsagnet holder, når n =; for når V {0} og V = Span(v ), så er v 0, så {v } er en basis Vi antager så, at udsagnet gælder for vektorrum udspændt af n elementer, og må vise, at det gælder for vektorrum udspændt af n elementer Lad så V = Span(v,, v n ) Hvis v,, v n er uafhængige, udgør de en basis for V, som ønsket Hvis v,, v n er afhængige, så kan én af dem skrives som en lineærkombination af de andre; efter omnummerering kan vi antage, at v n = c v + + c n v n Men så er V = Span(v,, v n ), og induktionsantagelsen giver, at V har en basis indeholdt i {v,, v n } I begge tilfælde har V en basis indeholdt i {v,, v n }, så induktionsskridtet er taget, og beviset er fuldført 39

2 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION Et endeligt frembragt vektorrum har faktisk mange baser: Sætning 34 ([L], 343) Lad V være et F-vektorrum af dimension n>0 Enhver mængde bestående af n uafhængige vektorer fra V udspænder V (og er derfor en basis) 2 Enhver mængde af n vektorer, som udspænder V, består af uafhængige vektorer (og er derfor en basis) Antag, at v,, v n V er uafhængige Lad v V V har en basis med n elementer, som så udspænder V, så Sætning 225 fortæller, at de n +vektorer v, v,, v n er afhængige der findes c, c,, c n F ikke alle 0 så cv + c v + + c n v n = 0 c 0: for hvis c =0så er c v + + c n v n =0 med mindst en c i 0, i modstrid med, at v,, v n er uafhængige Vi har da så cv =( c )v +( c n )v n, v =( c c )v + +( c n c )v n Span(v,, v n ) Da v V er arbitrært valgt er V = Span(v,, v n ) 2 Lad v,, v n udspænde V Antag, at de er afhængige Så kan en af dem skrives som linearkombination af de andre Efter omnummerering, lad os sige v n = c v + + c n v n Men så er V = Span(v,, v n ) Lad u,, u n være en basis for V Ifølge Sætning 225 er u,, u n afhængige Modstrid! Så v,, v n kunne ikke være afhængige 40

3 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION Vi kan brodere lidt videre: Sætning 35 ([L], 344) Lad V være et F-vektorrum af dimension n>0 Ingen mængde med færre end n elementer kan udspænde V 2 Enhver mængde, der består af færre end n uafhængige elementer, kan udvides til en basis for V 3 Enhver udspændende mængde kan udtyndes til en basis for V Ifølge Sætning 33 kan en udspændende mængde for V udtyndes til en basis, så må have mindst dim V elementer 2 Lad v,, v k V være lineært uafhængige, k < n Span(v,, v k ) V (ifølge ()), så der findes v k+ V \ Span(v,, v k ) v,, v k+ er uafhængige: (for antag c v + + c k+ v k+ =0 Hvis c k+ 0er v k+ =( c k+ c )v + +( c k+ c k)v k Span(v,, v k ) Modstrid Så c k+ =0, så c v + +c k v k = 0 Men dette indebærer c = = c k =0 fordi v,, v k er uafhængige) Vi fortsætter på denne måde, ved at finde successivt v k+2 V \ Span(v,, v k+ ) v n V \ Span(v,, v n ) Når vi har v,, v n V uafhængige så er de en basis, ifølge Sætning 34, 3 Dette er Sætning 34 4

4 SEKTION 3 BASER OG DIMENSION Et underrum af et endeligt frembragt vektorrum er selv af endelig dimension: Lemma 36 Lad V være et F-vektorrum af dimension n>0 Lad U V være et underrum Så er dim U dim V ; og dim U = dim V U = V Hvis U = {0}, er dim U =0og dim U<dim V Hvis U {0}, lad M = max{p : der findes p uafhængige elementer i U} Hvis u,, u p U er uafhængige, så er de også uafhængige elementer i V Sætning 225 fortæller så, at p n, idet V er udspændt af n elementer Så M n Lad så u,, u M U være uafhængige Vi påstår, at {u,, u M } er en basis for U Vi må altså vise, at U = Span(u,, u M ) Antag, modsætningsvis, at U Span(u,, u M ), lad u M+ U \ Span(u,, u M ), og betragt en identitet c u + + c M u M + c M+ u M+ =0med c,, c M+ F c M+ =0: fordi hvis c M+ 0, så var u M+ = c M+ ( c u c M u M ), så indeholdt i Span(u,, u M ) Men så er c u + + c M u M =0; så c =0,, c M =0, idet u,, u M er uafhængige Så u,, u M, u M+ U er uafhængige Dette strider mod definitionen af M, så vores antagelse var forkert, U = Span(u,, u M ), og {u,, u M } er en basis for U Så dim U = M n Hvis dim U = n, så har U en basis {u,, u n } u,, u n er da n uafhængige elementer i V, som har dimension n, så Sætning 34, (I) fortæller, at de udgør en basis for V Specielt er V = Span(u,, u n )=U 42

5 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX 32 Underrum associerede til en matrix Lad A Mat m,n (F) Nulrummet for A er N(A) ={x F n Ax = 0} Vi har tidligere set, i Proposition 52, at N(A) er et underrum af F n Rækkerummet for A = a (,:) a (m,:) er Søjlerummet for A = [ a (:,),, a (:,n) ] er Ræ(A) = Span(a (,:),, a (m,:) ) F m Sø(A) = Span(a (:,),, a (:,n) ) F n ( F n ) At Ræ(A) og Sø(A) er underrum følger af Sætning 223 Lad os finde baser for disse rum: Sætning 32 Lad A Mat m,n (F); lad A H i RREF Antag, som i Lemma 27, at H har pivot er i søjlerne j < <j k, og at de pivotfrie søjler er i < <i n k Da har N(A) en basis b,, b n k, hvor, for p =,, n k, b p er løsningen til Hx = 0, hvor den p te frie variabel z ip er sat til, og de andre frie variable z iq,q p, er sat til 0 Ifølge Lemma 27 er en løsning til Hx = 0 af formen z = kan vælges frit, og z j z jk = = l:i l >j h,il z il l:i l >j k h k,il z il z z n F n, hvor z i,, z in k F Bemærk, at z = z i b + + z in k b n k, hvor b p, p =,, n k, er som givet i sætningsudsagnet Vi har da, at {b,, b n k } udspænder N(H) =N(A) Bemærk også, at z = 0 hvis og kun hvis z i =0,, z in k =0 Da z = z i b + +z in k b n k, fås, at z i b + + z in k b n k = 0 hvis og kun hvis z i =0,, z in k =0; så b,, b n k er uafhængige Så b,, b n k udgør en basis for N(A) 43

6 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Bemærkning 322 Ved at indsætte z ip =,z iq =0for p q fås (b p ) js = h s,ip for s k { q = p (b p ) iq = 0 q p Sætning 323 Lad A Mat m,n (F); lad A H i RREF De ikke-nul rækker i H udgør en basis for Ræ(A) Vi har brug for et hjælpelemma: Lemma 324 ([L], Sætning 36) Rækkeækvivalente matricer har ens rækkerum Hvis A B, så dannes B fra A ved at anvende en følge af ERO er Så rækkevektorerne i B er lineære kombinationer af rækkevektorerne i A og Ræ(B) Ræ(A) Men A dannes fra B ved at anvende en følge af ERO er (inverserne til dem brugt til at danne B fra A), så Ræ(A) Ræ(B) Så Ræ(A) =Ræ(B) for Sætning 323 Ifølge lemmaet er det nok at vise, at H s ikke-nul rækker udgør en basis for Ræ(H) Det er klart, at Ræ(H) er udspændt af dens ikke-nul rækker Antag, at H har k pivot er, så k ikke-nul rækker; lad pivot erne være i søjlerne j < <j k Betragt en lineær relation c h (,:) + + c k h (k,:) = 0 Den j s te indgang giver c s =0 for s =,, k Så H s ikke-nul rækker er uafhængige, og udgør så en basis for Ræ(H) 44

7 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Addendum 325 Lad A Mat m,n (F); lad A U i REF De ikke-nul rækker i U udgør en basis for Ræ(A) Lad U H i RREF; U og H har lige mange ikke-nul rækker; lad os sige k ikke-nul rækker Ræ(A) =Ræ(U) =Ræ(H) er af dimension k; da det udspændes af U s k ikke-nul rækker, må disse være en basis (ifølge Sætning 34, ) Sætning 326 Lad A = [ a (:,),, a (:,n) ] Matm,n (F); lad A H i REF Lad j < <j k være numrene på de søjler i H, som indeholder en pivot Da er {a (:,j),, a (:,jk )} en basis for Sø(A) En lineær relation blandt søjlerne i H med koefficienter r,, r n (dvs en ligning r h (:,) + + r n h (:,n) = 0) findes hvis, og kun hvis, der findes en lineær relation blandt søjlerne i A med de samme koefficienter, idet Hr = 0 Ar = 0 (Proposition 22) Vi kan antage, at H er i RREF, idet reduktion fra REF til RREF ikke ændrer på pivot ernes placering For s =,, k er h (:,js), den j s te søjle i H, da lig med standardbasisvektoren 0 e s = s te plads 0 Specielt er den eneste lineære relation blandt h (:,j),, h (:,jk ) den trivielle De sidste m k rækker i H er nul, så søjlerne i H er lineære kombinationer af e,, e k, altså af h (:,j),, h (:,jk ) Bemærkningen, der indledte beviset, viser nu, at den eneste lineære relation blandt a (:,j),, a (:,jk ) er den trivielle, og at søjlerne i A er lineære kombinationer af a (:,j),, a (:,jk ) Så {a (:,j),, a (:,jk )} er en basis for Sø(A) 45

8 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Eksempel 327 (se [L], ex 4, s 66) Lad Find baser for Sø(A), Ræ(A) og N(A) Ifølge [L] er Så Sø(A) har basis 2 2 A = A U = i REF A = 0,A 2 = 3,A 5 = Ræ(A) har basis de tre ikke-nul rækker i U, eller, når der reduceres til RREF, U H = de tre ikke-nul rækker i H Ax = 0 har løsninger x = 3x 3 7x 4 x 2 = x 3 3x 4 x 5 =0 3x 3 7x x 3 3x 4 dvs x 3 x 4 = x x og 0, 3 0 udgør en basis for N(A)

9 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Mere overordnet, har vi: Proposition 328 (se også [L], 365, 366) Lad A Mat n,m (F), lad A U i REF dim N(A) =antallet af søjler uden pivot i U 2 dim Ræ(A) =antallet af ikke-nul rækker i U 3 dim Sø(A) =antallet af søjler med pivot i U Der gælder, at dim Ræ(A) = dim Sø(A), og at dim N(A) + dim Sø(A) =n, antallet af søjler i A (),(2),(3) følger umiddelbart af baserne fundet ovenfor Da antallet af ikke-nul rækker i H er lig med antallet af pivot er (der er én i hver ikke-nul række) er Ræ(A) =Sø(A) Hvis k er antallet af søjler med pivot er dim N(A) =n k, dim Sø(A) =k, og dim N(A) + dim Sø(A) = (n k)+k = n Notation 329 dim Ræ(A) = dim Sø(A) kaldes rangen af A, rang(a) dim N(A) kaldes nulliteten af A, nul(a) Lad A Mat m,n (F) Vi har tidligere set, i Lemma 224, at ligningssystemet Ax = b er konsistent b Sø(A) Dette kan elaboreres: Proposition 320 ([L], 363) Lad A Mat m,n (F) Systemet Ax = b er konsistent for alle b F m F m = Sø(A) 2 Systemet Ax = b har én løsning b Sø(A) og søjlerne i A er uafhængige 47

10 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX følger umiddelbart af Lemma Hvis b / Sø(A) så har systemet ingen løsning Hvis b Sø(A), lad c F n være således at Ac = b Lad z N(A) Så er A(c + z) =Ac + Az = b + 0 = b, så c + z er en løsning til Ax = b Det følger at c er den eneste løsning til Ax = b N(A) ={0} der er ingen frie variabler for systemet Hx = 0 hvor A H i RREF der er en pivot i hver søjle i H søjlerne i A er uafhængige Addendum 32 Lad A Mat n,n (F) være en kvadratisk matrix Følgende udsagn er ækvivalente: Systemet Ax = b har en løsning for alle b F n 2 Systemet Ax = b har præcis een løsning for alle b F n 3 A er invertibel 4 Søjlerne i A er uafhængige 5 Sø(A) =F n () (5): Proposition 320, (2) (): Oplagt! (2) (3): Korollar 49 (3) (4): 228 (5) (4): F n har dimension n; hvis det er udspændt af A s n søjler, må disse være uafhængige, ifølge 34, 2 48

11 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Vi kan bruge vores metode til at finde baser for et søjlerum til at finde baser i andre sammenhænge: Lemma 322 Lad W = Span(w,, w n ) F m Skriv A =[w w n ] i søjleform, og lad A U i REF Hvis U har pivot er i søjlerne j,, j k, så er w j,, w jk en basis for W W = Sø(A); resten følger af Sætning 326 Eksempel 323 Find en basis for underrummet W R 4 udspændt af 2 w =, w 2 =, w 3 = 0 0, w 4 = Lad A = R 3 R 3 R R 2 R 2 R, R R 4 R 2 Først 0 2 R 2 R 4, 0 0 så R 3 R R 2 R 2, 0 0 R R 3 De første tre søjler har pivot er, den 4 har ikke; så {w, w 2, w 3 } er en basis for W 49

12 SEKTION 32 UNDERRUM ASSOCIEREDE TIL EN MATRIX Lemma 324 Lad v,, v k F n være uafhængige Skriv A =[v,, v k, e,, e n ] i søjleform og lad A U i REF Da har U pivot er i søjlerne,, k og i yderligere n k søjler l,, l n k ; {v,, v k, e l,, e ln k } er en basis for F n De første k søjler i U er en reduktion af [v,, v k ] til REF Da v,, v k er uafhængige, må der være pivot er i alle disse k søjler (Lemma 320) Sø(A) =F n, fordi e,, e n udspænder F n, så H må have n pivot er (Lemma 320); i søjlerne,, k, l,, l n k Lemma 320 fortæller, at {v,, v k, e l,, e ln k } er en basis for Sø(A) =F n Eksempel Udvid v = i, v 2 = i til en basis for C4 0 Det er klart, at {v, v 2, e,, e 4 } udspænder C 4 Vi udtynder til en basis i i i i i i i i i i i i i i i i i 0 0 i i i i i i i i i i i 2i {v, v 2, e, e 2 } er en basis for C 4 50

13 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT 33 Koordinater og koordinatskift Der er mange baser for et endeligt-dimensionalt vektorrum Det er ofte en fordel at anvende forskellige baser for forskellige problemstillinger det kan simplificere tingene betragteligt at anvende et egnet koordinatsystem! Der er et eksempel i [L] s 53-4, som gør det klart, at et smart valg af basis kan være helt afgørende for forståelsen Ideen er at modellere befolkningsflytning i et større byområde, hvor indbyggertallet er konstant, mens hvert år 6% flytter fra centrum til forstæderne og 2% flytter den anden vej Hvis 30% bor i centrum, 70% i forstæderne til at begynde med, hvad sker efter 5 år, 0 år,, 00 år? [ ] 030 Begyndelse: x 0 = 070 En beregning viser, at Au = u [ ] (094)(030) + (002)(070) Efter et år: x = (006)(030) + (098)(070) [ ] = Ax 0, hvor A = Når man regner videre, x n = A n x 0 [ ] 025 Eksperimenteres der, finder man at x n for n stor 075 [ ] 025 Lad os kalde u = ; 075 Vælg nu også u 2 = Endnu en beregning viser, at Au 2 = [ ] Vi ser, at u, u 2 er uafhængige, så er basis for R 2, idet [ ] [ ] [ ] [ ] /4 4 4 u u 2 = 3/ så er invertibel [ ] [ ] = =092u 2 [ ] /4, 0 A n (c u + c 2 u 2 )=c A n u + c 2 A n u 2 = c u + c 2 (092) n u 2 5

14 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT En beregning viser så x 0 = Det var valget af basis, som gav indsigt! [ ] 030 = u u 2, x n = u 005(092) n u 2 u for n Definition 33 Lad V = {v,, v n } være en ordnet basis for V Lad v V ; v kan skrives entydigt som lineær kombination af v,, v n, v = c v + + c n v n Der er således et entydigt element det kaldes koordinatvektoren for v mht V, og vi skriver c F n, som angiver koordinaterne for v mht V; c n [v] V = c c n Koordinatisering bevarer lineær struktur, dvs Lemma 332 [v + w] V =[v] V +[w] V 2 [rv] V = r [v] V Lad v, w V, skriv v = c v + + c n v n og w = d v + + d n v n Da er v + w =(c + d )v + +(c n + d n )v n, og vi har c + d d [v + w] V = = c + =[v] V +[w] V c n + d n c n d n 2 rv =(rc )v + +(rc n )v n, så [rv] V = rc rc n = r[v] V 52

15 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Addendum 333 Der gælder også, at [v] V = 0 v = 0 : 0 =0v + +0v n, så [0] V = 0 : [v] V = 0 v =0v + +0v n = 0 Som vi har set, kan problemstillinger i lineær algebra ofte gøres mere overskuelige med et godt valg af basis En regnemæssig nødvendighed bliver så, at finde ud af, hvordan man regner om fra koordinatsystemet mht en basis til koordinatsystemet mht en anden? Eksempel 334 ([L], s 55, Ex 2) Lad u = [ [ 3, u 2] 2 = R ] 2 Vi ser, at u, u 2 er uafhængige; så U = {u, u 2 } er en ordnet basis for R 2 Hvad er [x] U for x R 2? Vi må altså finde c,c 2 R, så [ ] c x = c u + c 2 u 2 =[u, u 2 ] = Uc, c 2 hvor U =[u, u 2 ]; c er da [x] U [ ] 3 U = er invertibel, så [x] 2 U = U x U = [ ] [ ] x x, så [x] 2 3 U = 2 2x +3x 2 Dette kan gøres mere generelt: Lemma 335 Lad U = {u,, u n } være en ordnet basis for F n Lad U =[u,, u n ] Mat n,n (F) U er invertibel, og for alle x F n gælder U [x] U = x, [x] U = U x 53

16 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Lad [x] U = c c n, så x = c u + + c n u n =[u,, u n ] c c n = U[x] U U er invertibel (Sætning 228) så U eksisterer, og U x = U U[x] U =[x] U Vi kan også skifte koordinater mellem to ordnede baser i F n : Korollar 336 (se [L], s 56 når n =2) Lad U = {u,, u n }, V = {v,, v n } være to ordnede baser for F n Lad U =[u,, u n ],V =[v,, v n ] Mat n,n (F) U, V er invertible, og [x] U = U V [x] V, [x] V = V U [x] U For alle x F n, U[x] U = x = V [x] V (Lemma 335) U, V er invertible (Lemma 335) så [x] U = U V [x] V, [x] V = V U[x] U Vi kan gøre noget lignende i et generelt endelig frembragtt F-vektorrum: Proposition 337 ([L], s 58-9) Lad U = {u,, u n }, V = {v,, v n } være to ordnede baser for et F-vektorrum W Lad K Mat n,n (F) være givet i søjleform som Der gælder: K er invertibel 2 For alle w W, [w] V = K [w] U [[u ] V,, [u n ] V ] 3 K er den entydige matrix i Mat n,n (F) således at (2) gælder 54

17 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Antag, at K x x n = 0; så 0 = x [u ] V + + x n [u n ] V =[x u + + x n u n ] V, idet koordinatisering bevarer lineær struktur Så x u + + x n u n = 0, og derved er x =0,, x n =0fordi u,, u n er uafhængige Ligningssystemet Kx = 0 har derfor 0 som eneste løsning og (40) K er invertibel 2 Vi har, for i =,, n, at hvor er den i te søjle i K Skriv w = c u + + c n u n, så Vi har da u i = k i v + + k ni v n, k i k ni [w] U = =[u i ] V, c c n w = c (k v + + k n v n )+ + c n (k n v + + k nn v n ) =(c k + + c n k n )v + +(c k n + + c n k nn )v n Så k c + + k n c n [w] V = = K k n c + + k nn c n c c n = K [w] U 3 Antag, at [w] V = K [w] U for alle w F n Dette gælder specielt for u i,i=,, n, så {den i te søjle i K} =[u i ] V = K [u i ] U = K e i = {den i te søjle i K } for i =,, n Så K, K har de samme søjler; de er ens 55

18 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Notation 338 K kaldes koordinattransformationsmatricen til V-koordinater fra U-koordinater; vi vil ofte skrive K V,U Vi har altså K V,U = [[u ] V,, [u n ] V ]; og [w] V = K V,U [w] U for alle w W Læg mærke til, at K U,V =(K V,U ), fordi K V,U er invertibel, så (K V,U ) [w] V =(K V,U ) K V,U [w] U =[w] U Bemærk også: Hvis U = {u,, u n },V = {v,, v n }, er ordnede baser for F n, og U =[u,, u n ],V =[v,, v n ], så er ifølge Korollar 336 K V,U = V U, K U,V = UV, 2 Hvis er en ordnet basis for F n, og U = {u,, u n } E = {e,, e n } er standardbasen for F n, givet ved 0 e i = i te plads, 0 så er Hvis vi skriver K E,U = [[u ] E,, [u n ] E ] = [u,, u n ] U =[u,, u n ], så har vi da K E,U = U og K U,E = U, som er egentlig hvad Lemma 335 foretæller 56

19 SEKTION 33 KOORDINATER OG KOORDINATSKIFT Eksempel 339 ([L], s 59 ex 6) Lad U = {, 2x, 4x 2 2}, V = {, x, x 2 } Disse er ordnede baser for P 3 (R) K V,U = [[u ] V, [u 2 ] V, [u 3 ] V ]= idet u ==v u 2 =2x =2v 2 u 3 =4x 2 2= 2v +4v 3 Således er for alle p P 3 (R) Man beregner [p] V = K V,U [p] U, [p] U =(K V,U ) [p] V, 0 2 (K V,U ) = = Så, hvis p = a + bx + cx 2, så [p] V = og a b, fås c 0 2 [p] U = a a + 2 c b = 2 b 0 0 c 4 4 c p =(a + 2 c) +( 2 b) 2x +( 4 c) (4x2 2) 57