1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
|
|
- Laura Andresen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point, mens temaopgaverne giver 25 point. Der er det krav, at alle skal regne mindst en opgave (à 5 point) fra hvert af afsnittene 1 5, og mindst 1 temaopgave (à 25 point). Hver gruppe udarbejder i ugens løb en besvarelse dækkende 100 point. Besvarelsen sendes i en PDF-fil til vores hjælpelærer Hans på hanskk@math.aau.dk fredag den 14. oktober. Senere får alle gruppemedlemmer en kopi af besvarelsen med rettelser. 1 Vektorrum (1) Giv et argument for at C[z] er (organiseret som) et vektorrum over C, idet z C betegner en komplex variabel. Gælder det samme om R[z]? Hvad så med R[x], hvor x betegner en reel variabel? (2) Godtgør at F m [z] er et underrum af F[z]. (I det følgende underforstås, at variablen z F.) Angiv nulvektoren præcist (tænk på at det er en funktion). (3) Angiv F 0 [z], F 1 [z] og F 2 [z] med mængdesymboler, og bestem et frembringersæt for F m [z]. Begrund at F m [z] har endelig dimension. (4) Entydighedssætningen for polynomier: Hvis p, q F[z] er ens som funktioner F F, så har p, q de samme koefficienter. Bevis denne! (Vink: Brug et passende valgt entydighedsresultat fra lineær algebra.) (5) Den stærke Entydighedssætning for polynomier: Hvis p, q F[z] stemmer overens i en omegn af 0 i F, så har p, q de samme koefficienter. (Vink: Hvis du indsætter x = 0, så får du brug for et kontinuitetsargument! Det er nemmere at se på F (M, F) for en passende mængde M.) (6) Den hyperstærke Entydighedssætning for polynomier: Hvis p, q R m [x] opfylder p(0) = q(0) og p (k) (0) = q (k) (0) for k {1,..., m}, så har p, q de samme koefficienter. (7) ***Den ultrastærke Entydighedssætning for polynomier: Hvis p, q F[z] stemmer overens i m + 1 forskellige punkter z 0, z 1,..., z m i F, hvor m = max(deg p, deg q), så har p = q de samme koefficienter (og er derfor ens som funktioner F F). 1
2 I beviset får man nok brug for at vise at Vandermonde matricen V m+1 har determinant det(v m+1 ) 0, idet 1 z 0 z z0 m 1 z 1 z z m 1 V m+1 = (1.1) z m zm 2... zm m det(v m+1 ) = (z k z j ). (1.2) 0 j<k m (Kunne du overhovedet se andre strategier end at bruge lineær algebra!?) 2 Basis og dimension (1) Bevis at F[z] ikke har endelig dimension. (Vink: Indse at argumentet side 49 nederst i [LNS] ikke er fyldestgørende det skal kombineres med en entydighedssætning for polynomier.) (2) Godtgør at (1, z, z 2,..., z m ) er et lineært uafhængigt sæt i F[z] for hvert heltal m 0. Generaliser til at (1, z a, (z a) 2,..., (z a) m ) er lineært uafhængigt for et vilkåligt givet tal a F. Forklar også, hvorfor argumentet i Example i [LNS] er ufuldstændigt! (3) Bestem en basis for F m [z], og angiv dim(f m [z]) husk at give begrundelser! Har F[z] en basis? (4) Idet U = span(z, (z + 1) 2 ) i V = F 2 [z], angiv da et underrum W således at V = U W. (Vink: Gør som i beviset for Theorem ) (5) Suppler (z, (z + 1) 2 ) til en basis for C 3 [z]. (6) Er sættet (z 2 2, (z + 1) 2, (z + 2) 2, (z + 3) 2 ) lineært uafhængigt i C 2 [z]? Hvis ikke, så skal sættet udtyndes til en basis! (7) Bevis at (z m, (z + 1) m,..., (z + m) m ) er en basis for F m [z]. (Vink: Hvilken nødvendig betingelse for at være en basis er åbentlyst opfyldt for dette sæt?) 3 Lineære afbildninger (1) Efterprøv at differentiation D = d er en lineær afbildning F[z] F[z], dz dvs. at D er en endomorfi på F[z]. Vink: For F = C kan man opfatte D symbolsk, således at hvert led af formen az m blot erstattes med maz m 1 (uden at involvere differenskvotienter). 2
3 (2) Bestem null(d) som et underrum af F[z]. (Husk den ikke-trivielle del af argumentet!) (3) Undersøg om D er en endomorfi på F m [z]. Opskriv udsagnet i dimensionssætningen for D : F m [z] F m [z] og kommenter resultatet. (4) Verificer at T : F[z] F[z] givet ved T (p) = z 2 p(z) er injektiv (som hævdet i Example 6.2.7). Undersøg om T er surjektiv. (5) Find matricen M(D) mht. standardbasen (1, z,..., z m ) for F m [z]. Hvilken type matrix er dette? (6) Find matricen M(D) mht. basen (1, z i,..., (z i) m ) for C m [z]. Er der en modstrid med svaret i (5)? (7) Er vektorummene F m [z] og F k isomorfe for nogen værdier af m, k? Nedskriv i så fald en konkret isomorfi. 4 Egeninformation (1) Angiv en egenværdi for D, og bestem det tilhørende egenrum V λ. (Vink: Analyser egenværdiligningen for D.) Hvad er dim V λ? (2) Find samtlige egenværdier for D 2 og angiv de tilhørende egenrum. (Vink: Inddrag matrixmultiplikation.) (3) Undersøg om D har {p F[z] p(z) = az m, a F} som et invariant underrum. Har D overhovedet et invariant underrum? (4) Find TO invariante underrum U 1, U 2 for D 2, som begge har uendelig dimension uden at være F[z]. (5) Skriv udsagnene i Proposition ud i detaljer for D L(F m [z]) ifm. standardbasen sammenlign sandhedsværdierne! (6) Samme øvelse med Proposition Ortonormale baser og koordinatskifte (1) Vis i detaljer at p, q = 1 p(z) q(z) dz definerer et indre produkt på F[z] 0 (Example 9.1.5) skal du bruge entydighedssætningen for polynomier? (2) Udregn det indre produkt af p(z) = z + z 3 og q(z) = z 2. Find den inducerede norm af p(z) og af q(z). Check om Cauchy Schwarz s ulighed er korrekt i dette tilfælde. Undersøg også om trekantsuligheden gælder for p + q. 3
4 (3) Udfør Gram Schmidts ortonormalisering på (1, z, z 2 ) for at bestemme en ortonormal basis for F 2 [z]. Find koordinaterne i denne basis for p(z) = 7 + 9z. (4) Bestem ortogonal projektionen af z 3 på underrummet U = span(1, z, z 2 ). 4
5 6 Tema: Global approximation I R m [x] er der et indre produkt givet ved p, q = π p(x)q(x) dx. Det ses let at π også V = C([ π, π]) har integralet over [ π, π] som indre produkt man kan bruge uden bevis dels dette, dels at formel (9.6) i [LNS] for P U også gælder, selvom V ikke har endelig dimension (Mat6). (1) Udfør Gram-Schmidts procedure på vektorerne (1, x, x 2, x 3 ) for at finde en ortonormal basis (e 1, e 2, e 3, e 4 ) for R 3 [x] mht. dette indre produkt. (Knofedt!) Uden garanti: e 1 = 1 3 2π, e 2 = 2 π 3/2 x, e 3 = π 5/2 x π 1/2, e 4 = π 7/2 x π 3/2 x. (2) Bestem de indre produkter sin, x j for j {0, 1, 2, 3}. (3) *Find ortogonal projektionen af sin x på U = R 3 [x]. Uden garanti: P U sin = π2 x π2 x 3. 2π 4 2π 6 (4) Nedskriv det integral som minimeres af polynomiet P U sin (jvf. sætning i [LNS]). (5) Sammenlign resultatet med Taylor polynomiet af grad 3, dvs. x x 3 /6. For at få en ide om, hvorledes man (ingeniører) repræsenterer f.eks. sinus i en lommeregner, så kan man læse om ortogonal projektionen af sinus på span(1, x,..., x 5 ) i Example 6.58 (side ) i Linear algebra done right af Sheldon Axler: Der er nydelige figurer! (Jvf. semester introduktionen.) 5
6 7 Tema: Lagrange polynomier Et klassisk problem er følgende: Givet m + 1 punkter i xy-planen (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x m, y m ) med forskellige første koordinater, find da et polynomium P (x) af grad højst m, således at P s graf går gennem de m + 1 givne punkter. (7.1) Opgaven har en overraskende elegant og enkel løsning i den såkaldte Lagrange interpolation. Polynomiet P er nemlig entydigt bestemt ved formlen P (x) = y 0 l 0 (x) + y 1 l 1 (x) + + y m l m (x), hvorved x j -værdierne indgår i problemets såkaldte Lagrange polynomier, der med guddommelig inspiration kan nedskrives en gang for alle, l j (x) = x x 0 x j x 0... x x j 1 x j x j 1 x x j+1 x j x j+1... x x m x j x m = Dette vil vi nu regne efter ved at bruge lineær algebra! m k=0,k j x x k x j x k. (1) Forklar hvorfor l j (x) er et veldefineret polynomium af grad lig med m (kan nævneren blive nul?), og konkluder at l j R m [x]. Prøv så efter at l j (x) løser opgaven i det specialtilfælde, at y j = 1 mens alle andre y k = 0. I detaljer betyder dette at { 1 for j = k, l j (x k ) = δ j,k := 0 for j k. (2) Godtgør at P (x) rent faktisk er et polynomium i R m [x], hvis graf går gennem de givne m + 1 punkter. (3) Udled først at sættet (l 0, l 1,..., l m ) er lineært uafhængigt (brug (1)). Godtgør så teoretisk, at (l 0, l 1,..., l m ) også er et frembringersæt for R m [x]. (4) Og så konkret: Givet et polynomium Q(x) af grad m, hvilken linearkombination fremstiller så Q; hvordan skal koordinaterne nødvendigvis vælges? (Vink: Lav en analyse.) (5) Konkluder endelig, vha. (4), at hvis Q R m [x] er en løsning af problemet, så er Q(x) = P (x) for alle x R, dvs. Q P. Bemærk, at konklusionen i (5) faktisk beviser Den ultrastærke Entydighedssætning for polynomier! Moralen er, at vi undgik Vandermonde determinanten fordi vi med (l 0, l 1,..., l m ) havde valgt en snedig basis! 6
7 8 Tema: Stambrøker En velkendt teknik består i at omskrive en given brøk af polynomier P (z)/q(z) så den kommer på formen, hvor b m 0, P (z) Q(z) = a 0 + a 1 z + + a m 1 z m 1 = c c m. (8.1) b 0 + b 1 z + + b m z m z r 1 z r m Udtrykket til højre kaldes en fremstillning af P/Q ved stambrøker. Thi P/Q stammer fra brøkerne i den forstand, at P/Q kan gendannes ved at sætte disse brøker på fælles brøkstreg. Fremstillingen i (8.1) er eksempelvis nyttig, hvis man skal integrere funktionen P (x)/q(x). Desuden bruges den også som forberedelse til invers Laplacetransformering ved løsning af differentialligninger med begyndelsesbetingelser. Vi skal nu se at fremstillingen ved stambrøker i (8.1) altid eksisterer når det forudsættes at deg(p ) < m = deg(q). (8.2) (Dette er for simpelhedens skyld, da man for deg(p ) deg(q) kan reducere til ovenstående situation ved at foretage polynomiers division først.) Som et hjælpemiddel indføres polynomierne q j for j {1, 2,..., m}, q j (z) = m k=1,k j (z r k ). (8.3) Tallene r 1,..., r m bestemmes i praksis (nødvendigvis) som rødderne i nævneren, dvs. at Q(z) = b m (z r 1 )(z r 2 )... (z r m ). (1) Vis at fremstillingen i (8.1) kan opnås hvis og kun hvis c 1,..., c m C kan vælges sådan at P (z) = b m c 1 q 1 (z) + b m c 2 q 2 (z) + + b m c m q m (z). (2) Bevis at (q 1, q 2,..., q m ) er et frembringersæt for C m 1 [z] hvis og kun hvis rødderne r 1,..., r m er indbyrdes forskellige. Udled heraf, at når rødderne r 1,..., r m er indbyrdes forskellige, så har ligningen for P i (1) på grund af antagelsen (8.2) en (og kun en) løsning (c 1,..., c m ) C m. (3) Vis at når r 1,..., r m er indbyrdes forskellige, da er hvert c j givet ved ( lim (z r j ) P (z) ) = c j. (8.4) z r j Q(z) (4) Brug (8.4) til at bestemme stambrøkfremstillingen (8.1) for z+1 z 3 3z 2 +2z. (5) ***Vis at når Q(z) har de indbyrdes forskellige rødder t 1,..., t k af multipliciteter n 1 1,..., n k 1, hvor n 1 + n n k = m, det vil 7
8 sige at Q(x) = b m (x t 1 ) n 1... (x t k ) n k, så kan man opnå en stambrøksfremstilling af formen P (z) Q(z) = k j=1 ( cj,1 + c j,2 z t j (z t j ) + + c ) j,n j. (8.5) 2 (z t j ) n j Vink: Brug (z t j ) n j som fællesnævner i parentesen, og find dernæst fællesnævneren Q(x)/b m for alle leddene med j 1,..., k mens deres tællere indeholder hjælpepolynomierne q j,n (x) = Q(x)b 1 m (x t j hvor n {1, 2,..., n ) n j }. Udled så at P span{q j,n j = 1,..., k; n = 1,..., n j } når dette system er lineært uafhængigt, og påvis lineær uafhængighed ved at indsætte x = t 1 etc. i k nj j=1 n=1 α j,n q j,n (x) 0. (Når α 1,n1 = 0 kan ligningen divideres med x t 1 ; den nye ligning gælder også for x = t j pga. kontinuitet.) Vis også at der i dette tilfælde gælder at 1 lim z t j m! d m dz m ( (z t j ) n P (z) ) j Q(z) = c j,nj m. (8.6) (Dette kræver dog kompleks differentiation (Mat4), medmindre t j er reel.) Med venlig hilsen Jon Johnsen 8
1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs merePrøveeksamen A i Lineær Algebra
Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereSymmetriske matricer
Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereMATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDefinition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, Januar 2003
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereOpgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er 0.
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereOpgave 1 - løsning 1) De partielle afledede beregnes. Opgave 1 Betragt funktionen. x + y for x > 0, y > 0. f x = y 1 (x + y) 2.
Oversigt Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 8 januar, Kl 9- Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 9. august 017 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [SA] Sheldon Axler, Linear algebra done right, 3. udgave, Springer 015. [AJ] Matrix factorizations, af Arne Jensen, Aalborg
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1
LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [LNS]Linear algebra as an introduction to abstract mathematics, af I. Lankham, B. Nachtergaele og A. Schilling, Lecture notes for
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereUge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =
OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = 0 2 2 4 0 0. 2 0 a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mere