Projekt 8.10: Gitterformlen og Thomas Young

Transkript

1 Projekt 8.10: Gitterformlen og Thomas Young Indledning: Opdagelsen af lysets bølgenatur Lysets natur var længe omdiskuteret: Kunne det bedst forstås som partikler eller som bølger? I første omgang sejrede partikelmodellen, ikke mindst på grund af Newtons epokegørende værk om optik, der udkom i Det var simpelthen svært at pege på fænomener, der kun kunne forstås på baggrund af bølgemodellen. Men situationen ændrede sig med et slag i 1803, da Thomas Young den 24. november 1803 ved en epokegørende forelæsning i the Royal Society i London udfordrede partikelmodellen og ikke mindst de forsamlede fysikere i Newtons egen højborg: Mens jeg var i færd med at udføre nogle eksperimenter angående farvede rande omkring skygger, fandt jeg så simple og overbevisende beviser for interferensen mellem to lysstråler, som jeg allerede havde bestræbt mig på at dokumentere, at jeg finder det korrekt at fremlægge en kort udredning af disse kendsgerninger, som forekommer mig i den grad overbevisende. Den påstand, som jeg har til hensigt at fremlægge, går ganske enkelt ud på, at de farvede rande skyldes interferensen af to lysstråler; og jeg tror det vil være svært at komme uden om selv for de mest forudindtagne, at denne påstand bevises af det eksperiment, som jeg nu vil fortælle om, og som kan gentages med største lethed, når som helst solen skinner, og uden brug af andet udstyr, end noget alle har for hånden. Eksperiment 1: Jeg frembragte et lille hul i lågen til et vindue, og dækkede den med et stykke tykt papir, hvor jeg havde stukket et fint hul med en nål. For bedre at kunne observere det ønskede anbragte jeg et lille spejl uden for vinduet på en sådan måde, at solens lys blev kastet næsten vandret ind mod den modsatte væg, og således at den kegleformede stråle af lys passerede hen over et bord, hvorpå der stod forskellige små kort af stift papir. Jeg flyttede et sådan kort, med en tykkelse på omkring en tredvtedel af en tomme, ind i solstrålen, og betragtede skyggen, enten på væggen eller på andre kort, der blev anbragt i forskellige afstande. Ud over de farvede rande på hver side af skyggen, blev skyggen selv opdelt i tilsvarende parallelle striber, af mindre udstrækning og i forskelligt antal, afhængigt af i hvilken afstand skyggen blev frembragt, men den midterste del af skyggen var altid hvid. Det er disse striber, der er den samlede virkning af lysstrålerne, der passerer på hver sin side af kortet og derefter afbøjes ind i skyggen. Typisk interferensmønster svarende til det, der blev frembragt af Young, øverst frembragt af monokromatisk (grønt) lys, nederst frembragt af hvidt lys (Kilde: Du kan finde tilsvarende simple interferenseksperimenter på YouTube, fx her. 1

2 Laserudgave af Youngs eksperiment, hvor laserstrålen spillets i to stråler af et tyndt kort. (Kilde: Rekonstruktion af Youngs forsøg. Spejlet er dog her placeret inde i rummet! (Kilde: a) Hvis du har mulighed for det, så prøv at genskabe Youngs eksperiment med brug af en laser, der skinner gennem et tyndt hul, og hvor laserstrålen splittes i to stråler af et spillekort. I givet fald skal du finde kortets tykkelse, afstanden fra kortet til skærmen og afstanden mellem de lyse striber på skærmen. Det vil give dig mulighed for at finde bølgelængden af laserlyset. Young selv diskuterede senere i detalje en variant af sit berømte eksperiment, hvor han erstattede spillekortet med en skærm med to tætsiddende huller eller tætsiddende spalter. Det er denne variant, der gik over i historien som dobbeltspalteeksperimentet. Young byggede da sin diskussion på den følgende berømte figur: 2

3 (Kilde: Robert P. Crease: The prism and the pendulum) Her står A og B for de to huller/spalter, idet lyset kommer ind fra venstre og passerer igennem de to huller. Derefter opfanges det på skærmen til højre, hvor der frembringes mørke pletter/striber i punkterne C, D, E og F. Young selv beskriver eksperimentet således: Lad os antage at lys af en hvilken som helst farve består af bølgebevægelser med en given bølgelængde eller en given frekvens; det følger da, at disse bølgebevægelser må være underkastet de samme lovmæssigheder som dem, vi allerede har undersøgt i forbindelse med vandbølger eller lydbølger. Der har vi set, at to ensartede bølgebevægelser i vand, der udspringer fra nærtliggende centre, vil udslukke hinanden i særlige punkter, mens de i andre punkter vil fordoble deres virkning. Tilsvarende har vi forklaret stødtonerne fra to lydbølger på samme måde. Vi ønsker nu at anvende de samme principper på den skiftevise forening og udslukning af farvet lys. For at virkningen af de to lysstråler kan kombineres på denne måde, må de have den samme oprindelse, og de må ankomme til det samme punkt fra forskellige, men nærtliggende retninger. De to lysstråler kan frembringes ved afbøjning, spejling, brydning eller ved en kombination af disse metoder. Men det simpleste tilfælde synes at indtræffe hvis en stråle af homogent lys rammer en skærm med to nærtliggende huller eller spalter, og derefter fortsætter i alle retninger bag åbningerne. I dette tilfælde vil man, hvis de to stråler fanges på en skærm se at lyset opdeles i mørke og lyse striber som er næsten lige store; Disse striber bliver bredere og bredere jo længere væk skærmen placeres fra åbningerne, således at de alle afstande dannes i stort set de samme retninger set fra åbningerne; tilsvarende bliver striberne også bredere og bredere i samme forhold, som åbningerne rykkes mod hinanden. Midt mellem de to stråler er der altid lys, og de lyse striber på hver side ligge altid sådan at lyset fra den ene af åbningerne må have tilbagelagt en større afstand end lyset fra den anden åbning, således at forskellen i de til tilbagelægte strækninger svarer til størrelsen af én, to, tre eller flere bølger, mens de mellemliggende mørke striber dannes, hvor forskellen svarer til halvdelen af størrelsen af en enkelt bølge, eller til størrelsen af halvanden bølge, eller til størrelsen af to og en halv bølge eller mere. b) Prøv nu gerne i samarbejde med fysik at gennemgå Youngs tekst i detaljer, og forklar med dine egne ord, hvordan Young argumenterer for fremkomsten af lyse og mørke striber bag en dobbeltspalte. Du skal da inddrage begreberne konstruktiv og destruktiv interferens, der netop stammer fra Young. Men kunne tro, at Young med sit overbevisende eksperiment og sin stærke forklaringsmodel ville vinde samtiden over på sin side: Herefter måtte bølgemodellen tages alvorligt og partikelmodellen udskiftes med bølgemodellen. Men sådan kom det ikke til at gå: Young blev hånet af sin samtid, både offentligt og akademisk! Her er fx et eksempel på den svidende kritik, han pådrog sig i Edinburgh Review (1803), et nyt populært litterært tidsskrift: 3

4 Skal vi til at vænne os til at videnskabens verden som Newton engang kastede sit strålede lys over, nu skal til at være lige så omskiftelig som modens verden, der styres af et nik fra en tåbelig kvinde eller en forkælet døgenigt? Har Royal Society degraderet dets publikationer til bulletiner for nye og moderigtige teorier henvendt til damerne i The Royal Society? Hvilken skændsel! Lad blot professoren fortsætte med at underholde sit publikum med en endeløs vifte af sådanne harmløse bagateller, men i videnskabens navn,læad dem ikke finde vej ind i det ærefulde kammer der rummer værkerne af Newton og Boyle og Cavendish og Maskelyne. I det følgende vil vi prøve at genskabe Youngs figur i et dynamisk geometriprogram og derigennem udlede gitterformlen. Opvarmning: Hyperblen som et geometrisk sted Det er centralt for den følgende diskussion, at vi er fortrolige med de vigtigste egenskaber ved en hyperbel. En hyperbel kan defineres som en kurve frembragt ud fra to brændpunkter F 1 og F 2 på en sådan måde, at forskellen mellem afstandene til de to brændpunkter er konstant. Forskellen mellem de to brændpunktsafstande kaldes også for hyperblens storakse, og den skrives traditionelt som 2a, hvor a er den halve storakse: P F 1 P - F 2 P = 2a F 1 T 1 C T 2 F 2 2a Hyperbelpunkterne på storaksen kaldes hyperblens toppunkter T 1 og T 2. Storaksen 2a er netop afstanden mellem toppunkterne. Midtpunktet C mellem brændpunkterne kaldes hyperblens centrum. c) Du skal nu selv konstruere en hyperbel i dit dynamiske geometriprogram. Begynd med at afsætte de to brændpunkter F 1 og F 2 forbundet med et linjestykke, og konstruer deres midtpunkt C. Afsæt derefter 4

5 symmetrisk omkring centrum C de to toppunkter T 1 og T 2 på en sådan måde, at du kan trække i for eksempel T1 og derved regulere storaksen i forhold til afstanden mellem brændpunkterne. d) For at konstruere hyperblen skal vi nu have konstrueret to variable cirkler med centrum i brændpunkterne på en sådan måde, at deres radier netop adskiller sig fra hinanden med storaksen 2a. Disse to cirkler vil nemlig da skære hinanden i hyperblens punkter. Det kan gøres på mange måder, men fx kan du afsætte en halvlinje ud fra T 1 gennem T 2. På denne halvlinje afsættes et frit punkt A. Afstanden fra A til det første toppunkt T 1 er da radius i den store cirkel, ligesom afstanden fra A til det andet toppunkt T 2 er radius i den lille cirkel. Konstruer nu de to cirkler og deres skæringspunkter P og Q. Træk i det frie punkt A og kontroller, at punkterne P og Q ser ud til at bevæge sig på hyperblen. Konstruer derefter hyperblen som det geometriske sted for punkterne P og Q som funktion af det frie punkt A. Når du har gjort det, lader du de to cirkler skifte centre, så hvis den store radius i første omgang havde centrum i F 1, skal den i anden omgang have centrum i F 2. På denne måde får du begge grene af hyperblen med. Bemærkning: Hvis dit dynamiske geometriprogram tillader konstruktionen af hyperblen direkte ud fra de to brændpunkter, kan du selvfølgelig også vælge at forenkle denne del ved at bruge det indbyggede hyperbelværktøj. I det følgende får vi brug for hyperblens asymptoter, der spiller en afgørende rolle for Youngs geometriske model for dobbeltspalteeksperimentet. 2b F 1 T 1 C T 2 F 2 2a e) Opret de vinkelrette i hyperblens toppunkter T 1 og T 2, og konstruer cirklen med centrum i C, som går gennem de to brændpunkter F 1 og F 2. Denne cirkel skærer de vinkelrette i de fire hjørner for det karakteristiske omskrevne rektangel knyttet til hyperblen: Den ene side i rektanglet er netop storaksen for hyperblen, den anden side er lilleaksen for hyperblen (som dog godt kan være længere end storaksen). Og nok så vigtigt: Diagonalerne i dette rektangel kan forlænges. Forlængelsen udgør da netop hyperblens asymptoter. Gennemfør konstruktionen, og forklar med dine egne ord, hvilken rolle asymptoterne spiller for hyperblen. Mest for A-niveauet. For nærmere at forstå asymptotens rolle kan man supplere med den følgende konstruktion: 5

6 R 1 2b G 2 R 2 F 1 T 1 C T 2 F 2 2a G 1 S1 S 2 f) Konstruer de vinkelrette projektioner G 1 og G 2 af brændpunkterne F 1 og F 2 på en diagonal/asymptote. Hvor stor er afstanden mellem G 1 og G 2? Kan du argumentere for dette? Vink: Se på trekanten CF 2 R 2. Hvilken type trekant er der tale om? g) Anbring nu et punkt Q langt ude på asymptoten. Hvad gælder der så om afstanden QF 1 sammenlignet med afstanden QG 1? Og hvad gælder der tilsvarende om afstanden QF 2 sammenlignet med afstanden QG 2? Gør nu med dine egne ord rede for, hvorfor asymptotepunktet Q med god tilnærmelse må ligge på hyperblen. Teori I: Den geometriske model for dobbeltspalteeksperimentet. Youngs egen tegning af interferens mellem to lysstråler, der kommer fra to nærtliggende spalter i toppen af billedet, og det stribemønstre, der fremkommer på en skærm i bunden af billedet. (Kilde: Robert P. Crease: The prism and the pendulum) Vi er nu klar til at prøve at forstå Youngs dobbeltspalteeksperiment. For at kunne sammenholde med det foregående vil vi vende figuren, så lysstrålen kommer ind nedefra, passerer gennem de to huller A og B og opfanges på skærmen foroven: 6

7 P A M B h) Gå ind i dit dynamiske geometriprogram og opret et vandret linjestykke AB, fx med længden 8 cm, forneden på skærmen, svarende til de to huller lyset kommer gennem. Du kan evt. lade afstanden AB være en variabel, du kan ændre senere. Konstruer også midtpunktet M og stråleretningen som en halvlinje, der udgår fra midtpunktet M, og som står vinkelret på linjestykket AB. På denne halvlinje afsættes nu et frit punkt P, som skal drive hele konstruktionen. I fx afstanden 16 cm fra M afsættes en linje vinkelret på halvlinjen, der skal repræsentere skærmen, som lyset opfanges på. Som før kan du evt. lade afstanden til skærmen være en variabel, du kan ændre på senere. i) I det næste trin skal vi konstruere cirklerne fra figuren. De repræsenterer bølgetoppene i de ringformede bølger, der udgår fra åbningerne A og B. Vi skal derfor have valgt en bølgelængde, som fx kan være 1 cm. Igen kan du evt. lade den være en variabel, du kan ændre på senere. Den første bølge, vi sender af sted, har radius MP. Du skal derfor måle afstanden MP. Dernæst kan du fx udregne MP, MP 2, MP 3, osv., indtil du har nok ringformede bølger, til du kan se interferensmønstret tydeligt. Konstruer herefter cirklerne med centrum i åbningerne A og B og radierne MP, MP, MP 2 osv. Det kan variere lidt fra program til program, præcis hvordan man konstruerer cirkler med en given radius. Træk i det drivende punkt P, så du kan se cirklerne bevæge sig. j) Konstruer skæringspunkterne mellem frontbølgen (med radius MP) og de øvrige ringformede bølger. Disse skæringspunkter repræsenterer pletter af lys, idet de er opstået ved interferens mellem to bølgetoppe, såkaldt konstruktiv interferens. Ved at spore disse skæringspunkter kan du derfor se de baner, som lyspletterne følger, efter de har forladt åbningerne. Men endnu bedre kan du også konstruere de 7

8 kurver, som lyspletterne følger, som de geometriske steder for skæringspunkterne som funktion af det drivende punkt P. Så fjern sporene, og opret de kurver, som skæringspunkterne frembringer. Du kan evt. også animere punktet P og se hele konstruktionen som en tegnefilm. Den viser da det samme billede som en film af vandbølger, der interferer. Se fx Youtubevideoen: k) Kan du se, hvilke slags kurver skæringspunkterne følger? Kan du forklare med egne ord hvorfor? Hvor mange kurver frembringes? Hvordan hænger dette antal sammen med gitterkonstanten d, dvs. afstanden mellem de to åbninger AB og så bølgelængden? l) Kan du se, hvilke punkter kurverne udspringer fra på linjestykket AB. Faktisk er det meget nemt at konstruere disse udgangspunkter! Opret en kopi af din konstruktion for Youngs dobbelt-spalteeksperiment, og konstruer udgangspunkterne for kurverne. Konstruer også asymptoterne hørende til kurverne. Teori II: Sinus kommer på banen Når vi er kommet så langt, kan vi endelig udlede gitterformlen for lysets afbøjning i en dobbeltspalte eller lige så godt et gitter. Udgangspunktet er linjestykket AB med de to åbninger A og B, lyset passerer igennem, og startpunkterne for de forskellige kurver, som lyspletterne følger på deres vej væk fra åbningerne. Afstanden mellem åbningerne kaldes gitterkonstanten d. A M n d B m) Gør rede for, at afstanden mellem to kurver af samme orden n netop er n. Vinklen mellem den indfaldende stråle (svarende til indfaldsloddet) og den brudte stråle (asymptoten) kaldes. Gør nu rede for opbygningen af den ovenstående figur, og bestem herudfra et udtryk for sinus til afbøjningsvinklen, dvs. sin( ). 8

9 Empiri: Data for diffraktionseksperimenter udført af Newton og Young Måske har du selv nogle data, du kan anvende gitterformlen på. Ellers er her nogle data fra et forsøg, Young udførte i 1802, hvor lysstrålen splittes af et hår. Alle afstande er i tommer! Jeg frembragte derfor et rektangulært hul i et kort og bøjede enderne, så det kunne understøtte et hår, der var fæstnet, så det var parallelt med siderne i hullet; ved at anbringe øjet tæt på hullet synes håret at flyde ud til en overfalde, hvis bredde blev fastlagt af afstanden til håret og størrelsen af hullet uafhængigt af pupillens øjeblikkelige størrelse. Da håret kom så tæt på retningen for randen af et lys at det afbøjede lys var rigeligt til at frembringe en synlig effekt, begyndte striberne at dukke op; og det var ret nemt at anslå forholdet mellem deres bredde og den tilsyneladende bredde af håret, der strakte sig tværs over billedet. Jeg fandt da at seks af de lyseste røde striber udfyldte hele billedfladen og at de lå stort set med samme indbyrdes afstand. Bredden af åbningen var 66/1000, og afstanden fra håret var 8/10 af en tomme; diameteren af håret var 1/600. Altså afveg den første røde stribe 11/1000 i en afstand af 8/10; og eftersom 1/600 (11/1000)/(8/10) = 11/480000, fås 1/43636 for forskellen i vejlængderne for det røde lys, hvor det var mest intenst. n) Frembring en skitse af forsøgsopstillingen. I stedet for en dobbeltspalte passerer lyset på begge sider af et hår, hvorefter de to stråler på hver sin side af håret interfererer og rammer øjet lige bag ved åbningen i kortet. Vi ønsker at finde forskellen i vejlængde mellem de to lysstråler, når de frembringer den første røde stribe. Det kan gøres ved hjælp af gitterformlen eller ved passende omhyggelige anvendelser af Pythagoras sætning. Bestem herved bølgelængden for rødt lys i nanometer. 9