Geometri med Geometer II

Transkript

1 hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne fandt i ud af nogle geometriske sammenhænge, f.eks. at midtnormalerne i en trekant skærer hinanden i samme punkt. I dette forløb il i gå mere i dybden med de geometriske sætninger. ette betyder at sætningerne skal beises. Nogle af beiserne il ære her i teksten, mens resten oerlades til læseren. Geometri med Geometer II afsluttes med afleering af en rapport med de manglende beiser og enkelte andre opgaer. Opgaerne finder I underejs som Rapportopgae 1, 2, 3, Midtnormaler efinition 1. Ved midtnormalen for et linjestykke forstås den linje der står inkelret på linjestykket i dets midtpunkt. Sætning 1. Midtnormalen for består lige præcis af de punkter der har samme afstand til og. eis 1) Lad P ære et tilfældigt punkt på midtnormalen for, så er M=M. e to retinklede trekanter MP og MP har dermed lige lange kateter, idet PM er fælles for trekanterne. Trekanterne er dermed helt ens (også kaldet kongruente) og så er P=P. P 2) His P er et punkt med samme afstand til og tegnes forbindelseslinjen mellem P og s midtpunkt M. ered fremkommer to trekanter PM og PM med paris lige lange sider. e er derfor kongruente, og det medfører at inklerne er paris ens. erfor er MP= MP=90 og så ligger P på midtnormalen for M Sætning 2. Midtnormalerne i en trekant går gennem samme punkt O, som er centrum for trekantens omskrene cirkel. eis På figuren er tegnet to midtnormaler. e har skæringspunktet O. 1) a O ligger på midtnormalen for ligger O lige langt fra og. 2) a O ligger på midtnormalen for ligger O lige langt fra og. f 1) og 2) følger at O også ligger lige langt fra og, men så ligger O på midtnormalen for. ermed er O skæringspunktet for de 3 midtnormaler. t O er centrum for den omskrene cirkel er nu klart, idet O ligger lige lang fra alle tre hjørner i trekanten O

2 Højder efinition 2. Ved en højde i en trekant forstås en linje, der går gennem en inkelspids og står inkelret på den modstående side. Sætning 3. Højderne i en trekant går gennem samme punkt. Rapportopgae 1. eis sætning 3. (Hint: Tegn linjer gennem trekantens hjørner parallelle med de modstående sider) Rapportopgaerne skal indeholde en god tegning, som er konstrueret med Geometer eller med passer og lineal. esuden skal der ære en klar argumentation. Vinkelhaleringslinjer efinition 3. Ved inkelhaleringslinjen for en inkel forstås den linje der deler inklen i to lige store inkler. Sætning 4. Vinkelhaleringslinjen for en inkel består præcis af de punkter, der har samme afstand til inklens ben. eis Lad P ære et tilfældigt punkt på inkelhaleringslinjen for. e to trekanter P og P har dermed de samme inkler og en fælles side, nemlig P. ermed er de ens (kongruente) og så er P=P. På lignende måde kan man ise, at his P har samme afstand til inklens ben, så ligger P på inkelhaleringslinjen. Sætning 5. Vinkelhaleringslinjerne i en trekant går gennem samme punkt O, som er centrum for trekantens indskrene cirkel. P Rapportopgae 2. eis sætning 5. Sætning 6. Vinkelhaleringslinjen i en trekant deler den modstående side i samme forhold som de sider der danner inklen, d..s. P = P Rapportopgae 3. eis sætning 6. (Hint: tegn en linje gennem parallel med ) P 1

3 Medianer efinition 4. n median er en linje i en trekant, der forbinder et hjørne med midtpunktet af den modstående side. Sætning 7. Medianerne i en trekant går gennem samme punkt M. Punktet M deler her af medianerne i forholdet 1:2. Rapportopgae 4. eis sætning 7. Hints: 1) eis at en linje der forbinder to sidemidtpunkter i en trekant er parallel med og halt så lang som den tredje side. (Linjen kaldes en midtpunktstransersal) 2) Tegn medianerne og og beis at M og M er ensinklede og benyt dette til at finde forholdet mellem M og M og mellem M og M. M ulerlinjen Sætning 8. I en trekant ligger højdernes skæringspunkt H, medianernes skæringspunkt M og midtnormalernes skæringspunkt på en ret linje. enne kaldes ulerlinjen. Rapportopgae 5 eis sætning 8. Hints: 1. Vis at H er ensinklet med QOR 2. Udnyt at QR er midtpunktstransersal i H 2 til at ise at = = OQ QR 1 3. Forbind nu punkterne O og H og kald skæringspunktet mellem OH og Q for M. 4. Vis at HM er ensinklet med QOM og brug dette til at ise at 2 H HM M = = = 1 OQ MO MQ 5. Hermed er ist at M deler medianen Q i forholdet 2:1 og dermed er M medianernes H M Q O R 2

4 skæringspunkt. ermed er sætningen beist. Vinkler ed cirkler efinition 5. n periferiinkel er en inkel der har toppunkt på en cirkelperiferi. Sætning 9. n periferiinkel der spænder oer diameteren i en cirkel er 90 Rapportopgae 6. eis sætning 9 (Hint: Tegn linjen og brug at der er nogle ligebenede trekanter) Sætning 9 kan generaliseres til Sætning 10. n periferiinkel er det hale af den bue, den spænder oer Rapportopgae 7. eis sætning 10, (Hint: Tegn H) G H 2 efinition 6. n korde er et linjestykke der forbinder to punkter på en cirkel. F efinition 7. n tangent til en cirkel er en linje gennem et punkt på cirklen inkelret på radius. efinition 8. n korde-tangentinkel er en inkel hor det ene ben er korde i en cirkel og det andet er tangent i et af kordens yderpunkter. (se figur) Sætning 11. n korde-tangentinkel er det hale af den bue, den spænder oer. Rapportopgae 8. eis sætning

5 Kadrering af geometriske figurer. en opgae, at konstruere et kadrat med samme areal som en gien figur, kaldes at kadrere figuren, og en samlet betegnelse for disciplinen er kadratur. Rapportopgae 9: lle opgaer og konstruktioner i det følgende skal indgå i rapporten. Første opgae er at konstruere et kadrat med samme areal som et giet rektangel, altså at kadrere rektanglet. Vi går ud fra, at rektanglet er giet med sidelængderne x og y. Udfør følgende konstruktion. Husk at gie en omhyggelig beskrielse af konstruktionerne. fsæt stykkerne H=x og H=y i forlængelse af hinanden, så de danner et liniestykke. Tegn en cirkel med som diameter. Tegn normalen til i punktet H. Skæringspunktet mellem normalen og cirkelbuen kaldes. Gør rede for, at trekant er retinklet. Højden fra kaldes h. 2 Vis at h = x y Gør rede for, at opgaen nu er løst! Tegn kadratet, og kontroller med Geometer, at de to arealer en ens. y h x H Hordan kan man kadrere en gien trekant? His man il kadrere en polygon, kan man dele polygonen op i trekanter og kadrere her af trekanterne. Problemet blier så at få lagt de forskellige kadrater sammen til et kadrat. His man kan lægge to kadrater sammen, kan man også lægge flere sammen, horfor? Opgaen at lægge to kadrater sammen kan løses ed hjælp af Pythagoras sætning. His i il addere et kadrat med siden a og et kadrat med siden b, skal i altså bestemme et kadrat med siden c, så c = a + b. ltså kan opgaen løses ed at tegne en retinklet trekant med kateder a og b, hypotenusen er så siden i det ønskede kadrat. 4

6 irklens kadratur. real F = 19,79 cm 2 real = 19,76 cm 2 F Opgaen at konstruere et kadrat med samme areal som en gien cirkel hører til blandt de mere kendte opgaer i den græske geometri, og opgaen er nærmest bleet synonym med en meget anskelig opgae. et ar en opgae som mange prøede kræfter med, men ingen nok så god matematiker kunne løse opgaen. fterhånden fik man sikkert på fornemmelsen, at opgaen ar umulig at løse med de enkle redskaber, som ar tilladte i klassisk geometri; men først omkring 1880, altså mere end 2000 år efter at opgaen oprindeligt ble formuleret, beiste den tyske matematiker Ferdinand on Lindemann at opgaen ikke kan løses. His man tillader andre redskaber end passer og lineal kan opgaen godt løses, men det falder uden for dette projekt. 5