OM KAPITLET I dette kapitel om matematiske undersøgelser skal eleverne løse og undersøge problemer ved hjælp af matematik. Eleverne skal både undersøge rene matematiske problemer og hverdagsrelaterede problemstillinger. Undersøgelserne kan også anvendes som mundtlige prøveoplæg til fx terminsprøve i mundtlig matematik, så eleverne får indsigt i, hvordan den mundtlige gruppeprøve foregår. Kapitlet har en lidt anden opbygning end de øvrige i bogen. Det vil sige, at kapitlet ikke inde holder følgende: temaer, evaluering samt træn 1 og 2 i færdigheder og problemløsning. Eleverne bliver indledningsvis præsenteret for en række forskellige forslag og strategier til, hvordan de kan arbejde med en matematisk undersøgelse og problemstilling. Efterfølgende arbejder eleverne med otte forskellige matematiske undersøgelser: Figurfølger Tennisbolde Lykketerninger Konstruer trekanter Sprogrejse Kondition og kondital Fraktaler Vinderstrategier De otte undersøgelser har fokus på forskellige fagområder, og til hver undersøgelse er det her i lærervejledningen beskrevet hvilket eller hvilke fagområder, der er fokus på. Eleverne enten kan eller skal i arbejdet med undersøgelserne anvende et digitalt værktøj og/eller div. konkrete materialer, fx karton, centicubes, tændstikker m.m. Man kan organisere arbejdet med undersøgelserne på forskelligvis. Der skal dog gøres opmærksom på, at der i undersøgelsen `Kondition og kondital skal indsamles data fra alle elever i klassen, hvorfor det kan være hensigtsmæssigt, at hele klassen arbejder med denne undersøgelse på samme tid. I de øvrige syv undersøgelser er det mest hensigtsmæssigt, at der er 2-3 elever i hver gruppe. Det kan fx være, at alle elever skal arbejde med alle undersøgelser. På den måde får de prøvet mange forskellige typer undersøgelser og forskellige faglige områder. Undersøgelserne kan også anvendes som en løbende træning, hvor de enkelte kapitler i bogen fx afrundes med en matematisk undersøgelse.
ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan planlægge og gennemføre undersøgelser, som sætter dem i stand til at kunne løse matematiske problemer og problemer relateret til hverdagen kan afgrænse, forstå og fortolke problemstillinger fra hverdagen ved hjælp af matematik kan anvende matematiske ord og begreber til at forklare, hvordan de har tænkt i de matematiske processer kan argumentere for deres valg af matematiske hypoteser, argumenter og løsninger både skriftligt og mundtligt kan arbejde sammen med andre om at løse matematiske problemer kan vælge og anvende relevante hjælpemidler, herunder digitale værktøjer, i arbejdet med de matematiske undersøgelser. PRINTARK U8 Sprogrejse U9 Bip-test U10 Tegn fraktaler U11 Spilleplader MATERIALER Centicubes Evt. tennisbolde Karton Tape Saks Firesidede- og ottesidede terninger Mobiltelefoner Stopure Kegler, ærteposer eller lign. til markering af løbebane Idrætstøj DIGITALE VÆRKTØJER Geometriprogram Regneark Bip-test-app, der er tilsluttet højttaler FAGLIGE BEGREBER FÆLLES MÅL I kapitlet arbejdes med følgende centrale fagord og begreber: På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er udgangspunkt for arbejdet med kapitlet. Undersøgelse Argumentation Hypotese Konklusion Påstand Matematisk definition Matematisk model Matematiske hjælpemidler Matematisk sætning.
FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING OPGAVE 1 A V = 0,5 2 2 = 1,57 m 3. B Vi søger 3 cylindere med rumfanget 1 m 3. Cylinderens højde h og grundfladeradius r skal opfylde: 1. r 2 h = 1 2. r h 3 Af ligning 1 kan h isoleres: h = 1 πr 2 Nu kan r vælges frit, og den tilhørende værdi af h kan beregnes. Derefter kan det efterprøves, om r h 3. For eksempel: r = 1 h = 1 0,1592; π r h 0,8404 r = 2 h = 1 0,0796; 4π r h 1,9204 r = 3 h = 1 0,0354; 9π r h 2,9646 Eleverne vil næppe vælge denne fremgangsmåde, men kan bruge trial and error -metoder. C Elevforklaring. OPGAVE 2 A-B Ingen faste facits. OPGAVE 3 A Sammenligninger med begrundelser. Der kræves brug af deskriptorer med forklaringer. B Elevvalgte diagrammer. Til hjælp ved bedømmelsen vises her boksplot for de to klasser (8. A øverst). Middelværdien for de to observationssæt er: 8. A: 128,28 sek. 8. B: 125,26 sek. C Eleverne begrunder valget af den hurtigste klasse.
FIGURFØLGER FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Antal frie vandrette flader. Isometriske tegninger: Figuren på trin 4 i figurfølge 1 Figuren på trin 4 i figurfølge 2 Tabel: Trin nr. 1 2 3 4 5 6 7 Antal frie vandrette flader i figurfølge 1 1 3 5 7 9 11 13 Antal frie vandrette flader i figurfølge 2 1 5 9 13 17 21 25 Grafer: Der tale om grafer for funktionerne: Figurfølge 1: y = 2x 1 Figurfølge 2: y = 4x 3 Definitionsmængden er i begge tilfælde de naturlige tal N, så i princippet er der tale om punktgrafer. Graferne tegnes ikke her. På trin 10 er der: I figurfølge 1: 19 frie vandrette flader I figurfølge 2: 37 frie vandrette flader I figurfølge 1 er der i figur nr. n i alt 2n 1 frie vandrette flader. I figurfølge 2 er der i figur nr. n i alt 2(2n 1) 1 = 4n 3 frie vandrette flader.
Antal centicubes. Trin nr. 1 2 3 4 5 6 7 Antal centicubes i figurfølge 1 1 4 9 16 25 36 49 Antal centicubes i figurfølge 2 1 6 15 28 45 66 91 Det generelle svar er: Trin nr. Antal centicubes i figurfølge 1 Antal centicubes i figurfølge 2 n n 2 2n 2 n
TENNISBOLDE FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Der er uendeligt mange muligheder for forskellige emballager, som kan indeholde 4 tennisbolde. Her vises nogle få af dem med angivelse af rumfang V og overflade O. Rumfang og overflade udtrykkes som funktioner af boldenes radius r. Tallene i parentes bagefter er funktionernes værdi for r = 3,35 cm (diameter 6,7 cm). Kasse 1. Isometrisk tegning. V = 32r 3 (1203,05 cm 3 ) O = 72r 2 (808,02 cm 2 ) Kasse 2. Isometrisk tegning. V = 32r 3 (1203,05 cm 3 ) O = 64r 2 (718,24 cm 2 ) T-formet kasse. Isometrisk tegning. V = 32r 3 (1203,05 cm 3 ) O = 72r 2 (808,02 cm 2 ) Den enlige bold er her anbragt i midten, men kan anbringes hvor som helst på den lange side. Det giver uendeligt mange forskellige kasser dog alle med samme rumfang og overflade som denne.
Kasse 1 med halvcirkelformede ender. Isometrisk tegning. V = (2 + 24)r 3 (1138,51 cm 3 ) O = (6 + 48)r 2 (750,22 cm 2 ) Man kunne tilsvarende erstatte de tre ender i den T-formede kasse med kvartcirkler. Kasse 2 med kvartcirkelformede hjørner. Isometrisk tegning. V = (24 + 2 )r 3 (1138,51 cm 3 ) O = (40 + 6 )r 2 (660,44 cm 2 ) Cylinder. Set fra siden. V = 8 r 3 (944,87 cm 3 ) O = 18 r 2 (634,62 cm 2 ) Cylinder med halvkugler i enderne. Set fra siden. V = 7 1 3 r3 (866,14 cm 3 ) O = 16 r 2 (564,10 cm 2 ) Hvis man kun anbringer en halvkugle i den ene ende (så beholderen kan stå oprejst) får man V = 7 2 3 r3 (905,51 cm 3 ) O = 17 r 2 (599,36 cm 2 ) Og der er uendeligt mange andre muligheder!
LYKKETERNINGER FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Den firesidede terning: Udfald u 1 2 3 4 1 1 1 1 Sandsynlighed P(u) 4 4 4 4 Den ottesidede terning: Udfald u 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 Sandsynlighed P(u) 8 8 8 8 8 8 8 8 Sum af øjentallene ved kast med de to terninger: Udfald s 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 4 4 4 4 3 2 1 Sandsynlighed P(s) 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 Begrundet elevvurdering af de tre påstande. Simulering med regneark. På hjemmesiden ligger tre regneark: Simulering100, Simulering500 og Simulering1000. De simulerer hhv. 100, 500 og 1000 kast med Mikkels lykketerning. De kan bruges til at afprøve Storms teori om, at de er nødt til at kaste lykketerningen mindst 300 gange, før de kan sige noget om, hvorvidt der er snydt med den eller ej. Lad eleverne afprøve Simulering100 én gang, Simulering500 én gang og Simulering1000 én gang. Hvad er deres konklusion? Mikkels terning er en snydeterning. Sandsynlighedsfordelingen for de fire sider af Mikkels terning er denne: Udfald 1 2 3 4 Sandsynlighed 0,2 0,2 0,4 0,2 Det er tvivlsomt, om det er muligt for eleverne at fastlægge præcist disse sandsynligheder, men de vil formentlig være i stand til at fastslå, at sandsynligheden for at slå en 3 er er større end sandsynligheden for at slå 1, 2 og 4.
KONSTRUER TREKANTER FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING A Trekant ABC Skitse med mål. Konstruktion (figurerne i denne opgave er ligedannede med de rigtige, men ikke nødvendigvis målfaste): Med passer og lineal. Med et geometriprogram (her GeoGebra). Der er kun én løsning. Det giver anledning til en kongruenssætning: To trekanter, der har de tre sider parvis lige store, er kongruente. Trekant CDE Trekanten kan ikke konstrueres. De to sider d (5) og f (2) kan ikke nå sammen, når de afsættes fra endepunkterne af siden e (e = 8. 5 + 2 = 7 < 8). Tre tal kan kun være sidelængder i en trekant, hvis summen af de to mindste tal er større end det største.
B Skitse med mål. Konstruktion: Med passer og lineal. Med et geometriprogram. Der er kun én løsning. Det giver anledning til en kongruenssætning: To trekanter, der har to sider og den mellemliggende vinkel parvis lige store, er kongruente. C Skitse med mål. Konstruktion a =10 cm, b = 8 cm, B = 40. Med passer, vinkelmåler og lineal.
Med et geometriprogram. Der er to løsninger ( A 1BC og A 2BC), idet cirklen med centrum i C og radius 8 skærer B s venstre ben to steder. De manglende mål på de to trekanter er: A 1BC: A 1 = 126,54, C = 13,46, c 1 = 2,90 A 2BC: A 2 = 53,46, C = 86,54, c 2 = 12,42 Bemærk: Når de tilladte hjælpemidler til den manuelle konstruktion her omfatter vinkelmåler, skyldes det, at det ikke er muligt med passer og lineal at konstruere en vinkel på 40, mens en vinkel på 30 (punkt B) let lader sig konstruere med passer og lineal fx ved halvering af en vinkel i en ligesidet trekant. a =10 cm, b = 12 cm, B = 30. Her er én løsning.
a =10 cm, b = 12 cm, B = 120. Her er én løsning. Hvis b er mindre end den vinkelrette afstand fra C til B s venstre ben er der ingen løsning. Det vil fx være tilfældet, hvis a =10 cm, B = 30 og b < 5 cm. Her et eksempel med b = 4 cm. Generelt vil vi være i denne situation, hvis b < a sin(b). Eleverne formulerer betingelser for målene a, b og B, som bevirker, at der er - netop én løsning - to løsninger - ingen løsning Hvis nogle elever har svært ved at komme i gang, kan man foreslå dem at dele undersøgelsen op efter, om B er spids eller ikke-spids (ret eller stump) og derefter variere på længden af b, mens a har en fast værdi. Undersøgelsen kunne da forløbe således: 1. B er spids ( B < 90 ). Her viser det sig, at længden af den vinkelrette fra C til B s venstre ben får betydning. Denne afstand vil vi betegne d. Ved at sætte passerspidsen i C og forsøge sig med forskellige radiusværdier r, kan man se på, hvor mange fællespunkter der er mellem en tegnet cirkel og B s venstre ben. Antallet af fællespunkter giver antallet af løsninger. Resultater er så:
Hvis r < d, er der 0 løsninger. Hvis r = d, er der 1 løsning en retvinklet trekant ABC, hvor A er den rette vinkel, og siden b har længden d. Hvis d < r < a, er der 2 løsninger. Hvis r a, er der 1 løsning.
2. B er ikke spids (90 B < 180 ). Hvis r a, er der 0 løsninger, Hvis r > a, er der 1 løsning. Det kan være en hjælp for eleverne at bruge et dynamisk geometriprogram. På systemets hjemmeside kan GeoGebra-filen MULTI8_side179_trekantC eventuelt hentes. Den indeholder skydere for siden a, siden b og B. Ved at eksperimentere med dem har man mulighed for at opdage under hvilke betingelser, der er hhv. 0, 1 og 2 løsninger. Fra GeoGebra-filen MULTI8_side179_trekantC
SPROGREJSE FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Der er kun to af de nævnte hjælpespørgsmål, som har et resultat, der er uafhængigt af de oplysninger eleverne finder på nettet, og som derfor kan besvares her. Vis i et regneark, hvor meget Mathilde har sparet op på et år, hvis hun lader de 8500 kr. stå i banken, og hun gemmer alle pengene fra sine bedsteforældre. Regnearket kan naturligvis opbygges på mange måder, så nedenstående er kun et forslag. Hvor mange penge kan Mathilde tjene på et år, hvis hun vasker trappe? Mathilde får på et år i alt 14 månedslønninger à 860 kr. og kan derfor i alt tjene 14 860 = 12.040 kr.
KONDITION OG KONDITAL FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Alle resultater i denne undersøgelse afhænger af lokale forhold, og kan derfor ikke gives her. Her er dog nogle bemærkninger til de enkelte hjælpespørgsmål. Et skema kunne fx udarbejdes i et regneark. Her er et forslag til design. Det betingede regneudtryk i C-søjlen bevirker, at så længe der ikke er skrevet et tal i nabocellen i B-søjlen, skrives der intet, men når der indtastes et minuttal, udregnes konditallet med 1 decimal efter formlen i bogen. Elevernes valg af diagrammer. Hvis der viser sig at være lige så mange forskellige kondital, som der er elever i klassen, kan man overveje at gruppere. En fornuftig intervalinddeling kan først vælges, når resultaterne foreligger. Elevernes valg af deskriptorer. Da forskellige elevgrupper senere skal sammenlignes, vil de deskriptorer, der definerer et boksplot, være naturlige valg. Når forskellige elevgrupper skal sammenlignes (efter elevernes valg) vil det være naturligt at fremstille boksplots for hver gruppe, man ønsker at undersøge (piger, drenge, hele klassen, personer der dyrker idræt osv.).
FRAKTALER FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Pythagoras træ Eleverne tegner de fire første trin i udviklingen af fraktalen Pythagoras træ. Figurerne her er udført i GeoGebra. Pythagoras træ, trin 0 Pythagoras træ, trin 1 Pythagoras træ, trin 2 Pythagoras træ, trin 3
Ved hvert nyt trin kommer der 2 nye grundfigurer til for hver grundfigur i trinnet før. Vi kan derfor tolke spørgsmålet på to måder: 1. Hvor mange nye grundfigurer kommer der til i dette trin? 2. Hvor mange grundfigurer er der i alt i dette trin? Det giver disse tabeller: Trin 0 1 2 3 4 10 n Antal nye grundfigurer 1 2 4 8 16 1024 2 n Antal grundfigurer i alt 1 3 7 15 31 2047 2 n+1 1 Hvis siden i det første kvadrat kaldes s, vil kateterne i den ligebenede, retvinklede trekant (og dermed siden i kvadratet i næste trin) være 2 s (Pythagoras). 2 Det samlede areal af kvadratet plus trekanten er da s 2 + 1 4 s2 = 5 4 s2. Ved overgangen fra et trin til det næste er længdefaktoren altså 2. Det betyder, at arealfaktoren er 1. Til gengæld 2 2 kommer der som allerede bemærket 2 nye figurer i trin n + 1 for hver figur i trin n, så når vi regner overlappende arealer med, er arealet af de nye figurer i trin n + 1 det samme som arealet af de figurer, der var nye på trin n. Hvis kvadratets sidelængde er 4 på trin 0, får vi derfor denne udvikling i det samlede areal (inkl. overlap ): Trin 0 1 2 3 10 Areal 20 40 60 80 220 Det samlede areal på trin n er 20 (n + 1). Bemærk, at vi hele tiden i disse arealbetragtninger adderer de nye arealer til de gamle uanset, at nogle af de nye overlapper nogle af de gamle. På den måde kommer vores samlede areal til at gå mod uendelig, når n går mod uendelig, til trods for, at den uendelige fraktal har et endeligt areal. Hvis kvadratets sidelængde i trin 0 er s, vil den uendelige fraktal befinde sig inden for et rektangel med sidelængderne 6s og 4s.
Sierpinskis trekant Eleverne tegner de fire første trin i udviklingen af fraktalen Sierpinskis trekant. Figurerne her er udført i GeoGebra. Sierpinskis trekant, trin 0 Sierpinskis trekant, trin 1 Udvikling i antallet af trekanter: Sierpinskis trekant, trin 2 Sierpinskis trekant, trin 3 Trin 0 1 2 3 4 10 n Antal trekanter 1 3 9 27 81 59.049 3 n Den søgte graf er grafen for eksponentialfunktionen f(x) = 3 x.
For hvert trin reduceres arealet af hver af de grønne trekanter fra det foregående trin med 1. Arealet på trin n + 1 er 4 derfor lig med 3 gange arealet på trin n. Hvis arealet af trekanten på trin 0 er 1, får vi derfor følgende tabel, hvor 3. 4 linje giver arealet som decimaltal med fire decimaler. Trin 0 1 2 3 4 10 1 3 Areal 4 ( 3 2 4 ) ( 3 3 4 ) ( 3 4 4 ) ( 3 10 4 ) Areal i decimaltal 1 0,7500 0,5625 0,4219 0,3164 0,0563 Grafen for f(x) = ( 3 4 )x ses herunder. Funktionen er en aftagende eksponentialfunktion. Den generelle regel er, at arealet af figuren i trin n er ( 3 4 )n.
VINDERSTRATEGIER FACITLISTE OG UDDYBENDE FORKLARING Det spil, der præsenteres her, går internationalt under navnet Chomp, og oplysninger om det kan søges på nettet. Ordet chomp er et engelsk verbum. To chomp betyder noget i retning af at guffe i sig og hentyder til den variant af spillet, hvor man forestiller sig, at kvadraterne er chokoladestykker, som man spiser efterhånden, som man fjerner dem. I visse fremstillinger forestiller man sig, at øverste venstre kvadrat er forgiftet! Det minder jo nærmest om Russisk roulette. I denne version er den forgiftede chokolade erstattet af sæbe, som ganske givet smager afskyeligt, men som dog er mere fredeligt end forgiftet chokolade. Chomp er et spil, hvor man kan bevise, at der findes en vindende strategi for spiller 1 den spiller, der starter med at fjerne et eller flere kvadrater/chokoladestykker. Desværre er beviset et såkaldt ikke-konstruktivt bevis, dvs. beviset godtgør, at der findes en vindende strategi for spiller 1, men det viser ikke, hvad den vindende strategi er, og det er endnu ikke lykkedes nogen at anvise en strategi, der fører til sejr for spiller 1 på enhver tænkelig m n-plade. Det er med andre ord et lille forskningsprojekt eleverne kastes ud i. De skal dog ikke udtale sig om enhver tænkelig m nplade men blot om (nogle af) de plader, der vises i bogen og på undersøgelsesarket U11. Det væsentlige er derfor de overvejelser, de gør sig undervejs og den systematik, de er i stand til at benytte. Der kan arbejdes med undersøgelsen på flere forskellige måder. Her angives to. Man kan evt. arbejde med dem på en gang, idet ikke alle elever/grupper nødvendigvis skal arbejde med undersøgelsen på samme måde. 1. Følg bogen Man kan vælge at arbejde med hjælpespørgsmålene fra bogen. Kommentarer til hjælpespørgsmålene: Eleverne spiller nogle gange på en 3 4-spilleplade (3 rækker og 4 søjler). Undersøgelse af hvilken spiller der vinder på 3 4-pladen. Det kan man selvfølgelig ikke sige noget bestemt om, for det kommer an på, hvordan de to spillere agerer. Vinder spiller 1 oftere end spiller 2? Lad eleverne skiftes til at være spiller 1. Eleverne undersøger, om der er en vindende strategi for spiller 1 eller for spiller 2. Man kan evt. fortælle, at der faktisk findes en vindende strategi for spiller 1. Kan de finde den på en 3 4-spilleplade? At spiller 1 kan vinde, redegøres der for herunder. Eleverne forsøger at overføre deres erhvervede viden fra 3 4-spillepladen til de to andre spilleplader. Det er klart, at hvis spiller 1 på en større spilleplade med sikkerhed kan fremtvinge en af de situationer, der svarer til en vinderposition på 3 4-spillepladen, så har spiller 1 en vindende strategi også på den større plade. Eleverne undersøger sammenhængen mellem spillepladerne og vinderstrategier.
2. Begræns undersøgelsen til nogle få tilfælde, og giv nogle vink Der er fundet vindende strategier for nogle få spillepladetyper. Her vil vi omtale to samt bruge dem til at beskrive en vindende strategi for spiller 1 på 3 4-spillepladen. Det kan man benytte ved at lade eleverne arbejde med netop disse spilleplader. For hver spillepladetype vises her først den vindende strategi. Derefter er der forslag til, hvordan man kan arbejde med dem i undervisningen. Kvadratiske spilleplader. Hvis spillepladen er kvadratisk (rækkeantal = søjleantal her eksemplificeret med en 4 4-plade) kan spiller 1 vinde på følgende måde. Spiller 1 starter med at fjerne kvadratet lige under og lige til højre for sæben (markeret med herunder): Når dette stykke chokolade og de stykker, der følger med fjernes er der kun to lige lange arme samt sæben tilbage. Spiller 2 må nu fjerne et antal kvadrater fra enten den sidste række eller den sidste søjle. Spiller 1 s strategi er så at fjerne det samme antal fra den arm, spiller 2 ikke har taget fra. Hver gang spiller 2 skal fjerne noget, er situationen altså den samme: Der er kun øverste række og venstre søjle at fjerne fra og der er lige mange kvadrater i rækken og i søjlen. Til sidst tvinges spiller 2 til at tage det sidste chokoladekvadrat fra enten rækken eller søjlen, spiller 1 kan derefter tage det/de resterende chokoladekvadrat(er) og overlade sæben til spiller 2. Bon appetit! Forslag til arbejdsmåde. Lad eleverne starte med små plader fx en 2 2-plade eller en 3 3-plade. Fortæl evt., at der er en vindende strategi for spiller 1, og lad dem forsøge at finde den. Antallet af mulige første træk for spiller 1 er her så begrænset (3 på en 2 2- plade, 8 på en 3 3-plade generelt n 2 1 på en n n-plade), at der er god mulighed for, at eleverne finder den vindende strategi. Gå derefter i gang med større kvadratiske plader. Det er ikke sikkert eleverne straks kan generalisere deres erfaringer fra 2 2-pladen eller 3 3-pladen. Måske finder de en vindende strategi alligevel. Måske skal de have hjælp (se herunder). Fortsæt evt. med større plader. Hjælpemuligheder. Hvis eleverne har svært ved at komme i gang, kan man hjælpe dem på forskellige måder. Her er to forslag: Forslag 1: Fortæl, hvilke(t) kvadrat(er) spiller 1 vælger at fjerne som første træk, og lad dem derefter arbejde videre selv. Forslag 2: Spil spillet med eleverne nogle gange. Læreren skal være spiller 1 og skal spille optimalt efter vinderstrategien, mens eleverne er spiller 2 og iagttager, hvilke kvadrater læreren vælger at fjerne. Spil fx 3 gange, og lad derefter eleverne arbejde selv. Hjælper det ikke, så spil et antal gange til på samme måde. Vurder selv, hvornår eleverne er i stand til at gå videre på egen hånd.
Tynde spilleplader Hvis en spilleplade kun består af to rækker (eller to søjler), taler man om en tynd spilleplade. Også for tynde spilleplader er der en vindende strategi for spiller 1. Vi bruger en 2 5-spilleplade som eksempel. Spiller 1 starter med at tage den nederste chokoladebrik længst til højre, således at der er et kvadrat mere i den øverste række end i den nederste. Spiller 1 s første træk Spiller 2 har nu to muligheder: At fjerne kvadrater fra den øverste række eller at fjerne kvadrater fra den nederste række. Mulighed 1: Spiller 2 fjerner kvadrater fra den øverste række. Nogle af kvadraterne i nederste række vil da følge med. Igen er der to muligheder: 1A: Spiller 2 fjerner alle kvadrater undtagen sæben. Spiller 1 fjerner det sidste kvadrat. Der er kun sæben tilbage spiller 2 taber. 1B: Spiller 2 fjerner kun nogle af kvadraterne fra den øverste række fx 2: Spiller 1 fjerner et enkelt kvadrat fra den nederste række. Derved opstår igen en situation, hvor der er 1 kvadrat mere i den øverste række end i den nederste. Nu har vi samme situation som efter spiller 1 s første træk, blot med færre søjler, så hvis spiller 2 bliver ved med at tage kvadrater fra den øverste række, vil han tabe. Det kan spiller 2 godt se efter et par spil, så nu prøver han mulighed 2.
Mulighed 2. Udgangspunktet er stadig denne spilleplade efter spiller 1 s første træk Spiller 2 fjerner nu kvadrater fra den nederste række. Også her er der to muligheder: 2A Spiller 2 fjerner alle kvadrater. Spiller 1 fjerner alle kvadrater fra den øverste række, og kun sæben er tilbage spiller 2 taber. 2B Spiller 2 fjerner kun nogle af kvadraterne fra den nederste række eksempelvis 2. Spiller 1 fjerner nu så lige mange kvadrater fra den øverste række, som spiller 2 har fjernet fra den nederste. Derved opstår igen en situation, hvor der er 1 kvadrat mere i den øverste række end i den nederste. I eksemplet fjernes der altså to kvadrater. Nu har vi samme situation som efter spiller 1 s første træk, blot med færre søjler, så også hvis spiller 2 bliver ved med at tage kvadrater fra den nederste række, vil han tabe. Forslag til arbejdsmåde. Lad eleverne starte med små plader fx en 2 2-plade eller en 2 3-plade. Fortæl evt., at der er en vindende strategi for spiller 1, og lad dem forsøge at finde den. Antallet af mulige første træk for spiller 1 er også her begrænset (3 på en 2 2-plade, 5 på en 2 3-plade generelt 2n 1 på en 2 n-plade), at der er god mulighed for, at eleverne finder den vindende strategi. Gå derefter i gang med længere tynde plader. Det er ikke sikkert eleverne straks kan generalisere deres erfaringer fra 2 2-pladen eller 2 3-pladen. Måske finder de en vindende strategi alligevel. Måske skal de have hjælp (se herunder). Fortsæt evt. med større plader. Hjælpemuligheder. Hvis eleverne har svært ved at komme i gang, kan man hjælpe dem på forskellige måde. Her er to forslag: Forslag 1: Fortæl, hvilke(t) kvadrat(er) spiller 1 vælger at fjerne som første træk, og lad dem derefter arbejde videre selv.
Forslag 2: Spil spillet med eleverne nogle gange. Læreren skal være spiller 1 og skal spille optimalt efter vinderstrategien, mens eleverne er spiller 2 og iagttager, hvilke kvadrater læreren vælger at fjerne. Spil fx 3 gange, og lad derefter eleverne arbejde selv. Hjælper det ikke, så spil et antal gange til på samme måde. Vurder selv, hvornår eleverne er i stand til at gå videre på egen hånd. 3 4-spillepladen Der findes en vindende strategi for spiller 1 på en 3 4-plade. Kunsten består i at finde ud af, hvilket kvadrat spiller 1 skal starte med at fjerne. Hvis spiller 1 fjerner kvadratet i 2. række og 3. søjle (plus de tre andre kvadrater, der følger med ) ser situationen ud som på figuren herunder. Vi nummererer chokoladekvadraterne som angivet herunder og vil så undersøge, hvordan det videre spil kan forløbe. Spiller 2 kan i næste træk vælge at fjerne ethvert af de nummererede kvadrater 1, 2, 3,, 7. Vi ser på disse muligheder hver for sig. I fremstillingen vil vi bruge, at vi ved, at hvis spiller 1 kan få fremtvunget et kvadratisk spillefelt efter det dertil hørende første træk eller en tynd spilleplade med ét kvadrat mere i den ene række/søjle end i den anden række/søjle, så ved vi, at derfra er der en vindende strategi for spiller 1. Spiller 2 fjerner kvadratet 1 (+2+3+5+7). Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 4 (+ 6). Spiller 2 må tage sæben og har tabt. Spiller 2 fjerner kvadratet 2 (+3). Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 7. Derefter er spillepladen en tynd plade med et kvadrat mindre i den ene søjle end i den anden og spiller 1 kan vinde. Spiller 2 fjerner kvadratet 3. Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 5 (+7). Derefter er pladen som en kvadratisk 3 3-plade, med første træk udført og spiller 1 kan vinde.
Spiller 2 fjerner kvadratet 4 (+5+6+7). Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 1 (+2+3) spiller 2 har tabt. Spiller 2 fjerner kvadratet5 (+7). Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 3. Derefter er pladen som en kvadratisk 3 3-plade, med første træk udført og spiller 1 kan vinde. Spiller 2 fjerner kvadratet 6 (+7). Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 3. Derefter er spillepladen en tynd plade med et kvadrat mindre i den ene række end i den anden og spiller 1 kan vinde. Spiller 2 fjerner kvadratet 7. Situationen ser derefter således ud: Ny situation: Spiller 1 s næste træk: Spiller 1 fjerner 2 (+3). Derefter er spillepladen en tynd plade med et kvadrat mindre i den ene søjle end i den anden og spiller 1 kan vinde.