Historiske matematikere Meget af den matematik. I arbejder med i skolen, blev udviklet for 2-3000 år siden. Dengang havde man hverken papir lommeregner eller computer som man kunne bruge til at skrive tal og tegn på. De første matematikere skrev og tegnede på jorden, på en vokstavle eller på papyrus. INTRO Vores viden om den første matematik, der blev udviklet, stammer bl.a. fra en papyrus, der er skrevet ca. 1650 fkr Den blev fundet i Egypten af en mand, der hed Rhind, og kaldes derfor Rhind Papyrus. Især grækerne er kendt for at udvikle matematik og skrive matematikken ned. Det vigtigste skrift om den første matematik er Euklids Elementer fra ca. 300 fkr Det handler om den matematik, især grækerne havde udviklet på den tid. I dette kapitel kan I arbejde med fire forskellige matematikere og noget af den matematik, som de udviklede. HISTORISKE MATEMATIKERE 99
PRÆSENTATION HISTORISKE MATEMATIKERE Thales levede i år 636-546 fkr B var græker.l, er den første matematiker vi kender kunne finde højden af Keopspyramiden med et målebånd og en stok. Side 102-103 Euklid levede i år 330-275 fkr var græker kaldes geometriens fader skrev Euklids Elementer der blev meget kendt. Side 104-105 I f S! äädan kan I aroejde meokapmet 1 kan læse om de fire matematikere og arbejde med opgaver om den matematik, de udviklede. I kan arbejde i grupper og vælge at gå i dybden med en af de fire matematikere. I kan også læse om flere af dem og arbejde med opgaver fra hver af dem. Når I har arbejdet med kapitlet, kan 1 præsentere jeres arbejde for resten af klassen. På side 110 er der ideer til præsentationen. 100 HISTORISKE MATEMATIKERE
'".v^^^h V''M^^^^^H 1 ^^L. >^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^k. 1 Archimedes levede i år 287-212 fkr var græker udviklede en regel, som vi i dag kalder Archimedes lov. har en kegle, kugle og cylinder på sin ^^^^- Side 106-107 Gauss levede i år 1777-1855 e.kr var tysker kaldes matematikkens konge. arbejdede med teorier om tal. Side 108 109 Indhold og må I dette kapitel skal I arbéjbelniea historisk matematit med udgangspunkt i fire matematikere. Målet er at I lærer nogle af de første matematikere at kende og forstår deres betydning for den matematik, vi kender i dag. får erfaringer med at undersøge og løse matema- ; tiske problemer ^ samarbejder med andre, når I løser opgaver ved hjælp af matematik. bliver bedre til at fremlægge jeres arbejde for andre. HISTORISKE MATEMATIKERE 101
THALES Thales var en veluddannet græker fra Milet, der rejste meget rundt i Babylon og Grækenland. Han er kendt for at være den, der fandt en metode til at beregne højden af bl.a. Egyptens pyramider Thales overraskede egypterne ved at beregne højden af Keopspyramiden ved kun at bruge et målebånd og sin matematiske viden. Han satte en stok i jorden og målte længden af både stokkens og pyramidens skygge, som solens stråler dannede. Tegningen nederst på siden viser hvordan han forestillede sig to retvinklede trekanter - den store trekant ved pyramiden og den lille trekant ved stokken var ligedannede! Se på tegningen. a Hvad betyder det, at trekanterne er ligedannede? b Hvad er forholdet mellem de to vandrette sider i trekanterne? c Hvordan tror I, Thales fandt højden af pyramiden? d Hvor høj er Keopspyramiden? 1 m 1,2 m 102 HISTORISKE MATEMATIKERE
Der findes mange historier om Thales. En af dem viser at Thales var meget snedig. Thales arbejdede en gang ved en saltmine. Herfra skulle æsler bære saltet ud til en havn. For at komme ud til havnen skulle æslerne krydse en lavvandet flod. En dag faldt et af æslerne i vandet med sin last. Noget af det salt, der var bundet fast til æslets ryg, blev opløst i vandet. Æslet opdagede da, at lasten var blevet lettere og lod sig siden falde i vandet med vilje, hver gang det krydsede floden. På den måde gik en del af saltet tabt. Men Thales fandt en løsning. Han sørgede for at æslet næste gang blev lastet med svampe i stedet for med salt. Da æslet igen lod sig falde i vandet, sugede svampene vand til sig, og lasten blev meget tungere end før Herefter holdt æslet op med sine narrestreger! 2 Thales undersøgte en cirkels periferivinkler og gjorde en opdagelse om periferivinkler der spænder over diameteren. Se på tegningen. 3 Thalesfandt ud af noget særligt om vinklerne i ligebenede trekanter periferivinkel Tegn en cirkel og dens diameter i et geometriprogram eller på papir Tegn en tilfældig periferivinkel, der spænder over diameteren. Mål periferivinklen. Tegn mindst fire andre cirkler med hver sin diameter Tegn på samme måde en periferivinkel, der spænder over diameteren i hver cirkel. Mål hver periferivinkel. Hvad opdager I om periferivinkler der spænder over diameteren? Tegn mindst fire forskellige ligebenede trekanter i et geometriprogram eller på papir Mål alle tre vinkler i hver trekant. Hvad opdager I om vinklerne i ligebenede trekanter? HISTORISKE MATEMATIKERE 103
EUKLID Euklid studerede som ung i Athen. Senere kom han til universitetet i Alexandria i Egypten, hvor de bedste studerende fra hele verden var samlet. Euklid underviste på universitetet og blev leder af den matematiske afdeling. Der findes en lille historie om Euklids undervisning på universitetet. Engang deltog kongen i hans undervisning i geometri. Midt i det hele afbrød kongen undervisningen. Han spurgte, om der ikke var en lettere måde at lære geometri på, for han havde ikke tid til at lære alt det, som Euklid fortalte. Euklid svarede klogt, at der i den virkelige verden findes to veje - en for almindelige mennesker og en for kongen, men i geometrien er der kun én vej. Der var altså ikke nogen let måde, som kongen kunne lære geometri på! I Euklids Elementer kan man læse, at hvis den ene side i en tilfældig trekant foriænges, erden udvendige vinkel større end hver vinkel inde i trekanten. a Tegn tre tilfældige trekanter i et geometriprogram eller på papir Kald vinklerne A, B og C. b Forlæng siden AC i hver trekant, så der opstår en udvendig vinkel ved siden af C. Kald vinklen D. c Mål vinklerne, og udfyld et skema som vist nederst. d Hvilke sammenhænge opdager I? Trekant 1 Trekant 2 Trekant 3 ^ A ^ B ^C ^ D ^ A + ^ B + ^ C ^ A+^ B ^ C+^ D 104 ^ M HISTORISKE MATEMATIKERE
Euklid undersøgte bl.a., hvilke figurer det er muligt at tegne med passer og lineal, og hvad der er karakteristisk ved disse figurer Han fandt rigtig mange egenskaber fx at hvis en trekant og et parallelogram har samme højde og grundlinje, så er parallelogrammets areal dobbelt så stort som trekantens. Det blev hurtigt et krav, at de, der studerede matematik og naturvidenskab, skulle læse og forstå Euklids Elementer så Euklid har haft utrolig stor betydning for matematikkens historie. Euklid udviklede ikke selv alt det matematik, han skrev ned, men han var dygtig til at samle den matematik, man kendte dengang. De fleste af datidens matematiske opdagelser blev samlet på 133 ruller pergament. Den samling hedder Euklids Elementer Euklid bliver ofte kaldt geometriens fader Det meste af den geometri, I arbejder med i skolen, er euklidisk geometri. Euklid udviklede en metode til at finde det største tal, som går op i to andre tal. Man kalder tallet den største fælles divisor. Metoden hedder Euklids algoritme og er smart at kende, når man skal forkorte brøker Herunder er Euklids algoritme brugt til at forkorte f-. Hvad er det største tal, der går op i både 427 og 183? Brug Euklids algoritme til at forkorte brøkerne: 78 195 132 2Ö9 1182 2758 1. 2. 3. 4. 5. Euklids algoritme Dividér det største af de to tal med det mindste. Hvor meget er der til rest? Hvis resten er 0, er det tal, 1 dividerede med, det største tal, der går op i begge tal. Hvis resten ikke er 0, skal 1 dividere resten op i det tal, 1 sidst dividerede med. Fortsæt, indtil resten bliver 0. Det tal, 1 dividerede med og fik 0 som rest, er det største tal, som går op i begge tal. 1 kender nu den største fælles divisor og kan forkorte brøken. Eksempel 75:45 = I.Rest 30. 45:30= I.Rest 15. 30:15 = 2. Rest 0. Divisionen med IS gav 0 som rest. 15 er det største tal, der går op i både 45 og 75. 45 45;1 S 3 75 75:15 5 HISTORISKE MATEMATIKERE 105
EMNE ARCHIMEDES Archimedes var en meget tænksom mand, der kom fra Sicilien. Han studerede nysgerrigt ting omkring sig og ville fx gerne tælle alle stjernerne på himlen og sandkornene på stranden. Han stillede altid spørgsmål og forventede et svar Som ung kom Archimedes til Alexandria i Egypten, hvor verdens bedste universitet på den tid lå. Her fik han den berømte lærer Euklid. Archimedes undersøgte ting, der blev puttet ned i vand. En sten føles lettere i vand end oppe over vandet. Når stenen jer i vandet, hjælper vandet med til at bære stenen. Hans undersøgelser førte til en regel, som man kalder Archimedes lov: En genstand, der sænkes ned i vand, taber lige så meget vægt som vægten af det vand, den fortrænger Archimedes fandt mange matematiske sammenhænge. Han blev så begejstret for sin opdagelse af sammenhængen mellem rumfanget af en kegle, kugle og cylinder at han gerne ville have figurerne på sin grav. 1 I skal prøve at finde sammenhængen mellem rumfanget af en kegle, kugle og cylinder Kegle Kugle Cylinder Kegle Kugle Cylinder Diameter 10 cm 10 cm 10 cm 15 cm 15 cm 15 cm Højde 10 cm - 10 cm 15 cm - 15 cm Rumfang Find rumfanget af figurerne, og udfyld et skema som vist. Brug formelsamlingen bagerst i bogen. Hvor mange gange er kuglens rumfang større end keglens rumfang, når diameter og højde i keglen er det samme som kuglens diameter? Hvor mange gange er cylinderens rumfang større end keglens rumfang, når diameter og højde er ens? Beskriv sammenhængen mellem rumfanget af en kegle, kugle og cylinder med samme diametre og højder 106 HISTORISKE MATEMATIKERE
Der fortælles en historie om Archimedes og den græske konge, Hiero. Hiero havde en gang fået en guldsmed til at lave en guldkrone. Archimedes skulle hjælpe Hiero med at finde ud af, om guldkronen var af ægte guld, eller om der var blandet et andet metal i. Ideen til måden at undersøge det på fik Archimedes, da han steg ned i et badekar Karret var fyldt med vand til randen, så noget af vandet løb ud over kanten. Archimedes tænkte, at det vand, der løb ud over kanten, måtte fylde lige så meget som han selv. Hvis en klump guld med samme vægt som Archimedes blev sænket ned i vandet, ville der ikke løbe lige så meget vand over, for en klump guld med samme vægt fylder ikke lige så meget som Archimedes. Archimedes sprang op af badekarret og løb nøgen gennem byens gader mens han råbte: "Heureka!", der betyder: "Jeg har fundet ud af det". Kronen og en klump guld med samme vægt som kronen blev sænket ned i hver sit kar fyldt med vand. Der løb mest vand over kanten fra det kar hvor kronen blev nedsænket. Kongen var altså blevet narret, kronen bestod ikke af ægte guld! Der var blandet et andet metal i, som vejede mindre end guld. I skal prøve at finde sammenhængen mellem en kugles overfladeareal og en cylinders krumme overflade. En cylinders krumme overflade er arealet af overfladen uden top og bund. Brug evt. formelsamlingen bagerst i bogen. a Find den krumme overflade af en cylinder med en diameter og højde på 10 cm. 15 cm. 20 cm. b Find overfladearealet af en kugle med en diameter på 10 cm. 15 cm. 20 cm. c Hvad er sammenhængen mellem en kugles overfladeareal og en cylinders krumme overflade? HISTORISKE MATEMATIKERE 107
EMNE GAUSS Gauss var allerede som lille temmelig kvik. Da han var 3 år opdagede han fejl i sin fars regnskab, og det siges, at Gauss kunne tælle, før han kunne tale! kunne straks fortælle læreren det rigtige resultat. Læreren troede, at Gauss kendte opgaven på forhånd, men det gjorde han ikke - han var et geni. Også i skolen imponerede han sin lærer Som 9-årig fik hans klasse til opgave at lægge alle hele tal fra 1 til 100 sammen. De andre drenge i klassen regnede længe, men Gauss Gauss kunne hurtigt finde summen af de første 100 hele tal. I skal i første omgang finde summen af de første 10 hele tal uden at bruge lommeregner Tip: Skriv tallene i rækkefølge efter størrelse. Læg tallene sammen i par fra hver sin ende. Find antallet af par og summen af hvert par 1 +2 + 3 + 4 + 5+6 + 7 + 8 + 9+10 Gauss fandt mange sammenhænge mellem tal og metoder til at regne ting hurtigt ud. 1 skal finde en metode til at beregne gennemsnittet af en række af lige tal. Eksempler: 2 + 4 + 6 = 4 2+4+6+S =? a Udfyld et skema som vist. a Hvad er summen af de første 10 hele tal? 12 hele tal? 20 hele tal? m 25 hele tal? 100 hele tal? Antal lige tal Gennemsnit 2 3 3 4 4 5 6 7 10 15 20 b Kan I lave en regel? b Kan I lave en regel? los HISTORISKE MATEMATIKERE
Gauss kom fra et fattigt hjem. Faderen mente ikke, at han skulle begrave sig i bøger Han burde i stedet lære et håndværk ligesom sin far så han kunne hjælpe med at tjene penge til familien. Men en hertug opdagede, hvor dygtig Gauss var til matematik, og tilbød at betale for hans undervisning. Gauss blev professor i matematik og skrev bl.a. om sammenhænge mellem tal. Han beskæftigede sig også med astronomi, landmåling og fysik. Gauss løste mange matematiske problemer og han regnes for at være en af de tre største matematikere. Man kalder ham matematikkens konge. Gauss elskede at beskæftige sig med tal og brugte meget tid på at tælle primtal. Da han døde, havde han lavet en oversigt over alle primtallene op ti! 3 000 000. En kvindelig matematiker fra Frankrig, Sophie Germain, arbejdede videre med den matematik, som Gauss havde udviklet. Hun er en af de få kvindelige matematikere, der er blevet kendt. Sophie Germain fandt Happy numbers". m Sæt hvert ciffer anden V y = 1 = 9 M Læg de to nye tal sammen 1 +9 = 10 Sæt hvert ciffer i resultatet i anden 1^=1 0^ = 0 Læg de to nye tal sammen 1+0 = 1 Hvis resultatet ender med at blive 1, kalder man starttallet for et Happy number". 13 er derfor et Happy number". Hvis resultatet ikke ender med at blive 1, men bliver ved med at køre i ring, er det ikke et Happy number". 15 er fx ikke et Happy number". a Undersøg, om disse tal er Happy numbers": 11 23 28 31 33 b Undersøg andre tal, og find flere Happy numbers". HISTORISKE MATEMATIKERE 109
POINTER HVAD VED DU NU OM...? Skriv om dit arbejde med kapitlet - brug evt. din elektroniske logbog. Her er forslag til, hvad du kan komme ind på: Hvad valgte 1 at arbejde med og hvorfor? Hvilken betydning har den matematiker I arbejdede med, haft for udviklingen af matematik? Hvordan var jeres samarbejde i gruppen? Hvordan valgte I at fremlægge for klassen? Hvad fungerede godt, da 1 fremlagde? Hvad vil I gøre anderledes næste gang? I skal præsentere jeres arbejde for resten af klassen. Brug forslagene her på siden eller jeres egne idéer Idéer til præsentation Fortæl om jeres matematiker: Hvor og hvornår levede han? Hvad huskes han især for? Hvad gjorde størst indtryk på jer? Vælg mindst en opgave ud, som I har arbejdet med, og fortæl: Hvordan arbejdede 1 med opgaven? Hvad lærte I? Overvej, om resten af klassen skal løse en af de opgaver som I har arbejdet med. ^:^^^v 110 HISTORISKE MATEMATIKERE