Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
|
|
- Jesper Kristensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1
2 2
3 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang til kvadrattal med løsning på problemstilling 1 v. matematiske beviser. Opsummering af kvadrattal. Pythagoræiske tal og talsæt m. matematisk bevis. En biografi om Pythagoras liv. Flere pythagoræiske tal Fakta om kvadrattal Matematisk bevis for Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2. Talrækker med kvadrattal. Kan du regne det ud? Kvadrater i kvadrater Kan man på en smart måde regne ud, hvor mange kvadrater, der er i et kvadrat bestående af kvadrater? Hvor stort er kvadratet? Kan man finde arealet af figurerne? Skal man bruge Pythagoras, og findes der et system? Litteraturliste og en særlig tak til de personer, der har været med til at udarbejde rapporten/bogen. 3
4 Problemformulering Når vi har arbejdet med kvadrattal, har vi ofte hæftet os ved og undret os over det mønster, hvorefter de udvikler sig. Det er dette mønster, vi vil tage udgangspunk i, og så vil vi ellers prøve at finde mønstret i forskellige sammenhænge. Følgende spørgsmål melder sig: - Hvis vi kender et kvadrattal, kan vi så på en nem måde finde det næste? - Har det noget med Pythagoras at gøre? - Dukker der navne op på interessante matematiske begavelser? - Findes der andre mønstre, hvor vi kan bruge Pythagoras sætning og kvadrattal til hjælp? 4
5 Grundmønstret Kvadrat nr. 1 er på 1 cm 2 Kvadrat nr. 2 er på 4 cm 2 og dermed vokset med 3 cm 2 5
6 Mønstret fremgår af nedenstående. Grundtal Kvadrattal Forskel Opdeling = = = = = = = = = Forskellen på 1 2 og 2 2 er og 3 2 er og 4 2 er 3+4 Og det matematiske bevis for forskellen på n 2 og (n+1) 2, hvor n og n+1 er to tal, der kommer lige efter hinanden, som f.eks. 3 og 4: 6
7 Kvadrattallet, der hører til grundtallet n, er n 2 Kvadrattallet, der hører til grundtallet n+1, er (n+1) 2, og det kan omskrives til (n+1) * (n+1) = n 2 + 2n + 1 Forskel: n 2 + 2n + 1 n 2 = 2n + 1 = n + (n+1) Vi udvikler lidt mere på mønstret ved at undersøge, hvad der sker med n sammenlignet med n+2 altså et tal, der er 2 pladser efter det første tal f.eks. 40 og 42: (n+2) 2 = n 2 + 4n + 4 Og forskellen er n 2 + 4n + 4 n 2 = 4n + 4 som kan deles op i n + (n+1) + (n+1) + (n+2) Ved de to første led ovenfor: n + (n+1) er forskellen på n 2 og (n+1) 2 og de to sidste led (n+1) + (n+2) er forskellen på (n+1) 2 og (n+2) 2 Nu har vi en nem tilgang til rigtig mange kvadrattal. Når vi kender 10 2 =100 er der ikke lang vej til 11 2 ( ) = 121 eller 51 2, som via 50 2 =2500 er: =
8 42 2 = eller *41 = fremkommer på følgende måde: 40 2 = = =1521 I dette tilfælde med 39 2 skal man finde forskellen mellem n 2 og (n-1) 2, som er = 2n + 1. For fuldstændighedens skyld skal vi også finde en smart måde at udregne tallene midt i tiergrupperne. F.eks. 25, som er midt mellem 20 og 30: Vi tager et eksempel med f.eks. 35: 35 2 = (30+5)*(40-5) = 30*40+5*40-5*30-5*5 = 30*40 + (10*5) 5*5 = 30*40 + 5*5 = =
9 Og husmandsreglen: Når vi skal udregne kvadratet på et tal, der ender på 5, finder vi den tiergruppe, hvori tallet findes, og vi ganger tiergruppens nummer med nummeret for den følgende tiergruppe. Bag dette tal sætter vi resultatet af 5*5 75 er eksempelvis i den 7. tiergruppe. Den næste tiergruppe er 8, da det jo er 80, og 7 er er derfor 7*8 efterfulgt af 5*5, nemlig er så =5776 Vi kan også lave opsummering: Summen af de n første ulige tal giver n 2 Som eksempel tager vi de første 5 ulige tal: giver 5 2 Og generelt: giver n 2 (n+1) 2 fremkommer altså på denne måde: n + n + n + 1. Man adderer altså alle tallene to gange op til det pågældende tal, som man adderer tre gange, hvorefter man adderer med 1. Hvis n er 5, så adderer man alle tallene op til fem to gange f.eks , og når, man så når op til 5, så adderer man 5 9
10 tre gange f.eks , hvorefter man adderer med 1, og dermed har man kvadrattallet på det tal, som kommer efter 5, som er 6. Hvis vi sætter summen af de n første tal til S = n. Hvis vi satte summen til det, så får vi: 2S + (n+1) = (n+1) 2 Ved omformning giver det S = n(n+1)/2 Et eksempel: Vi starter med grundtallet 3, og det tilhørende kvadrattal er 3 2 = 9 9 deles op i 4 + 5, og her har vi netop forskellen på 4 2 og 5 2 Alle ulige kvadrattal kan deles op i to tal, der kommer lige efter hinanden i talrækken. Pythagoræiske tal a a 2 b c
11 Når vi kender disse tal, som vi vil kalde ægte pythagoræiske, kan vi selvfølgelig ved multiplikation lave masser at talsæt, som vi vil benævne uægte pythagoræiske tal: (3,4,5) (6,8,10) (9,12,15) (12,16,20) (5,12,13) (10,24,26) (15,36,39) (20,48,52) (7,24,25) (14,48,50) (21,72,75) (28,96,100) (9,40,41) (18,80,82) (27,120,123) (36,160,164) (11,60,61) (22,120,122) (33,180,183) osv. Et matematisk bevis for at metoden altid giver pythagoræiske tal: a = n + n + 1 = 2n + 1 a 2 = 4n 2 + 4n + 1, der deles op i b = 2n 2 + 2n og c = 2n 2 + 2n + 1 Vi får c 2 = b 2 + 2b + 1 = b 2 + 2(2n 2 + 2n) + 1 = b 2 + (4n 2 + 4n + 1) = b 2 + a 2 Man kan altså kort sagt skrive følgende ligning for ulige tal, da a er et ulige tal: a 2 = b + c 11
12 En biografi om Pythagoras Pythagoras kom til verden på den græske ø Samos 582 år f. Kr. Hans far var en købmand, men ikke en almindelig købmand. Ifølge en historie skulle Pythagoras far angiveligt under en hungersnød have bragt en masse korn til øen Samos. Og dette har, ifølge historien, givet ham statsborgerskab på øen. Dog er det uvist, hvorvidt kilden er rigtig. Man kender ikke meget til Pythagoras barndom, men man har fundet ud af, at han havde to - tre brødre. Han var en veluddannet ung mand, der både kunne det at læse og spille musik, hvilket var meget usædvanligt på den tid. Som studerende møder Pythagoras Thales. Thales er en gammel filosof og foredragsholder. Han fortalte om geometri og kosmologi. Ifølge nogle historier har dette været startskuddet for Pythagoras karriere. 12
13 Pythagoras rejste efterfølgende til Egypten, hvor han fortsatte sin uddannelse og dyrkede sin interesse for geometri og matematik. Fem år senere rejste Pythagoras tilbage til Samos og startede sin egen skole, som han kaldte Halvcirklen. Her forsøgte han at undervise efter en ny metode, hvor han kombinerede undervisningen med symboler og musik. Men det var befolkningen på Samos ikke glade for. Så Pythagoras rejste endnu en gang. Denne gang gik turen til det sydlige Italien. Her grundlagde han en ny religiøs og filosofisk skole. Og denne gang blev det et hit. Nogle år senere kom der en række angreb mod den by, Pythagoras boede i. Så han så sig nødsaget til at flygte. Han flygtede til Metapontum i Grækenland. Her siges det, at han tilbragte sine sidste dage. Pythagoras dør i år 507 f. Kr. Han blev 75 år. En af Pythagoras filosofier var, at alle ting består af tal. Han fandt også ud af, at i en retvinklet trekant vil summen af kvadraterne af de to sider ved den rette vinkel altid være det samme som kvadratet af hypotenusen. (side c). (Men faktisk var det ikke Pythagoras, der opdagede forbindelsen mellem siderne i en retvinklet trekant. Babylonierne havde kendt til det over 1000 år før Pythagoras blev født.) 13
14 Flere pythagoræiske tal Det næste spørgsmål, der kommer frem, er, om der findes ægte pythagoræiske tal, hvor forskellen på hypotenusen og den længste katete er større end 1. Først en forskel på 2, og her skal vi omkring grundtal fra 4- tabellen. Eksempelvis: 8 2 =64, som vi deler op i , og det fortæller, at (8,15,17) er pythagoræiske tal og de er ægte, da sættet ikke kan afledes ud fra de tal, der er nævnt i skemaet ovenfor =144, som deles op i Heraf kommer sættet (12,35,37) I skemaform grundtal kvadrattal opdeling pythagoræiske tal (4,3,5) (8,15,17) (12,35,37) (16,63,65) (20,99,101) (24,143,145) 14
15 Tallene fra øverste linje i skemaet kender vi fra tidligere. Metoden giver altid pythagoræiske tal: Bevis: a = 2n a 2 = 4n 2, der deles op i (n 2-1), n 2, n 2, (n 2 +1) b = n 2 1 og c = n c 2 = n 4 + 2n a 2 + b 2 = 4n 2 + n 4 2n = n 4 + 2n = c 2 Under vores jagt på pythagoræiske tal har vi også fundet (28,45,53), (33,56,65) og (48,55,73) Fakta om kvadrattal Summen af kvadrattal i en tiergruppe ender altid på 85. Det vil sige, at summen af kvadrattallene fra 1 til 10 slutter på et tal afsluttet med 85. I dette tilfælde er det 385. Hvis vi finder summen af kvadrattallene fra 11 til 20, altså , så slutter også det på 85 Summen er Det samme gør tallene fra 21 til 30, hvor summen er 6.585, og tallene fra 31 til 40, hvor summen er
16 Matematisk bevis for Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 Hvis man skal føre bevis for Pythagoras sætning, kan man tegne to firkanter bestående af 4 retvinklede trekanter, som er placeret forskelligt i hver firkant. I den første firkant er de retvinklede trekanter placeret således, at de danner en firkant tilsammen. Inden i den firkant, opstår der nu en ny firkant faktisk et kvadrat, som hælder lidt på skrå, og hvor siderne er c lange. Det vil sige, at hver side er lige så lang, som den retvinklede trekants side c. 16
17 Som det ses på billedet, så består firkanten af 4 retvinklede trekanter, hvor den mindste side er a, den lidt større side er b, og den sidste side er c, som også danner et kvadrat inde i firkanten, hvor kvadratets areal er c 2, da man finder et kvadrats areal ved at gange siderne, som er lige lange, og som måler en afstand på c = c * c = c 2. Vi skulle som sagt tegne to firkanter, så her kommer den anden: Denne firkant er magen til den anden, da den også består af fire retvinklede trekanter, der bare er placeret på en lidt anden måde. I denne firkant er der blevet dannet to yderlige firkanter, som er kvadrater. Det største kvadrat har et areal på b 2, eftersom siderne b * b = b 2. Det næste kvadrat har et areal på a 2, da siderne a * a = a 2. 17
18 Den forrige firkant havde et kvadrat med arealet c 2, og den her firkant har to kvadrater med a * a, og b * b. Det vil sige, at c * c = c 2, svarer til b 2 + a 2,, da det er det overskydende areal i firkanterne, og dermed er der ført matematisk bevis for Pythagoras sætning: a 2 + b 2 = c 2 18
19 Talrækker med kvadrattal Overskriften gør måske opgaverne lidt for nemme, men når nu temaet er kvadrattal, må vi leve med det. Dette er en lille appetitvækker på kvadrattal. Hvad er det næste tal? 1: ? 2: ? 3: ? Find det anderledes tal: 4: Svaret på opgaverne: 1: Hvert andet af tallene er kvadrattal, de andre er det tal, der kvadreres. Derfor er tallet 8 2 = 64 2: Som i opgave 1. Tallet er Alle er kvadrattal, men de tocifrede er skrevet baglæns. Derfor 8 2 = 64, som byttes om til 46 4: Alle tallene undtagen 990 er kvadrattal o
20 Kvadrater i kvadrater Her er et kvadrat med sidelængden 3 inddelt i 9 kvadrater. Og spørgsmålet er: Hvor mange kvadrater indeholder figuren? 1 x 1 9 kvadrater 2 x 2 4 kvadrater 3 x 3 1 kvadrat I alt 14 kvadrater Antallet af kvadrater af hver enkelt størrelse er kvadrattal i omvendt rækkefølge. Og på jagt efter en formel, hvorefter kvadrattallene kan opsummeres, fandt vi: Summen af de førte n kvadrattal er (2n 3 +3 n 2 + n) / 6 20
21 Hvor stort er kvadratet? På tegningen er vist et kvadrat: nummer 1, og rundt om det er der tegnet et kvadrat: nummer 2, som er drejet 45 grader i forhold til nr. 1. Kvadrat nr. 2 rummer lige netop kvadrat nr. 1. Uden om kvadrat nr. 2 er tegnet kvadrat nr. 3, som igen er drejet 45 grader i forhold til kvadrat nr. 2. Nr. 3 rummer præcis nr. 2. Spørgsmål: Hvis kvadrat nr. 1 har arealet 1, hvor stort vil arealet af kvadrat nr. 18 da være? 21
22 Her får vi brug for Pythagoras igen. Vi ser, at diagonalen i kvadrat 1 = siden i kvadrat 2, Siden i kvadrat 3 = diagonalen i kvadrat 2 osv. Det vil altså sige, at hvis vi f.eks. delte kvadrat 1 op i 2 stykker, så vil man få to retvinklede trekanter. Her kan vi bruge Pythagoras for side c i disse retvinklede trekanter, vil være den samme som kvadrat 1 s diagonal, og den vil også være den samme som kvadrat 2 s side. Hvis vi så bruger Pythagoras sætning a 2 + b 2 = c 2, så vil vi regne side c ud, men vi vil også regne kvadrat 2 s side ud, samt kvadrat 1 s diagonal. Figur Side Areal Diagonal Heraf ses, at hver gang vi sætter et ekstra kvadrat på, bliver arealet af dette det dobbelte af foregående kvadrats areal. Mønstret er 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,. Det svarer til formlen for tal nr. n = 2 n-1 Figur nr. 18 har så arealet 2 (18-1) = 2 17 =
23 Litteraturliste mle/mo18s.htm 9_PythagoraeiskeTalsaet.pdf thread/cfd97ab7e7a488c1/a10d236139ff7f7f Matelogik af Ole Fich Forlaget Selung Aps Og tak til Ib Axelsen, der har hjulpet os med korrekturlæsning, matematiske formler og gode ideer 23
24 24
Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereMattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer
Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereTrigonometri at beregne Trekanter
Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs merePythagoras og andre sætninger
Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereKorncirkler og matematik
Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereMattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant
Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereMatematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver
Matematik B Klasse 1.4 Hjemmeopaver 1) opgave 336, side 23 Opgaven går ud på at jeg skal finde ud af hvor gamle børnene højst kan være, når forældrene tilsammen er 65 år og de skal være 40 år ældre end
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereProjekt Pascals trekant
ISBN 988089 Projekter: Kapitel 9 Projekt 9 Pascals trekant Projekt 9 Pascals trekant Et af målene i dette afsnit er at generalisere kvadratsætningerne, så vi fx umiddelbart og uden nødvendigvis at bruge
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs merematematikhistorie og dynamisk geometri
Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereTRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.
TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereInspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse
Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen
Læs mereFP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet
Læs mereFP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.
FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereTegn firkanter med en diagonal på 10 cm
Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm Klassetrin: 4. 10. 1 lektion. Kontekst: Ren matematik. Indgangstærskel: Lav. Hjælpemiddel: 1 cm 1 cm ternet papir. GeoGebra. Pr par: Et stykke karton på 1 cm gange
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereBilleder på matematikken
Billeder på matematikken Oplæg om repræsentationer Aktiviteter: Et rundt forløb Grovmotorik I skal lege med Footzie (den der dims man tager om foden med en snor i med en kugle i enden) og I skal lege Kaffen
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereProjekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter
Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af
Læs mereKonteXt +5, Kernebog
1 KonteXt +5, Lærervejledning/Web Facit til KonteXt +5, Kernebog Kapitel 3: Vinkler og figurer Version september 2015 Facitlisten er en del af KonteXt +5; Lærervejledning/Web KonteXt +5, Kernebog Forfattere:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2014 Institution Frederiksberg HF Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HF Matematik C Susanne Hansen
Læs mereIndhold. Indledning 7 Læsevejledning 9
Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23
Læs mereElevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.
Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9b & 9c)
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereUnityskolen Årsplan for Matematik Team 2 (3.-4. klasse)
Klasse: Team 2 (3.- 4.klasse) Fag: Matematik Lærer: Nawal Tayibi Lektioner pr. uge:? Antal elever:? Uge Forløb Færdigheds- og vidensmål Læringsmål 33 introuge 34-37 Addition og subtraktion Tal og algebra
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereNAVN: KLASSE: Talforståelse og positionssystem. Multiplikation Division Brøker. Ligninger og funktioner. Geometri Procent Matematik i hverdagen
Matematikevaluering for 5. klasse A NAVN: KLASSE: Talforståelse og positionssystem Addition Subtraktion Multiplikation Division Brøker Ligninger og funktioner Omregning Koordinatsystemet Geometri Procent
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereStudentereksamen i Matematik B 2012
Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereKompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019
Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereMatematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!
Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: Projekt Vejanlæg. Matematik B-niveau Differentialregning
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 2 Institution: 333247 2015 Projekt Matematik B-niveau Differentialregning Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Kddafi, Zehra Köse og Tobias Winberg Indledning I dette
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMatematik A August 2016 Delprøve 1
Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,
Læs mereDen pythagoræiske læresætning
Den pythagoræiske læresætning 1. Udfyld skemaet herunder dvs. find den manglende hypotenuse ved a 2 + b 2 = c 2 : 1 20 21 2 12 35 3 28 45 4 56 33 5 119 120 6 168 95 7 52 165 8 207 224 9 315 572 10 627
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs mereKlasseundervisning. Makkerpar. Individuelt arbejde. få forståelse for og erfaringer med, hvordan man regner med negative tal
Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Fagområde/ emne Tal og regning Regneregler Periode Mål Eleverne skal: Klasse: 8.a Lærer: LBJ få indblik i ligheder og forskelle mellem naturlige tal, hele tal, rationale
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mere1 Huspriser 2 Liggetider 3 Flyttepriser 4 Højdemålinger i det gamle hus 5 Helles nye værelse 6 Et ligebenet trapez 7 Kvadrater i en additionstabel
FP10 10.-klasseprøven Matematik December 2014 1 Huspriser 2 Liggetider 3 Flyttepriser 4 Højdemålinger i det gamle hus 5 Helles nye værelse 6 Et ligebenet trapez 7 Kvadrater i en additionstabel 1 Huspriser
Læs mereIdeer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet
Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til
Læs mereMattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel
Mattip om realer 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan realberegning af et kvadrat eller rektangel Tegning/konstruktion af kvadrater og rektangler realberegning af et parallelogram
Læs mere