Kommentarer til indlg om Aspects forsg Af I forarsnummeret (141) af Gamma bragte vi et lsersprgsmal om Aspects forsg, der besvaredes af Anders Srensen fra Niels Bohr Institutet. Gamma har efterflgende modtaget en kommentar til dette fra lser Peter Lind Jensen, hvilken vi bringer her, samt Anders Srensens uddybende svar. Email: anders.sorensen@nbi.dk Kommentar til Aspects forsg I artiklen i Gamma 141 om Aspects forsg blev der gennemgaet nogle statistiske beregninger som sa gav resultater, der ikke stemte med nogle fysiske forsg. Beregningerne blev foretaget pa et system med lager, hvorefter disse resultater blev overfrt til et kvantemekanisk resultat. Problemet er, at der ved beregning erne pa lagerne blev foretaget nogle statistiske antagelser, som ikke glder for det kvantemekaniske forsg. Lad os se pa en skrabelodsmodel, der mere ligner det kvantemekaniske: Vi har et skrabelod med 3 lager,, og. Den ene af lagerne kan ikke abnes. Forsger man, bliver man sendt til helvede som straf for forsg pa at bryde naturlovene, og loddet bliver brndt. Abner man de 2 tilladte lager far man resultatet af A's og B's malinger. Hvilken af de 2 malinger, der er foretaget af A kan angives sammen med resultatet eller man kan bruge en konvention. Konventionen kunne eksempelvis vre, at hvis lagen er en af de abne lager, sa er det A der har malt den, hvis ikke har A 37
Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 malt tilstanden. Produktionen af skrabelodderne kunne sa ske at man lavede lige mange lodder med hver af de 4 muligheder for tilstandene, og. Det tredje felt kan sa udfyldes med en vilkarlig fordeling af. Da man ikke abner lagen alligevel, kan man stte en lage pa som ikke kan abnes eller endnu nemmere slet ikke stte feltet pa. Tilsvarende kan man lave de andre skrabelodder. Her har vi altsa et system med skrabelodder som ikke opfylder Bells ulighed og derfor ikke kan vre lokal realistisk. Der er kun brugt, at der er en vis sandsynlighed for hvad der er under lagerne og derfor skulle den vre lokal realistisk. Det krver da vist en nrmere forklaring. Lad os i stedet se pa de rent matematiske forudstninger for Bells ulighed i den hervrende version. I artiklen blev der angivet flgende formel 1.5: P (A+; A?) = P (A+; A?; +) + P (A+; A?;?): Her betyder A at det er Andrew der abner den pagldende lage, + at der er gevinst ved at abne,? at der ikke er gevinst ved at abne lage, + at der gevinst ved at abne lage, og? at der ikke er gevinst ved at abne lage. Formlen skulle glde, hvis man var ligeglad med. Her forudsttes skjult at resultatet af variablen er stokastisk uafhngig af og. Hvis man ikke forudstter dette br formlen skrives om. Begrebet stokastisk uafhngighed kan nt forklares ud fra de angivne modeller. Hvis man har malt langs og akserne, kan man sprge om sandsynligheden for at fa + hvis man har malt +. Denne kan angives som P ( + j+) = 0:146. Tilsvarende kan man sprge om sandsynligheden for at fa + i de tilflde man har faet?. Denne kan angives som P ( + j?) = 0:854. Sandsynligheden for at fa + i det hele taget bliver sa: P (+) = P ( + j+) P (+) + P ( + j?) P (?) = 0; 146 0; 5 + 0; 854 0; 5 = 0; 5 Da P ( + j+) 6= P ( + j?) siges at variablen ikke er stokastisk uafhngig af. 38
Gamma 143 Sandsynligheden for, at man maler +, hvis man har malt A+,A?, angives ved P ( + ja+; A?). Og tilsvarende for de andre betingede sandsynligheder. Formel 1.5 skulle sa mere generelt skrives som P (A+; A?) = P ( + ja+; A?) P (A+; A?) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) Hvis, og er stokastisk uafhngige, har man: og dermed: P ( + ja+; A?) = P (+)ogp (? ja+; A?) = P (?) P (A+; A?) = P ( + ja+; A?) P (A+; A?) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) = P (+) P (A+; A?) + P (?) P (A+; A?) = P (A+; A?; c+) + P (A+; A?; c?) Det nye er altsa blot, at man tillader de stokastiske variable at vre det man kalder stokastisk afhngige. Muligheden for at de er stokastisk uafhngige eksisterer stadigvk. Tilsvarende skal formlerne 1.6 og 1.7 ndres til: P (A?; A+) = P ( + ja?; A+) P (A?; A+) + P (? ja?; A+) P (A?; A+) P (A+; A?) = P ( + ja+; A?) P (A+; A?) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) Hvis man lgger de 2 sidste ligninger sammen og fjerner de samme led som i artiklen (de 2 midterste) far man: 39
Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 P (A?; A+) + P (A+; A?) P ( + ja?; A+) P (A?; A+) + P (? ja+; A?) P (A+; A?) Det er indlysende, at denne ulighed holder idet sandsynligheder hjst kan blive 1. Det er nu ikke nr sa indlysende at hjre side kan erstattes med P(A+,A-). De matematiske forudstninger for Bells ulighed er altsa: 3 stokastisk uafhngige variable (her kaldet, og ) hver med 2 mulige udfald (her kaldet + og?). Her er antallet af variable og stokastisk uafhngighed kritisk. Jeg kan ikke se forbindelsen til Einsteins lokale realisme. I mine jne kan det kun forbindes til lokal realisme for en konkret model og sa kun for denne model. Jeg kan endnu mindre se at alle lokal realistiske modeller skal opfylde disse betingelser. Er det i det hele taget ikke lovlig ot at skrive, at Einsteins lokale realisme er det samme som, at der kan tilskrives en sandsynlighed til hvert felt, og? At der kan tilskrives en sandsynlighed betyder i vrigt blot, at man har at gre med en sandsynlighedsmodel. Sammenligner man disse forudstninger med det kvantemekaniske system far man, at det ikke opfylder en eneste af disse betingelser. Der ndes kun 1 variabel nemlig vinklen mellem spinretningerne af de 2 elektroner med 6 mulige udfald (i virkeligheden uendelig mange, men der males kun med 6 forskellige vinkler). Hvis man ikke skelner mellem fortegnene af vinklerne far man endda kun 3 udfald nemlig for vinklerne 45, 90 og 135. Den sidste forudstning for Bells ulighed bliver meningsls. I artiklen er de 3 variable opnaet ved at antage, at spinnene samtidig kan have 3 forskellige orienteringer i rummet; noget der hverken matematisk eller fysisk er holdbart. Hvis man frst har konstateret, at spinnet er i retningen, er det meningslst at sprge om, hvad den er i retningen. Denne opfattelse stammer sandsynligvis fra brugen af koordinatsystemer; men koordinatsystemer er ikke en fysisk realitet. Det er blot en bekvem 40
Gamma 143 made at beskrive rummet pa. Jeg kan derfor ikke se at man kan slutte noget som helst af at Bells ulighed bliver brudt. I artiklen forklares bruddet af uligheden med at der ikke er 3 stokastiske variable i det kvantemekaniske system, men uden at der drages den fulde konsekvens af dette: Bells ulighed kan ikke bruges. Sa vidt jeg kan se forudsttes der, at der i alle mulige retninger er en spinvektor af strrelsen 1. Som nvnt er der heller ikke 3 variable set fra et klassisk synspunkt -, og er blot tilfldige 2 forsgsakser. For at undga misforstaelser vil jeg lige anfre at ovenstaende indvendinger kun glder den beskrevne model og kun forudstningerne for Bells ulighed. Modellen er sandsynligvis forenklet af hensyn til lseligheden, og det er jo under alle omstndigheder ikke den model, der er brugt i Aspects forsg. Under alle omstndigheder ma Bells ulighed vre udledt pa grundlag af nogle matematiske forudstninger, som jeg desvrre ikke kender. De meget korte beskrivelser, jeg har set andre steder, nvner dem ikke, og forfatterne har formodentlig hverken kendt dem, interesseret sig for dem eller kunnet forsta dem. Artiklen i Gamma har sa ogsa faet mig til at interessere mig for i hvor hj grad de matematiske forudstninger stemmer overens med den kvantemekaniske model. Mine indvendinger kan sammenfattes til 3 punkter nemlig: A) Forbindelsen til lokal realisme mangler totalt. B) Forudstningerne for Bells ulighed stemmer ikke med det fysiske system. C) Der antages at de "relevante"variable er stokastisk uafhngige. Jeg har altid vret lidt skeptisk overfor Aspects forsg. Det er simpelthen fordi begrebet 'lokal realisme' er sa bredt, at jeg nder det nrmest hablst at teste. Her har jeg dog taget forbehold overfor, at Einstein skulle have deneret begrebet nrmere. En mulig forklaring kunne vre at blgefunktionen ved dannelsen af elektronparret blev pavirket af omgivelserne med forsgs opstillingen. Dette er i mine jne en lokal realistisk model, der bryder Bells ulighed, hvilket igen peger pa at forudstningerne for Bells ulighed er tvivlsom. 41
Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 Denne mulighed testes nppe af Aspects forsg og i hvert fald ikke af det i artiklen beskrevne. Det kan vre, at der er gode grunde til at den forklaring ikke holder; men den testes altsa nppe, og bare det at den eksisterer peger pa muligheden af at der er andre forklaringer. Man ma holde sig for je, at den menneskelige fantasi er begrnset. Svar fra Anders Srensen Kre Peter Lind Jensen, Jeg ma sige, at jeg ikke er enig i dine kommentarer. Noget af det meget overraskende ved Bells ulighed er faktisk, hvor generel den er. Men for nu at starte med noget vi er enige om, sa er jeg enig med det sidste du siger: \Man ma holde sig for je, at den menneskelige fantasi er begrnset." Sadan set er det noget af det Bells ulighed drejer sig om. Vi laver den mest generelle beskrivelse af, hvordan vi kan forestille os, at verden hnger sammen, hvorefter vi viser, at verden er mere kompliceret end det. Forudstningen for Bells ulighed er sadan set bare, at A og B kan lave forskellige malinger pa hver deres halvdel af systemet, og at der for hver maling de laver, er en vis sandsynlighed for at fa et bestemt udfald. Dette udfald antages kun at afhnge af systemets tilstand, og ikke af hvad den anden gr. Jeg vil hvde, at dette svarer til, hvad vi vil kalde \lokal realisme": Systemet har en tilstand, lad os kalde den. Her er det vigtigt, at jeg ikke ndvendigvis antager, at er den samme i alle tilfldene. Jeg antager bare, at der for hvert elektron par ndes en tilstand. Dette er \realisme"delen af argumentet. \Lokaliteten"siger, at det resultat man far det ene sted, ikke kan afhnge af, hvad man gr det andet sted. Alligevel er resultaterne altid korrelerede, sadan, at nar den ene er + i, er den anden?. Hvis malingen A ikke kan afhnge af, hvad der sker ved B, er den eneste made, hvorpa A og B kan vre korrelerede, hvis korrelationerne laves, nar partiklerne forlader hinanden. Nar f.eks. A bliver malt langs og giver +, skal B give?. Hvis ikke B kan fa noget at vide om, hvilken maling der laves pa A, og hvad resultatet giver, ma partiklerne saledes pa forhand have \aftalt", hvilket udfald disse malinger 42
Gamma 143 skal give 1. Som du selv siger, er begrebet \lokal realisme"utroligt bredt, men jeg ma sige, at jeg synes ogsa antagelserne ovenfor er meget brede, og jeg haber du er enig i, at det er sadan vi forventer verden skal opfre sig. Det utrolige ved Bells ulighed og Aspects forsg er, at de faktisk viser, at disse antagelser er forkerte. Jeg husker selv tydeligt, hvor overrasket jeg blev da dybden af argumentet gik op for mig. Desvrre kan jeg se pa dine kommentarer, at det ikke er lykkedes mig at overbevise dig, sa jeg ma hellere uddybe lidt. Du opsummerer din kritik i tre punkter A) Forbindelsen til lokal realisme mangler totalt. B) Forudstningerne for Bells ulighed stemmer ikke med det fysiske system. C) Der antages at de "relevante" variable er stokastisk uafhngige. Jeg haber, at jeg svarer pa A), hvis jeg kan overbevise dig om at antagelserne ovenfor svarer til forudstningerne for Bells ulighed. Hvis man kigger pa det, jeg gjorde i min frste artikel, mener jeg sadan set ikke, at jeg antager mere, end jeg siger ovenfor, men der kommer lidt uddybning nedenfor. Ang. B) har du ret i, at de kvantemekaniske love ikke opfylder forudstningerne, men dette er hele pointen, nemlig at kvantemekanikken bryder Bells ulighed. Du skriver selv, at sandsynligheden afhnger kun af forskellen i vinkler, men pa en made er det netop det, som giver ikkelokaliteten: Hvis B far op langs en given retning, afhnger As sandsynlighed af vinklen relativt til Bs akse, hvilket er underligt \ikke-lokalt". Men hvis venter med at bruge vores kvantemekaniske viden, svarer systemet godt til forudstningerne for Bells ulighed. En kilde udsender elektroner i en tilstand, hvorefter vi vlger at lave nogle malinger pa systemet. I stedet for at kigge pa malinger langs alle mulige akser vlger vi sa at male langs tre forskellige retninger, og. For alle mulige 1 Dette betegnes som en lokal skjult variabel teori (local hidden variable). Altsa at korrelationerne bliver lavet lokalt, men vi kan bare ikke se det. Bells ulighed og Aspects forsg viser, at sadanne teorier er forkerte. 43
Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 kombinationer af akserne laver vi sa malinger, og far derved tllestatistik nok til at kunne konstruere sandsynligheder som P (A+; B?) o.s.v. Det afgrende her er bare, at vi kan lave tre forskellige malinger - male tre forskellige variable, og nde de tilhrende sandsynligheder. Ang. C) ma jeg sige, at det simpelthen ikke er rigtigt. Der er ikke lavet nogen antagelse om, at variablene er stokastisk uafhngige. Ligningerne glder uafhngigt af dette. Dette beviser jeg i et lille appendix til dette svar. Du beskriver i dit brev en mulig forklaring pa, at Aspects forsg bryder Bells ulighed, nemlig at elektronerne vekselvirker med omgivelserne som pavirker blgefunktionen. I et eksperiment er det meget realistisk, at der sker en sadan pavirkning. Faktisk er det sadanne pavirkninger, som gr det svrt at udfre eksperimenterne i praksis, og som ogsa gr det svrt f.eks. at bygge en kvantecomputer. Denne mulighed er dog medtaget i Bells ulighed. For at kunne svare pa dette mere prcist, har jeg i antagelserne ovenfor medtaget, at elektronerne kan vre i forskellige tilstande fra par til par og sagt, at denne tilstand kan jeg kalde. For simpelheds skyld medtog jeg ikke dette i min frste artikel, men siden du nu specikt sprger til det, inkluderer jeg det her. Det vi nu skal gre er, at erstatte alle sandsynligheder med tre argumenter, som f.eks. P (A+; A?; A+) 2, med den betingede sandsynlighed for at fa svaret givet en tilstand, eksempelvis P (A+; A?; A + j). Nar vi sa skal udtrykke vores malelige strrelser, skal vi midle over alle mulige tilstande, hvilket giver os P P (A+; A?; A + j)p (), hvor P () er sandsynligheden for, at systemet er i tilstanden. Men i flge den generelle formel (11) fra appendikset har vi X P (A+; A?; A+) = P (A+; A?; A + j)p (): (1) Indstter vi dette, reducerer det hele til de udtryk jeg brugte i den frste artikel. Sa Bells ulighed glder stadig i dette system 3. Jeg har saledes ikke 2 I min frste artikel glemte jeg at skrive det sidste A foran, men det burde have vret der. 3 Men selvom Bells ulighed stadig glder betyder det, at tilstanden ndrer sig lidt fra gang til gang alligevel noget i eksperimentet. Stj medfrer, at den kvantemekaniske tilstand bliver sa meget forstyrret, at den ofte ikke lngere bryder Bells ulighed, og kun under srlig omstndigheder kan man se brud pa Bells ulighed. Dette betyder dog ikke noget for argumentet. Bells ulighed siger kun, at resultater, som bryder Bells ulighed, er i strid med lokal realisme. Den siger ikke noget om resultater, som ikke bryder Bells ulighed. 44
Gamma 143 antaget andet end at tilstanden eksisterer (realisme), og at resultatet af en maling kun afhnger af tilstanden og ikke af hvad den anden gr (lokalitet). Jeg haber, at dette hjlper lidt pa forstaelsen af Bells ulighed. Hele argumentet for Bells ulighed er sadan set inkluderet i, hvad jeg har beskrevet her og i den sidste artikel. Jeg nvnte i en fodnote i den sidste artikel, at Aspects forsg var en lille smule anderledes, og du formoder, at det er forsimplingen, som har smidt noget af essensen vk. Dette mener jeg ikke er tilfldet. Forskellen til Aspects forsg er blot, at Aspect testede en lidt anden ulighed, som logisk set er stort set kvivalent til denne, men som er lidt mindre flsom overfor nogle eksperimentelle imperfektioner. Det utrolige ved Bells ulighed er generaliteten af argumentet. Bells ulighed viser virkelig, at verden er mere kompliceret, end vi umiddelbart troede. Med venlig hilsen Anders S. Srensen, Lektor Niels Bohr Institutet Appendiks Du hvder i dit brev at ligningen P (A+; A?) = P (A+; A?; A+) + P (A+; A?; A?): (2) kun glder nar er stokastisk uafhngig af og. Jeg vil her vise, at det ikke er rigtigt. Lad os sige, at vi har N skrabelodder af typen, der blev beskrevet i min frste artikel, hvor N er et meget stort tal. Lad os nu sige, at der i N 1 tilflde er kombinationen +, + og + (jeg har her valgt at fjerne alle \A"erne, da de ikke spiller nogen rolle). Tilsvarende kan alle andre muligheder tilskrives et antal N i, som denne kombination optrder i. De forskellige muligheder er speciceret i tabel 1. Lad os nu se pa sandsynligheden for at fa +;?; +. Det sker i N 3 tilflde, og altsa er sandsynligheden P (+;?; +) = N 3 N : (3) 45
Kommentarer til indlg om Aspects forsg Gamma 143 Tabel 1: Mulige kombinationer, og de antal gange de optrder ; ; ; ; ; ; ; ; +,+,+ N 1 +,+,- N 2 +,-,+ N 3 +,-,- N 4 -,+,+ N 5 -,+,- N 6 -,-,+ N 7 -,-,- N 8 Tilsvarende er P (+;?;?) = N 4 N : (4) Hvis vi vil nde sandsynligheden for at fa +;? uafhngigt af hvad, er skal vi tage alle de kombinationer, hvor vi har +;?, hvilket er N 3 + N 4. Vi har altsa P (+;?) = N 3 + N 4 N = P (+;?; +) + P (+;?;?); (5) som jeg brugte i min udledning. Det samme resultat kan ogsa ndes v.h.a. de betingede sandsynligheder, som du bruger. For at gre det, skal vi bruge sandsynligheden for, at er f.eks. +. Dette sker i N 1 + N 3 + N 5 + N 7 tilflde, altsa er sandsynligheden P (+) = N 1 + N 3 + N 5 + N 7 : (6) N Vi skal dernst bruge sandsynligheden for, at vi far +;?, givet at er +. Dette sker i N 3 ud af N 1 + N 3 + N 5 + N 7 tilflde. Altsa er P (+;? j+) = Sammenligner vi nu med (3), ser vi at N 3 N 1 + N 3 + N 5 + N 7 : (7) P (+;?; +) = P (+;? j+)p (+): (8) Ved at bruge dette far vi altsa, at P (+;?) = P (+;? j+)p (+) + P (+;? j?)p (?) (9) 46
Gamma 143 giver prcist det samme som ovenfor. Man kan saledes bruge de betingede sandsynligheder eller lade vre, alt afhngig af hvad man har lyst til. Der er saledes ikke nogen antagelse om statistisk uafhngighed i mine regninger. Udtrykkene (2) og (9) er egentlig special tilflde af de generelle statistiske regler X P (x) = X P (x; y) (10) y = P (xjy)p (y): (11) Den sidste af disse bliver brugt i ligning (1) ovenfor. y Yderligere lsning En bermt bog om emnet er: J. S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics, Cambridge University Press. Aspects originale artikel: A. Aspect, J. Dalibard, og G. Roger, Phys. Rev. Lett. 49, 1804 (1982). Den udgave af Bells ulighed, som Aspect testede, er fra: J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, og R. A. Holt, Phys. Rev. Lett. 23, 880 (1969). Et mere ekstremt eksempel, hvor lokal realisme og kvantemekanik ikke bare giver forskellige sandsynligheder, men direkte modsatte konklusioner, kan ndes i: D. M. Greenberger, M. A. Horne, A. Shimony, og A. Zeilinger, Am. J. Phys. 58, 1131 (1990) 47