SKRIFTLIG EKSAMEN I SVINGNINGSTEORI Bygge- og Anlægskonstruktion, 8.semester Fredag den 22. juni 2 kl. 9.-3. Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE B yt ) p cos t) l x A Konstruktionen på figuren er lodret og symmetrisk i tegneplanen, og antages modelleret ved hjælp af plan Bernoulli-Euler bjælketeori. Konstruktionen har længden l, og forudsættes fast indspændt ved vederlaget i punkt A. Tværsnit i konstruktionen identificeres vha. en koordinat x langs bjælkeaksen målt fra vederlaget. Konstruktionen påvirkes af en horizontal, harmonisk varierende last pr. længdeenhed i konstruktionens plan, px, t) =p cosωt), med den konstante amplitude p og den cirkulære frekvens ω. Bøjningsstivheden x) og massen pr. længdeenhed µx) er lineært varierende, givet ved følgende udtryk x) = α x ) l, µx) =µ β x ) l hvor og µ henholdsvis angiver bøjningsstivheden og massen pr. længdeenhed ved vederlaget, og α < ogβ < er dimensionsløse parametre. Konstruktionen antages kun at udføre små vandrette flytninger i konstruktionsplanen, og der ses bort fra normalkræfternes indflydelse på bøjningsstivheden. Spørgsmål 2%, µ =.9%) Opstil bevægelsesligningen for konstruktionen, idet denne reduceres til et system af en enkelt frihedsgrad yt), der vælges som den vandrette flytning i konstruktionsplanen af konstruktionens frie ende B. Ved den numeriske udregning benyttes α = β =.2, og følgende formfunktion Φx) = 2 3 x ) x ) 2 l l
2 Spørgsmål 2 5%, µ = 2.2%) Bestem den stationære bevægelse af konstruktionens top, når eventuelle bevægelsesbidrag fra begyndelsesbetingelserne er dæmpet bort. Der ses iøvrigt bort fra dæmpning. Hjælp: Følgende bestemte integraler kan benyttes ved opgavens løsning αξ ) 3 3ξ ) 2dξ =3 3 4 α βξ ) 3 ξ ) 2ξ 4 dξ = 33 35 43 56 β OPGAVE 2 m v y k a f x Figuren viser et idealiseret køretøj bestående af en masse m og en lineært elastisk, dæmpningsfri fjeder med fjederkonstanten k, der er i permanent kontakt med en vandret vejoverflade. Køretøjet bevæger sig med den konstante hastighed v. Til fastlæggelse af køretøjets position indlægges et x, y)-koordinatsystem med x-aksen placeret langs vejoverfladen. Ved koordinatsystemets origo er placeret et parabelformigt bump givet ved udtrykket yx) =4f x ) x a a hvor f er pilhøjden, og a er kordelængden i bumpet. Køretøjsmassen m foretager kun små svingninger i lodret retning, og antages i ro før køretøjet kører ind på bumpet. Spørgsmål 25%, µ = 6.9%) Bestem bevægelsen af køretøjsmassen efter at køretøjet er kørt ind på bumpet.
3 Hjælp: Følgende ubestemte integraler kan benyttes ved opgavens løsning τ sin ω t τ) ) dτ = ω ω 2 τ cos ω t τ) ) + sin ω t τ) )) τ 2 sin ω t τ) ) dτ = ω 3 ) ωτ 2 2 2 cos ω t τ) ) +2ω τ sin ω t τ) )) OPGAVE 3 Figuren viser en horizontal, plan, sammensat Bernoulli-Euler bjælke, bestående af delbjælkerne AB, BC og CD. Bjælke AB har længden 2a, medens delbjælkerne BC og CD hver har længden a. Alle delbjælker er masseløse med konstant bøjningsstivhed, og anses for uendeligt stive overfor axialdeformationer. I punkterne A og D er anordnet henholdsvis en fast og en bevægelig simpel understøtning. I punkt B er anordnet en punktformig masse m og en lodret, lineær elastisk fjeder med fjederkonstanten k. I fjederens frie ende er vedhæftet en punktformig masse m, der kun kan bevæge sig i lodret retning i konstruktionsplanen. I punkt C angriber en lodret harmonisk varierende dynamisk kraft, ft) =f cosωt), med amplituden f og den cirkulære frekvens ω. Der betragtes kun små lodrette svingninger omkring den statiske ligevægtstilstand af bjælken og massen m. Spørgsmål 5%, µ = 7.3%) Bestem konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvenser og egensvingningsformer for m =.m og k = 3 4 a. 3 Spørgsmål 2 %, µ = 5.%) Bestem den stationære bevægelse af den ydre krafts angrebspunkt C, når eventuelle bevægelsesbidrag fra begyndelsesbetingelserne er dæmpet bort. Der ses iøvrigt bort fra dæmpning.
4 OPGAVE 4 A B = C x a u x,t) a Figuren viser en plan horisontal bjælkekonstruktion bestående af delbjælkerne AB og BC, begge af længden a. Bjælke AB er en Bernoulli-Euler bjælke med konstant bøjningsstivhed og konstant masse pr. længdeenhed µ. Bjælke BC antages uendelig stiv over for bøjningsdeformationer = ), og har den konstante masse pr. længdeenhed µ. Konstruktionen er fast simpelt understøttet i punkt A og bevægelig simpelt understøttet i punkt C. Der betragtes kun små lodrette svingninger omkring den statiske ligevægtstilstand. Spørgsmål %, µ = 4.9%) Bevægelsen af delbjælken AB betegnes ux, t), hvor x er en koordinat langs bjælkeaksen målt fra punkt A. Vis, at følgende randbetingelser er gyldig ved grænsesnitfladen i punkt B til den uendeligt stive bjælke BC ua, t) = a ux, t) x, x=a 2 ux, t) x2 = a 3 ux, t) x=a x3 + x=a 3 µ a 2 2 ua, t) t2 Spørgsmål 2 5%, µ = 9.%) Formuler betingelsen til bestemmelse af konstruktionens udæmpede cirkulære egenfrekvenser for µ =2µ. Der kræves ingen numerisk løsning af den opstillede frekvensbetingelse.
5 SOLUTIONS PROBLEM Question : The equation of motion reads, cf. 5-), 5-), 5-), 5-2) mÿ + ky = ft) ) where m = l µx)φ 2 x)dx = 4 µ l ) ) 2ξ βξ 3 ξ 4 dξ = 33 28 µ l 5 43 ) 8 β 2) k = l d 2 ) 2 Φx) x) dx 2 dx =9 l 3 αξ ) ξ ) 2dξ = l 3 3 34 α ) 3) ft) = Question 2: l px, t)φx)dx = 2 p l cosωt) 3 ξ ) ξ 2 dξ = 3 8 p l cosωt) 4) The system is undamped. Hence, the stationary displacement response of the mass is in phase with the load. The stationary response as determined from ) is then given as yt) =Y cosωt) 5) Y = 28 µ l 3 8 p l 33 5 43 8 β ) ω 2 42 p = ω2 22 µ ω 2 6) ω2 where the circular eigenfrequency of the structure becomes ω 2 = 3 3 4 α ) µ l 4 = 33 28 5 43 8 β 392 22 µ l 4 7)
6 PROBLEM 2 Question Fig. : Forces on free mass. The staticequilibrium of the mass m is defined as the horizontal level of the beam at the velocity v =, when placed at the horizontal part of the surface. The vertical displacement of the vehicle mass as measured from the static equilibrium state is denoted as zt). If t = is selected as the instant of time, where the vehicle is at the position x =, the abscissa at the time t is given as x = vt. Hence, the surface elevation at the time t becomes { ) 4f vt vt a a, t, a v yvt) =, t / ), a v The mass is cut free from the spring, and the spring force is applied as an external force. The elongation of the spring becomes zt) yvt), and hence the spring becomes equal to k zt) yvt) ). The equation of motion may be written m z = k zt) yvt) ) z + ω 2 z = ω 2 yvt) 2) ω 2 = k m 3) Since the mass is at rest prior to the entrance of the bump, the solution of 2) becomes, cf. 2-), 2-26) zt) = ω 2 t 4fω t ht τ)ω 2 yvτ)dτ = ω sin ω t τ) 4f t sin ω t τ) vτ a vτ a ) vτ a dτ = ) vτ dτ 4) a
7 where t = min t, a ) v 5) Evaluation of 4) provides the responses v ) ) ) zt) =4fω a ω 2 ω t cos ω t t + sin ω t t sin ω t v2 ω 2 a 2 ω 3 t 2 2 ) ) cos ω t t +2ω t sin ) ) ) t t +2cosω t 6) PROBLEM 3 Question : Fig. : Forces on free beam and suspended mass. The beam is massless. Hence, the beam has a single degree of freedom, which is selected as the vertical displacement x t) ofpointb from the staticequilibrium state. Additionally, the vertical displacement x t) ofpointc from the staticequilibrium state is introduced as an auxiliary degree of freedom. The vertical displacement of the suspended mass m from the staticequilibrium state is denoted x 2 t). The sign of x t),x t) andx 2 t) is defined in fig.. The beam and the suspended mass is cut free from the spring, and the spring force kx 2 x ) is applied as external forces on the beam and the mass with signs as defined in fig.. Further, the inertial forces mẍ and m ẍ 2 are applied as external forces according to d Alembert s principle. The displacements x t) andx t) and the equation of motion for the suspension mass then become, cf. 3-342), 3-343) x t) =δ ft)+δ mẍ + kx 2 x ) ) ) x t) =δ ft)+δ mẍ + kx 2 x ) ) 2) m ẍ 2 + kx 2 x )= 3)
8 The flexibility coefficients are given as, cf. B-), B-2) δ δ = a 3 9 4) 2 δ 6 2) and 3) may be written on the matrix form Mẍ + Kx = F cosωt) 5) x t) xt) = x 2 t) F = δ [ δ, M = m ] f = 6 f η, K = k [ +κ ] 6) 7) where κ = δ k = 3 4 ka 3 η = m m 8) 9) For m =.m and k = 3 4 a, which mean that η =. andκ =, the circular eigenfrequencies ω j and the eigenmodes Φ i) = 3 [ j) ] Φ Φ j) are determined from the homogeneous 2 linear equations, cf. 3-42) [ 2 λj λ j ][ j) ] Φ Φ j) = 2 ) λ j = m k ω2 j ) The characteristic equation becomes 2 λ j ) ) λ j = { 6 26, j = λ j = 6+ 26, j =2 2) 6 26 k m, j = ω j = 6+ 26 k m, j =2 3)
9 The eigenmodes ar normalized as follows Φ j) = [ Φ j) ], j =, 2 The first component Φ j) is determined from the last equation of ) Φ j) = λ j = { 4+ 26 ) 4 26 ), j =, j =2 4) Question 2: The stationary response of 5) is given as, cf. 3-), 3-) xt) =X cosωt) 5) X = Hω)F 6) Hω) = K ω 2 M ) +κ λ = = k ηλ ηλ k + κ λ) ηλ) ) +κ λ 7) where λ = ω 2 m k, cf. ). Then X = 6 f ηk λ λ )λ λ 2 ) ηλ 8) where λ and λ 2 denote the eigenvalues 2). As seen x t) forλ = η = ω =. From ) follows that k m x t) =X cos ωt X = δ f + δ mω 2 ηλ ) + k +ηλ )) 6 f ηk λ λ )λ λ 2 ) = a 3 f 3 4 + 2 92 λ ) ) +η ηλ 9) ηλ λ )λ λ 2 )
PROBLEM 4 Question : Fig. : Boundary conditions at the end-section of the elastic beam AB at point B. a) Geometrical boundary condition. b) Mechanical boundary condition. With the sign defined in fig. a, the rotation of the elasticbeam at the boundary section at point B is given as xua, t). Since the beam BC is infinitely stiff and small deformations have been assumed, this rotation must be equal to ua,t) a, see fig. a. This leads to the following geometrical boundary condition a ua, t) =ua, t) ) x The elasticbeam AB is cut free from the infinitely stiff beam BC and the shear force Qa, t), and the bending moment Ma, t) is applied with the sign defined in fig. b. Since the beam BC is infinitely stiff the inertial load per unit will be linearly varying from the value u üa, t)atpointb to zero at point C. Moment equilibrium formulated at point C provides Qa, t)a + Ma, t) = 3 a2 µ üa, t) 2) The constitutive equation of Bernoulli-Euler beams 4-4) and the statical condition 4-2) gives the conditions Mx, t) = 2 ux, t) x2 Qx, t) = 3 Mx, t) = ux, t) x x3 Insertion of 3) into 2) then provides the following mechanical boundary condition a 3 2 ua, t) = x3 x 2 ua, t) 3 Question 2: 3) µ a 2 üa, t) 4)
The eigenvibrations ux, t) are searched for on the form 4-2) ux, t) =Φx)cosωt) 5) If 5) is inserted into the boundary conditions ) and 4), the following conditions on the amplitude function Φx) are obtained a d d3 d2 Φa) =Φa), a Φ= dx dx3 dx 2 Φa)+ µ a 2 ω 2 Φa) 6) 3 The differential equation for the amplitude function and the boundary condition at x = are given by 4-3). Introducing the non-dimensional coordinate ξ = x a the following eigenvalue problem is obtained d 4 dξ 4 Φξ)+λ4 Φξ) =, ξ [, ], λ 4 = µa4 ω 2 where Geometrical boundary conditions: d Φ) =, Φ) + Φ) = dξ Mechanical boundary conditions: d 2 dξ 2 Φ) =, d 2 d3 Φ) + dξ2 dξ 3 Φ) + η 3 λ4 Φ) = η = µ µ 7) 8) The solution of 7) reads, cf. 4-8) Φξ) =A sinλξ)+b cosλξ)+c sinhλξ)+d coshλξ) 9) The boundary condition Φ) = d2 dξ Φ)=atξ = implies that B = D =,cf. 2 4-24). Introduction of the boundary conditions at ξ =x = a) leads to the following system of homogeneous equations [ sin λ + λ cos λ sinh λ + λ cosh λ η 3 λ2 ) sin λ λ cos λ η 3 λ2 + ) sinh λ + λ cosh λ ] A = C Non-trivial solutions A C require singularity of the coefficient matrix, which leads to the frequency condition 2sinh λ + λ cosh λ)sin λ + λ cos λ) + )
2 η 3 λ2 sinh λsin λ + λ cos λ) η 3 λ2 sin λsinh λ + λ cosh λ) = sinh λ + λ cosh λ)sin λ + λ cos λ)+ η 6 λ3 cos λ sinh λ sin λ cosh λ) = ) For η = µ µ = 2 the first three solutions to ), as well as the corresponding circular egenfrequencies ω j as determined from 4-34), become.723798, j = λ j = 4.35573, j =2 7.286564, j =3 2.9748 µa, j = 4 ω j = 8.53796 µa, j =2 4 53.942 µa, j =3 4 2) 3)