MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe

HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri 1. 6. klasse

Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri 1.-6. klassetrin Samfundslitteratur

Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende Geometri 1.-6. klassetrin Samfundslitteratur, 2013 Omslag: Annette Borsbøl, Imperiet Tegninger: Joh n Schou Forlagsredaktion: Ole Jørgensen Projektledelse: Thomas Bestle Sats og tryk: Narayana Press, Gylling Printed in Denmark 2013 Trykt bog ISBN 978 87 593 1796 9 E-bog ISBN 978 87 593 2335-9 Samfundslitteratur Rosenørns Alle 9 1970 Frederiksberg C Tlf. 3815 3880 Fax 3535 7822 www.samfundslitteratur.dk Alle rettigheder forbeholdes Kopiering af denne bog må kun finde sted på institutioner, der har indgået aftale med COPY-DAN, og kun inden for de i aftalen nævnte rammer. Undtaget herfra er korte uddrag til anmeldelser.

INDHOLD Forord 9 Indledning 11 1 Eksperimentel geometri 13 En smagsprøve 14 Geometriske konstruktioner på papir og computer 15 Elementære konstruktioner 15 Kombinerede konstruktioner 18 Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion 20 Klassisk konstruktion 23 Opsamling på kapitel 1 28 2 Lokalisering, afstand og bevægelse 29 Bishops kulturelle fænomenologi 29 Lokalisering 31 Koordinatsystemer 33 Afstand mellem to punkter 34 Bevægelser 36 Retninger 36 Vektorer 37 Den retlinede bevægelse 40 Opsamling på kapitel 2 42 3 Undersøgelser af rumlige figurer 43 Genopdagelse af de platoniske legemer 44 Eulers polyedersætning 45 Descartes spidsheder 47 Halvregulære polyedre som inspiration 49 Opsamling på kapitel 3 51 Indhold 5

4 Bevisførelse i geometri 53 Grundlaget for euklidisk geometri 54 Trekanter i klassisk geometri 59 Kongruente trekanter som bevisværktøj 65 Opsamling på kapitel 4 71 5 Elementer af geometriens didaktik 73 Begrebsdannelse og geometriske former 73 Begrebet trekant i 2. klasse 74 Det figurale aspekt 78 van Hieles niveauer 79 Kritik af og inspiration fra van Hieles 81 Et par vigtige læremidler 85 Logo og dets efterfølgere 85 Dynamiske geometriprogrammer 86 Geometriske ræsonnementer 89 Beviset efter de dynamiske geometriprogrammer 93 Omdannelse af stive beviser til undersøgende argumenter 96 Opsamling på kapitel 5 98 6 Måling i indskolingen om at bestemme længder 99 Grundlæggende forhold ved måling 99 Richard Lehrer, m.fl.: at udvikle måleværktøjer med mening 102 Clements: at udvikle mening i måleværktøjer 105 Måling og andre matematikfaglige områder 107 Opsamling på kapitel 6 109 7 Måling og areal 111 Målingens didaktik 111 Centrale aspekter af målebegrebet 112 Måling som forbindelsesled til og mellem andre faglige emner 114 Arealberegning didaktiske overvejelser 116 Areallæren 121 Beviser med opdeling og flytning 123 Måling af cirklen 126 Opsamling på kapitel 7 128 6 4

8 Rumfang 129 Om rumfangsbegrebet 129 Indledende eksperimenter med rumfang 131 Opbygning af rumfangslæren 132 Udvikling af rumfangsformler baseret på areallæren 132 Cavalieris princip 134 Opsamling på kapitel 8 140 9 Tegning af model 141 Hvordan kommunikeres tings geometriske udseende? 141 Isometrisk tegning 142 Arbejdstegning 146 Perspektivtegning 148 Opsamling på kapitel 9 149 10 Flytninger, eksperiment og argument 151 Eksperimentel flytningsgeometri 152 Flytningernes fænomenologi 153 Kombinationer af flytninger 157 Opsamling på kapitel 10 165 11 Symmetrier og mønstre 167 Symmetri i enkeltformer 167 Frisemønstre 175 Fliser og tesselationer 178 Opsamling på kapitel 11 181 12 Problemløsnings- og ræsonnements kompetence 183 Picks problem 184 Problemløsningsstrategier 186 Ræsonnementskompetence i praksis 190 Trædesten: En generel ræsonnementsstrategi 190 Tilbage til Picks teorem 195 Syntesevejen, vi lægger sten 1 196 Analysevejen vi lægger sidste sten før mål 199 Videregående geometriske ræsonnementer 203 Opsamling på kapitel 12 205 8 7

13 Konkrete og virtuelle manipulative materialer 207 Hvorfor konkrete materialer? 208 Hvad er konkrete materialer, og hvordan kan de bruges? 210 Afstanden mellem et konkret materiale og et matematisk begreb 214 Konkrete materialers gennemsigtighed 216 Et eksempel: lineære regnerør 217 Sammenligning af to materialer 218 Virtuelle manipulative materialer 221 Brøkregning med virtuelle manipulative materialer 221 Opsamling på kapitel 13 226 Referencer 227 Bøger til grundskolen 229 Stikordsregister 231 8 13

FORORD Matematik for lærerstuderende har, siden det vandt lærebogsprisen i 2006 været et udbredt system for linjefagene i matematik på læreruddannelserne i Danmark, og de centrale bøger i systemet er oversat til svensk. Udgangspunktet i 2006 var meget ambitiøst på grund af det nye store timetal i matematik. I anledning af den seneste reform LU13 er omfanget reduceret drastisk, men det høje ambitionsniveau er fastholdt, hvad angår de kvalifikationer, der retter sig mod den lærerstuderendes fremtidige profession. Til undervisningsfaget matematik 1.-6. klasse er der i serien Matematik for lærerstuderende følgende bøger: Tal, algebra og funktioner 1.-6. klasse; Geometri 1.-6. klasse; Stokastik 1.-10. klasse; Delta, Fagdidaktik; My, Elever med særlige behov. Til den studerende, der føler behov for at opdatere sin faglighed inden studiestart, har vi udviklet materialet Alfa, Forstudier. Geometri 1.-6. klasse præsenterer fagligt og fagdidaktisk materiale samt tilhørende arbejdsopgaver svarende til det nationale basismodul Matematikundervisning og geometri. Bogen dækker de faglige krav i modulet. Den såkaldte stofdidaktik er som regel medtaget i samme kapitel som det tilsvarende matematikfaglige emne, men er også tematiseret og samlet i et par særlige kapitler. Det fagdidaktiske stof, der er fælles for al matematikundervisning, skal søges i bøgerne Delta og My. I hvert kapitel er de vigtigste mål angivet i starten, og kapitlet rundes af med en opsamling, der muliggør en evaluering af udbyttet. De matematiske kompetencer står centralt både i LU13 og i det aktuelle faghæfte for grundskolen, derfor fremhæver vi i hvert kapitel, hvilke kompetencer der især kan udvikles gennem arbejdet. Den studerende vil gennem arbejdet med de tre matematikfaglige bøger være kommet godt omkring alle otte matematiske kompetencer. Forord 9

Programmel, it Vi inddrager i høj grad it, og vi benytter gratis og frit tilgængelige ressourcer, som også i vid udstrækning er platformsuafhængige. Vores valg er for geometriprogrammernes vedkommende faldet på: GeoGebra (http://www. geogebra.org). Desuden inddrager vi regneark, diverse hjemmesider og en række ressourcer, der kun er tilgængelige på nettet. Der findes svarforslag til øvelser på bogens hjemmeside www.samfundslitteratur.dk/mat, ligesom en liste over de trykfejl, vi bliver opmærksomme på, vil være at finde på denne hjemmeside under errata. København, marts 2013 Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott 10 Forord

INDLEDNING Indholdet af denne lærebog er først og fremmest bestemt ud fra kravene i LU13 og beskrivelsen af det nationale modul Matematikundervisning og geometri 1.-6. kl. Men vi har også ladet os inspirere af det aktuelle faghæfte for matematik i grundskolen, vel vidende at alt dette kan og vil ændre sig i de mange år, læseren skal virke som matematiklærer i skolen. Derfor har vi været særligt optaget af at præsentere matematiske emner, didaktisk forskning og aktiviteter, som vi anser for at være væsentlige og relevante på langt sigt. Der er et visuelt, næsten konkret præg over geometri, hvilket gør det muligt at sende læseren ud på eksperimentel opdagelse i plangeometriens verden i det første kapitel, fulgt godt op af endnu mere sanselige og manipulative undersøgelser af rumlige figurer i det tredje kapitel. Sammen med et kapitel om Lokalisering, afstand og bevægelse og et bredt didaktisk kapitel om vigtige elementer af geometriens didaktik udgør dette indhold bogens første tredjedel. Selv om beviser ikke er nævnt i læseplanen for 1.-6. klasse i grundskolen, skal eleven dog efter 6. klasse kunne gennemføre uformelle og enkle matematiske ræsonnementer. For at klæde matematiklæreren på til dette følger et kapitel om Bevisførelse i geometri, ligesom det langt senere kapitel Problemløsnings- og ræsonnementskompetence styrker læserens indsigt i problemløsning og matematiske ræsonnementer. For de mindre elever er måling et meget vigtigt emne, som vi helliger hele tre kapitler. De handler om henholdsvis længde-, areal- og rumfangsmåling. Kapitlerne indeholder både faglig matematik og stofdidaktik. I de senere årtier er arbejdet med flytninger, symmetrier og mønstre blevet populære emner i skolen de kan også indgå i tværfaglige forløb. Det gælder også kapitlet Tegning af model. Som slutsten for denne geometribog står et kapitel om konkrete og virtuelle manipulative materialer, der i virkeligheden er relevant for alle de øvrige emner, vi har i Matematik for lærerstuderende: tal, algebra, funktion og stokastik på 1.-6. klassetrin. Indledning 11

1 EKSPERIMENTEL GEOMETRI Geometri i skolen var for et halvt århundrede siden en ret systematisk opbygning, der endnu længere tilbage simpelthen var en forenklet udgave af nogle af de første bøger i Euklids to tusinde år gamle Elementer. Der var dog også kritik af denne belærende systematik allerede så tidligt som i 1762, hvor den franske pædagogiske tænker J. J. Rousseau i sin bog Emile hævdede, at al den systematiske logik var helt imod barnets natur. I stedet skulle der eksperimenteres med tegninger af geometriens figurer: De vil lære hele den elementære geometri ved at gå fra iagttagelse til iagttagelse, uden at der bliver spørgsmål hverken om definitioner eller opgaver eller nogen anden bevisform end den simple at lade tegningerne dække hinanden. Jeg vil ikke indlade mig på at lære Emile geometri, det er ham der skal lære mig den; jeg vil søge efter de geometriske forhold, og han vil finde dem; for jeg vil søge dem på en sådan måde, at han må finde dem. (Rousseau, 1997, s. 64). Det er ikke blot for børn og unge, at den eksperimenterende tilgang til geometri er givende. Det gør sig formodentlig også gældende for sådanne voksne som vores læsere, der uddanner sig til matematiklærere Derfor ønsker vi i dette kapitel at give læseren mulighed for: At opleve og udvikle en eksperimentel tilgang til matematik med henblik på senere at tilrettelægge sådanne eksperimentelle tilgange for elever. At opbygge en opfattelse af matematik som menneskeskabt og under udvikling. At skaffe sig et erfaret fundament inden for dele af den klassiske geometri, som senere i bogen vil blive sat ind i en systematisk sammenhæng. At erhverve et grundlag for arbejdet med konstruktioner i geometri. 1 Eksperimentel geometri 13

Eksperimentel tilgang angiver det nysgerrigt undersøgende. For at alle skal føle sig veltilpas med et sådant arbejde, har vi tilstræbt, at der i vores udgave af eksperimentel geometri ikke benyttes viden og færdigheder ud over det, som grundskolen har budt på. Det elementære stof skal dog nogle gange bruges på en fantasifuld måde. Indledningsvis stiller vi spørgsmålet: Hvorfor er eksperimenterende undersøgelser vigtige i matematikundervisning? Hensigten hermed er at motivere kapitlet og orientere om nogle pædagogiske og historiske argumenter for eksperimenterende arbejde i matematik. EN SMAGSPRØVE Det viser sig, at nogle indledende værktøjer skal være på plads, før vi kan gå i gang med de eksperimentelle undersøgelser. Det modarbejder vores pædagogiske hensigt. Derfor giver vi allerede nu en smagsprøve på gedigent eksperimentelt arbejde, der overhovedet ikke kræver nogen forudsætninger eller værktøjer ud over eventuelt farveblyanter. Det drejer sig om et af de berømteste problemer i matematikkens nyere historie. Det er karakteristisk ved, at man ret hurtigt kan nå frem til det korrekte svar ved at eksperimentere sig frem. Men skulle man nedskrive et argument for svarets korrekthed ville det så vidt vi ved fylde tusindvis af sider, med mindre man bruger meget computerregnekraft undervejs og simpelthen henviser til computerens svar. Undersøgelse 1 Det drejer sig om at farve landkort i et atlas. Hvis hvert land skal have en farve, der er forskellig fra nabolandenes farver, hvor få farver kan man så nøjes med? Det vil i en tid hvor der opstår nye nationer og gamle slås sammen være en fordel, hvis antallet også gælder efter sådanne ændringer, altså gælder for alle tænkelige landkort på jorden. Kan det lade sig gøre at finde et sådant minimalt, men tilstrækkeligt antal farver? Forsøg selv med et landkort som vist på figuren herunder. 14 GEOMETRI 1.-6. KLASSE

Figur 1. Et landkort. GEOMETRISKE KONSTRUKTIONER PÅ PAPIR OG COMPUTER Øvelse 1 Hvis du straks vil have en fornemmelse af eksperimenterne i dette afsnit, kan du overveje, hvordan: 1) du vil tegne en trekant, hvori alle sider er præcis 10 cm? 2) du vil tegne en trekant med siderne 5, 10 og 17 cm? 3) du vil tegne en firkant med siderne 5, 10, 17 og 20 cm? Vi har ikke planer om at gennemføre beviser i denne mere eksperimentelle tilgang til geometrien, men vil lægge op til frit at bruge øjnene, hænderne og sanserne i skøn blanding med ting, vi husker fra tidligere geometriundervisning. Elementære konstruktioner Hvis du har et godt kendskab til de elementære konstruktioner, der kan udføres med passer og lineal eller med et dynamisk geometriprogram, fx 1 Eksperimentel geometri 15

midtnormal og vinkelhalveringslinje og konstruktion af trekanter ud fra givne mål, så kan du springe direkte til det mere eksperimenterende arbejde i næste afsnit, der starter med overskriften Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion. Her ser vi først på nogle centrale konstruktioner, deres vigtigste egenskaber og anvisninger på, hvorledes konstruktionerne kan udføres med tegneredskaber. 1) De helt elementære konstruktionshandlinger er at afsætte punkter og linjer. Arbejder man på papir er det vigtigt, at punkter skal være punktformede, hvilket tilstræbes med et tegnemiddel med tynd spids. Et sådant er også en forudsætning for at kunne tegne linjer, da disse skal være så tynde, at man med god ret kan påstå, at to linjer skærer hinanden i et punkt og ikke i en firkant. På computeren er der ikke de samme problemer. I GeoGebra, som er det dynamiske geometriprogram, vi har valgt at benytte, er der et værktøj til at afsætte punkter, og adskillige til at afsætte linjer, linjestykker eller halvlinjer. Et geometriprogram har ikke problemer med at vide, at punkter og linjer er meget tynde. En fordel ved geometriprogrammets logik, er, at man kan fokusere på, at en linje er defineret ved nogle bestemte punkter, som den skal gå igennem, og at det er disse punkter alene, der er bestemmende for linjens beliggenhed. På papir kan man godt blive i tvivl om, hvorvidt en tegnet linje går gennem et bestemt punkt. 2) En anden elementær konstruktion er afsætning af cirkler. Dette kan man gøre med en uelastisk snor og et centrum, idet det vigtige her er at få afsat alle punkter i en given, fast afstand fra centrum. Imidlertid er det noget smartere med en passer, som kan tegne cirkler med alle radier fra 0 og op til et maksimum bestemt af passerens størrelse. Passerens næstvigtigste funktion er, at man med den kan flytte et linjestykke af en given længde.tager man linjestykket i passeren (dvs. den ene passerspids i det ene endepunkt og den anden i det andet endepunkt), så kan man med ret stor nøjagtighed afsætte netop dette linjestykkes længde et andet sted ved hjælp af passeren. I GeoGebra er der en række forskellige muligheder for at afsætte cirkler eller dele af cirkler, som læseren er nødt til selv at prøve af. Selvom man går 16 GEOMETRI 1.-6. KLASSE

bort fra at benytte den fysiske passer til konstruktioner, kan man selvfølgelig lave akkurat de samme konstruktioner på skærmen med den elektroniske passer. Funktionen Cirkel ud fra centrum og radius kan benyttes nøjagtig som beskrevet ovenfor. 3) En tredje elementær konstruktion er afsætning af vinkler. To linjestykker, der udgår fra samme punkt, danner en vinkel. Man kan afsætte en vinkel af en bestemt størrelse ved hjælp af en vinkelmåler. Efter babylonisk tradition har man i det meste af verden valgt, at der skal være 360 grader hele vejen rundt i en cirkel. GeoGebra kan også måle vinkler. En vinkel kan måles ved enten at klikke på de to vinkelben eller ved at klikke på tre forskellige punkter: Først et punkt på det ene vinkelben, så vinkelspidsen og til sidst et punkt på det andet vinkelben. Det kræver lige, at man øver sig med denne funktion, hvis man vil være sikker på at måle det, man ønsker at måle. GeoGebra kan naturligvis også afsætte vinkler med en på forhånd givet størrelse. Denne funktion kræver ligeledes øvelse, inden den falder naturlig. Øvelse 2 Benyt GeoGebra til at tegne ABC i hvert af følgende tilfælde. 1) A = 90, B = 30, AB = 5 cm, hvilket skal læses: vinkel A er 90 grader, vinkel B er 30 grader og længden af linjestykket AB er 5 cm. 2) A = 57, C = 43 og AB = 57 mm. 3) AB = 10 cm, AC = 8 cm og BC = 8 cm. 4) B = 45, AB = 6 cm og BC = 8 cm. 5) A = 60, AB = 100 mm og BC = 94 mm. 6) Hvis du får de samme øvelser igen eller hvis din onkel på Fyn udfører øvelserne så skulle du/i gerne få akkurat de samme resultater. Overvej, hvor mange og hvilke oplysninger om en trekant, man kan klare sig med, hvis man skal være sikker på, at den bliver, som man gerne vil have den. Fx har tilfælde 5) faktisk to mulige svar, mens tilfælde 1) kun har et. 1 Eksperimentel geometri 17

Når man som i foregående øvelse når frem til, at der kun er én trekant med de angivne mål, så vil to forskellige personer, der udfører konstruktionen af denne trekant selvfølgelig ikke bogstaveligt nå frem til den samme trekant, da den ene trekant måske er i København, og den anden er i Odense. Men de to trekanter er jo på sin vis ens. Den tekniske betegnelse for dette er kongruens. 1 Definition af kongruens To trekanter kaldes kongruente, hvis den ene kan flyttes 1 hen så den netop dækker den anden. De helt grundlæggende konstruktionshandlinger skulle nu være på plads, og vi kan begynde at kombinere disse. Kombinerede konstruktioner Vi er især interesseret i at konstruere punktmængder, hvor alle punkter i mængden har en fælles geometrisk egenskab. Sådanne punktmængder kaldes geometriske steder. Hensigten med de kombinerede konstruktioner, vi nu præsenterer, er at levere de nødvendige redskaber til de efterfølgende undersøgelser af eksperimentel art. Midtnormal Midtnormalen til et linjestykke AB er den linje, der står vinkelret på AB i linjestykkets midtpunkt. 1 Vi benytter hverdagsordet flytte her, men skal bemærke, at vi også regner en spejling for en flytning. 18 GEOMETRI 1.-6. KLASSE

N A B M Figur 2. Konstruktion af midtnormal (figur 2): Med hhv. A og B som centrum tegnes cirkler med samme radius til skæring i M og N. Linjen gennem M og N er da AB s midtnormal. Prøv at konstruere midtnormalen 2 i GeoGebra og se, om du ved at benytte programmets redskab til at måle længder kan opdage denne egenskab: Punkterne på midtnormalen for AB ligger lige langt fra A og B. Oprejse og nedfælde den vinkelrette Hvis man har en linje og et punkt på linjen, og ønsker at konstruere en ny linje, der går gennem punktet og er vinkelret på den første linje, kalder man det at oprejse den vinkelrette. På samme måde som ved oprejsning af den vinkelrette kan man have givet en linje og et punkt uden for linjen. Hvis man så ønsker at tegne en linje gennem punktet vinkelret på linjen, kalder man det at nedfælde den vinkelrette. I GeoGebra er begge konstruktioner nemme. Der er et særskilt værktøj Vinkelret linje, der kan benyttes i begge situationer. 2 GeoGebra har et særskilt værktøj til at lave midtnormaler, men prøv i første omgang at lave konstruktionen som vist på figur 2. 1 Eksperimentel geometri 19

Vinkelhalveringslinje Vinkelhalveringslinjen til en vinkel er den linje, der deler vinklen i to lige store dele (halvdele). G A D B E C F Figur 3. Konstruktion af vinkelhalveringslinjen i FAG (se figur 3): Med centrum i vinklens toppunkt A tegnes en cirkel til skæring med de to ben i B og C. I B og C tegnes to lige store cirkler, der skærer hinanden i D og E. Den rette linje gennem ADE er nu vinkelhalveringslinje og deler A i to lige store dele. Konstruer en vinkelhalveringslinje i GeoGebra 3 og se, om du kan opdage følgende egenskab ved at måle: Ethvert punkt på vinkelhalveringslinjen har lige stor afstand ud til de to vinkelben, hvis denne afstand måles langs nedfældede vinkelrette linjer. Undersøgende aktiviteter ved hjælp af konstruktion Læseren råder nu over tilstrækkeligt med konstruktionsværktøjer til at begive sig ud i selvstændige konstruktioner. Den læser, der valgte at springe 3 GeoGebra har et særskilt værktøj til at lave vinkelhalveringslinjer, men prøv i første omgang at lave konstruktionen som vist på figur 3 20 GEOMETRI 1.-6. KLASSE

indledningen med gennemgang af de elementære konstruktioner over, starter også her. Undersøgelse 2 Det hævdes i den klassiske geometri, at de forskellige traditionelt interessante linjestykker i en trekant har nogle forbavsende pæne egenskaber, fx at de tre siders midtnormaler skærer hinanden i samme punkt. Måske har du allerede undersøgt det med passer og lineal for nogle af linjernes vedkommende. Men prøv at udføre sådanne undersøgelser i GeoGebra og afgør, om egenskaberne 1), 2), 3) og 4) nedenfor gælder i enhver trekant. En yderligere fordel ved et dynamisk geometriprogram sammenlignet med passer- og linealkonstruktion på papir er, at man kan lade konstruktionen være dynamisk, dvs. at man kan trække i trekantens hjørner og se hele konstruktionsmønsteret følge med. På den måde kan man sikre sig, at den opdagelse, man har gjort, ikke blot gælder for den specielle trekant, man har tegnet i første omgang, men for mange og muligvis alle trekanter. Selv om denne måde at påvise sammenhænge på ikke kan kaldes et bevis i matematisk forstand, er det ganske slående og overbevisende for de fleste. Figur 4. 1) De tre midtnormaler (figur 4) skærer hinanden i samme punkt, og punktet fungerer som centrum for trekantens omskrevne cirkel. 1 Eksperimentel geometri 21

u u v v Figur 5. 2) De tre vinkelhalveringslinjer (figur 5) skærer hinanden i samme punkt og punktet fungerer som centrum for trekantens indskrevne cirkel. Figur 6. 3) De tre medianer (figur 6) skærer hinanden i samme punkt. Figur 7. 4) Hvis man ellers kan få tegnet højderne rigtigt (figur 7), så skulle de også skære hinanden i samme punkt. 22 GEOMETRI 1.-6. KLASSE

Undersøgelse 3 1) Tre gårde A, B og C er blevet ramt af grundvandssænkning. Ejerne bliver nødt til at grave dybere brønde. De bliver enige om istedet at grave en fælles brønd. De vil betale lige meget, men så skal brønden til gengæld ligge et sted, P, hvor der er lige langt til vandbeholderne på de enkelte gårde. De spekulerer på, om der kan være flere mulige steder, P, med den egenskab. Er der det? Hjælp dem konkret med på figur 8 at angive, hvor den nye brønd skal placeres. Kunne de have fundet på en smartere løsning for alle parter? 2) Mange år senere, efter at verdens olie var sluppet op, gik deres tip oldebørn over til at dyrke jorden manuelt igen. Derfor slog de sig sammen og besluttede, at hver af dem først og fremmest skulle dyrke den jord, der lå tættest på. Hjælp dem med på figur 8 at skitsere grænserne for hver enkelts arbejdsmark. A B C Figur 8. Mark Klassisk konstruktion I mellemskolens levetid fra 1903 til 1958, var en markant del af matematikundervisningen geometrisk konstruktion. Man kunne altid til mellemskoleeksamen regne med, at der ville være en sådan opgave. Formålet var bl.a. at udvikle en meget brugt videnskabelig metode, der siden græsk oldtid har 1 Eksperimentel geometri 23

heddet analyse-syntese. Først skulle eleven analysere opgaven, hvilket i praksis ville sige, at der skulle tegnes en prøvefigur, en skitse af resultatet. Man skrev punkternes navne samt alle de mål, man kendte, ind på prøvefiguren. Så skulle man overveje, om man i den geometriske teori kunne hente noget, der tillod én at finde andre størrelser. Således skulle analysen af situationen fortsætte, indtil man havde nok af kendte størrelser til, at man kunne gå over til syntesen: dvs. selve konstruktionen af figuren ved hjælp af passer, lineal og vinkelmåler. Det lyder lidt gammeldags, men kalder man det istedet for strategier til problemløsning og lader problemet have en praktisk iklædning, kan sådanne aktiviteter stadig have gyldighed i skolen. Øvelse 3 Prøv at sætte dig i en sådan mellemskoleelevs sted ved at udføre følgende konstruktion fra mellemskoleeksamen januar 1910 (svarende aldersmæssigt til 9. klasses afgangsprøve), idet du først vælger dit linjestykke a. Opgaven lyder: Konstruer en Firkant ABCD saaledes, at og idet a er et givet linjestykke. Bemærk, at opgaven oprindelig er klassisk på to måder: dels skulle den gennemføres udelukkende med passer og lineal, og dels kræver den, at eksaminanden gennemgår faserne analyse og syntese. Overvej, om det er hurtigere at benytte GeoGebra end tegneinstrumenter anno 1910 til konstruktionen. Øvelse 4 Prøv også opgaven til mellemskoleeksamen fra marts 1910: Afsæt et linjestykke og kald dets Længde for a. Konstruer en Firkant ABCD, hvori Siderne AB og AD samt Diagonalen AC alle har Længden a, Siden CD har Længden og vinklen BAD er 24 GEOMETRI 1.-6. KLASSE