Modul 12: Exercises 12.1 Sukkersygepatienters vægt............... 1 12.2 Newfoundlandske kvinders blodtryk.......... 4 12.3 Korrelationskoefficient.................. 6 12.4 Højde og vægt...................... 6 12.5 Højde og skinnebenslængde............... 8 12.6 Opløsninger af I 8..................... 12 12.1 Sukkersygepatienters vægt Under forskellige behandlinger af sukkersygepatienter studerer man bl.a. vægtændringer. De følgende data viser vægttab i pounds efter 1
et års behandling med phenformin (DBI) af 16 voksne sukkersygepatienter, og også deres vægt i pounds ved behandlingens begyndelse. 2
Startvægt Vægttab efter et år pounds (x) pounds (y) 242 44 235 44 225 15 223 39 200 6 199 16 195 19 185 24 173 31 156 12 155 10 150 3 149 10 146 3 140 5 129 21 3
a) Man ønsker at beskrive data med lineær regression af y på x. Er denne model rimelig (en tegning og en kort diskussion)? Find skøn for modellens parametre. b) Lad β betegne vægttab i pounds svarende til en øgning af startvægt på 1 pound. Test nulhypotesen om, at β = 0 imod modhypotesen om, at β > 0 på et 5% signifikansniveau. Find et 90% konfidensinterval for β. 4
12.2 Newfoundlandske kvinders blodtryk Systolisk Alder blodtryk Alder Blodtryk Alder Blodtryk (år) (mm Hg) 22 131 41 139 52 128 23 128 41 171 54 105 24 116 46 137 56 145 27 106 47 111 57 141 28 114 48 115 58 153 29 123 49 133 59 157 30 117 49 128 63 155 32 122 50 183 67 176 33 99 51 130 71 172 35 121 51 133 77 178 40 147 51 144 81 217 Alder i år og systolisk blodtryk i mm Hg for 33 voksne kvinder: En 5
tilfældig stikprøve af 20% af kvinder i en fiskerby på Newfoundland (Colton p. 189). a) Find korrelationskoefficienten r. b) Test H 0 : ρ = 0 imod H 1 : ρ 0. c) Lav en orienterende tegning. d) Find den bedste lineære regressionslinje y = a+bx, hvor x = alder og y = blodtryk. e) Test H 0 : β = 0 imod H 1 : β > 0. f) Test H 0 : β = 1 imod H 1 : β 1. g) Find et 95% konfidensinterval for β. h) Tegn forskellene z i = y i a bx i i et normalfordelingsdiagram. Passer en normalfordeling? 6
12.3 Korrelationskoefficient Find for følgende data korrelationskoefficienten r, og diskuter resultatet. x 2 1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 12.4 Højde og vægt De følgende data angiver højde (x i inches ) og vægt (y i pounds ) for 356 mænd. 7
y: vægt x: højde (inches) (pounds) 60 62 64 66 68 70 72 74 230 1 1 3 220 4 4 3 210 5 1 2 1 200 2 1 3 9 1 7 1 190 1 3 8 16 3 5 180 1 5 8 15 12 1 170 2 8 18 26 8 1 160 19 40 20 4 150 5 15 26 9 2 140 1 4 6 5 1 130 2 3 1 1 120 1 1 a) Vis, at x j = 23.814, y j = 60.730, x j y j = 4075360, x 2 j = 1595628 og y 2 j = 10522500. 8
b) Tegn et scatterdiagram. c) Find korrelationskoefficient r. d) Test nulhypotesen for at populationskorrelationskoefficient ρ = 0, (α = 0.05). e) Find de bedste lineære regressionslinjer y = a + bx og x = a + b y, og tegn dem på diagrammet. Diskuter antagelser for lineær regression i dette problem. 12.5 Højde og skinnebenslængde I retsmedicin er det ofte et vigtigt led i identifikationen af dødfundne personer at finde ud af hvor høj personen var i levende live. Blandt de metoder, der anvendes, er analyser af sammenhængen mellem skinnebenslængde og højde. I det følgende er angivet mellemregninger osv for to undersøgelser af denne sammenhæng. Der er 9
tale om en stikprøve bestående af finske mænd, og en stikprøve bestående af franske mænd. Data er dels højde i levende live og dels længden af skinnebensknoglen, målt efter død og skelettering. 10
Data for stikprøven af finske mænd Antal: 61 mean SD varians range Skinnebenslængde 36.16 2.18 4.75 29 42 Højde i live 169.2 6.50 42.25 Kovarians skinnebenslængde højde: 10.06 Data for stikprøven af franske mænd Antal: 38 mean SD varians Skinnebenslængde 36.81 1.80 3.24 Højde i live 168.8 5.50 30.25 Kovarians skinnebenslængde højde: 7.72 11
a) Hvad er korrelationskoefficienten mellem skinnebenslængde og højde i de to stikprøver? Tabel med SS-værdier y 2 xy x 2 Finske mænd 2535 603.6 285 Franske mænd 1119 285.7 120 Summer (c) 3654 889.3 405 b) Test om det er formålstjenligt at anvende lineær regression med skinnebenslængde som prædiktor for at nå frem til et estimat for højde. c) Opskriv regressionsformler for de to stikprøver. Antag nu, at s 2 Y X ikke er forskellig i de to stikprøver. 12
d) Test om de to stikprøver kan antages at komme fra samme population. e) Hvad kan man konkludere ud fra resultatet af testene i spørgsmål d)? f) Hvad er den prædikterede højde for en finsk mand med et skinneben på 35 cm? Hvad er den prædikterede højde for en finsk mand med et skinneben på 45 cm? Er der noget, der maner til forsigtighed ved forsøg på at besvare det andet spørgsmål? Begrund svaret. 12.6 Opløsninger af I 8 For nogle væsker er følgende målt: Procentdelen af I 8 i basisopløsningen og det punkt hvor væsken blev uklar (cloud point). 13
I 8 % cloud point I 8 % cloud point 0 21.9 5 28.9 0 22.1 6 29.8 0 22.8 6 30.0 1 24.5 6 30.3 2 26.0 7 30.4 2 26.1 8 31.4 3 26.8 8 31.5 3 27.3 9 31.8 4 28.2 10 33.1 4 28.5 Er der korrelation mellem disse 2 variable eller kan man antage, at korrelationen er 0? Følgende udregninger kan benyttes: 14
Xi = 84 X 2 i = 550 Yi = 531.4 Y 2 i = 15066.9 Xi Y i = 2536.1 15