Repetition Stokastisk variabel

Transkript

1 Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X < b) = f(t) a<t<b Kontinuert stokastisk variabel Udfaldsrum uendelig mange elementer Tæthedsfunktion f(x) er en kontinuert funktion Udregning af sandsynligheder P( a < X < b ) = f(t) dt b a 1

2 Middelværdi Definition Definition: Lad X være en stokastisk variabel med sandsynligheds-/ tæthedsfunktion f(x). Middelværdien af X er givet ved μ = E(X) hvis X er diskret, og = x f(x) x hvis X er kontinuert. μ = E(X) = x f(x) dx

3 Middelværdi Fortolkning Fortolkning: Det samlede bidrag af værdi gange sandsynlighed for værdi - ala et vægtet gennemsnit. Eksempel: f(x) Middelværdi = 1, Bemærkning: Middelværdi kaldes også forventet værdi. x 3

4 Middelværdi Eksempel Opgave: En privat pilot ønsker at forsikre sit fly til en værdi af 1 mill kr. Forsikringsselskabet forventer tab med flg. sandsynligheder: total tab med sandsynlighed % tab med sandsynlighed % tab med sandsynlighed Hvad er det forventede tab i kroner?. Hvilken samlet præmie skal betales, hvis forsikringsselskabet ønsker et forventet profit på 3000 kr? 4

5 Middelværdi Funktion af stokastisk variabel Sætning: Lad X være en stokastisk variabel med sandsynlighed-/ tæthedsfunktion f(x). Middelværdien af g(x) er μ = E[g(X)] = g ( X) g(x) f(x) hvis X er diskret, og μ g( X) hvis X er kontinuert. x = E[g(X)] = g(x) f(x) dx 5

6 Middelværdi Regneregel Sætning: Linear kombination Lad X være en stokastisk variabel (diskret eller kontinuert), og a og b konstanter. For den stokastiske variabel ax + b gælder E(aX+b) = ae(x)+b 6

7 Middelværdi Funktion af stokastisk variabel Opgave fra før : Vores pilot fra før får et nyt fly til en værdi af mill. kr. Forsikringselskabet forventer de samme tab - sandsynligheder total tab med sandsynlighed % tab med sandsynlighed % tab med sandsynlighed 0.1 Hvad er det forventede tab for det nye fly? 7

8 Middelværdi Funktion af to stokastiske variable Definition: Lad X og Y være stokastiske variable med simultan Sandsynlighed-/tæthedsfunktion f(x,y). Middelværdien af g(x,y) er μ = E[g(X,Y)] g(x,y) f(x,y) g ( X,Y ) hvis X og Y er diskrete, og μ g( X,Y ) hvis X og Y er kontinuerte. = x y = E[g(X,Y)] = g(x,y) f(x,y)dx dy 8

9 Middelværdi Funktion af to stokastiske variable Opgave: Burger King sælger både via drive-in og walk-in. Lad X og Y være den andel af åbningstiden drive-in og walk-in er optaget. Antag den simultane tæthed for X og Y er givet ved f(x,y) = { 4xy 0 x 1, 0 y 1 0 ellers Omsætningen g(x,y) en enkel dag er givet ved g(x,y) = 6000 X Y Hvad er den forventede omsætning på en enkel dag? 9

10 Middelværdi Regneregel Sætning: Sum/Produkt Lad X og Y være stokastiske variable, da gælder E[X+Y] = E[X] + E[Y] Hvis X og Y er uafhængige, da gælder E[X. Y] = E[X]. E[Y] 10

11 Varians Definition Definition: Lad X være en stokastisk variabel med sandsynligheds- /tæthedsfunktion f(x) og middelværdi μ. Variansen af X er givet ved σ = Var(X) = hvis X er diskret, og σ hvis X er kontinuert. E[(X μ) ] = (x μ) x f(x) = Var(X) = E[(X μ) ] = (x μ) f(x) dx Standard afvigelse/spredning er den positive rod af variansen: σ = Var(X) 11

12 Varians Fortolkning Variansen udtrykker, hvor centreret tætheds-/sandsynlighedsfunktionen er omkring middelværdien. f(x) Varians = 0.5 Varians = f(x) x x Der gælder: σ = Var(X) = E[X ] μ 1

13 Varians Regneregel Sætning: Linear kombination Lad X være en stokastisk variabel, og a og b konstanter. For den stokastiske variabel ax + b gælder Var(aX + b) = a Var(X) Eksempler: Var (X + 7) = Var (X) Var (-X ) = Var (X) Var ( X ) = 4 Var (X) 13

14 Kovarians Definition Definition: Lad X og Y være stokastiske variabel med simultan tætheds-/ sandsynlighedsfunktion f(x,y). Kovariansen mellem X og Y er hvis X og Y er diskrete, og σ = Cov(X,Y) = E[(X μ )(Y μ )] = (x μ )(y μ )f(x,y) XY X Y X Y x y σ XY = Cov(X,Y) = (x μ )(y μ )f(x,y)dx dy X Y hvis X og Y er kontinuerte. 14

15 Kovarians Fortolkning Kovariansen mellem X og Y udtrykker, hvilken indflydelse X og Y har på hinanden. Eksempler: Kovariansen mellem X = salg af cykler og Y = cykelpumper er positivt. X = købte charterrejser i maj og Y = solskinsdage i maj er negativt. X = udfaldet af en rød terning og Y = udfaldet af grøn terning er 0. 15

16 Kovarians Regneregler Sætning: Kovariansen mellem to stokastiske variable X og Y med middelværdi hhv. μ X og μ Y er σ XY = Cov(X,Y) = E[X Y] μ X μ Y Bemærk! Cov (X,X) = Var (X) Hvis X og Y er uafhængige stokastiske variable, så er Cov (X,Y) = 0 16

17 Varians/Covarians Regneregler Sætning: Linear kombination Lad X og Y være stokastiske variable, og a og b konstanter. For den stokastiske variabel ax + by gælder Var(aX + by) = a Var(X) + b Var(Y) + abcov(x,y) Specielt: Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y] +Cov (X,Y) Hvis X og Y er uafhængige, så gælder Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y] 17

18 Korrelation Definition Definition: Lad X og Y være to stokastiske variable med kovarians Cov (X,Y) og standardafvigelser hhv. σ X og σ Y. Korrelationskoefficienten mellem X og Y er Cov(X,Y) ρ = XY σ σ X Y Der gælder, at 1 ρ XY 1 Hvis X og Y er uafhængige, så er ρ XY = 0 18

19 Middelværdi, varians, covarians Regneregler samlet Gange/plus konstant: E (ax) = a E(X) Var(aX) = a Var (X) Cov(aX,bY) = abcov(x,y) E (ax+b) = ae(x)+b Var(aX+b) = a Var (X) Sum: E (X+Y) = E(X) + E(Y) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + Cov(X,Y) X og Y er uafhængige: E(XY) = E(X) E(Y) Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) 19