Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)
|
|
- Mathilde Carstensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kursus Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Per Bruun Brockhoff Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
2 Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
3 Motiverende eksempel Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
4 Motiverende eksempel Motiverende eksempel Ved produktion af tabletter blandes aktivt stof og pulver i en beholder hvorefter pulverblandingen trykkes til tabletter. Det er vigtigt, at blandingen er homogen, således at hver tablet får den samme styrke. Vi betragter nu en blanding (dvs. færdigblandet aktivt stof og pulver) hvorfra der skal produceres et stort antal tabletter. Man søger at producere blandingen (og dermed de færdige tabletter) så de har middelinhold 1 mg/g aktivt stof og så lille varians som muligt. Som stikprøvekontrol udtages prøver, og aktivt stof måles i prøverne. Det antages, at alle målinger følger en normalfordeling med enheden mg/g. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
5 Estimator for varianser Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
6 Estimator for varianser Estimator for varianser Variansen for en stokastisk variabel X estimeres ved S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 i=1 hvor n er antal observationer X i er observation nr. i, og i = 1..n X er estimat af middelværdien for X Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
7 Estimator for varianser Stikprøvefordeling for variansen (Kap 6.4) Lad S 2 være variansen af en stikprøve af størrelse n fra en normalfordeling med varians σ 2 Da er χ 2 (n 1)S2 = σ 2 en stokastisk variabel og følger en χ 2 -fordeling med parameter v = n 1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
8 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen χ 2 -fordelingen χ 2 tæthed f(x) x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
9 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen Tabelopslag i χ 2 -fordelingen Tabelopslag i χ 2 -fordelingen gøres vha tabel 5 Ved χ 2 α(n 1) forstås den værdi, således at P (χ 2 χ 2 α) = α Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
10 Konfidensinterval for én varians Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
11 Konfidensinterval for én varians Konfidensinterval for én varians (Kap 8.1) Et (1 α)% konfidensinterval for en varians σ 2 fås ved (n 1)S 2 χ 2 α/2 < σ 2 < (n 1)S2 χ 2 1 α/2 Fraktilerne for χ 2 har v = n 1 frihedsgrader Bemærk: Konfidensintervallet for én varians er ikke nødvendigvis symmetrisk Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
12 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 Eksempel 1 Der udtages en tilfælding stikprøve fra beholderen (prøverne tages fra forskellige lag i beholderen) på n = 20 tabletter og herfra estimeres middelværdi x = 1.01 og varians s 2 = Opstil et 95% konfidensinterval for variansen σ 2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
13 Hypotesetest af varianser Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
14 Hypotesetest af varianser Hypotesetest af varianser Hypotesetest af varianser foregår stort set som ved hypotesetest af middelværdier, blot ændres teststørrelse og stikprøvefordeling (fordeling for kritisk værdi under H 0 ). 1. Opstil hypoteser og vælg signifikansniveau α 2. Beregn teststørrelse 3. Beregn kritisk værdi (eller p-værdi) 4. Sammenlign teststørrelse og kritisk værdi og drag en konklusion Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
15 Hypotesetest af varianser Test af én varians Test af én varians nul hypotese testes mod en alternativ hypotese (her vist for et to-sidet alternativ) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 Man vælger enten at acceptere H 0 eller at forkaste H 0 (hvor σ 2 0 er værdien der testes) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
16 Hypotesetest af varianser Test af én varians Test af én varians Teststørrelse bliver χ 2 (n 1)S2 = σ0 2 Den kritiske værdi findes ved opslag i χ 2 fordelingen (tab. 5) med v = n 1 frihedsgrader Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
17 Hypotesetest af varianser Test af én varians Beregning af kritisk værdi Ved hypoteseprøvning af én varians for data der antages normalfordelt fås Alternativ Afvis hypotese nul-hypotese hvis σ 2 < σ0 2 σ 2 > σ0 2 σ 2 σ0 2 χ 2 < χ 2 1 α χ 2 > χ 2 α χ 2 < χ 2 1 α/2 eller χ 2 > χ 2 α/2 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
18 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 Eksempel 1 Ved produktion af tabletter blandes aktivt stof og pulver i en beholder hvorefter pulverblandingen trykkes til tabletter. Det er vigtigt, at blandingen er homogen, således at hver tablet får den samme styrke. Vi betragter nu en blanding (dvs. færdigblandet aktivt stof og pulver) hvorfra der skal produceres et stort antal tabletter. Man søger at producere blandingen (og dermed de færdige tabletter) så de har middelinhold 1 mg/g aktivt stof og så lille varians som muligt. Som stikprøvekontrol udtages prøver, og aktivt stof måles i prøverne. Det antages, at alle målinger følger en normalfordeling med enheden mg/g. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
19 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 Eksempel 1 - fortsat Man er indledningsvis interesseret i at teste om variansen af indholdet af aktivt stof i en tablet kan antages at være σ 2 = Formulér nul- og alternativ hypotese og specificer testets signifikansniveau Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
20 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 Eksempel 1 - fortsat Der udtages en tilfælding stikprøve fra beholderen (prøverne tages fra forskellige lag i beholderen) på n = 20 tabletter og herfra estimeres middelværdi x = 1.01 og varians s 2 = Udfør hypotestestet. Kan det påvises, at σ 2 > ? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
21 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 Eksempel 1 - fortsat Udfør et hypotestestet for middelindholdet. Kan det påvises, at µ 1 mg/g? Vurder ud fra de foregående analyser, hvad der er problemet i produktionen? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
22 Hypotesetest af varianser Test af to varianser Sammenligning af 2 varianser Vi sammenlingner varianser af 2 stikprøver Stikprøve 1: n 1, x 1 og s 2 1 Stikprøve 2: n 2, x 2 og s 2 2 Det antages, at data for begge stikprøver er normalfordelt. Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
23 Hypotesetest af varianser Test af to varianser Stikprøvefordeling for sammenligning af varianser (Kap 6.4) Lad S 2 1 og S 2 2 være varianser af stikprøver af størrelse henholdsvis n 1 og n 2 fra to normalfordelinger med samme varians Da er F = S2 1 S 2 2 en stokastisk variabel og følger en F -fordeling med parameter v 1 = n 1 1 og v 2 = n 2 1 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
24 Hypotesetest af varianser Test af to varianser F -fordelingen F(9, 9) tæthed f(x) x Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
25 Hypotesetest af varianser Test af to varianser Tabelopslag i F -fordelingen Tabelopslag i F -fordelingen gøres vha tabel 6 Ved F α (n 1 1, n 2 1) forstås den værdi, således at P (F F α ) = α Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
26 Hypotesetest af varianser Test af to varianser 1. Opstil Hypoteser (Kap 8) nul hypotese testes mod en alternativ hypotese (her vist for et to-sidet alternativ) H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 H 1 : σ 2 1 σ 2 2 Man vælger enten at acceptere H 0 eller at forkaste H 0 Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
27 Hypotesetest af varianser Test af to varianser Beregning af kritisk værdi Ved hypoteseprøvning af to varianser for data der antages normalfordelt fås Alternativ Test Afvis hypotese størrelse nul-hypotese hvis σ1 2 < σ2 2 F = S2 2 F > F S1 2 α (n 2 1, n 1 1) σ1 2 > σ2 2 F = S2 1 F > F S2 2 α (n 1 1, n 2 1) σ1 2 σ2 2 F = S2 M S 2 F > F m α/2 (n M 1, n m 1) (i sidste tilfælde gælder SM 2 > S2 m) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
28 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 - fortsat Eksempel 1 - fortsat Det viser sig, at et problem i produktion af tabletter er, at der er tendens til lagdeling i blandingen, f.eks. når aktivt stof samler sig i bunden af beholderen. Der udtages nu en prøve fra hhv øvre og nedre lag i beholderen. n 1 = 10, x 1 = 0.98, og s 2 1 = n 2 = 12, x 2 = 1.04, og s 2 2 = Vi er nu interesseret i at undersøge, om der er forskel i varianserne for de to stikprøver. Formulér nul- og alternativ hypotese, og udfør testet med signifikansniveau α = 5% Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
29 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 - fortsat Eksempel 1 - fortsat Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
30 Hypotesetest af varianser Eksempel 1 - fortsat Eksempel 1 - fortsat Vi er nu interesseret i at undersøge, om der er forskel i middelværdierne for de to stikprøver. Formulér nul- og alternativ hypotese, og udfør testet med signifikansniveau α = 5% Vurder ud fra de foregående analyser, hvad der er problemet i produktionen? Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
31 R (R note 6) Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
32 R (R note 6) R (R note 6) R Betegnelse t t-fordelingen chisq χ 2 -fordelingen f F-fordelingen d Tæthedsfunktion f(x) (probability distribution). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative distribution function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Tilfældige tal fra fordelingen (Forelæsning 10). Eksempel: P (F 2), F F (3, 12) > pf(2,3,12) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
33 R (R note 6) Oversigt 1 Motiverende eksempel 2 Estimator for varianser χ 2 -fordelingen 3 Konfidensinterval for én varians Eksempel 1 4 Hypotesetest af varianser Test af én varians Eksempel 1 Test af to varianser F -fordelingen Hypotesetestet - konkret Eksempel 1 - fortsat 5 R (R note 6) Per Bruun Brockhoff (perbb@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 8 Foråret / 33
Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 7: Kapitel 7 og 8: Statistik for to gennemsnit, (7.7-7.8,8.1-8.5) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks
Læs mereForelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220
Læs mereModul 5: Test for én stikprøve
Forskningsenheden for Statistik ST01: Elementær Statistik Bent Jørgensen Modul 5: Test for én stikprøve 5.1 Test for middelværdi................................. 1 5.1.1 t-fordelingen.................................
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereKonfidensinterval for µ (σ kendt)
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test 3. Type I og type II fejl, p-værdi 4. En og to-sidede tests 5. Test for middelværdi (kendt varians) 6. Test for middelværdi (ukendt varians)
Læs mereProgram. 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test.
Program 1. Repetition: konfidens-intervaller. 2. Hypotese test, type I og type II fejl, signifikansniveau, styrke, en- og to-sidede test. 1/19 Konfidensinterval for µ (σ kendt) Estimat ˆµ = X bedste bud
Læs mereForelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereHypotese test. Repetition fra sidst Hypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type 2 fejl Signifikansniveau
ypotese test Repetition fra sidst ypoteser Test af middelværdi Test af andel Test af varians Type 1 og type fejl Signifikansniveau Konfidens intervaller Et konfidens interval er et interval, der estimerer
Læs mereEnsidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 9: Inferens for andele (kapitel 10) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper F-test Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 25. september 2006. Oversigt: De næste forelæsninger
Oversigt: De næste forelæsninger Økonometri Inferens i den lineære regressionsmodel 5. september 006 Statistisk inferens: hvorledes man med udgangspunkt i en statistisk model kan drage konklusioner på
Læs mereForelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt. 2 Korrelation. 3 Regressionsanalyse (kap 11) 4 Mindste kvadraters metode
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Kapitel 11: Regressionsanalyse Oversigt 1 Gennemgående eksempel: Højde og vægt 2 Korrelation 3 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse
Læs mereOversigt. 1 Eksempel. 2 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Konfidensintervallet for µ Eksempel
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereReminder: Hypotesetest for én parameter. Økonometri: Lektion 4. F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater. En god model
Reminder: Hypotesetest for én parameter Antag vi har model Økonometri: Lektion 4 F -test Justeret R 2 Aymptotiske resultater y = β 0 + β 1 x 2 + β 2 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker at teste hypotesen H
Læs mereChi-i-anden Test. Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller
Chi-i-anden Test Repetition Goodness of Fit Uafhængighed i Kontingenstabeller Chi-i-anden Test Chi-i-anden test omhandler data, der har form af antal eller frekvenser. Antag, at n observationer kan inddeles
Læs merePhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 2, onsdag den 13. september 2006 I dag: To stikprøver fra en normalfordeling, ikke-parametriske metoder og beregning af stikprøvestørrelse Eksempel: Fiskeolie
Læs mereVi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.
Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereModul 7: Eksempler. 7.1 Beskrivende dataanalyse. 7.1.1 Diagrammer. Bent Jørgensen. Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 7: Eksempler 7.1 Beskrivende dataanalyse............................... 1 7.1.1 Diagrammer.................................
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereEnsidet variansanalyse
Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk StatBK (Uge 47, mandag) Ensidet ANOVA 1 / 18 Program I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger
Læs mereProgram. Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper. Statistisk model og hypotese. Eksempel: Aldersfordeling i hjertestudie
Program Ensidet variansanalyse Sammenligning af grupper Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I dag: Sammenligning af middelværdier Sammenligning af spredninger Parvise sammenligninger To eksempler:
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Mathematical Statistics ST06: Linear Models Bent Jørgensen og Pia Larsen Module 2: Mere om variansanalyse 2. Parreded observationer................................ 2.2 Faktor med 2 niveauer (0- variabel)........................
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 4. Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele
Anvendt Statistik Lektion 4 Hypotesetest generelt Test for middelværdi Test for andele Hypoteser og Test Hypotese I statistik er en hypotese en påstand om en populationsparameter. Typisk en påstand om
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 12: Variansanalyse. Per Bruun Brockhoff. Envejs variansanalyse - eksempel
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 12: Variansanalyse Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 Indledning 2 Centraltendens 3 Spredning 4 Praktisk beregning 5 Fraktiler 6 Opsamling 1 Indledning
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereForelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 10: Statistik ved hjælp af simulering Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereProgram. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration
Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1
! ØVELSER Statistik, Logistikøkonom Lektion 6: Hypotesetest 1 Eksempel 1 TEST AF MIDDELVÆRDI FRA ÉN STIKPRØVE (ukendt varians) En producent af tyggegummi påstår at en pakke tyggegummi i gennemsnit vejer
Læs mereRettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007
Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereForelæsning 1: Intro og beskrivende statistik
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Den flerdimensionale normalfordeling, fordeling af ( X,SSD) Helle Sørensen Uge 9, mandag SaSt2 (Uge 9, mandag) Flerdim. N, ford. af ( X,SSD) 1 / 16 Program Resultaterne
Læs mereSignifikanstestet. usædvanlig godt godt
Signifikanstestet Fordeling af rygevaner som 45-årig og senere selvrapporteret helbred som 51-årig blandt tilfældigt udvalgte mænd i Københavns Amt i 1987. helbred som 51 årig rygevaner som 45 årig Total
Læs mereSENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK
SENIORKURSUS STATA OG BIOSTATISTIK Aarhus Universitet juni 011 Genopfriskning af statistik Basale tankegange og begreber (i dag) Sammenligninger (i morgen) Sammenhænge (i overmorgen) Brug af programpakken
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mereNanostatistik: Opgavebesvarelser
Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,
Læs mereOversigt. 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O. 2 Model og hypotese. 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen
Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 10: Envejs variansanalyse, ANOVA Oversigt 1 Intro: Regneeksempel og TV-data fra B&O 2 Model og hypotese Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14
Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 14 Opgave 1 a) Det første trin i opstillingen af en hypotesetest er at formulere to hypoteser, hvoraf den ene støtter den teori vi vil teste, mens den anden
Læs mereTest nr. 5 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 5 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mereMultipel Lineær Regression. Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test
Multipel Lineær Regression Polynomiel regression Ikke-lineære modeller og transformation Multi-kolinearitet Auto-korrelation og Durbin-Watson test Multipel lineær regression x,x,,x k uafhængige variable
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik. Per Bruun Brockhoff. Praktisk Information
Kursus 02402 Forelæsning 1: Intro og beskrivende statistik Oversigt 1 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereModul 3: Kontinuerte stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 3: Kontinuerte stokastiske variable 3.1 Kontinuerte stokastiske variable........................... 1 3.1.1 Tæthedsfunktion...............................
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Indledning til statistik, kap 2 i STAT Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 5. undervisningsuge, onsdag
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereda er X 1 + X 2 N(µ 1 + µ 2,σ1 2 + σ2) Hvis X 1,...,X n er uafhængige og X r N(µ,σ 2 ), da er X = 1 n (X 1 +... + X n ) N(µ, σ2
Statistik og Sandsynlighedsregning IH kapitel Overheads til forelæsninger, onsdag 5. uge Resultater om normalfordeling X N(µ,σ ). N har tæthed ϕ µ,σ (x) = exp (x µ) πσ σ EX = µ, Var(X) = σ X µ N(0,) σ
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Transformation af kontinuerte fordelinger på R, flerdimensionale kontinuerte fordelinger, mere om normalfordelingen Helle Sørensen Uge 7, onsdag SaSt2 (Uge 7, onsdag)
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 6.
En Introduktion til SAS. Kapitel 6. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 6 Regressionsanalyse i SAS 6.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereFunktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver
Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Afsnit 3.3-3.5 Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1 Beskrivelse af fordelinger
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Oversigt, Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kuru 02402 Introduktion til Statitik Forelæning 5: Kapitel 7: Inferen for gennemnit (One-ample etup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statitik og Dataanalye Bygning 324, Rum 220 Danmark Teknike Univeritet
Læs mereAfsnit E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse
Afsnit 8.3 - E1 Konfidensinterval for middelværdi i normalfordeling med kendt standardafvigelse Først skal normalfordelingen lige defineres i Maple, så vi kan benytte den i vores udregninger. Dette gøres
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereSchweynoch, 2003. Se eventuelt http://www.mathematik.uni-kassel.de/~fathom/projekt.htm.
Projekt 8.5 Hypotesetest med anvendelse af t-test (Dette materiale har været anvendt som forberedelsesmateriale til den skriftlige prøve 01 for netforsøget) Indhold Indledning... 1 χ -test... Numeriske
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereTænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.
Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet stx11-matn/a-080501 Tirsdag den 8. maj 01 Forberedelsesmateriale til stx A Net MATEMATIK Der
Læs mereNanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereØkonometri 1. Interne evalueringer af forelæsninger. Kvalitative variabler. Dagens program. Dummyvariabler 21. oktober 2004
Dagens program Økonometri 1 Dummyvariabler 21. oktober 2004 Emnet for denne forelæsning er kvalitative egenskaber i den multiple regressionsmodel (Wooldridge kap. 7.1-7.6) Kvalitative variabler generelt
Læs mere3.600 kg og den gennemsnitlige fødselsvægt kg i stikprøven.
PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 1, onsdag den 6. september 2006 Eksempel: Sammenhæng mellem moderens alder og fødselsvægt I dag: Introduktion til statistik gennem analyse af en stikprøve
Læs mereStikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader
Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mere4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min
Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereTest nr. 4 af centrale elementer 02402
QuizComposer 2001- Olaf Kayser & Gunnar Mohr Contact: admin@quizcomposer.dk Main site: www.quizcomposer.dk Test nr. 4 af centrale elementer 02402 Denne quiz angår forståelse af centrale elementer i kursus
Læs mereFaculty of Health Sciences. Logistisk regression: Interaktion Kvantitative responsvariable
Faculty of Health Sciences Logistisk regression: Interaktion Kvantitative responsvariable Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk
Læs mereEksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel.
Eksempler fra bogen Statistiske Grundbegreber løst ved anvendelse af Excel. Kapitel Deskriptiv statistik Indhold 1. Generelle forhold... 1 Kapitel : Deskriptiv Statistik... 1 Kapitel 4: Normalfordelingen...
Læs merea) Har måleresultaterne for de 2 laboranter samme varians? b) Tyder resultaterne på, at nogen af laboranterne måler med en systematisk fejl?
Module 6: Exercises 6.1 To laboranter....................... 2 6.2 Nicotamid i piller..................... 3 6.3 Karakterer......................... 5 6.4 Blodtryk hos kvinder................... 6 6.5
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs merec) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Læs mereBasal statistik for sundhedsvidenskabelige forskere, forår 2015 Udleveret 3. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (24.-25.
Hjemmeopgave Basal statistik for sundhedsvidenskabelige forskere, forår 2015 Udleveret 3. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (24.-25. marts) En stikprøve bestående af 65 mænd og 65 kvinder
Læs mereLigninger med reelle løsninger
Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger
Læs mere