Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul Henning Kirkegaard, institut 5, Aalborg Universitet 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 1/88 Introduktion Giver en introduktion til Styrkelære med henblik på at lave simple design beregninger. Introduktion til Mekanik og Styrkelære 1 på 5. semester, hvor matematiske modeller opstilles for spændinger og deformation i stænger og bjælker og emnet Styrkelære behandles i detaljer. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 2/88
Plan bjælke En gangbro består af en bjælke. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 3/88 Plan bjælke Bro af bjælkeelementer. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 4/88
Plan bjælke En udkraget bjælke. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 5/88 Plan bjælke Byggeri med udkraget bjælker 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 6/88
Plan bjælke Parthenon er bygget af søjler og bjælker 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 7/88 Plan bjælke Betonbjælker i et husbyggeri. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 8/88
Plan bjælke Træbjælker i et parkeringshus. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 9/88 Plan bjælke Skateboard er en bjælke på hjul. 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 10/88
Indre kræfter 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 11/88 Indre kræfter 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 12/88
Indre kræfter 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 13/88 Indre kræfter Bøjning 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 14/88
M M Tryk Træk 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 15/88 Hvad er det Reitzel ser fra brudfigurer? 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 16/88
Indre kræfter Forskydning 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 17/88 Definition: positive forskydningskræfter V V V V 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 18/88
01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 19/88 Bjælkeelement AB er i ligevægt at indre kræfter (snitkræfter) ved C gør at bjælkeelement AC og bjælkeelement CB må være i ligevægt 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 20/88
N C : Normalkraft som bestemmes ved F X =0 V C : Forskydningskraf som bestemmes ved F Y =0 M C : Bøjningsmoment som bestemmes ved M C =0 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 21/88 Indre kræfter opfattes som ydre laster på et frit legeme diagram 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 22/88
01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 23/88!!! Ikke plant gittersystem, men bjælkesystem, da vi har last imellem knuderne 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 24/88
i bjælkesystem 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 25/88 i bjælkesystem 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 26/88
Bestemmelse af reaktionen A Y 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 27/88 Bestemmelse af snitkræfter = Normalkraften N B og N C 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 28/88
01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 29/88 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 30/88
Bestemmelse af snitkræfter i pkt B og C 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 31/88 Beregningsmodel (frit legeme diagram) 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 32/88
Bestemmer reaktioner D x, A y og D y x y y y F = 0 x D = 0 F = 0 y A 6+ D = 0 M = 0 D 9+ 6(6)-A (9) = 0 A D = 5kN = 1kN y y 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 33/88 Bestemmer normalkraften N B, forskydningskraften V B og momentet M B ved pkt. B 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 34/88
3 m Bestemmer normalkraften N B, forskydningskraften B V B og momentet M B ved pkt. B M B Fy = 0 N B V B A y y B F = 0 B x N = 0 A V = 0 B B M = 0 5(3) + M = 0 M V B = 15 kn m = 5 kn 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 35/88 Bestemmer normalkraften N C, forskydningskraften V C og momentet M C ved pkt. C 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 36/88
3 m 5 kn 6 kn M C N C V C 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 37/88 C C F = 0 C x N = 0 F = 0 y 5 V 6= 0 C M = 0 C 5(3) + M = 0 M V B = 15 kn m = 1 kn Kritiske punkter snit 3 m 6 kn 6 m 9 kn m 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 38/88
Kritiske punkter snit a w b P L x 1 x 2 x 3 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 39/88 STATISK SYSTEM REAKTIONER SNITKRÆFTER 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 40/88
-moment 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 41/88 - forskydning 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 42/88
- forskydning STATISK SYSTEM REAKTIONER SNITKRÆFTER 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 43/88 -moment 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 44/88
Snitkraftkurver Bestem snitkraftkurver 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 45/88 Snitkraftkurver Beregningsmodel (frit legeme diagram) 27kN A x A y 6 m 3 m B y 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 46/88
01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 47/88 Snitkraftkurver Bestemmer reaktioner A x, A y og B y ( kn A A F kn B B M A F y y y y y A x x 9 0 27 18 0 18 0 ) 6 ( 27 ) 9 ( 0 0 0 = = + = + = = = + = = + 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 48/88 Snitkraftkurver Bestemmer snitkraftkurver for forskydningskraften V og momentet M ( m kn x x M x x x M M kn x V V x F y. 9 9 0 9 3 3 1 0 3 9 0 3 1 9 0 3 2 2 2 = = + = + = = = +
Snitkraftkurver Snitkraftkurve for momentet V V = 9 2 x 3 kn V = 9 x = 5.2m 2 x = 0 3 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 49/88 Snitkraftkurver Snitkraftkurve for momentet M 3 x M = 9x kn. m 9 x = 5.2 M M max max (5.2) = 9(5.2) 9 = 31.2kN. m 3 kn. m 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 50/88
Snitkraftkurver Maximum eller minimum for momentet M når forskydningskraften V = 0 V = dm 0 = 0 dx Maximum Minimum 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 51/88 Snitkraftkurver Bestem snitkraftkurver 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 52/88
Snitkraftkurver Snit til bestemmelse af snitkraftkurve 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 53/88 Snitkræftkurver Snitkraftkurver 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 54/88
Bagsværd Kirke Utzon 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 55/88 Sydney Opera, Utzon 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 56/88
Tøjninger og spændinger Spændinger (σ) mål for indre last i konstruktionselement Tøjning (ε) - mål for indre derformation i konstruktionselement 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 57/88 Arbejdskurver Materialers arbejskurver (σ-ε diagram) bestemmes i en trækprøvemaskine Prøveelement 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 58/88
Arbejdskurver P Elastisk Plastisk Brud Prøveelement P 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 59/88 Arbejdskurver σ Flydespænding: Proportionalitetspænding: σ y σ pl Stål σ pl E = ε pl Aluminum = Elasticitetsmodul ε Hooke s lov: σ = Eε Elastisk Plastisk 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 60/88
01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 61/88 Elasticitetsmoduler For materialet stål anses E-modulet for at være nogenlunde konstant = 210 x10 3 MPa For materialet beton varierer E-modulet med sammensætningen, men er fra 20-40 x10 3 MPa For materialet træ varierer E-modulet med træsort og belastningsretning og fugtighed, men ligger i intervallet 1-10 x10 3 MPa For plastmaterialer fås typisk værdier på 0.1 *10 3 MPa 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 62/88
Spændingskomponeter F σ z σ τ zx y τ zy τ xz τ yz Normalspændinger Forskydningsspændinger σ x F 1 σ x τ xy τ yx σ z σ y SI enheder: Pa (Pascal) =N/mm 2 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 63/88 Normalspændinger Aksial last på stang P L P Fz 0; df = σ da; σ = = A P A L+δ σ =P/Α y P z x 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 64/88
Normalspændinger Spændninger i rør π A = ( do di ) = 6362mm = 6362 10 m 4 3 F 150 10 σ = = = 23.6 MPa b 6 A 6362 10 2 2 2 6 2 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 65/88 Nødvendigt areal ved design P A = σ P allow design P P V=P P A = τ allow design 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 66/88
Normalspændinger i plan bjælke Før deformation Efter deformation Vandret linier krummer Plane tværsnit forbliver plane 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 67/88 Normalspændinger i plan bjælke Spændinger er proportionale til tøjninger (σ=eε) pga. lineær elastisk materiale (Bernoulli-bjælke) Ingen tøjning (ε=0) Sammenpresning (ε<0) Forlængelse (ε>0) 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 68/88
Normalspændinger og tøjninger neutral akse spændninger tøjninger 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 69/88 Normalspændinger i plan bjælke, W = modstandmoment 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 70/88
Inertimoment Inertimoment I er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed. b I = y A For rektangulært tværsnit 2 I = bd3 12 da mm 4 d 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 71/88 Modstandsmoment Modstandsmoment W er en tværsnitskonstant, som angiver et tværsnits stivhed. b For rektangulært tværsnit d W= bd2 6 mm 3 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 72/88
Normalspændinger i plan bjælke Et 250 x 50mm tværsnit i en plan bjælke er påvirket af det maksimale moment på 4kNm 250 50 Tilladelig spænding σ t = 8MPa Modstandsmoment W = bd 2 / 6 Spændning i tværsnit σ = M / W = 4 / 0.52 x 10-3 = 7.69 MPa σ < σ t ΟΚ! = 50 x 250 2 / 6 = 0.52 x 10 6 mm 3 = 0.52 x 10-3 m 3 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 73/88 Normalspændinger i plan bjælke Det maksimale moment M for et tværsnit antages kendt. Bestem nødvendigt modstandsmoment W n Tilladelig spænding σ t (findes i Norm) Nødvendig modstandsmoment W nødn =M/σ t Vælg b og d således at W >= W nødn b? Slå op i profil tabel/teknisk ståbi d? 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 74/88
Teknisk Ståbi 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 75/88 Normalspændinger i plan bjælke Bestem de maksimale normalspændinger i den simpel understøttede bjælke 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 76/88
Normalspændinger i plan bjælke 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 77/88 Normalspændinger i plan bjælke 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 78/88
Normalspændinger i plan bjælke Bjælke med aksial last P P e + = eller Naviers formel: σ P A x = + Pey I 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 79/88 Forskydningsspændinger i plan bjælke Lineær elastisk bjælke med ikke plane tværsnit!!!!! Før deformation Efter deformation 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 80/88
Forskydningsspændinger i plan bjælke Fordeling af forskydningsspændinger 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 81/88 Forskydningsspændinger i plan bjælke Forskydningsspændinger i rektangulært tværsnit 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 82/88
Forskydningsspændinger i plan bjælke 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 83/88 Forskydningsspændinger i plan bjælke Forskydningsspændinger i I-tværsnit 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 84/88
Forskydningsspændinger i plan bjælke Bestem forskydningsspændinger i pkt P for den simpel understøttede bjælke 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 85/88 Forskydningsspændinger i plan bjælke Forskydningskræfter i den simpel understøttede bjælke 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 86/88
Forskydningsspændinger i plan bjælke Forskydningsspændinger i pkt P 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 87/88 Thank You for Your Attention 01-03-2006 22:03 P.H. Kirkegaard - Department of Civil Engineering Slide 88/88