En verden af fluider bevægelse omkring en kugle

En verden af fluider bevægelse omkring en kugle Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 29. marts 2012

Indhold 1 Introduktion - En verden af fluider 1 1.1 Reynolds-tallet.............................. 2 2 Lavt Reynolds-tal 3 2.1 Eksperiment - Kugle i sæbe....................... 3 2.2 Teori - Stokes-strømning......................... 3 2.3 Simulering - Lavt Reynolds-tal..................... 4 3 Højt Reynolds-tal 5 3.1 Eksperiment - Faldforsøg med bordtennisbold............. 5 3.2 Teori - Generel modstand i en fluid................... 6 3.3 Simulering - Højt Reynolds tal..................... 7 4 Konklusion og perspektivering 7 Forsidebilledet er fra: http://stanton.ice.put.poznan.pl/morzynski/ 1 Introduktion - En verden af fluider Lad os starte med et centralt spørgsmål. Hvad er en fluid? Det korte svar er; det meste! Vand, luft, honning og blod hører under betegnelsen fluid. Endda visse næsten faste stoffer som f.eks. vinduesglas kan beskrives som en fluid. Den præcise definition er, at det er en substans, der kontinuerligt strømmer eller deformeres, når det påføres en kraft. I jeres hverdag er der mange eksempler på fluider, såsom vand, sæbe og luft. Netop sæbe og luft skal vi studere nærmere i dag. Øvelsen har til formål at give jer et indblik i fluidernes verden set fra fysikkens synspunkt, men derudover er der dog også en samfundsmæssig/teknisk vinkel på dagens øvelse. Transport er i dag en af de helt store energislugere i vores samfund. Fly, biler og tog skal hele tiden kæmpe mod vindmodstanden, mens skibe skal kæmpe mod vandmodstanden. Dette kan ses på figur 1, som viser energiforbruget ved forskellige godstransportformer. F.eks. er togtransport meget mere effektiv end lastbiltransport, fordi tværsnitsarelet af et tog er meget lille i forholdet til togets længde, mens en lastbil har et forholdsvis stort tværsnitsareal som luften skal forbi. Lastbiltransport bruger cirka 1,05 kwh på at transportere et tons gods en kilometer, mens at togtransport bruger cirka 0,05 kwh på at transportere et tons gods en kilometer. En bil bruger cirka 0,8 kwh på at køre en kilometer. Meget af denne energi bruges på modstand. En af de vigtigste designparametre er derfor at sænke modstanden fra fluider til et minimum. Dette er en af grundene til, at der forskes rigtig meget inden for fluidmekanik. At kunne optimere skroget på et skib eller formen på en bil er dog for stor en mundfuld i dag. Derfor skal vi se på et simplere system, som består af en kugle med en væske eller gas omkring. Dette simple system indeholder meget relevant fysik, som forhåbentlig kan være udgangspunkt for at diskutere energioptimering i fremtidens fossilfrie samfund. God fornøjelse! 1

Figur 1: Energiforbrug ved forskellige former for fragttransport. y-aksen viser energiforbruget i kilo-watt-timer (kwh) per ton gods transporteret en km. En gennemsnitlig bil (i UK) bruger cirka 0.8 kwh pa at køre en kilometer. Kilde: [2]. 1.1 Reynolds-tallet Vi vil i dag se pa fysikken bag fluider og især deres ma de at pa virke genstandes bevægelse. Faldloven og det skra kast tager i deres oprindelige form ikke højde for pa virkninger fra fluider i form af luftmodstand, men dette gør vi noget ved i dag. I første halvdel af øvelsen vil vi se pa langsomme bevægelser i fluider, mens vi i anden anden halvdel vil se pa bevægelser ved større hastigheder sammenlignet med objektets størrelse. Vi vil beskrive bevægelser med det sa kaldte Reynolds-tal, Re, som er givet ved Re = vlρf, η (1) hvor l er en karakteristisk længdeenhed, v er hastigheden, ρf er densiteten af fluiden og η er viskositeten af fluiden. Reynolds-tallet er opkaldt efter Osborne Reynolds, som fremsatte begrebet i 1883. I dag skal vi arbejde med en kugles bevægelser og derfor er den karakteristiske længde radius, l = r. Hvis emnet havde været en ternings bevægelser gennem luften, havde den karakteristiske længde været sidelængden pa tegningen. Vi ser, at ba de hastigheden, objektets størrelse, og fluidens karakteristika skal bruges, na r vi skal beskrive bevægelsen. 2

Figur 2: Forskellige strømninger omkring en kugle. Kilde: [1]. 2 Lavt Reynolds-tal I skal nu arbejde med lave Reynolds-tal, hvor bevægelsen af fluiden sker langsomt og er kendetegnet af inerti (træghed). Vi siger at lave Reynolds-tal er når Re 1 (meget mindre end 1). 2.1 Eksperiment - Kugle i sæbe Tag et langt reagensglas (minimum 25 cm) og fyld det op med flydende sæbe. Tag nu fire små metalkugler af diameter 1 mm, 2 mm, 3 mm og 4 mm. Lad dem på skift falde gennem sæben og mål deres faldhastighed via et webkamera. Vi bruger et webkamera for at gøre målingen mere præcis. Vær sikker på at kuglerne har nået deres konstante hastighed (terminalhastighed) inden I stopper optagelsen. Videooptagelser af de faldende kugler kan nu hentes ind i LoggerPro. Følg kuglen bevægelse og brug programmet til at markere kuglens position. Husk at regne i meter. Plot nu y-positionen som funktion af tid. Grafen skulle gerne gå mod en ret linie. Aflæs hældningen på plottet som terminalhastigheden af kuglerne. Skriv alle parametre for hver måling ned: Masse af kuglen (m), kuglematerialets densitet (ρ k ), radius af kuglen r, sæbens densitet (ρ s ) og faldhastigheden U. Husk at gemme alle data fra LoggerPro. 2.2 Teori - Stokes-strømning Ved lave Reynolds-tal gælder Stokes lov, fremsat i 1851 af Sir George Gabriel Stokes. Modstanden eller kraften, F d, på en kugle er givet som F d = 6πηrv. (2) Her er v er hastigheden, r er radius af kuglen og η er viskositeten af fluiden. Hvis Reynolds-tallet er lavt (Re 1), kaldes fluidens bevægelse for en Stokes-strømning (krybende strømning). Vi bemærker at kraften afhænger af hastigheden, v, i første potens. Hvis Reynoldstallet er meget stort, afhænger F d i stedet af v 2. Hvorfor kan vi antage at vores 3

strømning er en Stokes-strømning? Ideen er nu at bruge udtrykket for en Stokesstrømning, ligning (2), til at beskrive kuglens bevægelse i sæben. Plus at vi skal finde en værdi af sæbens viskositet. Tabel 1: Vejledende tabelværdier for forskellige fluider. Sirup Flyd. sæbe Vand Nitrogen Atm. Luft Densitet ρ [kg/m 3 ] 1380 ca. 800-1000 1000 1,25 1,29 Vikositet η [Pa s] 2-10 ca. 1-5 1, 0 10 3 17, 8 10 6 18, 6 10 6 1. Udledning og databehandling Vis ud fra Newtons 1. lov, som beskriver en kraftligevægt for legemer med konstant hastighed, at modstandskraften er givet som Udregn derefter F d for hver af jeres målinger. F d = 4 3 πr3 g(ρ k ρ s ) (3) 2. Plot gnidningskraften En god videnskabelig tilgang til data er at tegne dem ind i et koordinatsystem. Plot i Microsoft Excel jeres udregnede F d for hver måling som funktion af faldehastigheden, v. Altså skriv v ud ad x-aksen og F d op ad y-aksen. Er afhængigheden lineær? Plot nu F d som funktion af kugleradius gange hastigheden, rv. Lav en regression over datapunkterne. Find hældningen α (alfa) med enhed. Hvad er hældningen et udtryk for? Udregn denne parameters værdi. 3. Find et udtryk for faldehastighed Vis ud fra ligning (3) og (2) at faldehastigheden er givet ved v = 2 gr 2 9 η (ρ k ρ s ). (4) Find den procentvise afvigelse i forhold til jeres målte faldehastigheder. 2.3 Simulering - Lavt Reynolds-tal Vi vil nu prøve at lave en computersimulering af kuglens bevægelse gennem sæben. Med ordet simulering mener vi, at vi bruger en matematisk model, som efterligner en større eller mindre del af virkeligheden. Dette kan bruges til f.eks. økonomiske makromodeller, fly-simulatorer eller som i dag, en kugles bevægelse. En simulering kan være et stærkt værktøj til at forudsige udviklingen i naturlige eller menneskelige systemer. Fluiders bevægelse kan udregnes ud fra Navier Stokes ligning, som I ikke bliver stillet til regnskab for. For en usammentrykkelig Newtonisk væske i en dimension er den givet ved: 4

( ) v(x, t) v(x, t) p(x, t) ρ + v(x, t) = + η 2 v(x, t) t x x x 2 + f(x, t), (5) hvor v(x, t) er den tids- og stedafhængige hastighed af fluiden, p(x, t) er trykket og f(x, t) er eksterne kræfter på fluiden såsom tyndekraft. Navier Stokes ligning er en såkaldt differentialligning, fordi den beskriver små ændringer over tid og rum. Det er denne ligning som simuleringen finder en numerisk (beregnet) løsning til. Den er udledt fra Newtons 2. lov opskrevet for et volumen. Det er en af de vigtigste ligninger til beskrivelse af naturen og dog findes der kun analytiske (formel) løsninger i enkelte specialtilfælde. Derfor må den løses på computer. Vi bruger programmet COMSOL, som er et simuleringsværktøj til at løse differentialligninger. Programmet finder gnidningskraften for en konstant hastighed af kuglen. I skal anvende følgende fremgangsmåde: 1. Åbn COMSOL 4.2. Tryk File Open simulering.mph. 2. Til venstre ses modeltræet (Model Builder). Tryk Parameters under Global Definitions. Tjek at alle parametre er korrekte. 3. Højreklik på Study 1 Compute. 4. Højreklik på Derived Values (under Results) Clear and Evaluate All. Gnidningskraften, Drag (N), kan nu aflæses i nederste højre hjørne. 5. Gå til Parameters igen og gentag simuleringen med nye værdier. Ved at klikke på 2D Plot ses et tværsnit, hvor fluidhastigheden er givet ud fra farverne. Ved at klikke på 3D Plot, ses hele det simulerede system. Hvis de forskellige plots i højre skærmvindue er dårligt skaleret, trykkes på ikonet med de fire pile øverst i højre hjørne. I skal nu variere de forskellige parametre og aflæse gnidningskraften. Undervejs skal I bruge Excel til at plotte resultaterne fra simuleringen sammen med de eksperimentelle værdier. Kommentér eventuelle forskelle. I må meget gerne bruge simuleringen til at afprøve forskellige ideer til hvad eventuelle forskelle mellem teori og eksperiment kan skyldes. 3 Højt Reynolds-tal I skal nu arbejde med høje Reynolds-tal, hvor bevægelsen af fluiden sker hurtigt. For Reynolds-tal over cirka 1000-3000 bliver bevægelsen turbulent. 3.1 Eksperiment - Faldforsøg med bordtennisbold Vi vil nu lave et eksperiment mere for se på kuglers bevægelse ved højt Reynolds-tal, Re 1. Tag en bordtennisbold og lad den falde fra oppe under loftet. Dette gøres nemmest ved at kaste bolden lodret op så den næsten rammer loftet. Brug igen webkameraet til at filme boldens fald. Følg boldens bevægelse den sidste 1.5 m i 5

Figur 3: Sammenhæng mellem formfaktor og Reynolds-tal. Kilde: [1]. LoggerPro. Plot nu y-positionen som funktion af tid. Grafen skulle gerne gå mod en ret linie. Aflæs hældningen på plottet som terminalhastigheden af bordtennisbolden. Udregn Reynolds-tallet for at tjekke om det er højt (Re 1). 3.2 Teori - Generel modstand i en fluid Ved højere Reynolds-tal, Re 100, viser det sig, at Stokes lov ikke længere gælder. I stedet kan gnidningskraften, F d, i en fluid generelt beskrives ved: F d = 1 2 ρ f AC d v 2, Re 100, (6) hvor ρ f er densiten af fluiden, A er tværsnitsarealet af legemet vinkelret på strømningen, v er hastigheden og C d kaldes formfaktoren. Formfaktoren beskriver indflydelsen af objektets form og kan betragtes som en fittekonstant. Bemærk, at kraften nu afhænger af hastigheden i anden potens. Det betyder, at hvis hastigheden tredobles, bliver modstanden ni gange så stor. Sammenhængen mellem formfaktor og Reynolds-tal er vist på figur 3, hvor formfaktoren er plottet som funktion af Reynolds-tal. Plottet er et såkaldt dobbeltlogaritmisk plot, som viser størrelsesordner på akserne. For Reynolds-tal over 100 og under 100.000, ses det, at formfaktoren, C d, stort set ikke afhænger af Reynoldstallet, men kan betragtes som en konstant. Formfaktoren er i dette område cirka 0,47 for en kugle. 6

3.3 Simulering - Højt Reynolds tal Vi vil nu prøve at lave en computersimulering af boldens fald i luft. I skal benytte samme program og samme fremgangsmåde som I gjorde ved opgaven i afsnit 2.3. Blot skal værdierne for viskositeten og densiteten af sæben udskiftes med de tilsvarende værdier for luft. Bemærk, at programmet måske vil komme med en fejlmeddelelse, hvis bevægelsen omkring kuglen bliver for voldsom. Dette kan vi desværre ikke gøre noget ved, og løsningen er at prøve igen med nogle andre parametre. Overordnet set skal Reynolds-tallet være under cirka 10.000 for at programmet kan finde en løsning for fluidens bevægelse. Husk at eksportere de flotte resultater undervejs i øvelsen fra simuleringerne. 4 Konklusion og perspektivering I har nu været igennem øvelsen. I skulle meget gerne kunne forklare hvad en fluid er, hvad Reynolds-tallet beskriver og hvordan det udregnes. Derudover skal I kunne forklare forskellen mellem lavt og højt Reynolds-tal. I skal gerne kunne forklare hvad de forskellige grafer I har fremstillet undervejs betyder og analysere de talværdier I har udtrukket. Hvor godt stemmer de simple analytiske udtryk overens med eksperiment og simulering? Hvad kan være årsagerne til eventuelle forskelle? Til sidst vil vi gerne bede jer om at perspektivere jeres resultater. Hvad betyder fremdriftshastighed, profil, og tværsnitsareal for energiforbruget i forbindelse med transport gennem forskellige fluider? Hvordan er sammenhængen mellem kraft og arbejde? Hvordan kan energiforbruget af for eksempel en bil under kørsel nedbringes? Vi håber I har nydt øvelsen. På gensyn i Nanoteket! Litteratur [1] G. Christensen, E. Both og P.Ø. Sørensen, Mekanik, Institut for Fysik, 2002, ISBN: 87-87669-18-8. [2] David JC Mackay, Sustainable Energy - Without the Hot Air, UIT Cambridge, 2009, ISBN: 987-1-906860-01-1. 7