Matematik C Højere forberedelseseksamen Hæfte: August 2014 Kl. 9.00-12.00 Copyright Anders og Mark Kommentar til opgaven: Lilla farve - angiver formlen. Rød farve - angiver ophævelsen af en ligning.
Matematik C eksamen august 2014 Opgave 1 En bank giver 1,75% i årlig rente på en indlånskonto. Der indsættes 12 000 kr. på kontoen. a. Hvor stor et beløb står der på kontoen efter 6 år? r p 100 1,75 100 0,0175 K n K 0 (1 + r) n K 6 12 000 (1 + 0,0175) 6 K 6 13 316,42 kr. efter 6 år Opgave 2 Nogle lige store glaskugler lægges ned i et højt måleglad med vand, og man aflæser rumfanget på måleglasset. Nogle af resultaterne ses i nedestående tabel. Antal kugler i måleglasset 2 (x 1) 6 (x 2) Aflæst rumfang (cm 3 ) 17 (y 1) 23 (y 2) Det aflæste rumfang kan beskrives ved sammenhængen y a x + b Hvor y er det aflæste rumfang i cm 3, og x er antallet af kugler i måleglasset. a. Bestem tallene a og b. a y 2 y 1 x 2 x 1 23 17 6 2 1,5 b y 1 a x 1 17 1,5 2 14 Model: y 1,5 x + 14 Side 1
b. Hvad er rumfanget af én kugle. y 1,5 1 + 14 y 15,5 Hvor meget vand er der i måleglasset? Hvis der ikke er nogen kugle i vandet, vil vandet have b-værdiens tal. Dvs. at der vil være 14 cm 3 vand. x 0 14 y 1,5 0 + 14 14 cm 3 Hvor mange kugler er der i måleglasset, når rumfanget aflæses til 20 cm 3 20 1,5 x + 14 20 14 1,5 x + 14 14 6 1,5 x 6 1,5 x 1,5 1,5 x 6 1,5 x 4 kugler. Opgave 3 Figuren viser en firkant ABCD, hvor diagonalen AC er tegnet. Vinkel A i trekant ABC er 35,7 O, og vinkel D er 90 O. Nogle af firkantens øvrige mål fremgår af figuren. a. Bestem længden af siden BC. (Eller lille a) a b 2 + c 2 2 b c CosA BC 10,0 2 + 3,3 2 2 10,0 3,3 Cos(35,7) BC 7,56 b. Bestem vinkel A i trekant ACD. SinA a d Sin 1 ( a d ) Sin 1 ( 6,3 10,0 ) 39,05 A 39,05 Side 2
c. Bestem arealet af firkant ABCD Men inden man bestemmer arealet af firkanten, er det vigtigt, at man har arealet af de to trekanter, så man derefter kan finde arealet af firkanten. b 2 c 2 a 2 b c 2 a 2 AD 2 10,0 2 6,3 2 AD 10, 0 2 6, 3 2 AD 7,76 Arealet af trekanten ACD T 1 2 h g T 1 7,76 6,3 2 T 24,44 Arealet af trekanten ABC T 1 b c sina 2 T 1 10,0 3,3 sin(35,7) 2 T 9,62 Arealet af ABCD ACD + ABC 24, 44 + 9, 62 34, 06 Side 3
Opgave 4 I en model regner man med, at en storbys areal kan bestemmes ved hjælp af formlen y 146,7 x 0,67 Hvor x er storbyens indbyggertal i millioner, og y er dens areal i km 2. En bestem storby har 1,23 millioner indbyggere. a. Bestem denne storbys areal ifølge modellen. y 146,7 1,23 0,67 y 168 km 2 Så byens areal er 168 km 2 når der er 1,23 millioner indbyggere. b. Hvor mange procent vokser arealet af en storby, når dens indbyggertal fordobles? F y F x a 2 0,67 1,59 (1,59 1) 100% 59% Så når indbyggertallet fordobles, vokser arealet af storbyen med 59% Opgave 5 Figuren viser en sumkurve for BMI-fordelingen for voksne danske kvinder. a. Bestem kvartilsættet. Startværdi 18,5 Nedre kvartil 22 Median 25 Øvre kvartil 28,5 Slutværdi 40 Hvad fortæller medianen om danske kvinders BMI? Medianen fortæller, at 50% af kvinderne eller mindre har en BMI (24,5) på normalt vægt eller mindre. b. Hvor mange procent af kvinderne har en BMI, der svarer til fedme eller svær fedme? Kvinderne som er fra kategorien fedme (BMI på 30-40) til svær fedme (BMI på 40>) er ca. 15% fordi 100-85%15% Side 4
Opgave 6 a. Gør ved hjælp af oplysningerne i udklippet rede for, at Huaweis omsætning kan beregnes ved formlen y 201, 8 1, 10 x Hvor y er omsætningen i mia. kr., og x er antal år efter 2012. Man kan på baggrund af udklippet, se at Huaweis omsætning stiger med 10% om året, derfor kan man finde modellen ved at bearbejde de 10% ved at bruge følgende formler: r p 100 10 100 0.1 F 1 + r 1 + 0,1 1,1 Så ud fra de beregninger og oplysninger kan man lave modellen: y 201,8 1,10 x Dvs. 201,8 er mia. kr. og 1,10 er altså vores fremskrivningsfaktor. b. I hvilket år forventer Huawei, at omsætningen når op på 300 mia. kr.? 300 201,8 1,10 x 300 201,8 1,10x 201,8 201,8 300 201,8 1,10x log ( 300 ) x log (1,10) 201,8 log ( 300 201,8 ) x log(1,10) x 4,16 Altså ca. 4 år efter (dvs. år 2016) vil omsætningen for Huawei nå 300 mia. kr. Side 5
Opgave 7 Nedenstående tabel viser oplysninger om antallet af 15-24 årige i Danmark. 2000 2005 2012 Antal 15-24 årige 621 120 597 123 708 124 Indekstal (basisår 2000) 100 96,13 114 a. Bestem antallet af 15-24 årige i 2012, og bestem indekstallet for 2005. - Indekstal for 2005 621 120 597 123 100 x 621 120 x 100 597 123 621 120 x 100 597 123 621 120 621 120 100 597 123 x 621 120 x 96,13 Så indekstallet fra år 2005 vil altså være på 96,13 - Antallet af 15-24 årige i 2012. 597 123 96,13 x 114 96,13 x 114 597 123 96,13 x 96,13 x 114 597 123 96,13 114 597 123 96,13 x 708 124,64 Så antallet af 15-24 årig unge vil i år 2012 være 708 124,64 Side 6
Opgave 8 Lix-tallet er et mål for, hvor svær en tekst er at læse. En forsker sammenligner nogle tekster, der alle er på 500 ord. Lix-tallet for en sådan tekst beregnes ved formlen Lix 500 P + L 5 Hvor P er antallet af punktummer i teksten, og L er antallet af lange ord i teksten. a. Bestem lix-tallet for en tekst med 20 punktummer og 55 lange ord. Lix 500 20 + 55 5 Lix 36 En tekst med 50 punktummer har et lix-tal på 22. b. Hvor mange lange ord er der i denne tekst? L skal isoleres, så L kommer til at være den ukendte. 22 500 50 + L 5 22 500 50 500 50 + L 5 500 50 22 500 50 L 5 5 (22 500 50 ) L 5 5 L 5 (22 500 50 ) 60 Så når en tekst, med 50 punktummer og 60 lange ord, vil lix-tallet altså være på 22. Side 7