Matematikkens tal og grundlæggende begreber

Transkript

1 Matematikkens tal og grundlæggende begreber 2. Mængden af positive hele tal fx 1,2,3, Eksempelvist tallene -2,-1,0,1 Bruges til fx at tælle Gæld, frostvejr, osv. 6. Et tal på formen a b Dele der er mindre end én. Fx andele 8. At det ikke kan skrives på formen a b Det er ikke en bestemt del af et andet tal 10. Fordi det ikke kan skrives på formen a b Bemærk, at det kan et tal som 4 jo godt ( 4 1 ) 12. Nej b. 0,3 2 c. 1 og 3 1 d. uendeligt mange, hvilket ikke kan lade sig gøre. 13. Eksempelvist til at betegne tal, hvis værdi vi ikke kender (endnu). b. Eksempelvist for at anvise en måde at regne noget ud på på en simpel måde. Formlen gør at det ser mere simpelt ud end ved en beskrivelse i tekst. 15. Ikke at være konstant / at ændres b. Antal skridt og dragens højde. 17. Ikke at ændres / ikke at variere b. Dragens højde der variere med antal skridt. 1,5 meter højere pr. skridt c. Ved tre skridt er x=3, så y = 1,5 3= 4,5 Altså 4,5 meter oppe. d. 15 meter 19. Hvis a=1,5 (a er konstant lig med 1,5) bliver y = ax til y =1,5 x 23. Tegn en firkant inde i en trekant. b. Tegn en firkant og indse at den har vinkelsummen 360 grader. Tegn diagonalen og indse at den deler firkanten i to lige store trekanter. Hvad bliver vinkelsummen i de to trekanter? 25. Tjah det er der delte meninger om. Prøv at google strawberry fruit eller jordbær frugt b. Botanisk set er agurken et bær. Selve agurken kaldes frugten på argurkeplanten. 27. Eksempelvist: En polygon med tre sider (linjestykker). 29. (-4,-2), (-3,-2) og (-2,-2) 32. -

2 Fordi y er lig med flere ting på en gang. Eksempelvist der hvor x = 4 b. Ja, man indsætter bare den x-værdi man kender på x's plads i ligningen og udregner y. 40. y=x 44. Fordi man ikke må dividere med nul. 46. x y =2x ( 1)+ 5= = = =11 x y = x 2 ( 1) 2 =1 0 2 = =1 2 2 = =9 x y =2 x 2 0 = =2 2 2 = =8 49. f(x) er den samlede pris og x=4,1 (liter) Så vi udregner f (4,1)=23 4,1= 94, kr. b. c 13 liter 54.

3 56. Som y =2x + 5 b. Som f ( x) =2x+ 5 for så kan vi beskrive f ( x + 1) altså hvad der sker med f ( x) når x vokser med 1.

4 Ligninger i1. 85 kg. b. 70 kg. c. De kan begge smide 5 kg. Manden smider en pose og kvinden sin halskæde d. De kan begge smide 10 kg. e. Nej. f. Nej. g. Ja i2. hører til b. b. hører til e. i3. X er agent b. b. Et ukendt tal c. Det tal, der indsat på den ubekendtes plads, gør ligningen sand. i4. 70 kg. b. Ingenting (med balancen i hvert fald) c. En mands vægt. d. x + x x = x x e. x=70. i6. x-2 b. 3x+5 c. 3x+2 i7. 10 < 17 b. 10 > 17 c. 1 2 > 1 4 i8. Der er 6 kyllinger og 3 killinger.

5 Lineære sammenhænge i2. Grafen for tilbud 1 skærer y-aksen i 0, tilbud 2 i 1.000, tilbud 3 i og tilbud 4 i b. Både tilbud 3 og 4 c. Tilbud 4 d. Tilbud 2 i3 i4 c 950 km b. Tilbud 4 c. Mellem 200 km og 900 km. d. Aldrig e. Mellem det 3. og det 4. år f. Resten af tiden, hvis stigningsraten fortsætter. i5 b. Tid i timer Kilometer væk fra byen = 1000 b. opstil ligningen: 20 x + 800=1200 og løs den. Svaret er 20 minutter. 5.

6 a=8 og b=12 b. Ikke lineær c. a = 2 og b= d. a=0 og b=17 e. Ikke lineær f. a=3 og b=0 7. y =24x kr. b.1,25 kr. c. y =1,25 x i venstre tabel og -14 i højre. b. Der står et positivt tal, 2, foran x. Så y bliver større, når x bliver større. c. Der står et negativt tal, -3, foran x. Så y bliver mindre, når x bliver større. 11. og b. c. Startgebyr 250 og minutpris 0,75 kr. 13. x repræsenterer antal måneder og y repræsenterer antal kg. b. Hver gang x vokser 1 (en måned), så falder y 1,5 (antal kg) c. Det ses på tallet -1,5 foran x. d. f (2)= 1, = 3+ 9 = 6 og f (3)= 1, = 4,5+ 9 = 4,5 y aftager med 1,5 når x vokser med 1 (fra 2 til 3). 17. Når x vokser til x + 1, så vokser y fra f ( x) til f ( x + 1). Regel: en ud af x aksen > a op af y-aksen b. Når x vokser til x + 1 så aftager y fra f ( x) til f ( x + 1) Regel: en ud af x aksen > a ned af y-aksen Altså ligger f ( x + 1) under f ( x) c. Funktionen er konstant, så f ( x + 2) ligger samme sted på y-aksen som f ( x) og f ( x + 1). 21. Venstre koordinatsystem. Den grønne: a=1 og b=2. Den røde: a=-2 og b=-1 Højre koordinatsystem. Den grønne: a=0,5 og b=1. Den røde: a=4 og b= Næppe. Det koster 65 kr. med taxaen. b. A udtrykker de 25 kr. for 1 km. Og B udtrykker de 35 kr. for 2 km. c. 15 kr. d. 10 kr.

7 24. Vi indsætter x=5 i ligningen og udregner y: y = 2 5 4=10 4= 6. Så ja (5,6) passer i ligningen og ligger så på grafen. Vi indsætter så 56 i ligningen y =2 56 4= 112 4= 108. Grafen går altså gennem (56, 108) Så nej (56,106) passer ikke i ligningen. b. Den er sand. c. 2 (3+b)= b= 6+2b d. 2 ( x 1 + x 2 )=2 x x 2 = 2 x x 2 e. 2 x x 2 = 2 (x 1 + x 2 ) 29. Vi indsætter koordinaterne i formlen a = = 15 = 5 Altså er a=5 3 b. Vi indsætter koordinaterne fra det første punkt i formlen: b = = 7 5 = 2 Altså er b= Vi indsætter koordinaterne fra punktet i formlen: b = = 7 4 = 3 Altså er b= y = = = 600 Altså er y værdien 600. b. y =150 4 = 600 c. y er kilometer, så de beskriver at bil og motorcykel begge har kørt 600 km. d. De mødes x + 200= 150 x først fratrækkes 100 x på begge sider af lighedstegnet, og så har vi 200= 50 x. Regn selv videre, løsningen er x=4 b. Da de begge har kørt 600 km siden de var i Villaen er det altså her motorcyklen indhenter bilen. 36. b. Den stejle er Achilleus, den anden er skildpaddens. c. y er afstand, fx kan du se det på at skildpadden får 19 km. forspring og y er 19 ved x=0 for skildpadden. x er tid. d. (1,20) e. Efter 1 time og ved afstanden 20 km fra start. f. Opstil ligningen 20x=x+19 og løs den. Løsningen er x=1. Herefter kan y findes ved indsættelse i en af forskrifterne, fx Achilleus' y =20 1=20 Altså er y= Lav brøker så længe du orker, og læg dem så sammen. Du vil aldrig få over 1. Det kan man bevise rent matematisk. b. Nej, svaret i er modbeviset til den påstand. c. Ja, men lad nu være med at blive forvirret. Det ER underligt, og det er derfor det kaldes et paradoks b. -

8 c Du har mødt flere i kapitlet på nuværende tidspunkt. Fx casen om Joe og cykeltaxaen y=10x+15, hvor x var antal km og y var samlet pris. Nævn en anden. 45. Modellen er y=2,4x-2,5, så hvis x er skovstørrelse sætter vi den til 16 og udregner y: y =2,4 16 2,5 = 35,9. Nu kan man jo ikke have 35,9 bævere, så vi konkluderer at der vil være 36 bævere ifølge modellen. b. Indsættes tallene får vi -1,3 bævere. Og det er jo nok ikke rigtigt. Men vi har at gøre med en model, så vi skal altid tolke modelberegninger i forhold til virkeligheden. Her konkluderer vi at der er nul bævere i så lille en skov. c. Ja, svaret på spørgsmål b er et eksempel på det. 47. Ligningen i sig selv, er et stykke ren matematik. Ligningen kan modellere mange ting, eksempelvist en situation, hvor man først har betalt 1010 kr. og så tjener man 0,036 kr. hjem for hver ting man sælger. Her ville y i modellen udregne fortjenesten. Men I tilfældet med elefanterne er ligningen skabt ud fra målinger på 39 elefanter og modellerer vægten ud fra brystmålet gange længden. b. Vi indsætter x= og udregner vægten y = 0, = 4390 Altså vejer elefanten kg ifølge modellen. c. Hvis man nu har et målebånd, men ikke lige har en elefant vægt...

9 Procentregning i1. Hun får 7 11 = 0,6363, og han får = 0,6316. Så NEJ, det passer ikke. i = 0,6667 og 4 5 = 0,80 og 3 4 b. Det er karakterne udtryk med decimaltal. c. Det er karakterne udtryk med brøker. = 0,75. Den fik altså højest bedømmelse i Brew 2.0. i4. b. c = 0, = 0, = 0,75 i5. 90% er 90 over 100 som igen er 0,90. Altså er Californiens vinproduktion 0, = 2520 mio. liter b. 4% = 0,04. Napa Valley udgør 4% af de 2520 mio. liter: 0, = 100,8. Altså 100,8 mio. liter. c. Det ville bl. blive svært at hurtigt at få et overblik over tallene. i = 0,01, = 0,17, = 1,24 b. 1 % = 0,01, 17 % = 0,17 og 124 % = 1,24 i7. b. c = 0,6666 = 66,66 %, så ja det er mere end 65%. = 0,75 = 75 %, så nej det er ikke mere end 77%. = 0,1429 = 14,29 %, så ja det er mindre end 15% % = 0,39, 35 % = 0,35 og 22 % = 0,22 6. Vi bruger metoden fra eksempel 5 35 % = 0,35. Altså: 150 0,35 =52,5. Altså har cirka 53 cyklister ud af 150 gennemsnits-cyklister kørt over for rødt. b. 30 0,35 =10,5. Altså har cirka 11 cyklister ud af 30 gennemsnits-cyklister kørt over for rødt. c. Måske ville tallene være anderledes. Det vi ville var at have dig til at tænke på, at det her er virkelige tal, og ikke bare matematik = = = 50 0,22. Alle lighedstegnene er gyldige, så alle beregningerne er ens. Metode A og metode B er altså ens % er 1, ,05 = Altså er afgiften på bilen kr. b. 105% afgift: ,05 = kr. 180% afgift: ( ) 1,80 = kr. Samlet afgift på bilen kr. c. Bilen til kr. kommer til at koste = Altså kr. Bilen til kr. kommer til at koste = kr. Altså kr.

10 12. Da r=0,21 bliver fremskrivningsfaktoren (1+r) til (1+0,21) eller blot 1, % = 0,31, så vi kan skrive vækstraten, r, som r=0,31. b. Fremskrivningsfaktoren er 1+r, altså 1+0,31 eller blot 1,31. c ,31 = ,95 = 285. Altså 285 liter. 17. Da vækstraten er minus 23% altså r=-0,23, så er fremskrivningsfaktoren (1+( 0,23))= 1 0,23= 0,77. Så fremskrivningsfaktoren er 0,77. b. Vækstraten er negativ. c ,77 = Altså bliver varmeudgifterne kr d = Altså spares der kr Vi kender ikke fremskrivningsfaktoren (1+r), men vi ved, at (1+r )=7.020, så vi isolerer (1+r ) og får 1+r = og dermed at r = = 0,064 = 6,36 %. Altså steg befolkningsantallet 6,4 % fra 2007 til (1+ r )= Isoler 1+r og derefter r. Facit er: r=0,029 eller angivet i procent: r=2,9% b. r=0,0403 eller godt 4% 23. Ved et fald på 23% bliver fremskrivningsfaktoren 1-0,23=0,77. Det ukendt antal fra 2008 kalder vi x, og nu har vi: x 0,77 = Isoler selv x og kom frem til at facit er ,5 liter 28. For Kenyas BNP gælder: cdot x = Isoleres x fås efter afrunding x=1,35, altså er indekstallet 135. For Danmarks BNP bruger vi formlen og finder at Indekstallet er over cdot 100 = Indekstallene for 2009, 2010 og 2011 er hhv. 113, 128 og Det gør den. b. Hvis formlen i C13 er =$B4/C4 kan den kopieres. Dollartegnet gør at beregningen sker ud fra basisåret i kolonne B selvom formlen kopieres. c. Da indekstallet er 102 er svaret 2 %.

11 Potenser, rødder og logaritmer 3. Grundtallet er 3 og eksponenten er 7 b. 3 7 =2187 c d. 6 e. a f. Et tal i første giver sig selv b =1024 c d. Da 4 2 = 4 4 og 4 3 = 4 4 4, så står der det samme regnestykke. e. Det første, som er i 4.potens. f. tredje 'er potens Positionens værdi ,1 0,01 0, , b. = = = = 0,01. Altså 0,01 km b b. 3 c b. 4 c. 8 d. 2 e. 4 f. 4 g. 6 h. 5

12 i. 3 j ,37973 b. 1, x=81 b. x=8 c. x= , De to manglende tal er 0 og b. 5 c. 6 d ,6826 b. 1,6562 c. 5,7782

13 Kapitalfremskrivning i1. - b. =B8*1,09 c. De 118,81 i B8 ganges med 1,09, og giver så 129,5029 d. 9% e. At modellere udviklingen af noget der vokser 9% pr. år. i2. - b. - i5. I C1 står der 0,06, så i C4 bliver fremskrivningsfaktoren 1,06 b og renten er 0,06 eller 6% c. At renten bliver sat op fra 6% til 7% (Man kunne også sige, at renten er steget et procentpoint). d e. Fordi alle beløb er beregnet ud fra det foregående år tillagt renteprocenten i C1. f ,06= Det gør den. i kr. b ,77 kr ,54 kr. b. 6966,06 kr. 7. Opstil ligningen: 8300 = x 1,02 7. Isoler x og få 7.573,87. Altså kostede den fra start 7.573,87 kr ,71 kr ,084 altså 8,4% b. -0,035 altså -3,5%. Inflationen var dermed 3,5% 12. Efter 5,5 år.

14 Eksponentielle sammenhænge i2. Vi får oplyst at vækstraten er 20%. Så r=0,20. Herefter er det bare at bruge formlen: x (år) y (tusinde kr.) b. De er K 0 og de 1,20 er fremskrivningsfaktoren 1+r i4. x (tid målt i år efter 2011) y (m 2 sø dækket af åkander) 3,125 6,25 12, b. 1 år c. 100% om året d. Ligningen kan beskrive hvor mange kvadratmeter y der er dækket som funktion af tiden x. e. Vælg et tilfældigt punkt, og aflæs y-værdien. Hvis du går én ud af x-aksen, så fordobles y-værdien. i5. x (år efter 2011) y (besneglet skovareal) ,5 b. (1 0,3) 2 =0,49 c. Hvis fremskrivningsfaktoren er 0,7, så skal der ganges med 0,49 hver gang vi går to år frem. Resultatet bliver altså omtrentligt det halve af hvad det var, hver gang. Så hvis sneglebestanden falder omkring 30% om året, så halveres den omkring hvert andet år. d ,08 3,5 =9,16. Altså 9 bøger. 4. Kun b. c. og f. er eksponentielle sammenhænge. b. a=1,3 og b=100 c. a=0,98 og b=57 f. a=9,2 og b=0,4

15 6. y=5000, så 5000 =7 1,08 x er den ligning der skal løses. log ( y b ) Det gør vi med formlen fra eksempel 5: x = log (a) hvilket er lidt over 7 år. log ( ) og vi får: x = log (1,08) =85,38 Altså går der godt 85 måneder, Fremskrivningsfaktoren er 0,75 og begyndelsesværdien er 4 b. Den er aftagende. c. I 4, dvs i punktet (0,4) 14. a=0,8651 b. 1 0,8651 =0,1349. Altså falder kropstemperaturen 13,49 % pr. time. 17. a = =2, =31 0,865 x. Brug fx løsningsmetoden fra eksempel 5 og kom frem til løsningen: x=-1,22. 1,22 svarer til cirka 1 time og 13 minutter. b. 1 time og 13 minutter før ankomsten kl Dvs. at forbryderen blev skudt klokken b. b = 10 = 10 = b. b=4, hvilket ses af punktet (0,4). a udregnes via formlen til 1, ,28 år. Du kan regne det ud ved at opstille en ligning, eller argumentere ud fra fordoblingstiden. b. 10,56 år y b. Ja c. 3 2 x + 1 = 3 2 x 2 1 = 3 2 x 2 = x = 6 2 x 27.

16 b. Det er y-værdien der bliver fordoblet, fra y til 2y. 28. T 2 =4,96. b. Hver 5. time bliver der altså dobbelt så mange bakterier ,08 mikrogram x er alderen i år efter 20. Og y udtrykker konditionen ved en given x. Som ved indekstal i forhold til basisåret (den 20 åriges kondition). b. De 100 er fuld kondition (som 20 årig). c. 69 år ,45 2 = 2,10. Altså vokser datamængden 2,1 gange hvert andet år. 39. k = 3 og a =1,5. Så a k =1,5 3, og det giver 3,375. y bliver altså multipliceret med 3,375 b. k = T 2 og a =1,5. Så a k =a T 2. Vi ved fra tidligere at a T 2 =2 (deraf navnetfordoblingskonstant...) 41. Fremskrivningsfaktoren er a k = 1,2 1,5 = 1,315. y vokser altså med vækstraten 0,315 eller 31,5%. b. 72,8 % 42. De 2,25 er antal (millioner) solgte biletter i 1980, og de 1,076 er fremskrivningsfaktoren, og den fortæller at vækstraten for antal solgte Cruisebilletter er på 7,6% om året i gennemsnit. b. 39,16 millioner mennesker. c. Cruise-skibsværfter, rejseselskaber, miljøforkæmpere, turistcentre nær havne, osv. d. Det er en gennemsnitsmodel, baseret på årene fra 1980 til Måske ændre vækstraten sig. Det kan også være at der kan være enorme udsving i de enkelte år grundet finansielle kriser, osv. e. I år 2090 (men holder modellen mon?). 45. Ja, for 1,414 2 = 2 (afrundet) b. y =2300 1,414 x c. Der er 39 år fra 1972 til Så vi beregner f (39)=2300 1, og får styk b. Da a=1,407 fås T 2 =log (2) log 1,407=2,03. Altså meget tæt på de to år.

17 Potenssammenhænge i1 Kakaoko i2 314 b. c 8 cm c. Den passer i formen, når b= π og a =2 i3 Formlen kan bruges til at beregne det samlede areal af alle gæsternes pandekager. Værdien af b er 24 π = 75,4 cm 2 b. y = 24 π 10 2 c. c 2,5 dl. i4 Hun kan beregne hvor meget is hver gæst skal have. b. x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 y = 5 x 3 0, , , c. Hvis y har værdien 5, har x værdien 1 d. Ja, vi indsætter x lig 1 og tjekker om y bliver b: y =b 1 a = b 1=b i5 Koordinaterne er første gang hele tal i punktet (1,1) b. I punktet (2,4) er x-værdien steget til det dobbelte, og y-værdien er steget 4 gange. c. - d. I punktet (4,16) er x-værdien igen steget til det dobbelte, og y-værdien er igen steget 4 gange. i6 Første punkt er (1,1). Ganges x-værdien med 3 har vi x=3, og punktet (3,9) b. y-værdien er nu steget 9 gange i forhold til startpunktets. 1 y =250 x 5 = 10. Altså 10 W/m 2 b. y = 250 x 10 = 2,5. Altså 2,5 W/m 2 og dermed 4 gange mindre. 3 y =( x 5) 7 b. I den første er b= π og a=2, i den anden er b=4 og a=6,3, og i den sidste er b=0,8 og a=-2: 5 f (1)= = 3 1=3 b. f (1)= 0,4 1 3 = 0,4 1=0,4 c. f (1)=12 1 0,4 =12 1= 12 6 Første forskrift hører til første tabel og midterste graf Anden forskrift hører til anden tabel og første graf Tredje forskrift hører til tredje tabel og sidste graf

18 8 Begge grafer går gennem (1,2), og b=2 for begge grafernes forskrifter. b. a<0 i forskriften der hører til grafen til venstre, hvilket ses ved at grafen er aftagende. Den anden graf er voksende, og derfor er a>0 i forskriften til denne graf. 9 Den vil være voksende, da a>0 b. x 0, y 0,31 1 1,41 2 2,45 2,83 3,16 11 (2 ; 33,5) og (4,5 ; 381,7) b. a=3 12 Nej. Indsættes 7 i formlen f ( x) =4 x 3, fås f (7)= =1372. Punktet som grafen går gennem er altså (7, 1372). b. 6= 4 x har løsningen x = log 6 log 4 =1,29 c. b 5 3 = 53 = b ( 5 2) log a = ( ) log ( 4 2) = 2, så a=2 b= 33,5 2 3 = 4,19. Altså er forskriften y = 4,19 x 3 b. y = 4,19 1,5 3 = 14,14. Altså er rumfanget 14,14 cm 3 i en boble hvor radius er 1,5 cm. c. Løser ligningen 1000= 4,19 x 3 ved at omforme til x = ( ,19 ) 13 =6,2. Altså skal radius være c 6,2 cm for at opfylde studentens drøm. 22 Løser ligningen 216= 5,0799 x 1,9581 ved at omforme til. 1 x = ( 216 5,0799 ) = 6,79 Altså vil det tage c 6,8 sek b. - c. Overskud $ (Australske dollars betegnes også A$ eller AUD) d. Løser ligningen 10000= 85,886 x 0, ved at omforme til. x = ( 85,886 ) 0,6277 = 1956,6 Altså 1957 billetter.

19 25 x y=x b. 4 gange større % b. 100 % 31 95,3 % (der er en trykfejl i 1.oplag. Formlen skal være 1,25 2 = 1,5625 hvilket svarer til at rumfanget stiger 56,25% ) 32 1,3 2 =1,69. Altså 69 % b. 5= x 2 som omformes til 1 x = 5 2 = 2,236 Altså skal sidelængden være 2,24 m c. y skal være 40 % større. Altså skal y-værdien ganges med 1,4, og dette må være vores tal k a. Vi opstiller ligningen 1,4= k 2 1 som omformes til k = 1,4 2 =1,183. Altså skal sidelængden forøges med 18,3 %

20 Proportionalitet i2 Proportioner betyder forhold - som regel størrelsesforhold i4 30 cm b. Alle længder skal ganges med 6 i5 8 b. konstanten aflæses som koefficienten til x (altså det tal x ganges med) i6 y = 0,5 x, y =1 x og y = 3 x i8 125 = 2,5 50. Altså 2,5 cm2 pr. sår. b. Opstilller ligningen 125= antal sår 5 som kan omformes til antal sår = 125 =25 5. Altså 25 sår. c. Opstilller ligningen 125= antal sår 10 som kan omformes til antal sår = 125 =12,5 5. Altså 12 sår. i10 De to variable står for antal blade og bladstørrelse. Hvad der er hvad kommer an på hvad der skal modelleres. b. Bladstørrelsen bliver mindre. c. Antallet bliver mindre. d. At arealet bliver lige så mange gange mindre som antallet bliver større og omvendt. Eller sagt på en anden måde, at antallet af blade gange bladstørrelsen er konstant. i11 På samme måde. Det er blot en omformning af ligningen. Der er ikke ændret på de tal (x,y) der er løsninger til den. b. Ingenting, grafen er nemlig symmetrisk om y=x linjen meter b. 840 meter c. 14,3 sekunder d. 35 meter 5 b. 8=2x skal løses, og vi får x=4. Altså 4 kager. 6 k=3 og k=0,5 7

21 y=5x, hvor x er antal kilo og y er prisen. Eller f(x)=5x b. c. 0,8 kg brød 8 y=750x, hvor x er antal timer, og y er prisen b. 1000=750x som omformes til x = 1000 = 4/ 3 Altså 1 time og 20 minutter y-værdierne er alle 4 gange større end x-værdierne hvilket også kan skrives y=4x, hvilket er en ligefrem proportionalitet. Der er også andre måder at forklare det på. 10 At mit humør afhænger af antal gaver, sådan at jo flere gaver jo bedre humør. b. At humøret stiger med et stigende antal gaver behøver ikke at være en ligefrem proportionalitet. Det er imidlertid en udbredt og accepteret talemåde. 11 x = k y kan omformes til er en konstant. x k = y eller 1 k x = y Og dette er også en ligefrem proportionalitet, fordi 1 k også blot b. 2,8235 rækker (hvilket kan tolkes sådan at den ene række er 0,8235 gange højden af en normal række). 15 b l =36 18 Det er c. og e k=4 og k=10

22 = p m, hvor p er pris og m er meter b. p=300. Ligningen er nu 50000= 300 m og kan omformes til m = c. =166,667. Altså 166,67 meter. 22 Formlen for en omvendt proportionalitet mellem størrelserne x og y er x y = k. Da faktorernes orden er ligegyldig, ligger der ikke heri nogen bestemt rækkefølge. Så ligningen kan både tolkes som at x er omvendt proportional med y og at y er omvendt proportional med x.

23 Statistik i2 Karakter Hyppighed Karakter Hyppighed b. Statistik: = 8 Altså 8 i gennemsnit. Funktionslære: =8 Altså 8 i gennemsnit. 9 c. De er mere spredte i Funktionslære end i Statistik. d. Ja, det er jo ikke godt at vide... e. - 4 Smag Jordbær Vanille Chocolade... Hyppighed b. Eksempelvist hvad de skal producere mindre eller mere af. i5 Vi har lavet ikke-grupperede observationer i skemaet. 3 Observation Hyppighed Antal tænder b. Ja c =6 d = 27,15 Altså er der i gennemsnit 27,15 tænder i kraierne Da de fleste kranier har alle deres tænder, er de formentligt unge. b. Spredningen på antal tænder er lille, så formentligt har de haft samme sundshedstilstand. 11 Nej b. I det næstsidste 12 Hvis der er mange forskellige observationer, hvor den enkelte observationsværdi ikke er så interessant. Eksempelvist er det vel ikke interessant hvor mange mennesker i Danmark der er præcist 174,21462 m høje. 15 4,165

24 16 Ved at konstatere at spredningen (variationen) er lille. 18. De er ugrupperede b. Opsamlet 21 Ved at der er 60 observationer i alt 3 b. 83,3 %, 11,7 %, 95 % og 60 = 5 % 23 Den kumulerede frekvens er afsat på y-aksen, og antal er afsæt på x-aksen. b. Ja, det ses at langt de fleste der straks laver vejrmøller er under For at skabe overblik over observationssættet. b. c 55% c. c 35% d.165 cm 27 Højde Hyppighed Frekvens Kumuleret frekvens ]155;160] 5 41,7 41,7 ]160;165] 4 33,3 75 ]165;170] 1 8,3 83,3 ]170;175] 2 16, Kvartilsættet er (26 ; 30,5 ; 34,5)

25 b. Første kvartil er ens, så 25% af kvinderne der føder er i begge byer under 26 år gamle. I det store og hele er de fødende kvinder i København lidt ældre end i den lille by. Fx er halvdelen af kvinderne under 29 år gamle i den lille by, mens halvdelen af kvinderne er under 30,5 i København. Andelen af kvinder der føder i en sen alder (over 40 år) er dobbelt så stor i København som i den lille by. 34 (74,1 ; 79,85 ; 81,9) 35 (76,05 ; 81,9 ; 83,45) 37 Medianen er 0 og gennemsnittet er ,60 b. Medianen udtrykker den værdi som 50% af spillerne fik altså 0 kr. Og gennemsnittet udtrykker hvad de hver havde fået, hvis de alle havde vundet det samme. 39 (02 ; 4 ; 5,5) 42 Yderst til venstre (0) hhv. yderst til højre (10). b. Ved de tre lodrette streger i boksen altså (2, 4 og 5,5) 44 (4; 6 ; 7,5 ; 9 ; 12) b. 47 Ingen af dem er outliers. 48 I det nederste boksplot ses det udvidede kvartilsæt for gadekrydsene. Det fremgår klart at niveauet er højere, idet hele boksen er på et højere niveau: Eksempelvist er Q1 for gadekrydsene er på niveau med Q3 for Grand Danois, og 50% af gadekrydsene bliver ældre end den aller ældste Grand Danois. Endvidere er spredningen større for gadekrydsene. Mindste værdien af levealderen for gadekryds var kun et år. Der er dog stor sandsynlighed for at det er et enkelttilfælde, da observationen er en outlier. Variationsbredden er således 8 (12-4) for Grand Danios, mens den er 16 (17-1) for gadekryds. Kvartilafstanden er 5 for gadekryds, hvilket også er større end for Grand Danois hvor den var 3. Vi kan ikke beregne gennemsnittet for gadekrydsene, så skævheden kommenteres ikke. 51 Problemet er at søjlerne ikke er fordelt ud over hele spektret af muligheder. Der er fx samme afstand mellem 48 mm og 50 mm, som der er mellem 47 mm og 48 mm. Man overser således at der slet ikke er jordbær med en længde på 49 mm. Årsagen er, at regnearket betragter observationerne som kategorier (som fx grøn, rød, lilla, sort,...) og ikke som tal

26 b. 35 og Frekvensen 58 Der er ikke helt håndfaste konventioner. Men i et histogram er der ikke mellemrum mellem søjlerne. Dette skyldes, at observationerne på x-aksen er givet på intervalform. I histogrammet er det arealet af søjlen der udtrykker frekvensen eller hyppigheden. b. Dem på mellem 46 og 50 mm, fordi der er flest af dem, og dermed størst sandsynlighed for at få ens jordbær. 59

27 Trigonometri 1 i m2 i4 - b. - c. - d. Arealerne, der udregnes med formlerne på hhv. venstre og højre side er lige store. e. Ja f. Fordi det skal have almen gyldighed. Ellers kan der indvendes, at det kun gjaldt fordi vi tog nogle specielle tal. i5 (1,0), (0,1), (-1,0) og (0,-1) b. Omtrentligt (0,86 ; 0,50) i6 Arealet er 1 π 0,5 2 =0,21 (af symmetri-grunde er området nemlig lig med forskellen arealet af eet kvadrat og én cirkel. i7 Den grønne: (-4,-2), (-2,-2) og (-2,-1). Den røde: (-2,1), (4,1) og (4,4). b. Alle sidelængder i den røde er 3 gange længere end i den grønne. Den har altså samme form, men er zoomet op 3 gange. 2 b. 5-7 æøå, hvor æ er overfor Æ, ø er overfor Ø og å er overfor Å 9

28 11 Begge har arealet ,1 km b. 3,3 km og 4,6 km 17 a svarer til a', b svarer til b' og c svarer til c' b. k=3 c. c=5 og a'= b. - c. k=1,5 eller k=0,667 alt afhængig af hvilken trekant du vælger som udgangspunkt. d. b'=6 og c'=7,5 20 Højderne svarer til hinanden, og grundlinjerne (skyggerne) svarer til hinanden og ligeså den sidste side. b. 3 c. Ved at bruge sætning 21: forholdet mellem ensliggende sider er det samme i to ligedannede trekanter. I denne ligning isoleres højden ved at gange med 2 på begge sider, hvorefter vi kan beregne højden til = højden m 29 Se svaret på den tilhørende film. b. Fordi vi kan bevise at vinklerne er 90 grader, og siderne er lige lange, må figuren være et kvadrat. 30 c=10 32 a=3

29 Trigonometri 2 i2 60 grader b. c. i4 i6

30 i8 i10 - b. Går vi først 180 grader rundt i retning mod uret og så v grader tilbage, havner vi i w. Altså er w=180 o -v c. Ens d. Forskellige (længderne fra origo er ens, men fortegnet på koordinaterne er forskelligt). i11 Ja (men ikke helt i den matematisk stringente betydning). b. Der er ti stykker og 360 grader hele vejen rundt, så 36 grader. 1 /b. Den blå prik angiver hvor kabinen er. Hjulet er drejet 90grader den nedre position. c. Hjulet har en radius på 60m, så det må være hævet 15 meter over overfladen hvis det i alt er 135 meter højt. Der er altså 75 meter op til den indlagte x-akse. Så højden er 75m. Huen ligger 60 meter fra indgangen. d. Den anden kabines placering er markeret med rødt. Hjulet skal dreje 180 grader for at den blå kabine er på den rødes position. 3 - b. c 130 grader, c 70 grader og c 15 grader. c. Omtrentlige koordinater (-0,7 ; 0,8), (0,3 ; 0,9) og (0,9 ; 0,2) 5 Den stiplede linje ind på y-aksen skærer i 0,5299, og den stiplede linje ned på x-aksen skærer i 0,8480.

31 b. De stiplede linjer vil skære y-aksen i 0,8829 og x-aksen i 0, grader b. 39 grader c. 60 grader d. Vis med stiplede linjer, at du har fundet førstekoordinaterne til retningspunkterne til vinklerne 53,39 og 60 grader b./c./d. Punktet der er markeret med et kryds har samme andenkoordinat som punktet markeret med en firkant. Vinklen fra x- aksen til radius ud til punktet markeret med et kryds er 180-vinklen ud til punktet markeret med et firkant. Punktet markeret med en cirkel angiver de to punkters fælles andenkoordinat ,1 grader 12 tal sin 1 (tal ) cos 1 (tal) b. De beregner vinklerne der svarer til hhv. første koordinaten og anden koordinaten. 14 Som cos(o) 1 18 cos(55)= hos 4, denne ligning kan omformes til: hos=4 cos(55)=2,29 Altså har kateten længden 2, , , km (den rigtige middelafstand til månen er km.) 29 6,96 grader b. 3,49 grader

32 31 27,68 m b. 157,36 m Arealet er 10,7 37 Der er 13,87 km hjem. Ifølge modellen når han ikke hjem før han løber tør for brændstof. 42 8,06 44 Højden kan ud fra oplysningerne beregnes af ligningen: sin ( 30) = højden 200 højden=200 sin (30)=100. Altså er højden 100 meter. b. Svævebanen er 341,75 meter som kan omformes til 47 3, grader