Funktioner og ligninger

Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive sammenhænge på. De arbejdede også undersøgende med sammenhængen mellem forskriften for en ret linje og dens graf. Dette kapitel bygger videre på elevernes tidligere arbejde med tabeller, ligninger og grafer. Første del af kapitlet sætter fokus på lineære funktioner, herunder ligefrem proportionalitet, og eleverne introduceres for den generelle form, som forskriften for en lineær funktion kan skrives på. Eleverne arbejder således både med en algebraisk repræsentation af lineære funktioner og med en geometrisk repræsentation som grafer i koordinatsystemet. Anden del af kapitlet har fokus på ligninger. Det ligger i en naturlig forlængelse af kapitlets første del, idet vi har valgt en tilgang, hvor ligninger bliver et redskab til at løse praktiske og teoretiske problemer, bl.a. en problemstilling fra kapitlets første del. Eleverne har tidligere løst ligninger ved fx at gætte og prøve efter. Kapitlet introducerer ikke en bestemt metode til at løse ligninger. Eleverne skal arbejde med forskellige metoder til ligningsløsning samt med at undersøge forskellige regler for ligningsløsning. Det er vigtigt, at eleverne får mulighed for at arbejde med kapitlet med udgangspunkt i deres forhåndskendskab til bl.a. regneregler og variabelbegrebet. Repræsentations- og symbolbehandlingskompetencen er centrale i hele kapitlet, idet der arbejdes med forskellige repræsentationer for funktioner og ligninger, og eleverne anvender symboler i den algebraiske repræsentation. Det kræver modelleringskompetence at kunne oversætte kapitlets praktiske problemstillinger til funktioner, der kan beskrive de konkrete sammenhænge og til ligninger, der kan løses. Det kræver også modelleringskompetence at kunne se, hvad de matematiske beskrivelser og løsninger betyder for de praktiske problemstillinger. Eleverne får mulighed for at styrke deres tankegangskompetence, når de arbejder med centrale begreber i forbindelse med funktioner og generaliserer fra forskellige eksempler på lineære funktioner til den generelle form, funktionsforskriften kan skrives på. Eleverne anvender hjælpemiddelkompetencen, når de arbejder med funktioner i et funktionsprogram. I kapitlet arbejdes med følgende centrale faglige begreber: tabel ligning graf lineær funktion funktionsforskrift ligefrem proportionale funktioner stigningstal ligninger Huskeliste: Et funktionsprogram (til side 49) FUNKTIONER OG LIGNINGER 1

FRA FAGHÆFTET Kompetencer skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (tankegangskompetence) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (modelleringskompetence) afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelse (repræsentationskompetence) forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (symbolbehandlingskompetence) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematikkens sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (hjælpemiddelkompetence) Matematiske emner I arbejdet med tal og algebra at kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder I arbejdet med geometri at arbejde med koordinatsystemet og forstå sammenhængen mellem tal og geometri Matematik i anvendelse: arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. procentberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemstillinger Matematiske arbejdsmåder: deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte i bl.a. it undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde FUNKTIONER OG LIGNINGER 2

Indhold og mål I dette kapitel skal I arbejde med funktioner og ligninger. Målet er, at I bruger funktioner til at beskrive forskellige sammenhænge. lærer, hvad der kendetegner lineære funktioner. bliver bedre til at bruge et funktionsprogram. bliver bedre til at bruge ligninger til at løse problemer. undersøger regler til at løse ligninger. FUNKTIONER OG LIGNINGER 3

FACIT Side 46 MUNDTLIG 1 y = 0,25x 2 Gram Kroner 50 32,50 100 65,00 150 97,50 200 130,00 250 162,50 300 195,00 350 227,50 400 260,00 260 240 kr. y = 0,65x 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 gram 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 3 Hvis y-værdien antager en anden værdi end 0 for x = 0, kan y-værdien fx ikke blive dobbelt så stor, hvis x-værdien bliver dobbelt så stor. 4a 4b 4c 4d 4e 4f Ja. Nej. Ja, med mindre der er mængderabat. Ja, med mindre der er mængderabat. Nej. Nej. FUNKTIONER OG LIGNINGER 4

5 Side 47 MUNDTLIG 6 0,25 er et udtryk for, at 1 gram te koster 0,25 kr. 40 er et udtryk for, at prisen for en dåse er 40 kr. 7a 7b For x = 0 bliver y = 40. Grafen går derfor ikke igennem (0,0). Man kan også undersøge y-værdierne for to x-værdier, hvor den ene er dobbelt så stor som den anden. y-værdien bliver ikke dobbelt så stor. Fx 50 g te koster 52,50 kr. 100 g te koster 65,00 kr. Prisen bliver ikke dobbelt så stor, selv om der købes dobbelt så meget te. 7c Grafen skærer ikke y-aksen i (0,0). 8 Side 48 PROBLEM 1 Lisa skal arbejde 5 timer. 2 Lisa tjener 60 kr. i timen. Man kan fx sige 300:5. 3 kr. 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 y = 80x y = 60x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 timer FUNKTIONER OG LIGNINGER 5

4 Grafen, der viser sammenhængen mellem løn og antal arbejdstimer om søndagen er mere stejl end grafen, der viser sammenhængen mellem løn og antal arbejdstimer på hverdage og om lørdagen. Begge grafer er rette linjer, der går igennem (0,0). Begge rette linjer er grafer for ligefrem proportionale funktioner. 5 f(x) = 60x og f(x) = 80x 6 Fx: Når Lisa arbejder dobbelt så længe, får hun også dobbelt så meget i løn. Når Lisa arbejder tre gange så lang tid, får hun også tre gange så meget i løn osv. 7 Fx kan hun arbejde 6 timer fordelt på to søndage, 8 timer fordelt på to lørdage og 9 timer fordelt på tre hverdage. Side 49 PROBLEM 1 2 kr. 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 y = 125x y = 100x y = 80x Sammenhæng mellem løn og arbejdstimer 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 timer FUNKTIONER OG LIGNINGER 6

3 4 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 kr. y = 80x y = 70x y = 60x 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 kr. 1900 a. y = 60x + 300 1800 b. y = 75x + 300 1700 c. y = 90x + 300 1600 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 timer 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 timer FUNKTIONER OG LIGNINGER 7

5 Det faste beløb har indflydelse på, hvor grafen skærer y-aksen. Hvis det faste beløb fx er 300 kr., skærer grafen y-aksen i (0,300). Hvis timelønnen er 60 kr. og det faste beløb 300 kr., er funktionsforskriften f(x) = 60x + 300. Hvis det faste beløb ændres, ændres det sidste led, 300, i funktonsforskriften. 6 Fx f(x) = 500, f(x) = 1000. De vandrette grafer kan fx være et udtryk for, at Lisa får en bestemt løn, fx 1000 kr., uanset hvor længe hun arbejder. 7 Hvis tallet foran x i funktionsforskriften er negativt, er grafen faldende. Det kan fx være en beskrivelse af, at man betaler en bestemt sum penge hver måned. 8 Hvis det sidste led i funktionsforskriften er negativt, har skæringspunktet med y- aksen en negativ y-værdi. Hvis tallet foran x samtidig er positivt, kan det være en beskrivelse af, at man har en gæld, man betaler af på hver måned, så gælden bliver mindre og mindre. Side 50 MUNDTLIG 1 Den blå graf. Grafen skærer y-aksen i (0,3). I tabellen kan man se, at y = 3, når x = 0. Tabellen viser også, at y-værdierne bliver større, når x-værdierne bliver større. Grafen for funktionen er derfor stigende. 2 Når man går 1 til højre parallelt med x-aksen, skal man gå 2 op parallelt med y- aksen for at komme til et nyt punkt på grafen. Det gælder, uanset hvor på grafen man starter. 3a Det er tallet foran x. 3b Når man går 1 til højre parallelt med x-aksen, skal man gå 2 op parallelt med y- aksen for at komme til et nyt punkt på grafen. 3c 4 Når x-værdien bliver 1 større, bliver y-værdien 2 større. x f(x) -3 10-2 7-1 4 0 1 1-2 f(x) = -3x + 1 5 Når man ud fra et punkt på grafen går 1 til højre parallelt med x-aksen, skal man gå 3 ned parallelt med y-aksen for at komme til et nyt punkt på grafen. 6 Stigningstallet er -3. FUNKTIONER OG LIGNINGER 8

7 Fx 7a f(x) = 4x + 2, f(x) = 4x 5, f(x) = 4x + 10. 7b f(x) = 2x + 4, f(x) = 11x + 2, f(x) = 20x 14. 7c f(x) = 3, f(x) = -5, f(x) = 100. 7d f(x) = -3x + 9, f(x) = -4x + 10, f(x) = -19x +1. Side 51 MUNDTLIG 8 Koordinatsystemet viser, at når man ud fra et punkt på grafen går 1 til højre parallelt med x-aksen, skal man gå a op (eller ned) parallelt med y-aksen for at komme til et nyt punkt på grafen. På den måde kan man aflæse stigningstallet. 9a 9b 9c 9d 10a 10b 10c 10d 10e Grafen er stigende. Grafen er faldende. Grafen er meget stejl. Grafen er ikke særlig stejl. Sort. Blå. Rød. Grøn. Lilla. 11 b har betydning for, hvor grafen skærer y-aksen. 12a Grafen skærer y-aksen i (0,0). 12b Grafen er vandret. 13 a. b. c. d. 9 8 7 6 5 4 3 2 1-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8-9 FUNKTIONER OG LIGNINGER 9

14 a, b og d har funktionsforskrifter for lineære funktioner. c og e er ikke funktionsforskrifter for lineære funktioner. Man kan fx se det ved at tegne graferne for funktionerne, eller man kan se om funktionsforskriften passer på formen f(x) = ax + b. 15 En funktion er en sammenhæng, hvor der til enhver x-værdi findes netop én y- værdi. For x = 2 er der uendeligt mange y-værdier til x = 2. Det er derfor ikke grafen for en funktion. 3 2 1-2 -1 1 2 3 4-1 Side 52 1 PROBLEM Antal forlystelser Samlet pris (entré + forlystelser) 0 85 kr. 1 125 kr. 2 165 kr. 3 205 kr. 4 245 kr. 5 285 kr. 6 325 kr. 7 365 kr. 8 405 kr. 9 445 kr. 10 485 kr. FUNKTIONER OG LIGNINGER 10

2 og 3 450 kr. 2. Uden turpas 3. Med turpas 400 350 300 250 200 150 100 50 antal forlystelser 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 Maria skal prøve mere end 5 forlystelser, før det kan betale sig for hende at købe et turpas i stedet for. Ved 5 forlystelser skal hun betale det samme. Side 53 FÆRDIGHED Facit står i grundbogen side 178 Side 54 1a PROBLEM Antal km Pris i kr. 0 24 10 144 20 264 30 384 40 504 50 624 60 744 70 864 FUNKTIONER OG LIGNINGER 11

1b Antal km Pris i kr. 0 37 10 157 20 277 30 397 40 517 50 637 60 757 70 877 2 3a 3b 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 kr. Prajer taxa på gaden (y = 12x + 24) Bestiller taxa (y = 12x + 37) 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Startgebyret kan aflæses ved grafens skæringspunkt med y-aksen. Det er skæringspunktets y-værdi. Startgebyret er det sidste tal i funktionsforskriften. km 4 23 km. FUNKTIONER OG LIGNINGER 12

5 380 360 kr. (32,379) 340 320 300 280 260 240 220 200 (16,211) 180 160 140 120 (7,117) 100 80 60 40 20 km 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 6a 6b Startgebyret er ca. 43 kr. Det koster ca. 10,50 kr. pr. km. 7 Det koster ca. 305,50 kr. Side 55 FÆRDIGHED Facit står i grundbogen side 179 Side 56 MUNDTLIG FUNKTIONER OG LIGNINGER 13

1 Vi skal finde ud af, hvor stor x er, når y = 264. x er et udtryk for antal kilometer. Vi skal finde ud af, hvor mange km, vi kan køre for 264 kr. 2 Eksempel 1: På y-aksen kan vi aflæse antal kr. Vi kan finde 264 på y-aksen og derudfra gå parallelt med x-aksen, til vi kommer til et punkt på grafen. Ved at aflæse punktets x-værdi finder vi ud af, hvor langt man kan køre for 264 kr., da vi kan aflæse antal kr. på x-aksen. 3a x = 3 3b x = 4 3c x = 4 Eksempel 2: Den øverste bjælke repræsenterer 264 kr. Den nederste viser, hvad de 264 kr. består af. 24 kr. er til startgebyr, og resten af kronerne går til at betale for antal kørte km. Hver km koster 12 kr. Hvor mange gange kan 12 være der? Eksempel 3: Der er vist to tallinjer. Den øverste viser, at hele prisen for taxaturen er 264 kr. 24 kr. går til startgebyret. Der er 240 kr. tilbage til at betale for antal kørte km. Hvor mange gange kan vi springe 12 på tallinjen, så vi når til 240? Eksempel 4: Leddet, hvori x indgår, skjules med en finger, så spørgsmålet bliver, hvad vi skal lægge til 24 for at få 264? Det må være 264 24 = 240. Tallet under fingeren skal altså være 240, dvs. 12x = 240. Hvilket tal skal vi da gange 12 med for at få 240? Side 57 MUNDTLIG 4 5a x = 3 5b x = 5 5c x = 3 5d x = 5 5e x = 1 5f x = 6 7 Fx 7a 4x + 2 = 5x 8. x + 5 = 2x 5. 7b 3 + 5x = 2x + 15. 9x = 10x 4. 7c x + 14 = 2x + 12. 6 2x = 3x 4. 7d 4x + 5 = 6 + 5x. 4 x = 5x + 10. Side 58 PROBLEM FUNKTIONER OG LIGNINGER 14

1a 10x = 250 1b 10x = 320 2a x = 25 2b x = 32 3a 3b 3c 250 km 375 km 500 km 4 5a 5b 20 km/l 15 km/l Side 59 FÆRDIGHED Facit står i grundbogen side 179 Side 60 MUNDTLIG 1 400 kr. er det beløb, Oliver starter med. Hver måned lægger han 100 kr. i sparebøssen. x står for det antal gange, han skal lægge 100 kr. til side, og 1600 kr. er det beløb, han i alt vil ende med. 2 Værdien er regneudtrykkene på venstre og højre side af lighedstegnet er ens. Når der trækkes 400 fra på begge sider, er værdien på begge sider blevet 400 mindre. Regneudtrykkene på begge sider af lighedstegnet har derfor stadig samme værdi. 3 Ja, reglen gælder. x = 10 x = 30 x = 10 x = 10 x = 5 x = 8 4 Værdien er regneudtrykkene på venstre og højre side af lighedstegnet er ens. Når der divideres med 100 på begge sider, er værdien på begge sider blevet 100 gange mindre. Regneudtrykkene på begge sider af lighedstegnet har derfor stadig samme værdi. 5 Efter 12 måneder har Oliver 1600 kr. 6 Ja, reglen gælder. x = 7 FUNKTIONER OG LIGNINGER 15

x = 8 x = 8 x = 6 x = 4 x = 2 Side 61 MUNDTLIG 7 x repræsenterer Marks løn. Når Mark har sat halvdelen af lønnen i banken, har han halvdelen af lønnen tilbage, dvs. x. Han bruger 200 kr. til sin mobiltelefon og har derefter x 200 kr. tilbage. Han ønsker at have 800 tilbage, dvs. x 200 = 800. 8 Værdien er regneudtrykkene på venstre og højre side af lighedstegnet er ens. Når der lægges 200 til på begge sider, er værdien på begge sider blevet 200 større. Regneudtrykkene på begge sider af lighedstegnet har derfor stadig samme værdi. 9 Ja, reglen gælder. x = 18 x = 44 x = 20 x = 7 x = 3 x = 5 10 Værdien er regneudtrykkene på venstre og højre side af lighedstegnet er ens. Når der ganges med 2 på begge sider, er værdien på begge sider blevet 2 gange større. Regneudtrykkene på begge sider af lighedstegnet har derfor stadig samme værdi. 11 Det betyder, at han skal tjene 2000 kr. for at have 800 kr. tilbage, når halvdelen af lønnen er sat i banken, og 200 kr. bruges til mobiltelefonen. 12 Ja, reglen gælder. x = 40 x = 34 x = 30 x = 60 x = 25 x = 6 Side 62 FÆRDIGHED Facit står i grundbogen side 179-180 FUNKTIONER OG LIGNINGER 16

Side 63 PROBLEM 1 x er prisen uden moms. 25 % =. Derfor er x = 200. 2a x = 400 2b x = 250 2c x = 10 3a x = 1600 3b x = 1000 3c x = 40 Regel: Man kan gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. 4a x + x = 1500 x = 1500 4b x + x = 4250 x = 4250 4c x + x = 375 x = 375 5a x = 1200 5b x = 3400 5c x = 300 Regler: Man kan gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. Man kan dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. 6a 200 + 200x = 238 6b 350 + 350x = 399 7a x = 0,19 = 19 % 7b x = 0,14 = 14 % Regler: Man kan trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. Man kan dividere med det samme tal på begge sider af lighedstegnet. FUNKTIONER OG LIGNINGER 17