Analyse af transportomkostninger ved indsamling af kildesorteret organisk affald og restaffald ved anvendelse af et enkelt- og dobbeltkammersystem

Case study: Reno Djurs I/S Analyse af transportomkostninger ved indsamling af kildesorteret organisk affald og restaffald ved anvendelse af et enkelt- og dobbeltkammersystem Forfattere: Vejleder: Katrine Sørensen Malene Louise Lesemann Sanne Wøhlk Department of Economics and Business, Business and Social Sciences, Aarhus University August, 2014

Abstract In May 2014 the Danish Government enacted a plan, stating that 50 % of all household waste should be recycled by 2022. As a consequence most Danish municipalities and waste companies need to adjust their current waste disposal systems. Reno Djurs I/S is a municipally owned waste company, and in order for them to comply with the new standards they need to change their current waste collection procedures. Therefore they required an analysis of the transportation costs associated with two different scenarios for source separated household waste. The first scenario included a separate collection of organic and residual waste at the source, using singlecompartment bins and single-compartment vehicles. The second scenario included co-collection of organic and residual waste, using double-compartment bins and double-compartment vehicles. Waste collection is a classic example of a Capacitated Arc Routing Problem (CARP). The aim of CARP is to find a set of connected vehicle routes, starting and ending in a depot, such that the distance is minimized. All demand edges must be serviced by exactly one vehicle and the vehicle capacity must not be violated. The area, in which the CARP should be solved, covered a fourth of Djursland which resulted in a large graph with 5.655 nodes and 6.402 edges including 2.252 demand edges. Given the large amount of edges, and since CARP is NP-hard, different heuristics have been used to solve the problem. First and foremost an edge clustering heuristic has been presented, based on the algorithm -Link, which has been able to improve the solution process significantly. Thereafter a modification of the construction heuristic Double Outer Scan has been implemented, which is capable of handling small clusters. Based on these two algorithms, an initial solution has been created within a relative short amount of time. Afterwards, a metaheuristic has been developed by a modification of Adaptive Large Neighborhood Search, which has been capable of improving the initial solution. Based on the above solution methods, the double-compartment system resulted in 10 % shorter routes than the single-compartment system. The sensitivity of the solution has also been explored, changing key problem characteristics, including the vehicle capacity and the ratio between organic and residual waste. These additional tests increased the difference of the transportation costs in favor of the double-compartment system. Finally a number of different economic aspects, including fuel consumption, reloading and freight cost, collection costs, and investment in bins has been commented on. Taking these economic aspects into consideration, it is concluded that the double-compartment system is the most cost efficient scenario. Our thesis has contributed with a presentation of an effective clustering heuristic and metaheuristic. The results of our thesis can be used by Reno Djurs, in their decision process of a new disposal system.

Indholdsfortegnelse 1 Indledning... 1 1.1 Reno Djurs I/S... 1 1.2 Nuværende dagrenovationsordninger... 2 1.3 Fremtidige ordninger... 2 1.4 Problemformulering... 3 1.5 Afgræsning... 4 1.6 Metode og struktur... 5 2 Litteraturgennemgang... 5 2.1 Genanvendelsesteori... 5 2.2 Ruteplanlægning... 7 2.2.1 CARP i et historisk perspektiv... 7 2.2.2 Capacitated Arc Routing Problem... 9 2.2.3 Variationer af CARP... 11 2.2.4 MCGRP/NEARP... 12 3 Løsningsmetoder til et CARP... 13 3.1 Konstruktionsheuristikker... 13 3.1.1 Construct-Strike... 13 3.1.2 Path-Scanning... 13 3.1.3 Augment-Merge... 14 3.1.4 Double Outer Scan... 15 3.2 Metaheuristikker... 16 3.2.1 Simulated Annealing... 16 3.2.2 Tabu Search... 17 3.2.3 Variable Neighborhood Search... 18 3.2.4 Large Neighborhood Search... 19 3.2.5 Adaptive Large Neighborhood Search... 21 4 Districting & Sectoring... 26 4.1 Clustering... 26 4.2 Små klynger... 27 5 Datagrundlag og dataforberedelse... 28 5.1 Dannelse af klynger... 28 5.2 Antagelser og forudsætninger for modellen... 30

5.3 Vægt og volumen... 33 5.3.1 Vægt og volumen i skraldespande... 33 5.3.2 Vægt og volumen i skraldebiler... 36 6 Løsningsprocedure... 38 6.1 Implementering af Double Outer Scan... 38 6.2 Implementering af Adaptive Large Neighborhood Search... 40 6.2.1 Ødelæggelsesheuristikker... 40 6.2.2 Reparationsheuristikker... 42 6.2.3 Valg af heuristikker i hver iteration... 45 6.2.4 Accept- og stopkriterium... 45 7 Trænings-, validerings- og testdatasæt... 46 8 Tuning... 46 8.1 Tuningsprocessen... 47 8.2 Antallet af undersøgte ruter i reparationsheuristikken Indsæt Kanter... 48 8.3 Antallet af iterationer... 48 8.4 Tuning af metaheuristikken... 49 8.4.1 Score... 49 8.4.2 Lambda... 50 8.4.3 Acceptkriterium... 50 8.4.4 Tuning af ødelæggelsesheuristikkerne... 51 8.5 Tuning af dannelsen af klynger... 53 8.6 Resultat af tuningsprocessen... 55 9 Yderligere test af løsningsproceduren... 57 9.1 Simulated Annealing... 57 9.2 Test af klyngestruktur... 58 10 Resultater... 60 10.1 Enkeltkammerbiler... 60 10.2 Dobbeltkammerbiler... 62 10.3 Samlet resultat... 63 10.4 Følsomhedsanalyse... 63 10.4.1 Øget kapacitet... 64 10.4.2 Ændret affaldsfordeling... 65 10.5 Samlet resultat... 68

10.5.1 Udnyttet kapacitet... 68 10.5.2 Omlastning... 69 11 Økonomiske konsekvenser... 70 11.1 Berørte budgetposter... 70 11.2 Påvirkning af brændstofforbruget... 71 11.3 Entreprenørens tømningspris... 73 11.4 Investering og afskrivning af skraldespande... 74 11.5 Omkostninger til omlastning... 75 11.5.1 Omlastning i Glatved/Aarhus ved dobbeltkammersystemet... 76 11.6 Samlet resultat... 77 12 Diskussion af praktiske fordele og ulemper... 78 13 Diskussion af regeringens ressourceplan... 79 14 Konklusion... 82 15 Perspektivering... 84 16 Referencer... 86 Appendiks

1 Indledning Danmark er et af de lande i Europa, som producerer mest affald pr. person. De danske husstande producerede i 2011 447 kg affald pr. person, hvoraf 21 % af husholdningsaffaldet blev genanvendt og 75 % blev forbrændt 1. Alle EU-lande er enige om et mere ressourceeffektivt EU, og i den forbindelse har regeringen udviklet en ressourcestrategi kaldet Danmark uden affald: Genanvend mere - forbrænd mindre. Budskabet er, at affald i højere grad skal opfattes som en ressource, der kan genbruges og genanvendes frem for, at det blot anses som et spildprodukt. Målet med ressourcestrategien er, at vi i 2022 skal genanvende 50 % af alt husholdningsaffald, hvilket svarer til mere end en fordobling af den nuværende genanvendelse. Ydermere lægger strategien vægt på, at miljøpåvirkningen fra affaldet skal reduceres, og at der skal være kvalitet i genanvendelsen [1]. Der har i længere tid været vished om, at denne ressourcestrategi ville blive udmøntet i en decideret ressourceplan, dog er offentliggørelsen af denne blevet udskudt af flere omgange. I maj 2014 blev ressourceplanen under navnet Ressourceplan for affaldshåndtering 2013-2018 dog vedtaget. De overordnede mål i ressourceplanen er identiske med dem, der i sin tid blev præsenteret i ressourcestrategien [2]. For at være i stand til at nå disse ambitiøse mål, kræver det, at kommunerne i samarbejde med private virksomheder udvikler og implementerer nye affaldsløsninger. Der foreligger dog ingen krav om, hvorledes kommunerne skal indsamle og bearbejde affaldet, blot at kommunerne nationalt set skal nå de fremlagte mål. Kommunerne har dermed stor valgfrihed i forhold til implementeringen af nye affaldsløsninger, hvor genanvendelsesprocenten bl.a. kan nås ved at indføre øget kildesortering 2 ved husholdninger og/eller benytte centrale sorteringsanlæg. Kommunerne skal inden 1. oktober 2014 have udarbejdet en affaldshåndteringsplan for 2014-2025 [3], og derfor er det yderst essentielt, at kommunerne får undersøgt hvilke nye affaldsløsninger, der kan blive implementeret, og hvilke der ud fra en samfundsøkonomisk betragtning vil være mest effektive. 1.1 Reno Djurs I/S Reno Djurs I/S (Reno Djurs) er et kommunalt affaldsselskab, som blev dannet i 1996. I dag ejes selskabet af Norddjurs og Syddjurs Kommune, og Reno Djurs står for affaldsordningerne for alle private husstande, sommerhuse og virksomheder på Djursland. Reno Djurs har 44 ansatte, og de håndterede i 2013 ca. 144.000 tons affald. Et af Reno Djurs ansvarsområder vedrører dagrenovation, som inkluderer indsamlingen af affald hos borgerne. Dagrenovationsordningen omfatter ca. 37.000 husstande, 15.000 sommerhuse og 1.200 virksomheder. Reno Djurs indsamler årligt ca. 28.000 tons affald hos de private husstande, sommerhuse og virksomheder, som er tilmeldt dagrenovationsordningerne. Hos hver husstand indsamles der i dag restaffald samt pap og papir. Øvrigt affald som glas, flasker, dåser og papir til genanvendelse indsamles via mere end 200 kuber, som er opstillet på hele Djursland. Derudover varetager Reno Djurs driften af 10 genbrugsstationer på Djursland og Anholt, som modtager ca. 51.000 tons affald om året fra 500.000 besøgende kunder. Det svarer til, at hver husstand smider ca. 1.700 kg affald ud om året. Desuden driver Reno Djurs et behandlingsanlæg i Glatved, som modtager ca. 60-70.000 tons affald fra 1 Der går en mindre mængde til midlertidig oplagring og særlig behandling, som ikke er medtaget i udregningen. Derfor giver summen af de to behandlingsformer ikke 100 % 2 Kildesortering er sortering af affald hos kilden, i dette tilfælde hos den enkelte husstand. Side 1 af 89

Djursland og Aarhus. I alt har anlægget plads til 2 mio. m 3 affald, men det kan udvides med yderligere 4 mio. m 3. Der modtages næsten alt slags affald; herunder mineralsk, blandet og farligt affald til deponering, haveaffald til kompostering og almindeligt affald til sortering. Endelig varetager Reno Djurs også tømningsordninger for bundfældningstanke, olie- og benzinudskillere, fedtudskillere og samletanke. Derudover er der indsamlingsordninger for klinisk risikoaffald, som er affald fra sundhedssektoren og landbrug med dyrehold. En stor del af Reno Djurs arbejdsopgaver er udliciteret, og det er således kun 13 % af deres omkostninger, som går til deres egen drift. Herudover er 17 % statsafgifter, mens de resterende 71 % er køb af varer og tjenesteydelser hos andre. Reno Djurs står selv for affaldsplanlægning, udbud og rådgivning til kommunerne, mens transport og en stor del af affaldssorteringen er udliciteret til eksterne entreprenører. Indsamling af dagrenovation fra husstandene varetages i dag af Miljø Team A/S (Miljø Team), Brdr. Fisker og Anholt Vognmandsforretning. Reno Djurs indtægter kommer fra gebyrer for de ydelser, som de tilbyder borgerne, men da Reno Djurs, som et offentlig forsyningsselskab, er en non-profit organisation, dækker gebyrerne kun de faktiske omkostninger. I 2013 havde Reno Djurs en omsætning på 120 mio. kr. [4, 5]. 1.2 Nuværende dagrenovationsordninger De enkelte husstande har i dag stor fleksibilitet i deres valg af tømningsordning, da de både kan kombinere tømningshyppighed, type og størrelse af deres beholder. De kan således til deres restaffald vælge en beholder på enten 140, 240, 400 eller 600 liter, ligesom de har mulighed for at tilkøbe en ekstra sæk, hvis der er behov for dette i en periode. De kan desuden vælge mellem ugentlig tømning eller 14-dagstømning. Yderligere kan husstandene få opstillet en beholder på 140 eller 240 liter til pap og papir, som bliver tømt hver fjerde uge, og en kompostbeholder til grønt affald [6]. Ydelserne fra Reno Djurs betales via et grundgebyr samt forbrugsgebyr. Grundgebyret for helårsboliger er i 2014 på 1.094 kr. inkl. moms og dækker de indirekte omkostninger til genbrugsstationer, kuber, husstandsindsamling af pap og papir, kompostbeholderordning samt administration og information. Herudover tillægges et forbrugsgebyr for restaffald, som dækker de direkte omkostninger til den tømningsordning som den enkelte husstand har valgt. Dette gebyr varierer fra 738 kr. til 4.513 kr. om året [6]. Sommerhusene har yderligere fleksibilitet i deres valg af tømningsordningen, da de udover mulighederne for helårsboligerne også kan vælge, hvor mange tømninger de ønsker pr. år, og det er derfor muligt at få afhentet affald oftere om sommeren end om vinteren. For sommerhusene er det dog ikke muligt at få opstillet en spand til pap og papir [7]. 1.3 Fremtidige ordninger I dag genanvender Reno Djurs ca. 37 % af det indsamlede affald, da både pap og papir, flasker og glas samt hjemmekomposteret affald genanvendes [4]. For at Reno Djurs kan nå regeringens målsætning, er det dog nødvendigt at opnå en højere genanvendelsesprocent. Genanvendelsesprocenten opgøres på baggrund af den vægtmæssige genanvendelse, hvorfor indsamling og genanvendelse af tunge fraktioner automastik giver en højere genanvendelsesprocent. Figur 1 viser sammensætningen i ton af det, der i dag indsamles som restaffald, samt indsamlingen af papir og glas. Herudfra er det tydeligt, at det største potentiale for genanvendelse af dagrenovation er på fraktionerne pap og papir samt organiske affald. Reno Djurs har allerede implementeret en succesfuld indsamlingsordning for fraktionen pap og papir, og denne fraktion kan dermed ifølge Reno Djurs ikke bidrage til at øge genanvendelsesprocenten yderligere. Der er dog et stort incitament til at indføre nye indsamlingsordninger, som gør det muligt at genanvende det organiske Side 2 af 89

affald, hvilket også er i overensstemmelse med regeringens fremlagte målsætning [2]. Yderligere er der også mulighed for at øge genanvendelsen af metal og plast, men da disse udgør relativt små fraktioner, er potentialet i forhold til genanvendelsesprocenten begrænset [8]. 1% 1% 4% 5% 2% 1% 6% 38% Organisk Restaffald Papir/Karton Andet pap Plastfolie Plastemballage 23% Andet plast Glasemballage 19% Metalemballage Andet metal Figur 1: Sammensætning af affald indsamlet som restaffald, papir og glas. 2010 Nye indsamlingsordninger giver mange system- og kombinationsmuligheder i forhold til hvad, hvordan, hvor ofte og hos hvem affaldet skal indsamles. Hvad der skal indsamles dækker over, om der både skal indsamles pap og papir, glas, metal, plast, organisk affald samt restaffald. Desuden er der mange muligheder for, hvordan dette kan indsamles. Hver fraktion kan være kildesorteret, fraktionerne kan være kildeopdelt med flere fraktioner sammen eller optisk sorteret med flere fraktioner i samme spand. Det betyder, at affaldet kan indsamles i enkeltkammerspande, dobbeltkammerspande eller 4-kammerspande, hvilket også har indflydelse på hvilke typer skraldebiler, der skal anvendes. Derudover kan spandene tømmes hver uge, hver anden uge eller med en kombination af 1,2, 4, 6 eller 8-ugers tømning. Endelig kan der være forskel på, hvordan affaldet indsamles hos familieboliger, etageboliger, sommerhuse og virksomheder, samt om ordningen skal være obligatorisk eller valgfri. Den ønskede servicegrad og omkostningerne forbundet hermed vil i sidste ende være afgørende for, hvilke indsamlingsordninger Reno Djurs tilbyder borgerne og virksomhederne på Djursland [4]. 1.4 Problemformulering For at Reno Djurs kan leve op til regeringens fremlagte ressourcestrategi for 2022, kræver det, at Reno Djurs øger deres genanvendelsesgrad med 13 procentpoint, hvilket ikke er muligt med deres nuværende dagrenovationsordning. Da regeringen ikke har fremlagt nogle deciderede krav for, hvorledes genanvendelsesprocenten skal nås, er det op til Reno Djurs samt Syd- og Norddjurs Kommune at udvikle og implementere nye dagrenovationsordninger, som gør det muligt at nå dette mål. Som angivet i Afsnit 1.3 er der et stort incitament til at indføre nye indsamlingsordninger, som gør det muligt at genanvende det organiske affald. Som følge heraf har Reno Djurs fremlagt et specifikt ønske om at få undersøgt den økonomiske forskel mellem følgende to scenarier: Side 3 af 89

1. Indførelse af kildesortering, hvor organisk affald separeres fra det øvrige restaffald ved at sortere de to fraktioner i to enkeltkammerspande på hver 140 liter, som tømmes hver 14. dag af hver sin skraldebil. Skraldebilerne vil efter endt rute køre til henholdsvis Affaldscenter Aarhus med restaffaldet og til omlasteanlægget i Glatved med det organiske affald, som efterfølgende fragtes til videre behandling. Etageboliger og øvrige boliger, hvor der er mere affald, end der kan være i to 140-liters spande, får tildelt en eller flere større enkeltkammerspande. 2. Indførelse af kildesortering, hvor organisk affald separeres fra det øvrige restaffald ved at sortere de to fraktioner i en 240 liters dobbeltkammerspand. Spandene tømmes hver 14. dag af en dobbeltkammerbil, som tømmer spandene i én tømningsoperation. Efter endt rute kører skraldebilerne til omlastningsanlægget i Glatved, hvorfra de to fraktioner fragtes til hver sin videre behandling. Etageboliger og øvrige boliger, hvor der er mere affald end, der kan være i en delt 240 liters spand, får tildelt enkeltkammerspande, som tømmes af samme dobbeltkammerbil. Valget mellem de to ovenstående scenarier betragtes i denne afhandling som et ruteplanlægningsproblem, hvorved den økonomiske forskel mellem de to scenarier kan beregnes ud fra det totale antal kørte kilometer. Afhandlingen har derfor et logistikbaseret udgangspunkt, hvor den primære omkostningsparameter er den kørte distance. Resultatet af denne afhandling skal ses som ét element i Reno Djurs efterfølgende beslutningsproces, hvor andre omkostningsparametre også bør inddrages. På baggrund af en samlet analyse vil det være muligt for Reno Djurs at vurdere, hvilke af de to indsamlingsordninger, der vil være mest fordelagtig at implementere. Det specifikke formål med denne afhandling er således: Designe og implementere en ruteplanlægningsmodel, og anvende denne til at analysere hvilket af de to opstillede indsamlingsscenarier, som er mest fordelagtigt for Reno Djurs at implementere i forhold til den kørte distance. 1.5 Afgræsning Da Reno Djurs har opstillet to specifikke scenarier, som de ønsker at få undersøgt, har visse forudsætninger været givet på forhånd. Særligt har Reno Djurs ønsket en analyse, hvor det organiske affald separeres fra restaffaldet, og derfor vil der i denne afhandling ikke fokuseres på andre affaldsfraktioner. Yderligere har Reno Djurs angivet, at de ønsker en analyse af, hvilke konsekvenser et dobbeltkammersystem vil have i forhold til et enkeltkammersystem. Derfor ses der i denne afhandling bort fra muligheden for firekammerspande og dertilhørende skraldebiler, som også kunne være en potentiel affaldsløsning, når genanvendelsesprocenten skal forøges. Ydermere ses der bort fra løsninger, som kombinerer den nuværende tømningsordning for pap og papir med de to fremstillede scenarier. Reno Djurs har et ønske om at indføre obligatorisk 14-dags tømning, da deres sundhedsgrænse, for hvor ofte restaffald samt organisk affald skal indsamles hos husstandene, er 14 dage. Derfor anvendes der udelukkende 14-dagstømning i denne afhandling. Grundet de meget forskelligartede tømningsordninger for helårsboliger og sommerhuse, inkluderes sommerhusene og deres efterspørgsel ikke i denne afhandling. Området for ruteplanlægningen er begrænset til det sydlige område på Djursland, hvilket udgør ca. en fjerdedel af Reno Djurs totale indsamlingsområde. Side 4 af 89

Som angivet i Afsnit 1.4 er den primære omkostningsparameter for ruteplanlægningsproblemet den kørte distance. Derfor er distancen lig med omkostningerne indtil Afsnit 11, hvor der inddrages en række økonomiske aspekter, som vil have indflydelse på valget mellem de to scenarier. Her fokuseres der kun på Reno Djurs omkostninger og dermed ikke de forventede omkostninger for den enkelte husstand. De primære begrænsninger for ruteplanlægningsproblemet er den tilladte kørsels- samt serviceringstid for de enkelte ruter samt skraldebilernes kapacitet. 1.6 Metode og struktur Tilgangen til denne afhandling er overvejende positivistisk, idet kvantitative metoder benyttes til at løse afhandlingens problemstilling. Det empiriske datagrundlag er baseret på et datasæt, som indeholder efterspørgselen fra Reno Djurs indsamlingsområde. I de følgende afsnit vil der blive foretaget en overordnet litteraturgennemgang af ruteplanlægningsproblemer samt Capacitated Arc Routing Problems, som anvendes i denne afhandling. Dernæst vil forskellige konstruktions- og metaheuristikker, som kan anvendes til at løse ruteplanlægningsproblemer, blive beskrevet. Derudover vil forskellige løsningsstrategier til store ruteplanlægningsproblemer blive præsenteret. Yderligere vil en uddybende gennemgang af forudsætningerne og antagelserne bag modellen blive givet, inden den egentlige løsningsmetode konstrueres. I løsningsproceduren startes der med at konstruere små klynger ud fra metoden -link, hvorefter en modifikation af konstruktionsheuristikken Double Outer Scan implementeres til at konstruere en initial løsning. Endelig udvikles og implementeres en modifikation af metaheuristikken Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) i et forsøg på at forbedre den initiale løsning. Alle algoritmer er implementeret i Visual Basic for Applications (VBA) i Microsoft Excel. Herefter præsenteres de overordnede resultater for de to scenarier, og en følsomhedsanalyse udføres. Yderligere foretages der en økonomisk analyse af konsekvenserne for implementering af hvert af de to scenarier. Afhandlingen afsluttes med en diskussion af de praktiske fordele og ulemper, som er forbundet med de to scenarier samt overvejelser i forbindelse med regeringens ressourceplan. Endelig gives en konklusion og perspektivering. Alle anvendte Excel-filer og fundne resultater i løsningsproceduren fremgår i det elektroniske appendiks. 2 Litteraturgennemgang Håndtering af affald hører i litteraturen ind under Reverse Logistics og Waste Management. Nedenfor vil de meste relevante aspekter af disse teorier set i forhold til afhandlingens problemstilling blive givet. Ydermere vil aspekterne vedrørende et ruteplanlægningsproblem blive beskrevet. Særligt vil der blive givet et fyldestgørende overblik over relevante teorier og litteratur tilknyttet et Capacitated Arc Rounting Problem. 2.1 Genanvendelsesteori Inden for de sidste par årtier er der opstået en køb-og-smid-væk kultur, hvor forbrugerne i højere grad ønsker nyere og flere produkter, hvilket medfører, at mere og mere bliver smidt ud [9]. Dette har resulteret i, at den samlede affaldsmængde i Danmark overordnet set har været stødt stigende siden 1994 [10]. Som følge heraf har der været et ønske om at effektivisere håndteringen af affaldet, således at omkostningerne reduceres, og eventuelle genanvendelsespotentialer udnyttes. Disse problemstillinger behandles inden for litteraturen som Reverse Logistics og Waste Management. Side 5 af 89

Reverse Logistics er blevet et vidtrækkende begreb, som overordnet set omfatter de returnerende processer i en traditionel forsyningskæde. Reverse Logistics kan defineres på følgende måde: The process of planning, implementing, and controlling backward flows of raw materials, in process inventory, packaging and finish goods, from a manufacturing, distribution or use point, to a point of recovery or a point of proper disposal [9]. Reverse Logistics fokuserer på de strømme i forsyningskæden, som har en vis form for værdi ved at blive genanvendt og som dermed efterfølgende kan indgå i en (ny) forsyningskæde [11]. Waste Management omhandler derimod hovedsageligt indsamling og bearbejdning af ikke-genbrugelige affaldsprodukter på den mest effektive måde [11]. Da der er udviklet en lang række teknikker til at øge genanvendelsen af det, der traditionelt set opfattes som affald, overlapper forskningen og teorierne inden for disse områder ofte hinanden. I forhold til denne afhandlings problemstilling er ruteplanlægningen uanfægtet af, hvorvidt indsamlingen af det kildesorterede affald genanvendes eller ej. Dermed kan afhandlingens problemstilling både betegnes som et Reverse Logistics Problem og Waste Management Problem, da ønsket er at reducere omkostningerne ved at separere og transportere affaldet. Buellens, Oudheusden og Wassenhove [12] har på baggrund af tre studier i Finland konkluderet, at omkostningerne generelt øges, når forskellige affaldsfraktioner separeres. Omkostningerne afhænger både af indsamlingsfrekvensen, og måden hvorpå affaldet indsamles. Indsamlingen kan foregå ved tre overordnede metoder: - To eller flere delte affaldsfraktioner afhentes separat af én eller flere skraldebiler, dog må de forskellige fraktioner aldrig være i samme bil samtidig, hvilket kræver en aflæsning mellem indsamlingen af hver fraktion. - To eller flere delte affaldsfraktioner afhentes samtidig af én eller flere skraldebiler, som har ét eller flere delte kamre således, at de forskellige fraktioner kan være i skraldebilen uden at blive blandet. - To eller flere usorterede affaldsfraktioner afhentes samtidig af én skraldebil, hvorefter sorteringen af affaldet foregår på centrale affaldsstationer. Det er de omkostninger, som er forbundet med de to førstenævnte metoder, som vi i denne afhandling vil undersøge. Der vil ikke blive fokuseret på den sidstnævnte metode, da det på nuværende tidspunkt ikke er muligt for Reno Djurs i praksis at anvende et centralt sorteringsanlæg. Det synes intuitivt mest sandsynligt, at metode nummer to vil have de laveste omkostninger, da den kombinerede indsamling øjensynligt vil have den laveste totale kørte distance, da hver kant kun skal serviceres én gang. Studier foretaget af Bullens et al. [12] og Tanskanen & Kaila [13] bekræfter denne tanke, da de angiver, at en kombineret indsamling resulterer i lavere ruteomkostninger sammenlignet med en separat indsamling. Muylderman og Pang har i 2010 lavet lignende undersøgelser, som bekræfter disse resultater [14]. Det er dog under forudsætning af, at der er balance mellem mængden af de enkelte affaldsfraktioner, og at fraktionerne efter endt indsamling skal transporteres til samme lokalitet. Yderligere fandt Muyldermans og Pang, at fordelene ved den kombinerede indsamling var størst, når der blev indsamlet et højt antal af separerede fraktioner. Da ingen af de tre forudsætninger er identiske med denne afhandlings Side 6 af 89

problemstilling, er det yderst interessant at se, om en lignende konklusion findes. I de efterfølgende afsnit gennemgås de ruteplanlægningsmetoder, som kan anvendes til at besvare afhandlings problemstilling. 2.2 Ruteplanlægning Sammenligning af problemstillingens to scenarier kræver, at ruteplanlægningen for hvert af de to scenarier forsøges løst bedst muligt set ud fra et logistisk synspunkt. Til dette findes der i litteraturen to traditionelle typer af ruteplanlægningsproblemer, som en praktisk problemstilling kan defineres ud fra, som afhænger af hvor efterspørgslen er placeret i vejnetværket. I begge tilfælde afbilledes vejnetværket på en graf, som består af et antal knuder og kanter. Såfremt efterspørgslen i en praktisk problemstilling er placeret på enkelte punkter i vejnetværket, ligger efterspørgslen i knudepunkterne på grafen, og der er derfor tale om et Node Routing Problem (NRP). Praktiske eksempler på et NRP er udbringning og levering af varer. Hvis efterspørgslen derimod er placeret på hele vejstykker, ligger efterspørgslen på kanterne i grafen, og der er derfor tale om et Arc Routing Problem (ARP). Kanterne i et ARP svarer her til veje, og knuderne svarer til de kryds, hvor vejene mødes. Eksempler på denne type af problemer er snerydning, gadefejning og postomdeling. Når der er tale om et NRP, defineres et ruteplanlægningsproblem oftest som et Vehicle Routing Problem (VRP) eller Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP). I et CVRP er målet at fastsætte et antal ruter, således at alle knuder med efterspørgsel serviceres, samtidig med at den totale kørte distance minimeres. Efterspørgslen på den enkelte rute må ikke overskride kapacitetsbegrænsningen på køretøjet, som starter og slutter i et depot [15]. Et ARP defineres tilsvarende som et Capacitated Arc Routing Problem (CARP), hvor målet er at fastsætte et antal ruter, så alle kanter med efterspørgsel serviceres, samtidig med at den totale kørte distance minimeres. Køretøjet start og slutter ligeledes i et depot, og efterspørgslen på hver rute må ikke overskride køretøjets kapacitet [16]. Kant- og knuderuteplanlægningsproblemer er nært beslægtede, og det er blevet bevist, at et VRP kan transformeres til et CARP og omvendt [17]. Når et VRP transformeres til et CARP, aggregeres efterspørgslen, hvilket reducerer problemets kompleksitet, og et CARP er derfor at foretrække til store ruteplanlægningsproblemer. Transformationen gøres under antagelse af, at omkostningerne ikke øges nævneværdigt ved aggregeringen. Det tætte forhold mellem et CVRP og et CARP gør det derfor muligt at anvende teorier og løsningsmetoder fra begge sider af litteraturen, når et specifikt kant- eller knuderuteplanlægningsproblem skal løses. I denne afhandling kan indsamlingen af dagrenovation både defineres som et CVRP og et CARP, da efterspørgslen kan placeres hos den enkelte husstand eller aggregeres på de enkelte veje. Grundet områdets størrelse defineres ruteplanlægningsproblemet som et CARP, hvilket giver 2.252 efterspørgselskanter frem for 6.201 efterspørgselsknuder. I det følgende afsnit præsenteres de kantruteplanlægningsproblemer, som har ført til definitionen af CARP. 2.2.1 CARP i et historisk perspektiv Matematiske løsninger til kantruteplanlægningsproblemer opstod allerede tilbage i 1735, hvor Leonhard Euler præsenterede sin løsning til Königsberg bridge problemet, hvilket senere er blevet kendt som et Euler Tour Problem. Problemet bestod i, hvorvidt det var muligt at krydse alle Königsbergs syv broer på en gåtur, uden at krydse den samme bro to gange. Generelt kan problemet defineres som følgende; givet en ikkeorienteret sammenhængende graf, hvor er antallet af knuder, og er antallet af kanter, find Side 7 af 89

den lukkede tur, som besøger hver kant i præcis én gang, eller angiv at en sådan tur ikke findes. Såfremt grafen er sammenhængende, og hver knude i har et lige antal tilstødende kanter, vil en Euler Tour eksistere [17]. I 1962 præsenterede Kwan Mei-Ko en generalisering af Euler Tour problemet, hvor det er tilladt at passere kanten mere end én gang. Problemet kaldes et Chinese Postman Problem (CPP) og kan defineres som følgende; givet en sammenhængende graf, hvor angiver en distancematrice, find den tur, som passerer hver kant mindst én gang via den korteste vej [17]. Der er sidenhen blevet præsenteret mange forskellige variationer af CPP for både ikke-orienterede, orienterede og blandende grafer. De klassiske variationer er Windy CPP (WCPP), Hierarchical CPP (HCPP) og Capacitated CPP (CCPP). WCPP defineres i en ikke-orienteret graf, hvor hver kant tildeles to forskellige omkostninger, afhængig af i hvilken retning kanten passeres. Målet er derfor at finde den tur, som passerer alle kanter, samtidig med at den totale omkostning minimeres. I HCPP tildeles kanterne forskellige prioriteter, og målet er derfor at passere alle kanter til de laveste omkostninger samtidig med, at der tages højde for kanternes prioritet. I CCPP tilføjes der en kapacitetsbegrænsning på køretøjet, og det er derfor ikke muligt at servicere alle kanter på én rute. Målet er derfor at bestemme et antal af ruter, som tilsammen passerer alle kanter, hvor den samlede efterspørgsel på hver rute ikke overstiger køretøjets kapacitet, samtidig med at de totale omkostninger minimeres. For yderligere uddybning af de disse variationer af CPP henvises til Eiselt et al. [18]. CPP er ifølge Papadimitriou [19] muligt at løse eksakt inden for polynomisk tid, såfremt der er tale om en komplet orienteret eller ikke-orienteret graf. Hvis grafen derimod er blandet, bliver problemet for store grafer NP-hard 3, hvilket betyder, at problemet ikke kan løses inden for polynomisk tid, da løsningstiden stiger eksponentielt med antallet af kanter. I de tidlige definitioner af kantruteplanlægningsproblemer er det et krav, at alle kanter skal passeres. Orloff præsenterede i 1974 et Rural Postman Problem (RPP), hvor det kun er krævet, at en delmængde af kanterne i grafen passeres. RPP formuleres derfor på følgende måde; givet en ikke-orienteret graf, hvor angiver en distancematrice, find den tur, som passerer hver kant i delmængden mindst én gang, samtidig med at de totale omkostninger minimeres [17]. RPP er NP-hard i alle typer af grafer, med undtagelse af de tilfælde hvor, da problemet da vil svare til et CPP, som kun er NP-hard i blandede grafer. Det svære element i RPP består hovedsageligt i at bestemme, hvordan kanterne i skal forbindes på turen. Definitionen af RPP er mere realistisk i praksis, da det ikke altid er nødvendigt at passere alle kanter, da alle kanter i en graf ikke nødvendigvis har en efterspørgsel. Dette gør, at der er forskellige måder, hvorpå et køretøj kan passere en kant. Såfremt køretøjet passerer en kant, hvis efterspørgsel serviceres, siges det, at kanten serviceres. Hvis kanten derimod passeres uden at blive serviceret, siges det, at kanten deadheades. En kant traverseres, når en kant passeres uden, at det er angivet, om kanten serviceres eller ej. Når distancen i et kantruteplanlægningsproblem ønskes minimeret, er det derfor deadheading distancen, som skal minimeres, da denne distance ikke skaber nogen værdi. Det kan dog være nødvendigt at deadheade for enten at kunne nå at servicere alle kanterne i eller for at tage den korteste vej fra en kant i til en anden. 3 NP-hard står for Non-deterministic Polynomial-time hard Side 8 af 89

På baggrund af disse tidlige problemstillinger introducerede Golden og Wong i 1981 CARP, som det kendes i dag [16]. CARP vil blive beskrevet i næste afsnit. 2.2.2 Capacitated Arc Routing Problem I CARP er den samlede efterspørgsel på alle kanter i delmængden større end køretøjets kapacitet. Målet med CARP er derfor, at bestemme et antal af ruter for en række identiske køretøjer med begrænset kapacitet, som alle starter og slutter i et depot. Dette gøres på en sådan måde at: 1) Hver efterspørgselskant serviceres af præcist ét køretøj, 2) Den samlede efterspørgsel på en rute ikke overstiger køretøjets kapacitet, og 3) De totale omkostninger af ruterne minimeres. CARP kan ifølge Golden og Wong [16] beskrives som en graf, hvor, hvor er et sæt af knuder, og E er et sæt af ikke-orienterede kanter. Knude 1 repræsenterer her depotet og er dermed start og slutpunkt for hver rute. For hvert par af knuderne og er der defineret en kant, som typisk har en ikke-negativ efterspørgsel,. Q angiver dermed en efterspørgselsmatrice, hvor angiver efterspørgslen på kant. Grafen har desuden en ikke-negativ distancematrice C, hvor traverseringsomkostningerne er omkostningen ved at køre fra knude til knude. I depotet findes ens køretøjer, som har en specifik kapacitet,. Målet er at finde ruter, som starter og slutter i depotet, hvor alle kanter med er serviceret, køretøjets kapacitet ikke er overskredet, og hvor de totale omkostninger er minimeret. I den matematiske model anvendes binære beslutningsvariabler til at indikere om et køretøj servicerer en kant. Variablen er lig med 1, hvis køretøj traveserer kanten fra til og 0 ellers. Variablen er lig med 1, hvis køretøj servicerer kanten fra til og 0 ellers. Den matematiske formulering kan opstilles som følgende: Objektfunktion: (a) under bibetingelse af (b) (c) (d) (e) (f) Side 9 af 89

(g) (h) (i) Objektfunktionen (a) ønsker at minimere den totale kørte distance ved at minimere summen af omkostningerne for alle de kanter, der traverseres for alle køretøjer. Bibetingelse (b) angiver, at kanter med efterspørgsel skal serviceres. Da grafen ikke er orienteret, kan der serviceres både fra knude til knude og omvendt. Da kanten kun skal serviceres én gang, er det blot summen af at servicere fra eller fra, der skal være lig med 1. Betingelsen gælder for alle kanter, og der summeres over alle køretøjer. Bibetingelse (c) sikrer, at køretøjets kapacitet ikke overskrides. Såfremt en kant serviceres,, ganges denne med efterspørgslen, og der summeres over alle kanter. Summen må ikke overskride køretøjets kapacitet. Betingelsen gælder for alle køretøjer. Bibetingelse (d) sikrer, at en kant kun kan serviceres, såfremt den også traverseres. Det vil sige, at hvis, så tvinges også til at være 1. Hvis kanten til gengæld ikke serviceres, er det lige meget, om kanten traverseres eller ej. Betingelsen gælder for alle kanter og alle køretøjer. Bibetingelse (e) sikrer rutekontinuitet, hvilket betyder, at når et køretøj ankommer til knude, så skal det også køre videre til en ny knude. Det vil sige, at det som går ind i knuden minus det, der går ud af knuden, skal være lig med nul. Betingelsen gælder for alle knuder og alle køretøjer. Betingelse (f)-(h) eliminerer subture. En subtur er en rute, som ikke har nogen forbindelse til de øvrige ruter eller til depotet som vist i Figur 2 ved knuderne 1-3. Figur 2: Eksempel på en subtur angiver mængden af knuder i en subtur. For hvert defineres to binære variabler, og. Bibetingelse (f) angiver, at for alle par af knuder, der er i undersøges det, om kanterne mellem dem traverseres,, i subturen. Fra dette fratrækkes ganget med et stort tal, som dermed tvinger til at have værdien 1. Subturen bliver elimineret ved, at det kun er tilladt at traversere kanter. Det betyder, at subturen ikke kan lukkes, og det er derfor ikke muligt f.eks. at køre i ring mellem knude 1, 2 og 3. Da tvinges til at have værdien 1 i (f), tvinges til at være nul i bibetingelse (h). I bibetingelse Side 10 af 89

(g) undersøges de kanter, der traverseres. Summen af disse skal være større end eller lig med 1, hvilket tvinger en forbindelse mellem S og resten af grafen. Bibetingelserne (f)-(h) er redundante, når der ingen subture er, hvilket betyder, at de kun gør sig gældende, såfremt der opstår en subtur. Når der ingen subture er, har de ingen betydning. Betingelse (i) sikrer, at de binære variabler er enten 1 eller 0. Den matematiske formulering kan anvendes til at løse CARP eksakt, hvilket første gang blev forsøgt af Hirabayashi et al. i 1992 ved brug af en Branch-and-Bound procedure [20]. CARP er dog NP-hard for alle typer af grafer, og det er dermed ikke muligt at løse store problemstillinger eksakt [16]. Martinelli et al. indikerer et problem som værende stort, såfremt det indeholder mere end 300 kanter og 200 knuder [21]. Da problemstillingen indeholder væsentlig flere kanter og knuder, vil det ikke være muligt at løse ruteplanlægningsproblemet for de to scenarier eksakt. Vi vil derfor ikke komme nærmere ind på de eksakte løsningsmetoder, men i stedet fokusere på anvendelsen af heuristikker, som gør det muligt at opnå gode løsninger til CARP inden for rimelige databehandlingstid. Nogle af de mest anvendte heuristikker vil blive gennemgået i Afsnit 3.1 og 3.2. 2.2.3 Variationer af CARP Siden Golden og Wongs introduktion af CARP i 1981 er der blevet præsenteret flere forskellige variationer af CARP, som afspejler praktiske problemstillinger. I dette afsnit præsenteres otte variationer af det klassiske CARP, som alle kan relateres til afhandlingens problemstilling. Gennemgangen tager hovedsageligt udgangspunkt i Wøhlk 2008 [17]. Den første variation er CARP med tidsvinduer (CARPTW). Her er der til det klassiske CARP tilføjet en ekstra begrænsning i form af et tidsvindue for hver kant. Det betyder, at det kun er tilladt at servicere og/eller traversere kanten inden for at bestemt tidsinterval. Til indsamlingen af dagrenovation kan dette være gældende, hvis affaldet på nogle vejstykker skal afhentes inden et bestemt tidspunkt, eller hvis det ikke er tilladt for skraldebilerne at køre på bestemte vejstykker i myldretiden. Den anden variation er et periodisk CARP (PCARP), som tager højde for et længere tidsperspektiv, hvor hver efterspørgselskant serviceres mere end én gang inden for en bestemt tidshorisont. For dagrenovation kan denne problemstilling opstå såfremt indsamlingsruterne planlægges for en måned ad gangen, og nogle kanter kræver servicering hver uge, mens andre kanter kræver servicering hver anden uge. Dette vil kræve, at der fastsættes et minimum og maksimum for antallet af uger mellem servicering af hver kant. Den tredje variation kaldes CARP med Vehicle Dependencies, hvortil der er tilknyttet forskellige typer af køretøjer. I forhold til dagrenovation kan denne problemstilling opstå, såfremt det kun er muligt at passere smalle vejstykker med mindre skraldebiler, end dem som benyttes i andre områder. Den fjerde variation er et multi-depot CARP (MD-CARP), hvor hvert køretøj er tilknyttet et ud af flere depoter, og køretøjet skal derfor starte og slutte i samme depot. En yderligere variation af MD-CARP findes, hvor hvert køretøj kører ud fra et depot, men returnerer til et af de andre depoter. For dagrenovation kan den sidste problemstilling opstå såfremt skraldebilerne kører ud fra et depot og slutter på et givent aflæsningssted. Den femte variation er CARP med mobile depoter, hvor der er forskellige typer af køretøjer, som ikke nødvendigvis skal returnere til depotet. For dagrenovation kan denne problemstilling opstå, hvis der er langt fra indsamlingsområdet til aflæsningsstedet. Her er det en fordel at have nogle mindre skraldebiler, som i branchen kaldes satellitbiler, som indsamler affaldet, hvorefter de mødes med en større skraldebil kaldet moderskibet, som herefter kører de samlede mængder af affald til aflæsningsstedet. Side 11 af 89

Den sjette variation er et stokastisk CARP (SCARP), hvor efterspørgslen på kanterne varierer tilfældigt, og målet er derfor at minimere de forventede omkostninger, selvom efterspørgslen afviger fra det forventede. Denne problemstilling er meget relevant for indsamling af dagrenovation, da den faktiske efterspørgsel ikke er kendt. Såfremt den faktiske efterspørgsel på en rute overstiger køretøjets kapacitet, defineres dette som en failure, og der skal derfor udføres en korrigerende handling, så efterspørgslen på den oprindelige rute alligevel serviceres. Den syvende variation er CARP med stokastiske servicerings- og transporttider (CARP-SSTT), hvori servicerings- og transporttiden for hver kant er varierende [22]. Målet er derfor at konstruere ruter, som er effektive på trods af denne usikkerhed. I forbindelse med indsamling af dagrenovation er dette relevant, da det kan være svært at estimere den præcise serviceringstid, da denne kan være påvirket af vejforholdende på den enkelte vej, skraldemandens tekniske færdigheder og svært tilgængelige skraldespande. Yderligere kan transporttiden på den enkelte rute blive påvirket af vejr- og trafikforhold. Den ottende variation er Multi Compartment CARP (MCCARP), hvori kanterne efterspørger flere forskellige objekter, som kræves adskilt under transporten, og det kan derfor være nødvendigt at anvende køretøjer med flere kamre. Målet er at konstruere et antal ruter til de mindste omkostninger, som servicerer alle efterspørgselskanter, hvor kapaciteten i de enkelte kamre i køretøjet ikke overskrides [14]. MCCARP er en forholdsvis ny variation af CARP, men der er foretaget en del research inden for Multi-Compartment VRP (MC-VRP), som afspejler en problemstilling, hvor forskellige typer af varer skal opholde sig i forskellige temperaturer under transporten til dagligvarebutikker. Ifølge Muydermans og Pang [14] er det dog kun for nyligt, at der er sket fremskridt i udviklingen af effektive løsningsmetoder for MC-VRP. I forbindelse med indsamlingen af dagrenovation er MCCARP relevant, når forskellige fraktioner skal indsamles ved hver husstand, og efterfølgendeskal være opdelt i skraldebilen, hvilket er tilfældet i problemstillingens ene scenarie. 2.2.4 MCGRP/NEARP Ruteplanlægningsproblemer er, som angivet tidligere, traditionelt set blevet modelleret som enten et NRP eller ARP. I nyere tid er forskere dog begyndt at takle problemer, hvor efterspørgslen både er placeret i knuder og på kanter i et vejnetværk. General Routing Problem (GRP) angiver et sådan problem, og Pandi og Murlidharan [23] var de første til at introducere et kapacitetsbegrænset GRP. Et Capacitated General Routing Problem (CGRP) kan betragtes som et ruteplanlægningsproblem med ensartede køretøjer, som skal servicere efterspørgslen i en blandet graf til de laveste omkostninger samtidig med, at køretøjernes kapacitet ikke overskrides, og at disse starter og slutter i samme depot. Generelt er formålet med CGRP at afbilde praktiske problemstillinger mere nøjagtigt, end hvad tilfældet er med et NRP eller ARP. Det skyldes, at en blandet graf i nogle tilfælde giver et mere realistisk billede af virkeligheden. En blandet graf kan anvendes, såfremt det er mere retvisende, at enkelte områder med stor efterspørgsel defineres som en knude i grafen, mens efterspørgslen i andre områder aggregeres på kanterne. I forbindelse med indsamling af dagrenovation kan det eksempelvis være mere korrekt at definere efterspørgslen ved husstande med store mængder af affald, eksempelvis skoler, hospitaler, etageboliger og virksomheder, som punktefterspørgsel. Dermed kan knuden serviceres uafhængigt af resten af kanten. Ligeledes kan det være nødvendigt at definere nogle kanter som orienterede, hvilket betyder, at de skal traverseres i en bestemt retning. Det klassiske CARP defineres i en ikke-orienteret graf, hvor husstande på en dobbeltrettet gade vil blive serviceret parallelt i hvilken som helst retning. Dette tillader en såkaldt zigzag indsamling, hvor efterspørgslen på begge sider af vejen aggregeres, men dette kan dog i nogle tilfælde Side 12 af 89

ikke håndteres i virkeligheden. For det første kan der eksistere parallelle veje, hvor det kun er muligt at servicere vejene uafhængigt af hinanden, hvilket kræver to modsatrettede kanter og. For det andet kan der eksistere ensrettede veje, hvilket kræver en orienteret kant i vejnetværket. Flere forskellige variationer af CGRP er blevet præsenteret, herunder Mixed Capacitated General Routing Problem (MCGRP) [24] og Node, Edge, and Arc Routing Problem (NEARP) [25]. MCGRP og NEARP tager begge højde for disse praktiske begrænsninger og afspejler dermed i højere grad virkeligheden. En af ulemperne ved disse problemer er dog, at de i sig selv er langt mere komplekse. I betragtning af det vejnetværk, som benyttes i denne afhandling, vil afhandlingens problemstilling ikke blive karakteriseret som et MCGRP, og husstandenes efterspørgsel er derfor aggregeret på ikke-orienterede kanter. Dette anses for rimeligt, da der ikke eksisterer dobbeltrettede veje i det geografiske område, som ikke kan serviceres samtidig, og da det antages, at antallet af ensrettede veje i Ebeltoft er begrænsede. 3 Løsningsmetoder til et CARP I denne afhandling ønskes et CARP løst ved brug af heuristikker, da en eksakt løsning ikke er mulig grundet problemets størrelse. Dette kan gøres ved brug af konstruktionsheuristikker, som er forholdsvis simple at konstruere og implementere. Konstruktionsheuristikker kan med fordel kombineres med forbedringsheuristikker, således at der er mulighed for at finde forbedrende løsninger. 3.1 Konstruktionsheuristikker I 1980 erne var de mest gængse løsningsmetoder til CARP problemspecifikke heuristikker, også kaldet konstruktionsheuristikker. En del af disse heuristikker er baseret på CCPP, men da CARP kan karakteriseres som et CCPP når, er det ligeledes muligt at anvende løsningsmetoderne til et CARP. Disse omfatter blandt andet de klassiske algoritmer Construct-Strike, Path-Scanning og Augment-Merge. 3.1.1 Construct-Strike Christofides [26] introducerede CCPP i 1973, og i samme studie præsenterede han en heuristisk til at løse dette ikke-orienterede problem. Heuristikken består af to gentagende trin og er senere blevet kendt under navnet Construct-Strike. I det første trin konstrueres feasible ruter, som derefter kan fjernes fra grafen. En rute er feasible, hvis den totale efterspørgsel på de valgte kanter ikke overstiger køretøjets kapacitet. For at en feasible rute kan fjernes fra grafen, kræver det, at den tilbageværende graf stadig er sammenhængende, når rutens kanter er fjernet. Processen med at konstruere og fjerne feasible ruter gentages, indtil det ikke er muligt at konstruere flere feasible ruter i grafen. Hvis der herefter er kanter i grafen med efterspørgsel, som endnu ikke er blevet tildelt en rute, påbegyndes det andet trin i algoritmen. Her tilføjes et sæt af kunstige kanter til grafen for at sikre, at depotet samt de andre knuder ikke har et ulige antal tilstødende efterspørgselskanter. Dette resulterer i en modificeret graf, hvor det igen undersøges, om det er muligt at konstruere nye ruter ud fra den modificerede graf. Processen gentager sig selv indtil, at der ikke længere findes efterspørgselskanter i grafen. Forskellige modificerede udgaver af algoritmen er siden blevet præsenteret; eksempelvis af Pearn [27], som fjernede begrænsningen om, at grafen skulle være sammenhængende, efter at en rute var blevet fjernet. 3.1.2 Path-Scanning Path-Scanning blev præsenteret af Golden et al. i 1983 [28] og er en grådig heuristik, hvor ruterne dannes en ad gangen, alle med udgangspunkt i samme depot. I hvert trin forlænges ruten ved at vælge den kant Side 13 af 89

, som ud fra knude-udgangspunktet, virker mest lovende ud fra et optimeringskriterie. Processen gentages indtil køretøjets kapacitet er opbrugt, og køretøjet returnerer herefter til depotet via den korteste vej fra den pågældende knude. En komplet løsning opnås ved at benytte hvert af de fem nedenstående optimeringskriterier, og herefter vælges den bedste af de genererede løsninger. Kriterierne for at vælge den næste kant ud fra knude er: 1. Distancen divideret med den tilbageværende kapacitet i køretøjet skal maksimeres 2. Distancen divideret med den tilbageværende kapacitet i køretøjet minimeres 3. Distancen fra knude til depotet skal minimeres 4. Distancen fra knude til depotet skal maksimeres 5. Hvis køretøjets kapacitet er mindre end halvt udnyttet, skal distancen fra knude til depotet maksimeres, og modsat skal distancen minimeres, hvis køretøjets kapacitet er udnyttet i højere grad. I de to første kriterier anvendes en ratio, hvor distancen divideres med den tilbageværende kapacitet i køretøjet. Ved brug af det første kriterium vælges den efterspørgselskant, som maksimerer denne ratio. Dermed vælges lange kanter med høj efterspørgsel, som kan være svære at placere sidst i løsningen. Dette efterlader kanter med mindst efterspørgsel userviceret, som herefter vil være lettere at håndtere. Dette kan dermed ses som det omvendte grådighedsprincip. Ved brug af det andet kriterium vælges derimod den efterspørgselskant, som minimerer ratioen. Her vælges korte kanter med lav efterspørgsel ud fra grådighedsprincippet. I det tredje kriterium vælges de kanter, som ligger tættest på depotet, hvilket typisk vil resultere i kortere ruter. I det fjerde kriterium vælges derimod de kanter, som ligger længst væk fra depotet, hvilket vil resultere i længere ruter. I det femte kriterium kombineres de sidste to kriterier ved at vælge de kanter, som ligger længst væk fra depotet indtil køretøjets kapacitet er halvt udnyttet, og derefter vælges de kanter, der ligger tættest på depotet på vejen tilbage. Pearn [27] har foreslået en modificeret version af algoritmen, hvor det i hvert trin tilfældigt vælges, hvilke af de fem kriterier, der skal bruges til at vælge den næste kant, indtil en løsning er genereret. Denne procedure gentages k gange, og den bedste af de fremkomne løsninger vælges. Pearn har vist, at denne modificerede udgave performer signifikant bedre end den originale algoritme. Wøhlk [29] har ligeledes foreslået en modificeret udgave, som tager højde for et manglende aspekt i algoritmen. Den originale algoritme tager nemlig ikke højde for, hvad der skal gøres, hvis den valgte knude kun har tilstødende kanter, som enten ikke har nogen efterspørgsel, allerede er serviceret, eller har en efterspørgsel, der overstiger den tilbageværende kapacitet i køretøjet. Wøhlks modifikation består i, at der i de ovenstående tilfælde skal følges den korteste vej fra knuden til den kant, som har en efterspørgsel, der er lav nok til at køretøjet kan servicere den. Når kanten er blevet serviceret, fortsætter algoritmen ud fra det tidligere valgte kriterium [29]. 3.1.3 Augment-Merge Augment-Merge blev præsenteret af Golden og Wong i 1981 [16] og er senere blevet modificeret af Golden et al. I 1983 [28]. Algoritmen består af fire trin; Initialize, Augment, Merge og Iterate. I første trin konstrueres initiale ruter, som alle består af blot en efterspørgselskant. Disse konstrueres ved at finde den korteste vej fra depotet til et af endepunkterne på kanten. I andet trin sorteres ruterne efter deres distance til depotet. Den længste rute vælges, og det undersøges, om de traverserede efterspørgselskanter på vejen Side 14 af 89

tilbage til depotet kan serviceres i forhold til køretøjets ledige kapacitet. Hvis dette er tilfældet, fjernes den kortere rute, da efterspørgslen nu er håndteret i den længere rute. Derefter undersøges det samme for den næst længste rute og så fremdeles. I tredje trin sammenlægges to ruter, som har en knude tilfælles, og hvor alle kanterne i de oprindelige ruter kan serviceres. Sammenlægningen gøres ud fra et grådighedsprincip, hvor de ruter, der giver den største besparelse, sammenlægges, givet at køretøjets kapacitetsbegrænsning ikke overskrides. I fjerde trin gentages det forrige trin, hvor ruterne sammenlægges ud fra det grådige element, indtil det ikke er muligt at sammenlægge flere ruter. Golden et al. [28] har foretaget en sammenligning af de tre ovenstående heuristikker. Resultatet viste, at Construct-Strike og Path-Scanning er sammenlignelige i forhold til løsningstiden, men at Path-Scanning giver bedre løsninger. Augment-Merge genererede dog bedre løsninger, hvilket krævede længere løsningstid. Ifølge Wøhlk [17] resulterer disse klassiske algoritmer typisk i løsninger, der er 10 til 40 % dårligere end den optimale løsning. 3.1.4 Double Outer Scan I 2006 præsenterede Wøhlk [29] en ny konstruktionsheuristik for CARP, under navnet Double Outer Scan, som kombinerer idéerne bag Path-Scanning og Augment-Merge. Som ved Augment-Merge algoritmen konstrueres én rute ad gangen ved at vælge den uservicerede kant, som har den længste parallelle distance til depotet. Med udgangspunkt i denne kant vælges de kanter, som kan serviceres på vej tilbage til depotet, givet at køretøjets kapacitet ikke overskrides. Kanterne vælges ud fra nogle specificerede udvælgelseskriterier svarende til dem, som benyttes i Path-Scanning algoritmen. De største forskelle i denne algoritme er dog, at algoritmen starter scanningen længst væk fra depotet, og at Path-Scanningen foregår fra begge ender af den partielle rute, når den næste nabokant skal findes. I de tilfælde, hvor den partielle rute kun består af efterspørgselskanten, beregnes den parallelle distance for det sæt af efterspørgselskanter, som tilstøder knuderne og. Den kant i, som har den største parallelle distance til depotet, vælges, og den partielle rute opdateres. For hver iteration vælges den uservicerede kant med den længste parallelle distance i det nye sæt af tilstødende efterspørgselskanter. Dette fortsættes så længe der er ledig kapacitet i køretøjet, og herefter vælges den korteste vej til depotet. Efter konstruktionen af mulige ruter undersøges det, om disse kan sammenlægges ud fra principperne i Augment-Merge. Ud fra den ovenstående beskrivelses ses det, at Wøhlk har valgt at benytte det Path-Scanning kriterium, hvor nabokanten vælges ud fra, at distancen til depotet skal maksimeres. Formålet med at benyttet dette kriterium er, at flere af de kanter, som ligger langt væk, bliver inkluderet i de første få ruter, og de resterende kanter inkluderes dernæst i de kortere ruter. Dette vil ifølge Wøhlk resultere i lavere transportomkostninger. Når grådige heuristikker anvendes, har de typisk den ulempe, at der er stor forskel på ruterne i forhold til længden og omkostningerne forbundet med at servicere disse alt efter, hvornår de konstrueres. Typisk vil de ruter, der er konstrueret først, fremstå pænest, da der under konstruktionen af disse ruter kan vælges imellem mange forskellige kanter. Derimod vil de sidste ruter typisk skulle opsamle de resterende kanter. Som angivet ovenfor, er heuristikkerne dog ikke synderlige komplicerede, og ruterne kan derfor genereres inden for rimelig tid. Side 15 af 89

3.2 Metaheuristikker Metaheuristikker er løsningsmetoder, som forsøger at forbedre eksisterende løsninger. Metaheuristikker er generelt mere tidskrævende end konstruktionsheuristikker, men til gengæld resulterer de i konsistente løsninger af høj kvalitet. Til trods for at metaheuristikker ikke kan garantere optimale løsninger, har det ofte vist sig, at eksakte løsningsmetoder ikke har været i stand til at finde løsninger af samme kvalitet som dem, der kan findes ved brug af metaheuristikker [30]. Anvendeligheden af heuristikkerne vurderes typisk ud fra hurtigheden samt korrektheden af de fundne løsninger. Derudover er simpelhed og fleksibilitet også essentielle attributter for gode heuristikker, da heuristikken skal være let at forstå og kode samt fleksible nok til at kunne imødekomme forskellige bibetingelser [31]. Metaheuristikker er generelt løsningsmetoder, som forsøger at flytte løsningen fra et såkaldt lokalt optimum. Et princip, som er meget anvendt til at gøre dette, er Local Search. En simpel form for Local Search er Steepest Descent, som tager udgangspunkt i en initial løsning, hvorefter neighborhoods (nabolag) til denne løsning genereres. Et nabolag angiver alle de løsninger, som kan opnås ud fra en given løsning ved at foretage specifikke ændringer. Et nabolag skal typisk ses som et delelement af hele search space (søgeområdet), som angiver hele det område, hvori mulige løsninger kan findes. I et CARP kan søgeområdet eksempelvis angive de mulige løsninger til problemet, hvor hvert punkt i søgeområdet svarer til et antal ruter, som alle overholder de givne begrænsninger. Et nabolag i CARP vil derimod typisk være alle de løsninger, som fremkommer ved at bytte en eller flere kanter i en rute, således at der laves modifikationer inden for den enkelte rute eller imellem flere ruter. Hvis den genererede løsning forbedrer objektfunktionen, vil denne erstatte den eksisterende løsning, og processen vil fortsætte, indtil det ikke længere er muligt at genere nye løsninger, hvilket vil indikere et lokalt optimum. En af ulemperne ved Steepest Descent algoritmen er, at algoritmen er stærkt påvirket af den initiale løsning, og dermed kan det fundne lokale optimum være langt væk fra det globale optimum. For at undgå dette paradoks kan der anvendes mere avancerede former for Local Search algoritmer. Selvom metaheuristikker alle fokuserer på at udføre operationer, således at lokale optimums undslippes, er metaheuristikkerne i sig selv meget forskelligartede. På baggrund af disse forskelle, er det på mange måder mere besværligt at sammenligne anvendeligheden af de forskellige metaheuristikker [32]. Bogen Handbook of Metaheuristics [33] præsenterer langt størstedelen af de mest studerede metaheuristikker, og denne bog har derfor dannet grundlag for vores valg af metaheuristik. I det efterfølgende vil de to mest kendte metaheuristikker, Simulated Annealing (SA) og Tabu Search (TS), blive gennemgået. Dernæst vil Variable Neighborhood Search (VNS) og Large Neighborhood Search (LNS) ligeledes blive gennemgået. VNS er udsprunget fra SA og TS, og den har vist sig at være særlig relevant i forhold til at give gode løsninger til ruteplanlægningsproblemer [34]. Ydermere har LNS udvist fremragende resultater til løsning af forskellige transport- og planlægningsproblemer [35]. Vi finder derfor de to sidstnævnte metaheuristikker relevante at inddrage i afhandlingen. 3.2.1 Simulated Annealing Simulated Annealing (SA) er en local search algoritme, som er i stand til at undslippe lokale optimums ved at tillade løsninger, som ikke nødvendigvis forbedrer objektfunktionen. Hvorvidt en dårligere løsning accepteres afhænger af et stokastisk acceptkriterium. Dette indeholder en temperaturparameter, som gradvist reduceres med en kølingsrate i løbet af processen. Givet den nuværende løsning, Side 16 af 89

accepteres med sandsynligheden angivet i (j). Her angiver temperaturparameteren. En løsning accepteres såfremt sandsynligheden er større end et tilfældigt tal mellem 0 og 1 [36]. (j) Starttemperaturen kan udregnes ud fra den problemstilling, der arbejdes med. Når temperaturen har en høj værdi, bliver de fleste nabolag accepteret, men i takt med at værdien reduceres, afvises størstedelen af de dårlige løsninger. Algoritmen starter derfor typisk med en høj værdi for starttemperaturen for at udgå at blive fanget i et lokalt minimum tidligt i processen. Temperaturen reduceres herefter gradvist, og et antal nabolag forsøges genereret for hver værdi af temperaturen. Algoritmen fortsætter sin søgen efter nye nabolag, indtil et stopkriterium nås. Dette kan eksempelvis være efter et specifikt antal iterationer, eller hvis objektfunktionen ikke er blevet forbedret, efter at temperaturparameteren er blevet ændret et vist antal gange [37]. SA er den mest simple metaheuristik, hvilket tidligere har gjort anvendelsen af den populær. Populariteten har dog været dalende efter udviklingen af nyere metoder, og SA benyttes nu oftest i kombination med andre metaheuristikker [36]. 3.2.2 Tabu Search Tabu Search (TS) er ligesom SA en local search algoritme, som er i stand til at undslippe lokale optimums ved at acceptere dårligere løsninger. Den efterfølgende gennemgang er baseret på Gendreau & Potvin [38]. TS har inkorporeret et historisk aspekt, som kontrollerer algoritmens udførelse ud fra en liste af tabu moves. I modsætning hertil ignorerer SA den historiske information. Tabuerne i listen bruges til at forhindre en række moves, hvilket sikrer, at algoritmen ikke bevæger sig tilbage til løsninger, som allerede er blevet undersøgt, når denne skal undslippe et lokalt optimum. De forskellige tabuer registreres i en tabuliste, som har en relativ kortsigtet hukommelse, hvor der typisk kun gemmes en begrænset mængde information. Den givne problemstilling har oftest indflydelse på, hvilken information der er nødvendig at registrere, og i nogle tilfælde kan det derfor være fordelagtigt at benytte flere tabulister samtidig. I princippet er det muligt at gemme en komplet løsning, men da dette kræver meget hukommelse, og dermed gør det langsomt at tjekke, hvorvidt et move er tabu eller ej, benyttes sjældent en sådan opbevaring. Oftest benyttes tabulister til at registrere de seneste udførte transformationer af den nuværende løsning, og det bliver derved forbudt for algoritmen at udføre disse transformationer igen inden for en given tidsperiode. Andre tabuer er baseret på karakteristikken af de fundne løsninger eller de enkelte moves. Hvor længe en løsning eller et specifikt move karakteriseres som tabu afhænger af den valgte tabu tenure. Tabu tenures angiver antallet af iterationer, hvori valget af en løsning eller et move er forbudt. Tabu tenures kan være både statiske eller dynamiske, hvor de statiske oftest er angivet som cirkulære lister med en fast længe. Det er dog blevet vist, at de statiske lister ikke altid kan forhindre cyklusser, og dermed kan det være fordelagtigt at ændre længden af disse lister i løbet af algoritmens søgning [38]. Dette kan gøres både systematisk, hvor en sekvens af tabu tenures specificeres eller tilfældigt, hvor de enkelte tabu tenures vælges tilfældigt inden for et specificeret interval. I nogle tilfælde kan tabulisterne være for begrænsende, da de kan forbyde ellers attraktive moves eller føre til en stagnerende søgeproces. For at modvirke dette kan et aspiration criteria benyttes, hvilket tillader algoritmen at vælge moves som er tabu, hvis dette resulterer i en løsning med en bedre objektfunktionsværdi end den bedste løsning, som er blevet registreret indtil videre. Side 17 af 89

Yderligere elementer kan tilføjes til TS strategien for at øge sandsynligheden for endnu bedre løsninger, hvilket bl.a. inkluderer Intensification, Diversifiation og Strategic Oscillation. I Intensification vil algoritmen søge mere omhyggeligt i de attraktive dele af søgeområdet. I Diversifiation vil algoritmen blive tvunget til at søge i uudforskede dele af søgeområdet, mens det i Strategic Oscillation er tilladt for algoritmen at søge i ikke feasible dele af søgeområdet. TS har i flere tilfælde leveret løsninger tæt på optimalitet i store kombinatoriske problemstillinger, hvilket har gjort TS populær i flere praktiske henseender [36]. Hertz et al. [39] præsenterede i 2000 det såkaldte CARPET, som er den første TS algoritme udviklet til at løse CARP. Denne algoritme viste sig at performe signifikant bedre end de eksisterende algoritmer, og den anses stadig som en af de bedste algoritmer til løsningen af CARP [17]. En af ulemperne ved TS er, at den kan udvikles samt tunes på mange forskellige måder, hvilket kan gøre det meget tidskrævende at opnå gode løsninger. 3.2.3 Variable Neighborhood Search Variable Neighborhood Search (VNS) er ligeledes en local search algoritme, som er baseret på idéen om systematisk at udbytte nabolag; både i en descent fase hvor et lokalt optimum findes og i en efterfølgende fase, hvor algoritmen forsøger at undslippe det lokale optimum. Der er præsenteret flere forskellige metoder af VNS, hvor Variable Neighborhood Descent (VND), Reduced VNS (RNVS), Basic VNS (VNS) og General VNS (GVNS) er de grundlæggende metoder [40]. Forskellen mellem disse metoder består hovedsageligt i, hvorvidt der er tale om en deterministisk eller stokastisk tilgang til problemet [34]. I det følgende gennemgås kun VND, hvor ændringerne af nabolag foretages ud fra en deterministisk tilgang. Hertz og Mittaz introducerede i 2001 en algoritme kaldet VND-CARP til løsning af CARP [41]. I denne metode søges der efter lokale optimums i nabolag, hvor der tages udgangspunkt i en intial løsning i det første nabolag. Naboløsningerne gennemsøges for at finde et lokalt optimum, hvilket gøres ved at flytte en efterspørgselskant fra den nuværende rute til en anden rute. Tilføjelsen af kanten ( til sker kun, hvis efterspørgslen på kanten ikke overstiger den tilbageværende kapacitet i køretøjet. Indsættelse af kanten i og fjernelsen af kanten i gøres ud fra procedurerne Add og Drop, som blot ændrer en kants status fra deadheading til serviceret og omvendt. Når det første nabolag er blevet gennemsøgt, går algoritmen videre til det næste for at søge efter et nyt lokalt optimum. Et nabolag i,, opnås ved at modificere ruter i. Først sammenlægges ruter i til en stor rute, og proceduren Switch anvendes i et forsøgt på at optimere ruten. I Switch ændres traverseringsretningen i alle de loops, som opstår, når samme knude besøges flere gange. Derefter anvendes proceduren Cut til at inddele den store rute i en række feasible ruter. Dette gøres ved at akkumulere efterspørgslen fra den ene ende af ruten, indtil kapaciteten på køretøjet nås. Herefter opdeles ruten efter den efterspørgselskant, som giver den korteste omvej tilbage til depotet og ud til næste efterspørgselskant. De feasible ruter kan herefter blive forkortet ud fra proceduren Shorten. I Shorten forsøges det at servicere efterspørgselskanterne så sent som muligt, hvorved ruten i nogle tilfælde kan forkortes. Yderligere undersøges det, om ruten kan afkortes ved at ændre traverseringsretningen i loops. Hvis den bedste løsning af de generede løsninger i nabolaget er bedre end den hidtil bedste løsning, gemmes denne, og algoritmen starter forfra inden for samme nabolag. Algoritmen stopper, når hele løsningsområdet er blevet gennemsøgt uden, at der er opnået forbedringer. For yderligere uddybelse af disse procedurer henvises til [41]. Side 18 af 89

I en række tilfælde har det vist sig, at VND-CARP algoritmen performer bedre end CARPET i forhold til løsningskvalitet og hurtighed [41]. Ydermere har flere forskellige VNS metoder vist sig at give relevante og gode løsninger til ruteplanlægningsproblemer [34]. 3.2.4 Large Neighborhood Search Large Neighborhood Search (LNS) blev præsenteret af Shaw i 1998 til løsning af et knuderuteplanlægningsproblem [42]. I LNS forsøges det at forbedre en initial løsning ved gradvist at ødelægge og reparere løsningen. Ødelæggelsen foregår ved at fjerne et antal knuder fra løsningen ved at fjerne deres efterspørgsel. Reparationen foregår derefter ved at genindsætte knuderne på en bedre måde, så løsningen re-optimeres. Et nabolag i LNS er derfor defineret som det sæt af løsninger, som kan nås ved først at ødelægge og derefter reparere løsningen. Denne metode kan også anvendes for et kantruteplanlægningsproblem, hvor det blot er efterspørgselskanter, som fjernes i stedet for knuder. Figur 3a, 3b og 3c illustrerer et eksempel på, hvorledes LNS virker. Figur 3a viser en initial løsning, hvor efterspørgselskanterne er angivet ved de tykke sorte kanter. De blå kanter i figuren angiver den korteste vej mellem efterspørgselskanterne og depotet, som er repræsenteret ved kvadratet. Figur 3b viser en ødelæggelsesmetode, hvor to tilfældige efterspørgselskanter tages ud af ruten ved at fjerne deres efterspørgsel. I Figur 3c er løsningen blevet repareret ved at indsætte de fjernede kanter på en bedre måde. Figur 3: Eksempel på LNS LNS tilhører gruppen af Very Large Neighborhood Search (VLNS) algoritmer. VLNS algoritmer er baseret på søgninger i store nabolag, hvor målet er at finde lokale optimums af højere kvalitet end dem, som findes ved søgninger i små nabolag. I praksis kan små nabolag dog give lignende eller bedre løsninger, hvis de implementeres i en metaheuristik, da de små nabolag undersøges hurtigere. Da søgning i store nabolag er tidskrævende, kan der anvendes flere filterteknikker til at begrænse søgningen. På baggrund af dette er nabolaget i VLNS typisk begrænset til et antal løsninger, som kan undersøges effektivt, hvilket resulterer i, at der kun søges i én del af det overordnede problem [35]. Da ødelæggelsesmetoden i LNS kan ødelægge en stor del af løsningen, indeholder nabolaget typisk et stort antal løsninger. Ødelæggelsesmetoden i LNS indeholder oftest et stokastisk element, så det sikres, at det er forskellige dele af løsningen, som ødelægges hver gang metoden anvendes. Side 19 af 89

Pseudokoden for LNS kan ses i Figur 4. Algoritmen starter i med en feasible initial løsning, der som udgangspunkt er lig med den bedste løsning. Derefter foretages der en søgning i nabolaget, hvor dele af løsningen ødelægges med en ødelæggelsesmetode. angiver dermed en kopi af, som er delvist ødelagt. Herefter anvendes en reparationsmetode, som genererer en ny løsning ud fra. I opnås dermed en midlertidig løsning,. Det vurderes herefter i, om den nye løsning skal erstatte den nuværende løsning,. Dette kan vurderes ud fra forskellige metoder, men den mest simple metoder er, at der kun accepteres løsninger, som er bedre end den nuværende, og opdateres herefter i. Dernæst tjekkes det i, om den nye løsning også er den hidtil bedste kendte løsning, og i så fald opdateres den bedste løsning i. Algoritmen gentages derefter fra med den nye løsning, indtil stopkriteriet i nås, og den bedste løsning anvendes [35]. Figur 4: Pseudokode for LNS I LNS kan der anvendes forskellige ødelæggelses- og reparationsmetoder. Ødelæggelsesmetoden er en vigtig del af LNS, da dette danner baggrunden for, hvor stor en del af løsningen, der skal ødelægges. Hvis det kun er en lille del af løsningen, som ødelægges, mistes effekten af at anvende store nabolag. Det skyldes, at heuristikken kan have svært ved at undersøge store områder. På den anden side kan heuristikken også forringes, hvis der ødelægges for meget af løsningen hver gang, da re-optimeringen dermed kan risikere at skulle starte forfra hver gang. Afhængig af hvordan løsningen repareres, kan dette resultere i meget tidskrævende og dårlige løsninger. Den del af løsningen, der ødelægges, bør derfor vælges på en måde, så hele søgeområdet kan nås, eller i det mindste så den mest interessante del, hvor det globale optimum forventes at blive fundet, nås. I Shaws oprindelige udgave af LNS bliver graden af ødelæggelsen delvist forøget, mens den i Ropke & Pisinger [43] vælges tilfældigt inden for et interval, som afhænger af problemets størrelse. Forskellige ødelæggelsesmetoder vil blive beskrevet i Afsnit 3.2.5.1 I forhold til reparationsmetoden kan denne både være eksakt eller heuristisk. En eksakt metode er normalt langsommere end en heuristik, men den kan potentielt give bedre løsninger i færre iterationer. Fra et diversificeringssynspunkt er en ekstakt metode dog ikke attraktiv, da der kun bliver fundet forbedrende løsninger eller løsninger med identiske omkostninger. Det kan derfor være svært at forlade et lokalt optimum, med mindre en stor del af løsningen ødelægges i hver iteration. Eksempler på reparationsmetoder beskrives i Afsnit 3.2.5.2. Side 20 af 89

Derudover kan der som nævnt anvendes forskellige acceptkriterier. I den oprindelige udgave af LNS accepterede Shaw kun forbedrende løsninger. Senere har bl.a. Ropke og Pisinger [43] anvendt idéen fra Simulated Annealing, hvor dårligere løsninger kan accepteres ud fra en bestemt sandsynlighed, hvilket vil blive beskrevet i Afsnit 3.2.5.3. 3.2.5 Adaptive Large Neighborhood Search Adaptive Large Neighborhood Search (ALNS) blev præsenteret af Ropke og Pisinger i 2006 [43] og tilhører også gruppen af VLNS algoritmer. Følgende gennemgang er baseret på Ropke og Pisinger [43]. ALNS udvider LNS ved at tillade flere ødelæggelses- og reparationsmetoder i samme søgning. Hver ødelæggelsesog reparationsmetode tildeles desuden en vægt, som kontrollerer, hvor ofte den specifikke metode anvendes i søgningen. Gennem søgningen justeres vægtene dynamisk, så heuristikken tilpasser sig problemet og søgningens tilstand. Det betyder, at ALNS tillader flere nabolag inden for den samme søgning, og valget af nabolag kontrolleres dynamisk ud fra deres performance. Pseudokoden for ALNS er vist i Figur 5. Som i LNS tages der i Figur 5: Pesudokode for ALNS udgangspunkt i en brugbar løsning,, som initialt er lig med den bedste løsning. I tilføjes der to nye variable, og, som angiver vægtene for alle ødelæggelses- og reparationsmetoder. Alle vægtene sættes lig med én, så alle metoder har den sammen initiale vægt. I vælges et sæt af ødelæggelses- og reparationsmetoder betegnet og, hvor og anvendes til at udvælge en ødelæggelses- og reparationsmetode ud fra et tilfældighedsprincip. Sandsynligheden for at vælge ødelæggelsesmetode udregnes i (k), hvor vægten for metode divideres med den samlede vægt for alle ødelæggelsesmetoder. Sandsynligheden for at vælge reparationsmetode udregnes i (l) på tilsvarende måde. (k) Side 21 af 89

(l) I anvendes den valgte ødelæggelsesmetode til at ødelægge løsningen, hvorefter den valgte reparationsmetode anvendes til at konstruere en midlertidig løsning,. Herefter accepteres eller forkastes den nye løsning i ud fra et valgt acceptkriterium, og det tjekkes i, om den fundne løsning er den bedste hidtil. I opdateres vægtene for de anvendte metoder dynamisk afhængig af, hvor godt den enkelte ødelæggelses- og reparationsmetode har performet. Dette gøres ved at tildele den anvendte ødelæggelses- og reparationsmetode en score,. Denne bestemmes i (m) hvor indikerer, at den nye løsning er den globalt bedste, indikerer, at den nye løsning er bedre end den nuværende, indikerer, at den nye løsning er blevet accepteret, og indikerer, at den nye løsning blev afvist. (m) Typisk er, hvilket betyder, at en høj score svarer til, at der er fundet en god løsning. Vægtene for de anvendte metoder udregnes derefter i (n) og (o), hvor angiver den valgte ødelæggelsesmetode, angiver den valgte reparationsmetode, og er en parameter, der kontrollerer, hvor følsomme vægtene er over for ændringer i ødelæggelses- og reparationsmetodernes performance. I hver iteration er det kun vægtene for de anvendte metoder, som opdateres, og vægtene for de øvrige metoder forbliver uændrede. Denne dynamiske tilpasning af vægtene anvendes for at sikre, at de metoder, som har givet de bedste løsninger, har større sandsynlighed for at blive valgt igen. (n) (o) Algoritmen fortsætter fra, indtil stopkriteriet i nås, og den bedste løsning anvendes [35]. En af fordelene ved ALNS er, at der søges i store dele af løsningen på en struktureret måde, og at algoritmen selv er i stand til at tilpasse sig problemet. Det betyder, at algoritmen er meget robust, og den fanges sjældent i et lokalt optimum. På grund af den tilpassende struktur, er der desuden større frihed i valget af ødelæggelses- og reparationsmetode i forhold til i LNS, da det er muligt at inkludere flere metoder. I ALNS er det derfor ikke en ulempe at inkludere metoder, som kun er anvendelige i nogle tilfælde, da de sjældent vil blive valgt, hvis de ikke performer godt. Derudover medvirker den tilpassende struktur også til, at tuning af en ALNS algoritme er begrænset. Det er dog stadig nødvendigt at tune de individuelle heuristikker, som anvendes i de forskellige ødelæggelses- og reparationsmetoder, men dette kan gøres individuelt. Derudover er det en fordel, at ALNS søger i flere nabolag, som ikke er bestemt i forvejen, og jo flere fornuftige nabolag, som ALNS anvender, jo bedre performance har den. Side 22 af 89

ALNS, som den er beskrevet i dette afsnit, kan have tendens til at favorisere komplekse reparationsmetoder, som oftere fører til løsninger af højere kvalitet sammenlignet med mere simple metoder. Dette er en fordel, hvis de to metoder er ens rent tidsmæssigt, men hvis dette ikke er tilfældet, kan det være et problem. I de tilfælde hvor nogle metoder er signifikant langsommere end andre, kan det derfor være en fordel at normalisere en metodes score,, med et mål for, hvor meget tid metoden anvender. Dette sikrer, at der er et retmæssigt trade-off mellem tidsforbrug og løsningskvalitet. Desuden kan det i ALNS ofte være en fordel at anvende noget støj eller tilfældighed i både ødelæggelsesog reparationsmetoderne for at opnå en god diversificering. Dette hjælper til at undgå en stagnerende søgeproces, hvor ødelæggelses- og reparationsmetoderne bliver ved med at lave de samme modifikationer af løsningen [35]. ALNS formål er at minimere omkostninger, hvilket betyder, at der skal anvendes en to-trins-model eller specifikke ødelæggelsesmetoder for at reducere antallet af ruter og dermed antallet af køretøjer. En totrins-model kan implementeres ved først at køre et antal iterationer, hvor løsningen ødelægges og repareres igen. Derefter forsøges det i andet trin at fjerne en hel rute ved at forsøge at placere efterspørgslen fra denne rute på andre ruter. Hvis dette er muligt, køres den almindelige ALNS algoritme igen med det reducerede antal ruter. Kan det derimod ikke lade sig gøre, anvendes blot den sidste mulige løsning [43]. Såfremt denne model ikke anvendes, kan antallet af ruter også forsøges reduceret ved blot at anvende en ødelæggelsesheuristik, som fjerner en hel rute ad gangen. En sådan heuristik vil blive beskrevet i 3.2.5.1. 3.2.5.1 Ødelæggelsesmetoder Der er i litteraturen anvendt mange forskellige ødelæggelsesmetoder i ALNS, men Ropke og Pissinger, som præsenterede ALNS til knuderuteplanlægning, foreslår selv følgende heuristikker: Random Removal, Worst Removal, Related Removal, Cluster Removal, Time-Oriented Removal, Historical Node-Pair Removal samt Historcial Request-Pair Removal [43]. Den mest simple heuristik er Random Removal, som tilfældigt fjerner knuder fra løsningen. Dette sikrer, at løsningen diversificeres. Worst removal fjerner knuder, som har store omkostninger forbundet med deres nuværende placering i løsningen. Denne ødelæggelsesmetode kan også gøres mere tilfældig ved at tilføje en parameter, som sikrer, at det ikke er de samme knuder, som fjernes hver gang. I Related Removal fjernes der et antal knuder, som ligger tæt på hinanden, og som dermed er lette at bytte rundt på i løsningen. Her kan også anvendes en parameter, som gør ødelæggelsesmetoden mere tilfældig. I Cluster Removal udvælges nogle få ruter, hvorpå flere knuder, som ligger tæt forbundet i en form for klynger, fjernes. Time-Oriented Removal tager udgangspunkt i, hvornår de enkelte knuder serviceres på ruten, og de fjernes herefter, hvis de betjenes nogenlunde samtidig, da det derved burde være lettere at bytte rundt på dem. Historical Node-Pair Removal og Historical Request-Pair Removal inddrager et historisk perspektiv, da der her tages højde for tidligere performance. Førstnævnte metode tager udgangspunkt i succesen af at besøge to knuder efter hinanden, mens den anden metode tager udgangspunkt i succesen af at besøge to knuder på den samme rute. Laporte & Musmanno 2010 [44], Salazar-Aguilar, Langevin & Laporte 2011 [45] og Chen et al. 2014 [22] har anvendt ALNS til løsning af forskellige varianter af CARP, hvortil forskellige ødelæggelsesmetoder er blevet anvendt. Nogle af ødelæggelsesmetoderne er meget problemspecifikke, men af de mere generelle ødelæggelsesmetoder kan nævnes Deterministic Worst Removal (DWR), Revised Random Removal (RRR)/ Side 23 af 89

Deterministisk Random Removal (DRR), Probablistic Worst Removal (PWR) og Reduce Number of vehicle Removal (RNR). I DWR vælges efterspørgselskanter, som ser ud til at være placeret forkert i den nuværende løsning. Det betyder, at der vælges kanter, som er meget dyre at servicere ud fra den givne objektfunktion. Dette vil typisk være kanter, hvor der skal deadheades langt for at servicere den givne kant. For hver efterspørgselskant udregnes det, hvad det koster at servicere ruten i alt, samt hvad det koster at servicere ruten uden den givne kant. Den kant, som giver den største besparelse, fjernes derefter fra dens rute. Det udregnes herefter, hvilken kant der nu er dyrest, indtil kanter er fjernet. RRR/DRR har til formål at diversificere søgningen. Her fjernes der også efterspørgselskanter, men disse fjernes næsten helt tilfældigt. Hvis den valgte kant tilhører den korteste vej mellem to andre efterspørgselskanter, som serviceres lige før eller straks efter den valgte kant, så er det i stedet for kanten lige før eller lige efter den tilfældigt valgte kant, som fjernes. I PWR fjernes kritiske efterspørgselskanter fra løsningen. Kritiske kanter kan defineres som kanter, hvis efterspørgsel eller servicetid højest sandsynligt vil gøre, at køretøjets kapacitet vil blive overskredet, eller at rutens maksimalt tilladte tid overskrides. Hvis dette er tilfældet, fjernes kanten og de efterfølgende efterspørgselskanter på ruten. Denne heuristik anvendes i problemstillinger hvor efterspørgslen eller serviceringstiden er stokastisk. I RNR er formålet at minimere antallet af køretøjer. Dette gøres ved at fjerne den rute, som har det laveste antal af servicerede efterspørgselskanter. Det er derefter håbet, at en reparations heuristik efterfølgende ville kunne placere alle efterspørgselskanterne på andre ruter, hvorved antallet af ruter reduceres [22, 44]. Salazar-Aguilar, Langevin & Laporte 2011 [45] anvender ikke ødelæggelses- og reparationsmetoderne uafhængigt af hinanden, men har specifikke indsættelsesmetoder, som afhænger af den anvendte ødelæggelsesmetode. De anvender fem kombinationer af metoder, hvoraf den første kaldes Best Arcs Sequence Removal-Best Insertion. Her er målet at reducere den længste rute, hvilket gøres ved at fjerne en sekvens af denne rute. Den fjernede sekvens indsættes herefter på en anden rute ud fra en grådig tilgang. Det betyder, at sekvensen indsættes der, hvor der er den korteste distance fra ruten til den første kant i sekvensen. Den anden metode er Random Arcs Sequence Removal-Insertions, som minder meget om den foregående, men denne anvendes for at diversificere søgningen. Her fjernes også en sekvens fra den længste rute, men denne indsættes derimod helt tilfældigt i en anden rute. Den tredje metode er Best Interchange of Arc Status (Serviced-Traversed), hvor formålet er at intensivere søgningen ved at vælge en tilfældig kant fra den længste rute. Derefter undersøges det, om der er en anden rute, som traverserer denne kant. Hvis dette er tilfældet, ændres kantens status i de to ruter fra henholdsvis serviceret til traverseret og omvendt. De to ruter re-optimeres derefter ved at udregne den korteste vej for de punkter, hvor kanten har skiftet status. Princippet er det samme i den fjerde metode, som kaldes Worst Interchange of Arc Status (Traversed-Serviced), men her vælges en kant, som blot traverseres i den korteste rute i et forsøg på at ændre dennes status til serviceret, hvis serviceringen sker på en anden rute. Den sidste metode er First Traversed-First Serviced, hvor formålet også er at diversificere søgningen. Dette gøres ved at re-optimere alle ruter i den nuværende løsning på en sådan måde, så kanter, der både deadheades og serviceres af samme køretøj, tvinges til at blive serviceret første gang køretøjet traverserer kanten [45]. 3.2.5.2 Reparationsmetoder Efter ødelæggelse af løsningen anvendes reparationsmetoder til at danne en ny løsning ved sekventielt at indsætte de fjernede knuder eller kanter på ruterne. Side 24 af 89

De mest almindelige reparationsmetoder er den grådige heuristik og fortrydelsesheuristikken. I den grådige heuristik, indsættes en knude eller kant altid på den billigste plads i den billigste rute, indtil der ikke er flere fjernede kunder eller kanter tilbage, eller indtil det ikke er muligt at indsætte flere knuder eller kanter. Fortrydelsesheuristikken har til formål at undgå, at det er de dyreste knuder eller kanter, som er tilbage til sidst, da det her er sværere at finde plads på ruterne. Dette gøres ved at udregne omkostningen ved henholdsvis at indsætte knuden eller kanten på den billigste og den næstbilligste rute for alle fjernede knuder eller kanter. Den knude eller kant, som har den største forskel i omkostningen mellem den billigste og næstbilligste rute, indsættes derefter på den billigste rute, da det er den knude, som man vil fortryde mest, hvis den ikke er placeret på den billigste rute. Derefter foretages udregning igen, indtil der ikke kan indsættes flere knuder eller kanter. Laporte & Musmanno 2010 [44] og Chen et al. 2014 [22] anvender ligeledes en grådig heuristik kaldet Deterministic Greedy Insertion (DGI). Denne indsættelsesmetode forsøger i første omgang at indsætte de fjernede kanter på steder, hvor de vil komme til at ligge på den korteste vej, hvilket betyder, at det ikke giver øgede omkostninger at servicere kanten på ruten, da køretøjet alligevel vil traversere den fjernede kant. I anden omgang indsættes de resterende kanter på den billigste position i en given rute ligesom ved den almindelige grådige heuristik. Hvis der er nogle kanter, som ikke kan indsættes, dannes der en ny rute[22, 44]. De øvrige reparationsmetoder, som anvendes, er udviklet specifikt til problemstillingen i de enkelte variationer af CARP. 3.2.5.3 Accept- og stopkriterium Som tidligere nævnt kan der i ALNS anvendes forskellige acceptkriterier, som til en vis grad accepterer dårligere løsninger. Salazar-Aguilar, Lengevin & Laporte 2011 [45] accepterer dårligere løsninger, hvis de ikke er mere end 10 % dårligere end den bedste løsning hidtil, men det er dog ikke tilladt at acceptere mere end 50 ikke-forbedrende løsninger for hver ødelæggelses- og reparationsmetode. Laporte & Musmanno 2010 [44] samt Chen et al. 2014 [22] anvender en lignende annealing baseret algoritme, som er udviklet af Dueck i 1993. Værdien af objektfunktionen til den bedste løsning,, betegnes. Hver gang en midlertidig løsning findes, evalueres værdien af objektfunktionen,. Løsningen accepteres jf. (p), hvor er en positiv deviation parameter. Laporte & Musmanno 2010 anvender. Yderligere opdateres, hvis [22, 44]. (p) Ydermere anvendes metaheuristikken Simulated Annealing, som er beskrevet i Afsnit 3.2.1, også ofte som acceptkriterium. Her accepteres en løsning ud fra et stokastisk acceptkriterium, som indeholder en temperaturparameter. Denne bestemmer sandsynligheden for at der accepteres en dårligere løsning, som gradvist reduceres i takt med antallet af iterationer. Stopkriteriet defineres generelt ud fra antallet af iterationer, hvor der ikke findes en forbedrende løsning ud fra det totale antal af iterationer eller ud fra en tilladt databehandlingstid. Side 25 af 89

4 Districting & Sectoring Selv ved brug af heuristikker er problemet dog stadig så stort, så det kan være nødvendigt at opdele datasættet, inden en løsningsmetode implementeres. I litteraturen er der til løsning af store CARP anvendt flere forskellige metoder til denne opdeling. En stor del af løsningerne anvender en form for districting eller clustering, mens andre starter med at danne små klynger. I praksis strækker problemstillinger af typen CARP sig ofte over meget store områder, og det kan derfor være nødvendigt og/eller fordelagtigt at opdele området i en form for distrikter ud fra et strategisk synspunkt. Dette gøres for at lette planlægning og kontrol af de operationer, der skal udføres inden for hvert område, da det er lettere at have overblik over mindre områder. En sådan opdeling kaldes Districting eller Sectoring og bygger typisk på langsigtede, taktiske planlægningsbeslutninger. Ideelt bør opdelingen være rimelig robust og ikke være særlig følsom over for små ændringer i operationelle parametre. Det betyder, at Districting og Sectoring varetages på management niveau, mens selve ruteplanlægningen foregår på et operationelt niveau [47]. I litteraturen er der ikke nogen konsistent brug af begreberne Districting og Sectoring, men Muylderman [48] definerer Sectoring som en samling af netværkskanter, som er allokeret til ét enkelt køretøj eller mandskab. Districting definerer han derimod som en større organisatorisk enhed, som typisk omfatter flere sektorer, og som evt. har et centralt depot, hvortil køretøjerne i distriktet er tilknyttet. Ligeledes definerer Alexander Butch Districting som den proces, hvor små geografiske områder, kaldet basisenheder, grupperes til større geografiske områder [49]. I praksis skal distrikterne helst opfylde flere kriterier og objektiver. Hovedkravene til distrikterne er ofte, at de skal være balancerede, kompakte og sammenhængende. Videre skal de have klare grænser, og de skal gøre administrationen af dem lettere. At der skal være balance betyder, at den totale arbejdstid i alle distrikter skal være nogenlunde ens. Distrikter er kompakte, når de er næsten runde eller firkantede, hvilket betyder, at de ikke må være forvrængede eller have huller. Yderligere bør distrikterne ikke overlappe hinanden, og de skal have en pæn grænse. Lettere administration henviser til, at det f.eks. skal være muligt at lave effektiv ruteplanlægning ved at minimere deadheading, minimere antallet af køretøjer osv. [48, 49]. Desuden kan der være krav om, at distrikterne ikke må være for små, for at de faste omkostninger kan holdes på et fornuftigt niveau. På den anden side må distrikterne heller ikke blive for store, da den organisation, som skal yde servicen heller ikke må blive for kompleks [47]. Distrikterne kan opdeles ud fra en strategisk eller geografisk praktisk tilgang, men i litteraturen forsøges distrikterne også opdelt på baggrund af Clustering algoritmer [48]. 4.1 Clustering Generelt er der to overordnede Clustering algoritmer; Hierarchical og Partitioning. Hierarkiske metoder anvender ofte en agglomerativ teknik med en bottom-up procedure, hvor udgangspunktet er, at alle kanter ligger i hver deres klynge. Herefter lægges klyngerne gradvist sammen, så større og større klynger dannes. Sammenlægningen sker ved hele tiden at lægge de to klynger, der er tættest på hinanden sammen. Distancen mellem to klynger kan defineres på forskellige måder, men de mest anvendte er Single Linkage, Complete Linkage, Average Linkage og Centroid [50]. Disse er illustreret i Figur 6. I Single Linkage er distancen mellem to klynger defineret som afstanden mellem de to kanter i klyngerne, der ligger tættest på hinanden, mens Complete Linkage er det modsatte. I Average Linkage er distancen mellem to klynger gennemsnittet af afstanden mellem alle kanter i de to klynger. I metoden Side 26 af 89

Centroid placeres et centrum i hver klynge, hvorfra afstanden måles. Sammenlægning af klynger kan forsætte, indtil alle kanter er i én stor klynge, eller indtil et stopkriterium nås. Figur 6: Definition af distance mellem klynger Partitioning metoder tager generelt udgangspunkt i et på forhånd specificeret klyngeantal. Herefter udvælges et startcentrum for hver klynge, og grafen opdeles herefter ved at allokere kanterne til den klynge, hvis centrum de ligger tættest på [50]. Yderligere kan klyngeopdelingen også foregå ved, at der til den første klynge tages udgangspunkt i f.eks. den kant, der ligger længst væk fra depotet. Derefter allokeres de kanter, som ligger tættest på, indtil køretøjets kapacitet er opnået. Derefter vælges en ny kant som udgangspunkt for den næste klynge, og sådan fortsættes der, indtil alle kanter tilhører en klynge. 4.2 Små klynger Før et netværk opdeles i store klynger, anvendes der i nogle tilfælde en form for pre-clustering, hvor netværket opdeles i små klynger. Blandt andet forudsætter den hierarkiske metode, Agglomeration, at netværket som udgangspunkt er opdelt i små enheder (f.eks. individuelle kanter), som derefter aggregeres til større sektorer eller distrikter [48]. Aggregeringen foregår ofte ved at specificere nogle aktuelle eller fiktive centrummer for distrikterne. Herefter allokeres de små enheder til centrerne samtidig med, at der tages højde for de givne begrænsninger. Til dette kan anvendes en metode, hvor netværket nedbrydes i kredse. For at dette kan lade sig gøre, gøres netværket først eulersk ved at tilføje nogle matchende kanter, som ikke har nogen efterspørgsel. Dette gøres, da en eulersk graf kan opdeles i adskilte kredse. Grafen nedbrydes derefter i små kredse, som herefter aggregeres til store klynger [47]. Yiu & Mamoulis [51] har også udviklet en metode til at danne små klynger, kaldet -Link. Metoden tager højde for afstandsbegrænsningerne i et vejnetværk og kan overføres til store problemer. Generelt er formålet med at danne klynger at gruppere objekter på en sådan måde, at objekter i samme gruppe ligner hinanden samtidig med, at de er forskellige fra objekterne i andre klynger. I et geografisk netværk er objekterne defineret ved deres placering i det euklidiske rum, og forskellene mellem objekterne er defineret ved den euklidiske afstand mellem dem. I de fleste geografiske netværk er afstanden dog begrænset af et vejnetværk, og det er derfor mere retvisende at definere afstanden mellem objekterne ved netværksdistancen end den euklidiske distance. I denne metoder er netværksdistancen mellem to objekter i og j derfor defineret ved længde af den korteste vej, der går mellem i og j og omvendt, forudsat at netværket ikke er ensrettet. I artiklen anvendes en tæthedsbaseret metode, som placerer objekter i samme Side 27 af 89

klynge, hvis deres distance er inden for en specificeret grænse,. Algoritmen fungerer ved at undersøge hvert punkt i netværket og klynge dette hvis muligt. Algoritmen stopper, når der ikke er flere punkter at besøge. Til bestemmelsen af afstanden mellem to punkter, anvendes Dijkstras algoritme. Som udgangspunkt vælges et tilfældigt punkt, m, hvorefter dennes kant traverseres i begge retninger. De punkter, som besøges på kanten, placeres i sammen klynge som m, såfremt punkternes direkte afstand til det senest klyngede punkt er mindre end. Desuden placeres kantens to endepunkter i en kø, hvis afstanden, fra det første og sidste punkt på kanten fra hvert endepunkt, er kortere end. Derefter undersøges alle de kanter, der går ud fra de endepunkter, der er placeret i køen. Punkterne på kanten tilføjes til klyngen, hvis afstanden til det sidst klyngede punkt er mindre end Når der ikke er flere knuder i køen, vælges et nyt tilfældigt punkt, som endnu ikke er besøgt, og en ny klynge dannes [51]. 5 Datagrundlag og dataforberedelse Reno Djurs har til denne afhandling leveret en del af datagrundlaget i form af en Excel-fil, Restaffald område 3 som indeholder information omkring alle husstande, som skal serviceres. Informationen omfatter blandt andet husstandenes adresser, kapaciteten på deres nuværende affaldsspande samt tømningsintervallerne for disse. Yderligere er der blevet givet adgang til en vejdata-fil, Grafdata, hvori vejnetværket for det sydlige Djursland fremgår. Vejnetværket er konstrueret ud fra et geografisk informationssystem (GIS), som er i stand til at omdannet vejnetværket til en graf, som består af 7.553 knuder (vejkryds) og 8.865 kanter (vejstykker). Da GIS bl.a. anvendes til at optegne kort, gør det, at der tilføjes en ny kant i grafen, hver gang den fysiske vej drejer, hvilket resulterer i det store antal af knuder og kanter i det udleverede vejnetværk. Hver kant har fået tildelt et kant-id, et koordinat samt et knude-id for hver start- og slutknude. Alle husstande er derefter blevet tilknyttet et vejstykke, hvilket resulterer i, at der er 2.252 vejstykker, som skal serviceres. Desuden er der blevet givet adgang til en distancematrice, som er baseret på Dijkstras algoritme, som angiver den korteste vej mellem hver af knuderne i vejnetværket. Grundet datasættets størrelse, er det fordelagtigt at bearbejde datasættet, før ruteplanlægningen påbegyndes. Dette gøres hovedsageligt for at reducere grafens størrelse og den dertilhørende løsningstid. Derfor er følgende blevet fjernet; - Blinde veje uden efterspørgsel - Loops uden efterspørgsel - Parallelle veje uden efterspørgsel - Deadheadingkanter som ikke indgår i nogen korteste veje Dette har i alt reduceret antallet af knuder og kanter til henholdsvis 5.655 knuder og 6.402 kanter For at reducere løsningstiden yderligere har vi konstrueret en heuristik til at danne små klynger således, at både den initiale løsning samt de forbedrende løsninger formentlig kan skabes hurtigere. Heuristikken til dette vil blive gennemgået i det efterfølgende afsnit. 5.1 Dannelse af klynger Det geografiske område, der ligger til grund for denne afhandling, er allerede inddelt i et distrikt, da Reno Djurs har ansvar for det område, der dækker Syddjurs og Norddjurs Kommune. Yderligere har Reno Djurs opdelt deres distrikt i fem sektorer (1 = Grenaa, 2 = Landdistrikt, 3 = Ebeltoft, 4 = Rønde, 5 = Anholt). I Side 28 af 89

denne afhandling vil vi kun arbejde med område 3, og det findes derfor ikke relevant at opdele dette område yderligere i et antal strategiske distrikter. Område 3 kunne dog opdeles i et antal klynger for at lette løsningsprocessen. Ved anvendelse af Clustering kunne området f.eks. opdeles i 10 store klynger, hvilket vil svare til, at der kun køres i ét område om dagen, mandag til fredag, i en 14. dags periode. Efter denne opdeling vil der skulle løses 10 mindre CARP for hvert område. Området kunne også opdeles i et antal klynger, hvis efterspørgsel ikke overskrider kapaciteten. Herefter vil et CARP med kun ét køretøj skulle løses inden for hver klynge. Ved begge metoder vil det til sidst være nødvendigt at forsøge at forbedre ruterne i grænsefladen mellem de forskellige klynger. Det vil sige, at det ville skulle undersøges, hvorvidt områderne er opdelt fornuftigt, eller om ruterne vil blive bedre af, at nogle kanter flyttes til naboområdet. I stedet for at danne store klynger, har vi i denne afhandling valgt at danne små klynger. Det betyder, at hver rute skal bestå af servicering af et uspecificeret antal klynger. Klyngerne må ikke være så store, at alle kanterne i klyngen ikke kan serviceres, uden at kapaciteten på køretøjet overskrides. Denne metode vælges frem for andre klyngemetoder, da vi synes, at det kunne være interessant at undersøge, hvor stor effekt dette vil have på den samlede løsning. Det forventes, at databearbejdningstiden vil blive reduceret, når kanterne grupperes, og at det dermed vil være lettere at finde gode løsninger hurtigere. Kanternes efterspørgsel aggregeres dog ikke permanent til en knude, hvilket til dels vil svare til et NEARP. Dannelsen af klyngerne tager udgangspunkt i algoritmen -Link, som er beskrevet i Afsnit 4.2. I vejnetværket er det ikke oplyst, hvor langt husstandene ligger fra hinanden eller fra knudepunkterne, og derfor kan algoritmen ikke overføres direkte. Da efterspørgselskanterne ikke er særlig lange (maks. 371 m), kigges der ikke på hver enkelt husstand, men blot på kantens samlede efterspørgsel. Desuden udnyttes det, at datasættet indeholder et stort antal korte kanter uden efterspørgsel. Idéen med algoritmen er at klynge de kanter med efterspørgsel, som ligger tæt på hinanden. Kanterne defineres som liggende tæt på hinanden, hvis de går ud fra samme knude, eller hvis distancen mellem dem er mindre end en tilladt distance. Såfremt en kant ligger for langt væk fra alle andre kanter, placeres denne i sin egen klynge. Da efterspørgselskanterne både ligger i land- og byområder, sættes der en begrænsning på antallet af kanter i en klynge. Det er dog muligt at fravige begrænsningen såfremt den sidst klyngede knude har mere end én efterspørgselskant. Pseudokoden for den modificerede algoritme er vist i Figur 7. Side 29 af 89

Figur 7: Pseudokode til dannelse af klynger Algoritmens udgangspunkt er den kant med efterspørgsel, som ligger længst væk fra depotet. Dette vælges for at forme klyngerne udefra og ind, hvilket sikrer, at de yderste kanter bliver placeret i en klynge, hvis afstanden til andre kanter er kort nok. Den valgte kants knuder, og, placeres i (3) i en kø,, som indikerer at alle kanter, der går ud fra disse knuder, skal undersøges. I (4) vælges den sidst placerede knude i. Herefter undersøges det i (7), om hver af knudens kanter har en efterspørgsel og kanten endnu ikke er klynget. Hvis dette er tilfældet og kapaciteten i køretøjet samt antallet af tilladte kanter i klyngen ikke overskrides ved tilføjelse af kanten, placeres kanten i klyngen i (8), og den modsatte knude tilhørende denne kant gemmes i køen. Hvis en kant ikke har nogen efterspørgsel, undersøges det hvor lang kanten er. Hvis kanten er kortere end en defineret maksimal distance,, undersøges det, om kantens længde plus distancen tilbage til den sidst klyngede kant er kortere end. Hvis det er tilfældet gemmes også dennes modsatte knude i (10) i køen sammen med længden. Når alle knudens kanter er undersøgt, fjernes knuden fra køen i (13). Herefter vælges den sidste knude i køen, og dennes kanter undersøges på tilsvarende måde. Når der ikke er flere knuder tilbage i, er det ikke muligt at placere flere kanter i klyngen. Der vælges derfor en ny kant som udgangspunkt for den næste klynge. Her vælges igen den efterspørgselskant, som ligger længst væk fra depotet, som endnu ikke er placeret i en klynge. Algoritmen stopper, når alle kanter med efterspørgsel er placeret i en klynge. 5.2 Antagelser og forudsætninger for modellen For at kunne udvikle en løsningsmetode til afhandlingens problemstilling er det vigtigt at specificere en række grundlæggende antagelser og forudsætninger. Ydermere er det vigtigt at klargøre, hvilke afgrænsninger der ligger til grund for resultaternes oprindelse for at kunne analysere og anvende resultaterne. Nedenfor angives disse for modellen: - Det antages generelt, at husstandenes efterspørgsel kan bestemmes ud fra størrelsen på deres nuværende affaldspande og deres valgte tømningsordning. - Kommunalbestyrelsen i Nord- og Syddjurs har besluttet, at alle sækkestativer skal udfases i indeværende år, og derfor skal alle disse stativer erstattes med affaldspande på hjul. Kapaciteten på disse affaldsspande er 140 liter, hvilket er større end den nuværende kapacitet på 110 liter for Side 30 af 89

sækkestativerne [5]. Der kan argumenteres for, at når borgerne får tildelt en større spand, så vil de udnytte den ekstra kapacitet. Modsat kan der argumenteres for, at borgerne ikke får mere affald, blot fordi kapaciteten øges. Da det ikke ønskes at ændre på den nuværende efterspørgsel, beregnes husstandenes affaldsmængde ud fra de originale sækkestativer. - Det antages, at alle affaldsspande i gennemsnit har en fyldningsgrad på 75 %, da dette er Reno Djurs erfaring [52]. - Det antages, at det er obligatorisk for alle tilmeldte husstande på den nuværende ordning at modtage skraldespande, som gør det muligt for dem at sortere det organiske affald fra restaffaldet. - Det antages, at alle husstande ønsker så få skraldespande som muligt, men at de er villige til at acceptere en eventuel forøgelse af antallet af affaldsspande, som følge af den øgede affaldssortering. Ligeledes antages det, at borgerne er indifferente i forhold til at modtage enkelteller dobbeltkammerspande. - Det antages, at alle husstande er villige til og har den rette viden til at sortere det organiske affald fra restaffaldet. - Det antages, at husstandene placerer deres skraldespande tæt på skel ud imod vejen. - Skraldemændenes løn er baseret på antallet af tømninger pr. uge, og de er dermed akkordlønnede. I forhold til skraldemændenes overenskomst er følgende normtal gældende [53]: o 800 tømninger pr. mand pr. uge ved afhentning af beholdere på hjul fra standplads til standplads i blandede distrikter, landsbyer og lignende med lukkede komprimatorvogne. o 1.400 tømninger pr. mand pr. uge ved afhentning af beholdere på hjul fra skel mod vej og aflevering ved skel mod vej i blandede distrikter, landsbyer og lignende med lukkede komprimatorvogne. o 1.450 tømninger pr. mand pr. uge ved afhentning af beholdere på hjul fra skel mod vej og aflevering ved skel mod vej i bydistrikter med lukkede komprimatorvogne. Dette er standardnormen, som kan fraviges efter overenskomstpartnernes godkendelse. Det første punkt antages at være gældende for husstande placeret i landområderne i område 3, det tredje punkt antages at være gældende for husstande i Ebeltoft, og det andet punkt antages at være gældende for husstandene i alle andre områder. - Ifølge Reno Djurs bliver standardnormerne for tømningerne sjældent overholdt, da skraldemændene ofte foretager flere tømninger pr. uge [54]. Reno Djurs har ligeledes indikeret, at aflønningsforholdene kan ændre sig ved næste udbudsrunde alt efter, hvem kontrakten udliciteres til. I modellen inddrages kun de fysiske begrænsninger, og antallet af tømninger bruges derfor ikke som en begrænsning. - Det antages, at en uge består af 5 arbejdsdage, og at antallet af indsamlingsruter samt arbejdsmængden fordeles jævnt over hverdagene. Dette er på nuværende tidspunkt ikke gældende i praksis, da skraldemændene har en tendens til at foretage flere tømninger først på ugen, så deres arbejdsuge forkortes. - I forhold til skraldemændenes overenskomst er akkordlønnen udregnet ud fra en ugentlig arbejdstid på 37 timer. Det antages at den effektive køretid for en skraldemand er 35 timer pr. uge, hvilket svarer til 7 timer pr. dag. De resterende arbejdstimer forventes at blive brugt på at forlade parkeringsstedet om morgenen, aflastning af affald, returnere til parkeringsstedet, få efterset og renset vognen ved arbejdsdagens ophør samt at deltage i eventuelle møder. Side 31 af 89

- Der ses bort fra helligdage, da det antages, at skraldemændene enten får særlige tillæg for at foretage tømningerne på disse dage, eller at tømningerne foretages på andre dage. Ydermere tages der ikke højde for sæsonudsving, da der eksempelvis må forventes at komme ekstra mængder af affald omkring jul og mindre mængder i sommerferieperioden. - Miljø Teams kvalitetsmål for glemte tømninger er 0,5 promille, men forglemmelser eller fejl som skyldes mandskabet rettes uden betaling for Reno Djurs [54]. Denne risiko inddrages dermed ikke i afhandlingens model. - Det antages, at tømningstiden for affaldsspandene og omkostningerne forbundet hermed er uafhængig af affaldsmængden i de enkelte spande. - Tømning af en dobbeltkammerspand svarer kun til én tømning, hvorimod tømning af to separate spande til henholdsvis organisk affald og restaffald tæller for to tømninger. - Reno Djurs skønner, at tømningstiden pr. enkeltkammerspand er ca. 2 minutter og ca. 2,5 minutter pr. dobbeltkammerspand uanset størrelsen på disse spande. Tømningstiden inkluderer den tid det tager at få spandene frem og tilbage fra skraldebilen [54]. Holbæk Forsyning A/S (Holbæk Forsyning), som på nuværende tidspunkt har implementeret et dobbeltkammersystem, har angivet, at tømningstiden er uafhængig af, hvorvidt det er enkelt- eller dobbeltkammerspande, der tømmes, og at tømningstiden er ca. 1 minut uanset spandens størrelse [55]. Da Holbæk Forsyning allerede har implementeret et dobbeltkammersystem, synes det mest rimeligt at basere tømningstiden på disse beregninger frem for et skøn. Det antages derfor, at tømningstiden er 1 minut uanset spandens størrelse og type. - Som tidligere angivet er datagrundlaget knyttet til en ikke-orienteret graf, hvilket anses som værende realistisk, da der ikke findes dobbeltrettede veje i området, og dermed tillades zig-zag tømninger på alle veje. Ydermere anses dette for realistisk, da det antages, at antallet af ensrettede veje i området er begrænset. Dermed kan vejene traverseres og services fra begge retninger. - I praksis kan der være områder, hvor veje og adgangsforhold på landet er mere snævre end i byområdet, og derfor kan der i nogle tilfælde rent fysisk ikke være plads til alle typer af skraldebiler. Denne praktiske begrænsning tages der ikke højde for i modellen. Yderligere antages det, at skraldemændene har mulighed for at vende bilerne i alle knudepunkter i vejnetværket. - Det antages, at alle skraldebiler starter og returnerer til Bysvinget 1, Ebeltoft. - Det antages, at alle skraldebiler tømmes ved rutens afslutning. - Det antages, at der enten anvendes enkelt- eller dobbeltkammerbiler. - Såfremt der benyttes enkeltkammerbiler, køres restaffaldet direkte til Affaldscentret i Lisbjerg, Aarhus og det organiske affald køres til Reno Djurs i Glatved for at blive omlastet. - Såfremt der benyttes dobbeltkammerbiler, kører skraldebilerne til Reno Djurs i Glatved for at omlaste affaldet fra begge kamre. - Det antages, at omlastningen tager henholdsvis 10 minutter for en enkeltkammerbil og 12 minutter for en dobbeltkammerbil. Omkostningerne forbundet med disse omlastninger er ens, svarende til 300 kr. ekskl. moms [54]. - Det omlastede restaffald læsses i to 36 m 3 containere, som køres på et træk med lastbil til Affaldscenteret i Aarhus. Det antages, at det koster 1.050 kr. ekskl. moms, når der ikke er tale om returlæs, og 730 kr. ekskl. Moms når der er returlæs [54]. Side 32 af 89

- Det omlastede organiske affald læsses i to 36 m 3 containere, som køres på et træk med lastbil til biogasanlægget Komtek i Vejen, Holsted. Det antages, at det koster 1.750 kr. ekskl. moms [54]. - For dobbeltkammerbiler antages det, at kapaciteten er opbrugt, når kapaciteten i et af de to kamre er opbrugt. - Det antages, at aflæsning af restaffaldet fra en enkeltkammerbil tager 5 minutter. - Det antages, at gennemsnitshastigheden fra holdepladsen til den første serviceringskant i ruten, fra den sidste serviceringskant i ruten til omlastningsstedet og fra omlastningsstedet til aflæsningsstedet, er 80 km/t. - Det antages, at gennemsnitshastigheden på ruten er 60 km/t, når der traverseres. - Det antages, at gennemsnitshastigheden er 20 km/t 100 meter før og efter husstanden, når der serviceres. 5.3 Vægt og volumen Da det organiske affald ikke separeres fra restaffaldet i dag, er det nødvendigt at estimere, hvordan fordelingen af de to fraktioner ville være, hvis de blev opdelt. 5.3.1 Vægt og volumen i skraldespande I forhold til afhandlingens problemstilling er der to overordnede scenarier for, hvorledes husstandene kan få tildelt skraldespande. I scenarie et får husstandene tildelt separate spande til henholdsvis det organiske affald og restaffaldet. Størrelsen på de enkelte spande er identiske med dem, som på nuværende tidspunkt benyttes til indsamling af restaffald, som er henholdsvis 140, 240, 400 og 600 liter. I scenarie to tildeles husstandene en dobbeltkammerspand, som har en skillevæg, der gør det muligt at adskille de to affaldsfraktioner. Dobbeltkammerspandene kan rumme 240 liter, med en fordeling på henholdsvis 50/50 eller 40/60 [54, 55]. Figur 1 i Afsnit 1.3 illustrerede sammensætningen af det affald, som Reno Djurs i dag indsamler som restaffald samt indsamling af pap, papir og glas. I Tabel 1 og Tabel 2 er denne opdeling opgjort i ton. Denne afhandling vil som bekendt ikke fokusere på indsamling af pap og papir, og der ses yderligere bort fra indsamlingen af glas, da denne fraktion opsamles i kuber i lokalområdet. På baggrund af dette er disse to fraktioner trukket ud af tabellen som vist i Tabel 2. Ifølge Reno Djurs vil den totale mængde af organisk affald, som indsamles hos husstandene blive forøget i forhold til den nuværende statistik, da separat indsamling af organisk affald vil medføre, at mængden af hjemmekompostering formentlig reduceres [56]. Reno Djurs forventer derfor, at den årlige mængde af indsamlet organisk affald forøges med 1 ton, hvorfor dette er tillagt det organiske affald i Tabel 2. Ud fra forholdet mellem de nye vægte, kan det vægtmæssige forhold mellem organisk affald og restaffaldet udregnes. Tabel 2 viser dermed, at det organiske affald vægtmæssigt udgør 56 % af den samlede affaldsmængde, og de resterende fraktioner, som svarer til restaffaldet, udgør 44 %. Side 33 af 89

Type %-del Ton Papir/Karton 23% 5.945 Andet pap 5% 1.292 Plastfolie 1% 258 Plastemballage 4% 1.034 Andet plast 1% 258 Glasemballage 6% 1.551 Metalemballage 2% 517 Andet metal 1% 258 Organisk 38% 9.823 Restaffald 19% 4.911 Total 100% 25.849 Tabel 1: Opdeling af alle fraktioner Type %-del Ton Andet pap 7% 1.292 Plastfolie 1% 258 Plastemballage 6% 1.034 Andet plast 1% 258 Metalemballage 3% 517 Andet metal 1% 258 Organisk 56% 10.823 Restaffald 25% 4.911 Total 100% 19.353 Tabel 2: Opdeling af udvalgte fraktioner Vægtfylden for de enkelte fraktioner er ikke 1:1. I et notat fra Reno Djurs angives det, at det organiske affald vejer 25 kg pr. 100 liter, mens restaffaldet, hvorfra det organiske affald ikke er frasorteret, vejer 8 kg pr. 100 liter [52]. Michael Wulff fra H.E.W. 4 har desuden angivet, at en gennemsnitlig 110 liter sæk, hvor affaldet ikke er sorteret, vejer 11 kg, hvilket svarer til 10 kg pr. 100 liter [57]. Han har dog ingen estimater for vægten af det organiske affald. Reno Djurs estimat for vægten af restaffaldet er fremkommet ved én enkelt stikprøve ved én enkelt skraldebil. Estimatet fra Michael Wulff er derimod fremkommet efter mange års erfaringer og iagttagelser. Der tages derfor udgangspunkt i, at det usorterede affald vejer 10 kg pr. 100 liter. For at kunne vurdere, hvordan det er mest hensigtsmæssigt at dele skraldespandene, er det nødvendigt at udregne forholdet mellem, hvor meget organisk affald og restaffald fylder i en skraldespand. Hvis der tages udgangspunkt i, at en spand på 100 liter vejer 10 kg, og 56 % af denne vægt er organisk affald, svarer det til, at 5,6 kg af affaldet i spanden er organisk affald, og de resterende 4,4 kg er restaffald. Det organiske affald vejer 25 kg pr. 100 liter, hvilket svarer til, at 1 kg organisk affald fylder 4 liter. Derfor vil de 5,6 kg affald i spanden fylde. De resterende 77,6 liter affald i spanden vil derfor være restaffald. Det betyder, at restaffaldet fylder pr. kg og vejer pr. 100 liter. Fordeling Vægt Liter Organisk 56,00% 22,40% Restaffald 44,00% 77,60% Vægt Volumen Alt affald 10 kg pr. 100 L Alt affald 10 L pr. kg Organisk affald 25 kg pr. 100 L Organisk 4 L pr. kg Restaffald 5,7 kg pr. 100 L Restaffald 17,6 L pr. kg Tabel 3: Forholdet mellem organisk affald og restaffald 4 H.E.W. leverer renovationsbiler til mange forskellige kommuner og tilbyder flere former for dagsrenovationsløsninger. Side 34 af 89

Tabel 3 viser en oversigt over forholdet mellem de to fraktioner. Her ses det tydeligt, at det organiske affald er meget tungt i forhold til, hvor meget det fylder, hvilket skyldes, at det organiske affald indeholder meget væske. Forholdet mellem vægt og volumen for de to affaldsfraktioner har betydning for begge scenarier. I scenarie et har det betydning for antallet af skraldespande ved husstandene, og i scenarie to har det betydning for inddelingen af skraldespandene. I scenarie to er affaldsfordelingen mellem de to fraktioner ligeledes essentiel for, hvor effektivt scenariet er. Tabel 4 viser andelen af de to fraktioner i en 240 liters skraldespand, når det antages, at spanden er 75 % fuld. Det betyder, at det organiske affald fylder ca. 40 liter, mens restaffaldet fylder ca. 140 liter. Det vil dermed være mest hensigtsmæssigt at opdele skraldespandene 40/60, da der ved denne opdeling er plads til 96 liter organisk affald, og 144 liter restaffald. Opdeling Kapacitet Efterspørgsel Organisk (L) Rest (L) Organisk (kg) Rest (kg) 240 180,00 40,32 139,68 10,08 7,94 Tabel 4: Opdeling af affald i 240 liters spand Datasættet indeholder jf. Tabel 5 i alt 6.201 husstande, hvoraf 6.028 af disse er almindelige husstande og de resterende 173 er etageboliger. I alt har 2.217 husstande i dag ugentlig tømning, mens 3.984 husstande har 14. dagstømning. I princippet skal alle husstande i scenarie et have to skraldespande; én til organisk affald og én til restaffald, mens de i scenarie to skal have én delt skraldespand. Der er dog en del husstande, som i dag har en større efterspørgsel end dette, hvilket der skal tages højde for i forbindelse med registreringen af antallet af tømninger. Boliger 7. dag 14. dag Total Almindelige 2.074 3.954 6.028 Etage 143 30 173 Total 2.217 3.984 6.201 Tabel 5: Typer af husstande og ordninger Tabel 6 viser en oversigt over husstandenes totale kapacitet for henholdsvis ugetømning og 14. dagstømning. Kapaciteten afviger fra spandenes størrelse, da nogle husstande har mere end én skraldespand. Husstandene altid vil blive tildelt så få spande som muligt, hvilket betyder, at hvis en husstand har en efterspørgsel på 280 liter, så vil den blive tildelt en skraldespand på 400 liter, i stedet for to spande på 140 liter, selvom sidstnævnte er tilfældet i dag. Den maksimale størrelse for en skraldespand til organisk affald er 240 liter, da det organiske affald er meget tungt, og en større spand er derfor ikke hensigtsmæssig i forhold til skraldemændenes arbejdsforhold [57]. Den maksimale størrelse på en skraldespand til restaffald er 600 liter, da det ikke er så tungt som det organiske affald. Denne størrelse spand kan være fordelagtig, da restaffaldet fylder meget i Side 35 af 89

skraldespanden, og borgerne ikke ønsker at have mange spande stående. Yderligere reducerer det antallet af tømninger. Desuden er der en begrænsning for, hvor brede skraldespande en dobbeltkammerskraldebil kan håndtere, hvilket kommenteres i Afsnit 5.3.2. I forhold til scenarie et kan alle husstande, som i dag får afhentet affald hver 14. dag, og som har en kapacitet på 1.030 liter eller derunder 5, nøjes med at få tildelt to spande; en til organisk affald og en til restaffald. Dette er tilfældet for 3.973 husstande. De resterende 11 husstande, som får tømt hver 14. dag, får tildelt mere end to spande afhængig af deres efterspørgsel. For de husstande, som får tømt hver uge, skal der i deres efterspørgsel på 14 dage tages højde for fyldningsgraden på 75 %. Det betyder, at husstande, som har en samlet kapacitet på 510 liter eller derunder pr. uge, kan nøjes med at få tildelt to skraldespande. Dette gælder for 2.066 husstande, hvorfor 151 husstande får tildelt flere end to skraldespande afhængig af deres efterspørgsel. Hvor mange ekstra skraldespande hver husstand for henholdsvis ugetømning og 14. dagstømning får tildelt kan ses i Excel-filen Tildeling af skraldespande, men i alt tildeles der 393 ekstra spande til de 162 husstande, hvoraf 52 spande er til organisk affald, og 341 spande er til restaffald. I forhold til scenarie to med dobbeltkammerspande, er der 3.926 husstande, som i dag får tømt hver 14. dag, og har en kapacitet på 240 liter eller derunder. Disse kunder får derfor én dobbeltkammerspand. De resterende 58 husstande med 14. dagstømning får tildelt to eller flere enkeltkammerspande afhængig af deres efterspørgsel. I forhold til de husstande, som i dag får tømt hver uge, vil alle de husstande som har et sækkestativ på 110 liter, have en efterspørgsel, som kan være i en delt spand på 240 liter på 14 dage. Det betyder, at der er 1.287 husstande, som ligeledes kan nøjes med én delt spand på 240 liter. De resterende 930 husstande tildeles to eller flere enkeltkammerspande afhængig af deres efterspørgsel. Hvor mange ekstra skraldespande hver af disse husstande tildeles kan ses i Excel-filen Tildeling af skraldespande. Her ses det, at der i alt tildeles 1.497 spande til de 988 husstande. Efterspørgsel (L) 110 140 220 240 280 330 400 420 440 480 600 Over 600 Total Alm. 7 dage 1287 350 22 356 2 8 23 0 4 14 0 8 2074 Etage 7 dage 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 82 61 143 Alm. 14 dage 1773 689 10 1454 0 1 10 1 0 11 0 5 3954 Etage 14 dage 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 20 10 30 Tabel 6: Efterspørgsel hos husstandene 6 5.3.2 Vægt og volumen i skraldebiler På nuværende tidspunkt indsamles affaldet i Reno Djurs område med enkeltkammerbiler med forskellige kapaciteter, som afhænger af, hvorvidt der er tale om land- eller bykørsel. Da der i denne afhandling ikke skelnes mellem land- og bykørsel, vil der kun blive benyttet én type skraldebil for hvert scenarie. 5 1.030 liter giver en efterspørgsel på 773 liter, hvilket svarer til 173 liter organisk affald og 599 liter restaffald 6 Husstandene med en efterspørgsel på over 600 liter har en efterspørgsel på henholdsvis 660, 700, 720, 800, 840, 1200, 1400, 1600, 1800, 2000, 2400, 3000, 3600, 4200, 5400, 6600 og 7800 liter Side 36 af 89

Reno Djurs har angivet, at det vil være retvisende for modellen at benytte en 18 tons enkeltkammerbil med en lastekapacitet på 7 tons og 17 m 3 [54]. Holbæk Forsyning benytter i dag 16 tons dobbeltkammerbiler med en lastekapacitet på 4,4 tons og 14 m 3 [57]. Da det ikke er retvisende at sammenligne afhandlingens to scenarier på baggrund af forskellige lastekapaciteter, anvendes samme lastekapacitet for de to scenarier i modellen. I modellen tages der udgangspunkt i oplysningerne fra H.E.W., således at det antages, at lastekapaciteten for både enkelt- og dobbeltkammerbiler er 4,4 ton og 14m 3. Normalt komprimeres affaldet i skraldebilerne, således at affaldets volumen formindskes. I et notat fra Reno Djurs angives det, at komprimeringsfaktoren er 4 for både organiske affald og for restaffald [52]. Miljø Team har dog angivet, at komprimeringsfaktoren er 6 for begge fraktioner [54]. Yderligere har H.E.W. angivet, at den mest normale komprimeringsfaktor for restaffald er 5 [57]. Både Holbæk Forsyning samt H.E.W. angiver yderligere, at det organiske affald ikke er muligt at komprimere, da det har en grødlig konsistentes [55, 57], hvilket modsiger oplysningerne fra Reno Djurs. Da komprimeringsfaktorerne fra H.E.W. bygger på flere års praktisk erfaring, hvor de to fraktioner har været adskilt, synes det mest rimeligt, at basere komprimeringsfaktoren i modellen på disse iagttagelser. Baseret på ovenstående antages det, derfor at restaffaldet har en komprimeringsfaktor på 5 uanfægtet af, hvorvidt det placeres i en enkelt- eller dobbeltkammerbil, og at det organiske affald ikke komprimeres. I modellen tages der højde for dette ved at øge kapacitetsbegrænsningen for restaffaldets volumen med 5 for både enkeltkammerbilerne samt for kamret til restaffald i dobbeltkammerbilerne. Slutteligt antages det, at restaffaldet altid vil blive opsamlet, hvis det kan være i skraldebilen i komprimeret tilstand, selvom dette ikke er muligt i praksis. Det betyder, at kapaciteten for enkeltkammerbilen er 14.000 liter for organisk affald, og 70.000 liter for restaffald. Vægtbegrænsningen for begge typer af affald er 4.400 kg. Da 4.400 kg organisk affald fylder betyder det, at kapaciteten nås, før den maksimalt tilladte vægt i skraldebilen nås. Tilsvarende fylder restaffaldet, så her er det også kapaciteten i liter, som begrænser den mængde af affald, der kan indsamles. Dobbeltkammerbilen kan i praksis deles fuldstændig som ønsket. Holbæk Forsyning deler deres dobbeltkammerbiler i forholdet 40/60, hvilket gør det muligt at tømme både enkelt- og dobbeltkammerspande i skraldebilen. I praksis tømmes enkeltkammerspandene til det organiske afffald i det mindste kammer, dobbeltkammerspandene tømmes hen over en skillevæg i skraldebilen, og enkeltkammerspandene til restaffaldet tømmes i det største kammer. Forholdet mellem organisk affald og restaffald er litermæssigt ca. 22/78 jf. Tabel 3. Når der tages højde for komprimeringsfaktoren for restaffaldet, er den optimale opdeling af kapaciteten i skraldebilen dog 59 % til det organiske affald, og 41 % til restaffaldet. 7 Det betyder, at det giver mindst spildplads, hvis skraldebilen opdeles 60/40, hvor det organiske affald aflæsses i det store kammer, og restaffaldet aflæsses i det lille kammer. Dette er dog ikke muligt i praksis, grundet skraldespandenes bredde. 7 0,22/((0,78/5)+0,22) = 41 % plads til restaffaldet og (0,78/5)/((0,78/5)+0,22) = 59 % plads til det organiske affald Side 37 af 89

Bredden på den 600 liters spand, som Reno Djurs anvender til restaffald, er 131 cm, mens bredden på en 240 liters spand er 70 cm [56]. Skraldebilens totale bredde er 250 cm, dog skal der fratrækkes ca. 10 cm fra hver side samt fra skillevæggen. Såfremt skraldebilen deles 40/60 giver det en faktisk bredde på 88 cm i det lille kammer og 132 cm i det store kammer. Det betyder, at det ikke er muligt at tømme restaffaldet i det lille kammer, da en 600 liters skraldespand med restaffald ikke kan tømmes heri. Dobbeltkammerbilen deles derfor 40/60, hvor det organiske affald indsamles i det lille kammer. Det betyder, at begrænsningen for kammeret til organisk affald er 5.600 liter, og begrænsningen for kammeret til restaffald er 42.000 liter, når der tages højde for komprimeringsfaktoren. Dette giver en total kapacitet på 47.600 liter. I disse skraldebiler er det også antallet af liter, der begrænser mængden af affald. Forholdet mellem kapaciteten i de to kamre efter komprimering er ca. 12/88, og forholdet mellem den mængde affald, der indsamles i liter er ca. 22/78. Det betyder, at det er kammeret med organisk affald, som bliver fyldt først, og det er dermed begrænsningen for dobbeltkammerbilen. Det er værd at bemærke, at siderne i dobbeltkammerbilen vægtmæssigt skal fyldes nogenlunde ligeligt, således at der ikke er risiko for, at skraldebilen vælter under manøvrering. Ifølge H.E.W. er dette ikke noget, som der bør tages højde for i modellen, da der altid vil blive fyldt affald i begge kamre. Det eneste tidspunkt, hvor det ene af skraldebilens kamre potentielt er helt tomt, er når affaldet skal omlæsses i Glatved. Her er distancen og kørselshastigheden dog begrænset, så det antages, at det ikke er noget problem. 6 Løsningsprocedure I dette afsnit beskrives udviklingen og implementeringen af konstruktionsheuristikken samt metaheuristikken, som anvendes til at løse afhandlingens problemstilling. Til dette benyttes en mindre del af det udleverede datasæt, som indeholder 339 knuder og 468 kanter. Begge scenarier modelleres som et CARP. Scenarie to med dobbeltkammerbiler kunne dog også modelleres som et MCCARP, men da forholdet mellem affaldsfraktionerne altid vil være ens i denne problemstilling, vil det ene kammer altid blive fyldt først. Dermed kan scenarie to også blot løses som et klassisk CARP. 6.1 Implementering af Double Outer Scan I denne afhandling vil en modificeret udgave af Double Outer Scan algoritmen blive anvendt til at danne den initiale løsning til kantruteplanlægningsproblemet. Pseudokoden er vist i Figur 8. Som angivet i Afsnit 3.1.4 konstrueres en rute ad gangen i Double Outer Scan ved at vælge den uservicerede kant, som har den længste parallelle distance til depotet. I denne afhandling anses det ikke for nødvendigt at anvende den parallelle distance, da længden på efterspørgselskanterne i datasættet maksimalt er 371 meter. Det vil dermed ikke have nogen større betydning, om algoritmen regner med den parallelle distance eller blot den korteste distance fra depotet. Den første kant, der tilføjes til en rute, vil dermed være den efterspørgselskant, som ligger længst væk fra depotet, og som endnu ikke er på en rute. Dette gøres i - ved at finde den knude, som ligger længst væk fra depotet og som har tilstødende kanter med efterspørgsel. Den af de tilstødende efterspørgselskanter, hvis modsatte knude ligger længst væk fra depotet, vælges som den første kant i ruten. Knude og knude udgør nu endepunkterne i den partielle rute. Side 38 af 89

Som tidligere angivet tilhører alle efterspørgselskanter i grafen en klynge. Når en af disse kanter serviceres af køretøjet, skal alle de resterende kanter i klyngen derfor serviceres, førend køretøjet kan servicere kanter i andre klynger eller køre til depotet. I - undersøges dét sæt af efterspørgselskanter, som støder op til knude og. Disse kanter betegnes, hvor er lig med enten eller. Kanterne tilhører endnu ikke nogle ruter, men ligger i samme klynge som. Den uservicerede kant, hvis modsatte knude ligger længst væk fra depotet, vælges herefter, som den næste kant på ruten. Derefter opdateres endepunkterne på den partielle rute. Denne proces fortsætter, indtil ruten ender i to knuder, som ikke har nogle tilstødende efterspørgselskanter. Det betyder, at det er nødvendigt at deadheade for at kunne servicere flere efterspørgselskanter. Det undersøges derfor i, om der er flere kanter tilbage i klyngen, som er uservicerede. Hvis dette er tilfældet undersøges det herefter i, hvilken af disse kanters knuder, som ligger tættest på ét af de to endepunkter og. Hvis knuden har mere end én tilstødende kant, som skal serviceres, vælges igen den kant, hvis modsatte knude ligger længst væk fra depotet. Processen fortsætter derefter igen fra, indtil alle kanterne i klyngen er serviceret. Figur 8. Pseudokode for den initiale løsning Side 39 af 89

Herefter er ønsket at tilføje en ny klynge til ruten. Det undersøges derfor i -, om der er nogle klynger, som endnu ikke er blevet serviceret, hvis efterspørgsel kan være i køretøjets resterende kapacitet. Der undersøges dog ikke klynger, som ligger længere væk end depotet, da det kun er fordelagtigt at servicere klynger, som ligger på vejen tilbage til depotet. Igen vil den klynge, som indeholder den kant, hvis knude ligger tættest på et af endepunkterne og, blive valgt, og ovenstående proces gentages fra. Når det ikke er muligt at finde flere klynger, hvis efterspørgsel kan være i køretøjet, afsluttes den første rute, og algoritmen starter forfra med generering af en ny rute. De efterfølgende ruter vil ligeledes blive konstrueret ved at finde den knude, som på daværende tidspunkt ligger længst væk fra depotet, og som har tilstødende kanter med efterspørgsel, som endnu ikke er i en rute. Hele proceduren fortsætter, indtil alle klynger er blevet tildelt en rute. Når en ny klynge skal tilføjes en rute, undersøges det udover kapacitetsbegrænsningen, om klyngen kan være på ruten rent tidsmæssigt. Det er dog ikke muligt at udregne den eksakte ekstra tid, da det ikke vides, hvordan klyngen sættes på ruten. Det tillades derfor at tilføje en given klynge til ruten, såfremt rutens nuværende tid, plus den tid det tager at køre tilbage til depotet, plus den tid det tager at servicere klyngen, ikke overskrider rutens maksimalt tilladte tid. Det betyder, at en rute godt kan risikere at overskride den maksimalt tilladte tid, når eventuel deadheading mellem klyngens kanter også tilføjes. Dette tages der højde for i metaheuristikken. 6.2 Implementering af Adaptive Large Neighborhood Search Metaheuristikken i denne afhandling er udviklet på baggrund af en række ødelæggelses- og reparationsheuristikker, som tager udgangspunk i nogle af de beskrevne metoder til ALNS i Afsnit 3.2.5.1 og 3.2.5.2. Alle heuristikker er dog modificeret eller udvidet i større eller mindre grad, da der ligesom i den initiale løsning tages højde for de dannede klynger. Metaheuristikken indeholder tre ødelæggelsesheuristikker, som vil blive beskrevet i Afsnit 6.2.1 og to reparationsheuristikker, som vil blive beskrevet i Afsnit 6.2.2. 6.2.1 Ødelæggelsesheuristikker De tre ødelæggelseheuristikker, som vi har udviklet til metaheuristikken, indeholder alle en grad af tilfældighed. De to første heuristikker tager udgangspunkt i Revised Random Removal (RRR)/Deterministisk Random Removal (DRR). Den første heuristik kaldes Fjern Klynger, og udvælger helt tilfældigt klynger, ved at vælge tilfældige tal mellem 1 og antallet af klynger. Herefter fjernes klyngerne fra ruterne. Der tages højde for, at den samme klynge ikke kan fjernes mere end én gang. Det vil i Afsnit 8.4.4.2 blive testet, hvor mange klynger der er hensigtsmæssige at fjerne i hver iteration, da dette jf. Afsnit 3.2.5 har stor betydning for resultaterne ved benyttelsen af ALNS. Den anden heuristik kaldes Fjern Kanter og fjerner kanter, som har en efterspørgsel. Kanterne vælges helt tilfældigt ved at vælge tilfældige tal fra 1 til 2.252, som er antallet af efterspørgselskanter. Det er således helt tilfældigt, hvilke ruter kanterne bliver fjernet fra. I modsætning til heuristikkerne RRR og DRR, tages der ikke højde for, om de kanter, der fjernes, ligger på den korteste vej mellem to andre efterspørgselskanter. Såfremt dette er tilfældet, medfører det blot, at kanten i reparationsheuristikken vil blive indsat på dens oprindelige plads, såfremt det er muligt, og fjernelse af kanten påvirker derfor ikke den endelige distance. Side 40 af 89

Når en kant er fjernet fra en rute, fjernes den ligeledes fra den klynge, som den var placeret i. I Afsnit 8.4.4.3 vil det blive testet, hvor mange kanter, der er hensigtsmæssige at fjerne i hver iteration. Den tredje heuristik kaldes Fjern Længste og tager udgangspunkt i ødelæggelsesdelen af Best Arcs Sequence Removal-Best Insertion, hvor formålet er at balancere ruterne ved at fjerne en sekvens fra den længste rute. Vi har konstrueret ødelæggelsesheuristikken således, at en enkelt klynge fjernes fra én af de længste ruter. Antallet af vil blive testet i Afsnit 8.4.4.1. Muligheden for at vælge forskellige ruter implementeres for at tilføje noget tilfældighed til heuristikken, så det sikres, at det ikke er den samme rute, som vælges hver gang. Hvilke ruter, der er de længste, bestemmes ud fra ruternes totale distance. Når en af de længste ruter er valgt, vurderes det herefter, hvilken klynge der skal fjernes. Dette har vi udviklet således, at ødelæggelsen ikke sker tilfældigt, men vurderes ud fra klyngens tilkoblingsomkostning. Tilkoblingsomkostningen er den ekstra distance, som det kræver at køre hen til og væk fra klyngen. Figur 9 viser en enkelt rute, hvor efterspørgselskanterne er illustreret som fede sorte streger, og deadheadingkanterne er illustreret med tynde streger. Ruten indeholder fire klynger med henholdsvis tre, fire, tre og en efterspørgselskant i hver. Den ekstra distance, som det kræver at køre hen til anden klynge på ruten, er givet ved A i figuren, mens den ekstra distance, som det kræver at køre fra klyngen og hen til næste klynge, er givet ved B. Såfremt denne klynge bliver valgt og dermed fjernet fra ruten, vil køretøjet skulle køre direkte fra første klynge og hen til tredje klynge på ruten, hvilket er illustreret ved den stiplede linje D. Det betyder, at klyngens tilkoblingsomkostning kan udregnes ved distancen af. Tilkoblingsomkostningen udregnes for alle klynger på den valgte rute, og den klynge, som har den største tilkoblingsomkostning, fjernes derefter fra ruten. Den distance, der kræves for at servicere selve klyngen, inkluderes ikke i vurderingen, da dette vil medføre, at det formentlig altid vil være de største klynger, som bliver fjernet. Når en ødelæggelsesheuristik er valgt, og kanter eller klynger er fjernet fra ruterne, samles ruterne igen, og de fjernede kanter eller klynger gemmes til indsættelse i reparationsheuristikken. Figur 9: Illustration af tilkoblingsomkostning I forhold til valget af ødelæggelsesheuristikker, kunne vi have valgt at udvælge specifikke kanter eller klynger ved at implementere heuristikken Deterministic Worst Removal (DWR). Denne heuristik fjerner Side 41 af 89