Modulation af digitale signaler

KAPITL LV Modulation af digitale signaler I forbindelse med transmission af signaler gennem luften eller over netværk, er der behov for at modulere det enten analoge eller digitale signal, for at tilpasse det til transmissionsmediet. I dette kapitel gennemgåes basale modulationsmetoder for digitale signaler i afsnit 11.3. For mere avancered modulationsformer henvises til speciallitteraturen, f.eks. Stremler (199), Bissel & Chapman (199) eller Wade (1994). 11.1 Tilpasset filter I mange anvendelser udsendes og modtages pulser. Tiden indtil modtagelsen kan være et udtryk for distancen mellem sender og modtager, som i f.eks. radar og medicinsk ultralyd (Skolnik 198; Jensen 1996). Styrken af det modtagne signal er relateret til genstanden, som har reflekteret den udsendte puls. F.eks. modtager en radar som regel et kraftigere signal fra store genstande end fra små. Sådanne signaler er oftest behæftet med støj, og det er derfor ønskeligt at maksimere det ønskede signal og minimere støjen med en passende signalbehandling. Dette kan gøres med et tilpasset filter. Det modtagne signal r(t) antages at være givet ved r(t) = g(t) + n(t) (11.1) hvor g(t) er responset fra systemet for f.eks. en enkelt reflektor, og n(t) er støjen, som er ukorreleret med g(t). Der ønskes nu et lineært, tids-invariant filter, der maksimerer forholdet mellem det ønskede signal og støjeffekten til tiden t m. Dette forhold kan udtrykkes ved SN p = y(t m ) {n o(t m )} y(t) = g(t) h(t) (11.) hvor y(t m ) er signalværdien til tiden t m, h(t) er impulsresponsen for det tilpassede filter, y(t) er udgangssignalet fra det lineære, tilpassede filter uden støj, og n o (t) er den filtrerede støj. Da støjen er stationær kan t m erstattes med t og forholdet kan i frekvensdomænet udtrykkes ved y(t m ) {n o(t)} = G(f)H(f)ejπftm df S (11.3) n(f) H(f) df idet n(t) antages at være stationær, og derfor har en effekt, som er uafhængig af tiden. S n (f) er støjens effekttæthedsspektrum. Antages støjen hvid fås y(t m ) {n o(t)} = G(f)H(f)ejπft m df A (11.4) H(f) df 15

1 Ultralydpuls.5.5.5 1 1.5.5 3 Tidsreverseret puls x 1 6 1.5.5.5 Filtreret puls 1 1.5.5 3 x 1 6 1.5.5.5 1 1.5.5 3 x 1 6 Figur 11.1: Tilpasset filter for en ultralydpuls og resulterende signal efter filtrering. Her er A støjens effekttæthed. Benyttes nu Schwarz ulighed (se apppendix B) fås G(f)H(f)e jπft m df H(f) df G(f)e jπft m df (11.5) hvor lighedstegnet gælder for H(f) = k 1 (G(f)e jπft m ) = k 1 G (f)e jπft m (11.6) k 1 er en konstant. Det maximale forhold fås derfor, når (11.6) er opfyldt og dermed y(t m ) {n o(t)} H(f) df G(f)ejπftm df A H(f) df = G(f) df A = A (11.7) Det benyttes her, at p df = p p df hvorved faktoren e jπft m er uden betydning. Til detektionstidspunktet er signalværdien fra filteret for den ønskede del af signalet altså proportional med signalets energi. Den fouriertransformerede af filteret, som maksimerer spidsamplituden for udgangssignalet i forhold til støjen, er således givet ved H(f) = k 1 G (f)e jπftm (11.8) hvilket er h(t) = k 1 g(t m t) (11.9) i tidsdomænet. Filteret er en tidsreverseret og forsinket version af det oprindelige, støjfrie signal. Forsinkelsen t m vælges så filteret er kausalt. t eksempel for en ultralydpuls er givet i figur 11.1. Filteret er tilpasset signalet så frekvensområder med megen signalenergi ikke dæmpes og områder med udelukkende støj dæmpes kraftigt. n forøget båndbredde for filteret ville forøge støjen uden en 16 Kapitel 11. Modulation af digitale signaler

P f P fk µ K Figur 11.: Sandsynlighedstætheder for signalet y 1 (t). tilsvarende forøgelse i signalenergi efter filteret, hvorimod en båndbreddeformindskelse ville reducere signalenergien. Det bør bemærkes at resultatet kun gælder for hvid støj (se f.eks. Stremler (199) for eksempel med farvet støj). 11. Detektion af støjbehæftede binære signaler fter filtrering skal det f.eks. i en radar afgøres, om der er et fly til tiden t m eller ikke, og i telekommunikation skal afgøres hvilket symbol, der modtages. t simplificeret tilfælde er at betragte det binære signal g(t) som enten har værdien eller 1. Når g(t) har passeret det tilpassede filter h(t) fås værdien K, når g(t) har værdien 1. Til tidspunktet t m kan man altså efter det tilpassede filter modtage enten eller y 1 (t m ) = K + n (t m ) y 1 (t m ) = n (t m ) (11.1) når g(t) har passeret en støjbehæftet kanal og er blevet filteret med et tilpasset filter. For at beslutte om signalværdien er eller 1 må benyttes en tærskelværdi µ, hvor det antages at g(t m ) er lig 1 for y 1 (t m ) µ og g(t m ) er for y 1 (t m ) < µ. På grund af støjen er der to muligheder for fejl. nten kan n (t m ) reducere værdien af y 1 (t m ), så den bliver mindre end µ selvom g(t m ) = 1, eller y 1 (t m ) > µ selvom g(t m ) =. Den første fejl resulterer i at en puls, som er tilstede, ikke detekteres (falsk negativ). I det andet tilfælde detekteres et signal, som ikke er der (falsk positiv). t eksempel med gaussisk støj er vist i figur 11.. Det skraverede areal viser, hvor sandsynlige de to fejl er. Det kan ses, at uanset valget af µ vil der begås fejl. Den samlede sandsynlighed for fejl afhænger af hvor tit og K optræder i signalet. Hvis K forekommer sjældent vil falsk negative fejl også forekomme sjældent. Den samlede sandsynlighed for at begå fejl er P f = P P f + P K P fk (11.11) 11.. Detektion af støjbehæftede binære signaler 17

hvor P er sandsynligheden for g(t m ) =, og P f er sandsynligheden for at n (t m ) > µ. Da der kun optræder de to symboler fås P f = P P f + (1 P )P fk (11.1) Hvis der er den samme sandsynlighed for og K fås P f = 1 (P f + P fk ) (11.13) Hvis sandsynlighedstæthedsfunktionen for støjen er symmetrisk omkring dens middelværdi fås P f = P fk, og tærskelværdien bliver umiddelbart µ = K/, da begge fejltyper har samme vægt. De to sandsynligheder, P f og P fk, er for gaussisk støj givet ved P f = P f = P fk = µ 1 πσ e ξ /(σ ) dξ (11.14) der afhænger af µ og σ, hvor σ er standardafvigelsen for n (t). Fejlsandsynligheden er vist som funktion af K/σ i figur 11.3. Oftest er sandsynligheden for de to symboler ikke lige store, og dermed bliver valget af tærskelværdien ikke umiddelbart. For det tilpassede filter fås til tiden t m en værdi, der er proportional med signalets energi. Hvis der ikke modtages noget svar fra, f.eks. refleksion af radarimpulsen fra et fly, modtages kun støj. Det er ækvivalent til situationen givet i formel (11.1). Derfor fås den samme sandsynlighed for fejl, og den samme metode for bestemmelsen af tærskelværdien kan benyttes. K/σ er således forholdet mellem den modtagne signalenergi divideret med to gange RMS værdien af støjen filtreret gennem det tilpassede filter. Oftest vil man f.eks. i radar have at P K er meget mindre end P, og at P K ikke kendes. Derfor må tærskelværdien oftest bestemmes empirisk. 11.3 Digitale modulationsformer I mange moderne anvendelser findes resultatet af en signalbehandling i form af et digitalt signal, som ønskes transmitteret via modem, netværk eller digital teletransmission. Signalet skal derfor ved digital modulation bringes fra en digital form til en passende analog form, som er egnet til transmission. Der findes basalt tre modulationstyper: amplitude-, fase- og frekvensmodulation, som omtales i det følgende. 11.3.1 Digital amplitudemodulation I digital amplitudemodulation benyttes at signalets amplitude afhænger af værdien af det binære digitale signal. For værdien 1 sendes signalet p(t) = { a sin(πfc t) t T, ellers (11.15) hvor f c er centerfrekvensen for den sendte puls, og T er dens varighed. For værdien sendes et signal med amplituden. Den binære streng 1111 sendes således som vist på figur 11.4. Den øverste graf viser det ideelle signal, og den nederste viser signalet efter passage gennem en telefonlinie med et brugbart gennemgangsområde fra 3 Hz til 3 khz. Der skiftes altså mellem to amplitudeværdier og metoden benævnes Amplitude-Shift Keying (ASK) i den engelsksprogede litteratur. 18 Kapitel 11. Modulation af digitale signaler

1 1 1 Sandsynlighed for fejl 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 5 5 1 15 K/( σ ) [db] Figur 11.3: Sandsynligheden for fejl for gaussisk fordelt støj, når der er lige stor sandsynlighed for de to symboler. 1.5 y(t) [V].5.5.1.15. 1.5 y(t) [V].5.5.1.15. Figur 11.4: Amplitudemoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f c = 1 Hz og T = 4/f c = 3.3 ms. Den nederste graf viser signalet efter det har passeret en kanal med en begrænset båndbredde (f.eks. en telefonlinie). 11.3. Digitale modulationsformer 19

Når signalet modtages efter transmission skal den binære datastrøm gendannes. Det kan f.eks. ske ved at anvende et tilpasset filter, og dernæst finde om der blev sendt eller 1. Den tilpassede filtrering består af en foldning med p(t m t), hvor t m er tidspunktet for detektionen. Den maximale værdi ud fra filteret er proportional med energien af den udsendte puls (se afsnit 11.1). Hvis sandsynligheden for og 1 er lige store sættes tærskelværdien for skelnen mellem de to værdier til /. K i formel (11.1) svarer således til, og hermed fås fejlsandsynligheden givet i figur 11.3 i det forrige afsnit. ksempel 11.1 Det amplitudemodulerede signal vist øverst på figur 11.4 sendes over en telefonkanal med uendelig båndbredde, som tilføjer signalet gaussisk fordelt støj med en konstant effekttæthed på 1 4 W/Hz indenfor en båndbredde på f n = 5 khz. Beregn fejlsandsynligheden: nergien af signalet efter den tilpassede filtrering er = 4/fc [ a sin (πf c t)dt = a x πf c ] sin x 8π = a (11.16) 4 f c Det tilpassede filter er en tidsreverseret version af den udsendte puls, og kan via frekvensforskydningsreglen ses at have sin maximale forstærkning omkring f = f c (se f.eks. figur.7). Overføringsfunktionen er således koncentret omkring f = f c og forstærkningen falder for højere værdier af f. Antages det at forstærkningen er forsvindende for f > f n fås støjeffekten via Parsevals formel til (Dette svarer til at antage at støjen er hvid og overvurderer derfor støjens effekt) P n = = S n () fn H(f) S n (f)df = S n () H(f) df S n () f n H(f) df h (t)dt = S n () a f c (11.17) hvor S n (f) er støjens effekttæthed. Forholdet /σ er således σ = P n = S n () a (11.18) f c a σ = f c a (11.19) S n () a S n ()f c Med de givne tal fås f c = σ = 1 1 4 = 6. db 1 Hermed fås en fejlsandsynlighed på 1. De forskellige signaler er vist i figur 11.5 for den binære sekvens 1111. Øges amplituden for sinuspulsen fra 1 til volt fås et forhold på 1 db og dermed en fejlsandsynlighed på 8 1 5 ; altså en betydelig forbedring. Fejlsandsynligheden vil også afhænge af om det korrekte detektionstidspunkt benyttes. Derfor er det vigtigt, at modtageren synkroniseres til afsenderen. Dette problems løsning falder dog uden for rammerne for disse noter. For hvid støj kan udledes en simpel relation til bestemmelse af fejlsandsynligheden, som giver indsigt i filterets og støjens indflydelse. Antages det at støjen er hvid (har konstant effekttæthed) fås støjens effekt efter filtrering til P n = S n () (11.) Kapitel 11. Modulation af digitale signaler

1 Ideelt signal y(t) [V] y(t)+e(t) [V] (y(t)+e(t))*h(t) [V].5.1.15. Signal med stoej 4 4.5.1.15. x 1 3 Filtreret signal.5.1.15. Figur 11.5: Amplitudemoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f c = 1 Hz og T = 4/f c = 3.3 ms. Den øverste graf viser det ideelle signal, den næste viser signalet med støj, og til sidst efter filtrering med et tilpasset filter. Den vandrette line viser tærskelværdien /, og de lodrette streger viser tidspunkterne for detektion. hvor er energien af pulsen p(t). Hermed fås forholdet σ = S n () = 4S n () (11.1) Det er altså forholdet mellem energien af pulsen og effekttætheden af støjen tilført fra transmissionskanalen, der bestemmer sandsynligheden for fejl. 11.3. Frekvensmodulation Den digitale information kan også overføres ved at benytte pulser med forskellig centerfrekvenser. For symbolet 1 sendes { a sin(πf1 t) t T, p 1 (t) = (11.) ellers og for symbolet : hvor f 1 T of f T er heltal. p (t) = { a sin(πf t) t T, ellers (11.3) Den binære streng 1111 sendes som vist øverst på figur 11.6. Der skiftes mellem to frekvensværdier og metoden benævnes Frequency-Shift Keying (FSK) i den engelsksprogede litteratur. Der benyttes nu to tilpassede filtre til detektionen; et for hver pulstype. Til tidspunktet for detektion er signalværdien fra filtrene proportional med energien for den udsendte puls. Da varigheden af pulserne for de to symboler er lige store er energien for pulserne lig hinanden. n mulig detektionsmetode er vist på figur 11.7. Det modtagne signal passerer de to tilpassede filtre og subtraheres. Denne signalbehandling kan uden støjbidraget skrives som y(t) = g(t) h 1 (t) g(t) h (t) = g(t) (h 1 (t) h (t)). (11.4) 11.3. Digitale modulationsformer 1

1.5 g(t) [V].5..4.6.8.1.1 g(t) [V]..4.6.8.1.1 Figur 11.6: Frekvensmoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f 1 = Hz, f = 1 Hz og T = ms. Den øverste graf viser det transmitterede signal, og den nederste viser signalerne for symbolerne 1 og separat. Figur 11.7: Detektor for FSK modulation. Kapitel 11. Modulation af digitale signaler

For detektionstidspunktet t m fås y(t m ) = g(θ)(h 1 (t m θ) h (t m θ)dθ (11.5) hvor h 1 (t m t) = g 1 (t m t m + t) = g 1 (t) (se ligning (11.9)) og h (t m t) = g (t). Til detektionstidspunktet t m = fås derfor en signalværdi på y() = T a sin(πf 1 θ)(a sin(πf 1 θ) a sin(πf θ))dθ (11.6) når der modtages symbolet 1 og signalet er støjfrit. Dette kan omskrives til T y() = = a = a a sin(πf 1 θ)a sin(πf θ)dθ T T cos(π(f 1 f )θ) cos(π(f 1 + f )θ)dθ cos(π fθ) cos(π(f + f)θ)dθ (11.7) Det sidste integral vil være nul, hvis der integreres over et helt antal perioder af sinus signalet med frekvensen f = f 1 f. Dette er opfyldt når T f = p, hvor p er et heltal, og de to signaler siges at være ortogonale. n lignende udregning fås, når der modtages pulsen for symbolet. Her fås y() = T a sin(πf θ)(a sin(πf 1 θ) a sin(πf θ))dθ = (11.8) Ud fra denne detektor fås derfor enten værdien eller afhængig af hvilken puls, der er udsendt, når de to signaler er ortogonale. Tærskelværdien kan derfor sættes til. Støjen i signalet bliver også filtreret, og den resulterende støjeffekt er givet ved P n = H 1 (f) H (f) S n (f)df (11.9) hvor S n (f) er effektætheden af støjen og H 1, H er overføringsfunktionerne for de to tilpassede filtre. Antages det, at støjens effekttæthed er konstant inden for området, hvor de to filtre har betydende forstærkning fås P n = S n () H 1 (f) H (f) df (11.3) Det sidste led er: = (H 1 (f) H (f))(h 1 (f) H (f))df H 1 (f) + H (f) H 1 (f)h (f) H 1 (f)h (f))df De to sidste led er lig signalet g (t) foldet med den tidsreverserede af signalet g 1 (t), og resultatet er, da de to signaler er ortogonale. Hermed fås P n = S n () Støjeffekten bliver altså fordoblet ved subtraktionen. H 1 (f) + H (f) df = S n () (11.31) Sandsynligheden for fejl kan, som for ASK modulation, findes ud fra figur 11.3. Tærskelværdien er nul, og det er kun støjamplituder over en værdi på, der giver anledning til fejl. Støjeffekten er blevet 11.3. Digitale modulationsformer 3

1.8.6.4. g(t) [V]..4.6.8..4.6.8.1.1 Figur 11.8: Fasemoduleret signal for den binære sekvens 1111 sendt med f c = 1 Hz og T = /f c = ms. fordoblet ved subtraktionen, og derved er det forholdet /( σ), som bestemmer sandsynligheden. På lignende måde som i forrige afsnit kan forholdet, som bestemmer fejlsandsynligheden, udregnes til σ = S n () = S n () Der opnås altså en 3 db forbedring i forholdet ved benyttelse af FSK istedet for ASK modulation. (11.3) 11.3.3 Fasemodulation Ved denne metode benyttes skift i signalets fase for at indikere om der sendes symbolet eller 1. Når der sendes to symboler benyttes at skifte mellem en fase på π og. Metoden benævnes Phase Shift Keying (PSK). Den binære sekvens 1111 kommer derved til at se ud som på figur 11.8. Til detektionen benyttes et tilpasset filter, som er den tidsreverserede puls. For symbolet 1 vil filterets udgangsværdi være proportional med (energien af pulsen) ved detektionstidspunktet og for symbolet er værdien. Tærskelværdien for detektionen kan derfor sættes til, når der er lige stor sandsynlighed for de to signaler. ffekten af støjen efter filtreringen er P n = σ = S n (), og amplituden af støjen skal være større end for at give anledning til en fejldetektion. Hermed fås forholdet, som bestemmer sandsynligheden, til σ = S n () = S n () (11.33) altså en 6 db forbedring i forhold til ASK modulation. For det tidligere eksempel svarer det til at man kan sende med en amplitude på 1 volt og opnå en fejlsandsynlighed på 8 1 5 ved at benytte PSK istedet for ASK modulation. 4 Kapitel 11. Modulation af digitale signaler